安徽省芜湖市无为市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

-2024学年第二学期八年级期中学情调研数学试题卷一、选择题：本题共10小题，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列计算正确的是（）A. B.C. D.2.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A. B. C. D.3.下列各组数中，属于勾股数的一组是（

）A.3，4， B.9，40，41 C.0.9，1.2，1.5 D.，，4.已知一个直角三角形的两边长分别为6和10，则第三边长为（）A.8 B.2 C.8或2 D.8或5.如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），B（0，2），以点A为圆心，AB为半径画弧，交x轴正半轴于点C，点C的横坐标为（）A.﹣1 B.2 C.﹣1 D.1﹣6.已知，，则的值为（

）A B.4 C. D.7.如图，的对角线，交于点，若，，则的长可能是（）A. B. C. D.8.如图，点O是矩形ABCD对角线AC的中点，交AD于点M，若，，则OB的长为（）A5 B.4 C. D.9.如图，矩形中，点G，E分别在边，上，连接，，，将和分别沿，折叠，使点B，C恰好落在上的同一点，记为点F．若，，则的长度为（

）A6 B.7 C.8 D.910.如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点．给出以下结论：①四边形AECF为平行四边形；②∠PBA=∠APQ；③△FPC为等腰三角形；④△APB≌△EPC；其中正确结论的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．11.要使有意义，则的取值范围是__________．12.对于任意的正数m、n定义运算※为：m※n＝，计算（3※2）×（8※12）的结果为__．13.如图，菱形的对角线相交于点O，点E在上，连接，点F为的中点，连接，若，，，则线段的长为___________．14.如图，在中，为边上一动点，于于为中点，则的取值范围是_____．三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.计算：．16.如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，A，B，C为格点．（1）判断的形状，并说明理由；（2）求边上的高．17.如图，，是的对角线上两点，且，求证：．18.观察下列等式：①；②；③．解决下列问题：（1）根据上面3个等式的规律，写出第⑤个式子；（2）用含（为正整数）的等式表示上面各个等式的规律；（3）利用上述结果计算：．19.如图，在四边形中，．（1）求的度数；（2）求四边形的面积．20.（1）问题背景：请认真阅读下列这道例题的解法．例：已知，求的值．解：由，得，，______；（2）尝试应用：若，为实数，且，化简：；（3）拓展创新：已知，求的值．21.如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．22.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，，AD=24cm，AB=8cm,BC=26cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动.P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动.（1）当运动时间为t秒时，用含t的代数式表示以下线段的长：AP=________,BQ=__________；（2）当运动时间为多少秒时，四边形PQCD为平行四边形？（3）当运动时间多少秒时，四边形ABQP为矩形？23.如图1，直角三角形和直角三角形的直角顶点重合，点在斜边上，，，连接AE．（1）求证：．（2）若，求的长．（3）如图2，点也在边上，且在点A，D之间，若，求证：．

2023-2024学年第二学期八年级期中学情调研数学试题卷一、选择题：本题共10小题，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列计算正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据二次根式的加减法对A、B、C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断即可．【详解】解：A、，所以A选项正确；B、与不是同类二次根式，不能合并，所以B选项错误；C、，所以C选项错误；D、，所以D选项错误．故选：A．【点睛】本题考查了二次根式的加减运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式．2.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．【详解】解：A.，故不是最简二次根式，不符合题意；B.，故不是最简二次根式，不符合题意；C.，故不是最简二次根式，不符合题意；D.是最简二次根式，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不能含有开得尽方的因数或因式；熟练掌握最简二次根式必须满足的两个条件是解题的关键．3.下列各组数中，属于勾股数一组是（

）A.3，4， B.9，40，41 C.0.9，1.2，1.5 D.，，【答案】B【解析】【分析】勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数,利用勾股定理进行计算可得结果．【详解】直角三角形三边、、满足的关系其中c最大．选项A中，故选项A错误；选项B中，且9，40，41均为正整数，故选项B正确；选项C中，符合勾股定理，但不是正整数，故选项C错误；选项D中，符合勾股数，故选项D错误．故选B．【点睛】本题考查勾股数的定义，注意勾股数的定义要求是正整数，按照公式进行正确的计算是解题的关键．4.已知一个直角三角形的两边长分别为6和10，则第三边长为（）A.8 B.2 C.8或2 D.8或【答案】C【解析】【分析】设第三边长为a，分两种情况：当a为斜边时，当10为斜边时，根据勾股定理求出a得到答案.【详解】设第三边长为a，

当a为斜边时，a=；

当10为斜边时，10=，解得a=8.

综上所述，第三边的长为2或8.

故选：C.【点睛】此题考查勾股定理，题中给出直角三角形的两条边，没有明确是直角边或是斜边时，应分类讨论求出该直角三角形的第三边.5.如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），B（0，2），以点A为圆心，AB为半径画弧，交x轴正半轴于点C，点C的横坐标为（）A.﹣1 B.2 C.﹣1 D.1﹣【答案】C【解析】【分析】求出OA、OB，根据勾股定理求出AB，即可得出AC，求出OC长即可．【详解】解：∵A（−1，0），B（0，2），

∴OA＝1，OB＝2，

在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝，

∴AC＝AB＝，

∴OC＝，

∴点C的横坐标为（），

故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理，实数的大小比较，坐标与图形性质的应用，解此题的关键是求出OC的长．6.已知，，则的值为（

）A. B.4 C. D.【答案】C【解析】【分析】根据，然后代入计算可得答案．【详解】解：，，，，故选：C．【点睛】此题考查的是完全平方公式及二次根式的化简求值，能够利用完全平方公式进行变形是解决此题关键．7.如图，的对角线，交于点，若，，则的长可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据平行四边形的对角线互相平分得到OA、OB的长度，再根据三角形三边关系得到AB的取值范围，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=AC=3，BO=BD=4，在△AOB中，4-3<AB<4+3∴1<AB<7，结合选项可得，AB的长度可能是6，故选D．【点睛】本题考查平行四边形的性质和三角形的三边关系，熟练掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．8.如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，交AD于点M，若，，则OB的长为（）A.5 B.4 C. D.【答案】A【解析】【分析】由三角形相似的性质可得CD＝6，由勾股定理可得AC＝10，由直角三角形的性质可得OB的长．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴ABCD，AD＝BC＝8，∵，∴OMCD，∴，∴，且点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM＝3，∴CD＝6，在Rt△ADC中，，∵在Rt△ABC中，点O是斜边AC上的中点，∴BO＝AC＝5，故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，求CD的长度是本题的关键．9.如图，矩形中，点G，E分别在边，上，连接，，，将和分别沿，折叠，使点B，C恰好落在上的同一点，记为点F．若，，则的长度为（

）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】B【解析】【分析】设，根据折叠的性质表示出，，再利用勾股定理得到DE的长．【详解】解：设，由翻折性质得：，∵，由翻折性质得：，∴，∵四边形是矩形，∴，，，∴，∵，和沿，折叠，点B，C落在上的同一点F，∴，∴，∴在中，由勾股定理得：，即，解得：，∴，故选：B．【点睛】本题考查了图形折叠的性质、矩形的性质、勾股定理等知识，灵活运用所学知识是解题关键．10.如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点．给出以下结论：①四边形AECF为平行四边形；②∠PBA=∠APQ；③△FPC为等腰三角形；④△APB≌△EPC；其中正确结论的个数为（）A1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】①根据三角形内角和为180°易证∠PAB+∠PBA=90°，易证四边形AECF是平行四边形，即可解题；②根据平角定义得：∠APQ+∠BPC=90°，由正方形可知每个内角都是直角，再由同角的余角相等，即可解题；③根据平行线和翻折的性质得：∠FPC=∠PCE=∠BCE，∠FPC≠∠FCP，且∠PFC是钝角，△FPC不一定为等腰三角形；④当BP=AD或△BPC是等边三角形时，△APB≌△FDA，即可解题．【详解】解：①如图，EC，BP交于点G；∵点P是点B关于直线EC的对称点，∴EC垂直平分BP，∴EP=EB，∴∠EBP=∠EPB，∵点E为AB中点，∴AE=EB，∴AE=EP，∴∠PAB=∠PBA，∵∠PAB+∠PBA+∠APB=180°，即∠PAB+∠PBA+∠APE+∠BPE=2（∠PAB+∠PBA）=180°，∴∠PAB+∠PBA=90°，∴AP⊥BP，∴AF∥EC；∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，故①正确；②∵∠APB=90°，∴∠APQ+∠BPC=90°，由折叠得：BC=PC，∴∠BPC=∠PBC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=90°，∴∠ABP=∠APQ，故②正确；③∵AF∥EC，∴∠FPC=∠PCE=∠BCE，∵∠PFC是钝角，当△BPC是等边三角形，即∠BCE=30°时，才有∠FPC=∠FCP，如右图，△PCF不一定是等腰三角形，故③不正确；④∵AF=EC，AD=BC=PC，∠ADF=∠EPC=90°，∴Rt△EPC≌△FDA（HL），∵∠ADF=∠APB=90°，∠FAD=∠ABP，当BP=AD或△BPC是等边三角形时，△APB≌△FDA，∴△APB≌△EPC，故④不正确；其中正确结论有①②，2个，故选B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，矩形的性质，翻折变换，平行四边形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．11.要使有意义，则的取值范围是__________．【答案】且【解析】【分析】分式有意义的前提是分母不能为零，二次根式有意义的前提是被开方数不能为负值，根据定义代入求范围即可．【详解】∵在分式的分母位置，∴，即，又∵分子为二次根式，∴，即∴的取值范围是且，故答案为：且．【点睛】本题考查分式有意义的条件，以及二次根式有意义的条件，能根据题定义去求解是解题切入点.12.对于任意的正数m、n定义运算※为：m※n＝，计算（3※2）×（8※12）的结果为__．【答案】2【解析】【分析】根据新定义把所求的式子化为二次根式的和、积的形式，根据二次根式的混合运算法则计算即可．【详解】解：※※，故答案为：2．【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，正确理解新定义的运算、掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．13.如图，菱形的对角线相交于点O，点E在上，连接，点F为的中点，连接，若，，，则线段的长为___________．【答案】【解析】【分析】先根据菱形的性质找到Rt△AOE和Rt△AOB，然后利用勾股定理计算出菱形的边长BC的长，再根据中位线性质，求出OF的长．【详解】已知菱形ABCD，对角线互相垂直平分，∴AC⊥BD，在Rt△AOE中，∵OE=3，OA=4，∴根据勾股定理得，∵AE=BE，∴，在Rt△AOB中，即菱形的边长为，∵点F为的中点，点O为DB中点，∴．故答案为【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、中位线的判定与性质；熟练掌握菱形性质，并能结合勾股定理、中位线的相关知识点灵活运用是解题的关键．14.如图，在中，为边上一动点，于于为中点，则的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】连接，由在中，，于，于，可证得四边形是矩形，即可得，即，然后由当时，可求得最小值，即可得出的最小值.【详解】解：如图：当与不重合时，连接，，，，又，四边形是矩形，，，为中点，，在中，，，，，当时，值最小，此时，解得，的最小值为，的最小值是，当与点重合时，最大，此时．故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质的运用、勾股定理的运用、三角形的面积公式、垂线段最短的性质的运用等知识点，根据题意求出AP的最小值是解答本题的关键．三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.计算：．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，二次根式性质，先根据二次分式性质进行化简，根据二次根式乘法和除法进行计算，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可．【详解】解：．16.如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，A，B，C为格点．（1）判断的形状，并说明理由；（2）求边上的高．【答案】（1）直角三角形；见解析（2）2【解析】【分析】（1）由题意可得，再根据勾股定理的逆定理求出即可；（2）求出的三边的长度，再根据三角形的面积公式求出即可．【小问1详解】解：（1）由勾股定理，得，，，∴，∴是直角三角形．【小问2详解】（2）∵，，，∴在中，，，．设的边BC上的高为h，∴，，∴h＝2，即中BC边上的高是2．【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能得出是直角三角形是解此题的关键．17.如图，，是的对角线上两点，且，求证：．【答案】见解析【解析】【分析】由平行四边形的性质证，得，则，再由平行线的判定即可得出结论．【详解】证明：四边形是平行四边形，，，，在和中，，，，，．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质以及平行线的性质与判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．18.观察下列等式：①；②；③．解决下列问题：（1）根据上面3个等式的规律，写出第⑤个式子；（2）用含（为正整数）的等式表示上面各个等式的规律；（3）利用上述结果计算：．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用题中等式的规律即可得到；（2）根据题目中式子的特点，找到规律得出第n个等式；（3）利用（2）的结论得出，再裂项计算即可；【小问1详解】解：∵①；②；③；∴第⑤个式子是：；【小问2详解】第n个等式；【小问3详解】原式．【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算的应用，根据题意正确总结规律是解题的关键．19.如图，在四边形中，．（1）求的度数；（2）求四边形的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）连接AC，由于，利用勾股定理可求，并可求，而，可得，可证是直角三角形，于是有，从而求得；（2）根据四边形的面积为和面积之和，利用三角形面积公式计算即可得答案．【小问1详解】连接AC，如图，∵，∴，∵，∴，∴，∴是直角三角形，∴，∴．【小问2详解】在中，，在中，．∴．【点睛】此题考查等腰三角形的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理．解题的关键是连接AC，并证明△ACD是直角三角形．20.（1）问题背景：请认真阅读下列这道例题的解法．例：已知，求的值．解：由，得，，______；（2）尝试应用：若，为实数，且，化简：；（3）拓展创新：已知，求的值．【答案】（1）；（2）0；（3）【解析】【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，完全平方公式，绝对值的意义，熟练掌握二次根式有意义的条件，完全平方公式是解题的关键．（1）根据二次根式有意义的条件可求出x的值，从而得到y的值，即可求解；（2）根据二次根式有意义的条件可求出x的值，从而得到y的值，即可求解；（3）根据二次根式有意义的条件可求出，从而得到，再根据完全平方公式的变形，即可求解．【详解】解：（1）由，得：，∴，∴；故答案为：；（2）由题意得：，解得：，∴，∴；（3）由题意得：，解得：，∴，∴，∵，∴．21.如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）根据矩形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），进而得出结论；（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长.【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD，∴∠OBE=∠ODF，在△BOE和△DOF中，∴△BOE≌△DOF（ASA），∴EO=FO，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF，设BE=x，则

DE=x，AE=6-x，在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2，∴x2=42+（6-x）2，解得：x=，∵BD==2，∴OB=BD=，∵BD⊥EF，∴EO==，∴EF=2EO=．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键22.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，，AD=24cm，AB=8cm,BC=26cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动.P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动.（1）当运动时间为t秒时，用含t的代数式表示以下线段的长：AP=________,BQ=__________；（2）当运动时间为多少秒时，四边形PQCD为平行四边形？（3）当运动时间为多少秒时，四边形ABQP为矩形？【答案】（1）t，26-3t；（2）运动时间为6秒时，四边形PQCD为平行四边形．（3）运动时间为秒时，四边形ABQP为矩形．【解析】【分析】（