北京市朝阳区高三第一次（3月）综合练习（一模）数学理试题

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学(理)

2019.3

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试

卷上作答

无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(,选择题共40分)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个

选项中，选出符合题目要求的一项.

1.已知集合4={*|%>1),集合8={划合〈4},则4nB=

A.{x\x>-2}B.{x\\<x<2}C.{.r|l<x<2}D.R

2.在复平面内，复数z=9对应的点位于

i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限，D.第四

象限

3.(!一幻4的展开式中的常数项为

X

A.-12B.-6C.6D.12

4.若函数/(x)='2'*Xr<]I'则函数八])的值域是

-log2x,x>l,

A.(-oo,2)B.(-oo,2JC.[0,-HXJ).D.y,0)"0,2)

5.如图，函数/(.r)的图象是由正弦曲线或余弦曲线经过变换得到的，则/(用的解

析式可以是

JT

A./(x)=sin(2x+-)

B./(x)=sin(4x+—)

6

C./(x)=cos(2x--j)

D.fix)-cos(4x+—)

”0,

6.记不等式组卜Kx+3,所表示的平面区域为O.“点（fl）w。”是“AWT”的

y<kx

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1）,则该三棱锥的

体积为

A.4

B.2

8.某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数

分别是14,10,8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20,则这三天

都开车上班的职工人数至多是

A.5B.6C.7D.8

第二部分（非选择题共no分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.

9.双曲线£-丁=1的右焦点到其一条渐近线的距离是___.

4

10.执行如图所示的程序框图，则输出的x值为.

11.在极坐标系中，直线/COS0=1与圆夕=4cos8相交于两点，则

12.能说明“函数/（幻的图象在区间［。，2］上是一条连续不断的曲线.若

/（0）-/（2）>0,则/*）在（0,2）内无零点”为假命题的一个函数是.

13.天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所.天坛公园中的圜丘台

共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外

围以扇面形石（如图2所示）.上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第

十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的

扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，.则第二十

七环的扇面形石块数是_____;上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是.

14.在平面内，点A是定点，动点8,C满足|人8|=|AC|=【，4氏AC=O,则舆合

｛以4夕=/148+月。,叱/1工2｝所表示的区域的面积是.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明

过程.

15.（本小题满分13分）

在△43C中，a=y/2],乙4=120。，△A8C的面积等于6，且〃CC.

（I）求〃的值；

（II）求cos2/3的值.

16.（本小题满分13分）

某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两地铁端各随机抽取了V）名乘客，统计

其乘车等待时间（,指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分

钟）.将统计数据按[5,10）,[10,15）,[15,20）,…,[35,40]分组,制成频率分布直方图：

假设乘客乘车等待时间相互独立.

（I）在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取1人，记为A;从乙站的

乘客中随机抽取1人，记为B.用频率估计概率，求“乘客A,B乘车等待时间都小

于20分钟”的概率；

（II）从上班高峰时段，从乙站乘车的乘客中随机抽取3人，X表示乘车等待

时间小于2（）分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量X的分布列与数学期望.

17.（本小题满分14分）

如图，在多面体A8CDE/中，平面4）所_1_平面45CD.四边形4）F为正方形,

四边形ABCZ）为梯形，且AD//8C,ZfiAZ）=90°,AB=AD=\,BC=3.

（I）求证：AF±CD;

（ID求直线Ab与平面CD£所成角的正弦值；

（III）线段瓦）上是否存在点M,使得直线CE〃平面"M?若存在，求也的值;

BD

若不存在，请说明理由.

18.（本小题满分13分）

已知函数/。）=蚂也（"R且"0）.

x

（I）当。=1时，求曲线y=/（x）在点（1J⑴）处的切线方程；

（II）当4=-1时，求证：f（X）＞X+1；

（III）讨论函数/（幻的极值.

19.（本小题满分14分）

已知点M（%），%）为椭圆C：5+）3=1上任意一点，直线/:=2与圆

（X-1尸+J，=6交于A8两点，点尸为椭.圆。的左焦点.

（I）求椭圆。的离心率.及左焦点尸的坐标；

（II）求证：直线/与椭圆。相切；

（III）判断ZA用是否为定值，并说明理由.

20.（本小题满分13分）

在无穷数列｛%｝中，4，生是给定的正整数，a“+2=L-a〃|，”eN”.

（I）若4=3吗=1，写出佝Mio,4oo的值;

（II）证明:数列｛/｝中存在值为0的项；

（III）证明：若〃”的互质，则数列｛/｝中必有无穷多项为1.

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学（，理）答案

2019.3

一、选择题：（本题满分40分）

题号12345678

答案BDCAACDB

二、填空题：（本题满分30分）

题号91011121314

17

答案126y=（x-l）2（答案不唯一）24334023兀

12

三、解答题：（本题满分80分）

15.（本小题满分13分）

S=—besin

解:（1）由已知得，2

(后)2=/+-2becos120。.

bc=4,

整理得

Z?2+C2=17.

⑸或b=4,

解得

c=4fc=l.

因为〃<c,所以〃=1.8

分

b

(II)由正弦定理,二——,

sinAsinB

G

即sinB=-2=-

而14

213

所以cos28=l—2sin"=l—13.分

16.（本小题满分13分）

解：（I）设M表示事件“乘客A乘车等待时间小于20分钟”，N表示事

件“乘客B乘车等待时间小于20分钟”，C表示事件“乘客A.B乘车等待时间都

小于20分钟”.

由题意知，乘客A乘车等待时间小于20分钟的频率为

(0.012+0.040+0.048)x5=0.5,故P(M)的估计值为0.5.

乘客B乘车等待时间小于20分钟的频率为

(0.016+0.028+0.036)x5=0.4,故P(N)的估计值为0.4.

I?I

又p(C)=P(MN)=P(M),P(N)=-x-=-

255

故事件。的概率为

6分

5

（11）由（I）可知，乙时乘客乘车等待时间小于20分钟的频率为0.4,

7

所以乙站乘客乘车等待时间小于20分钟的概率为J

5

2

显然，X的可能取值为0,1,2,3旦X〜8(3,7.

所以P(X=0"(|)3唱；P(X=1)=C；|/喂;

P(X=2)=C；(1)2；=常；尸(X=3)=C；《)3=A.

551255125

故随机变量X的分布列为

X0123

2754368

P

125125125125

EX=3X-=-............................13分

55

17.(本小题满分14分)

解：(I)证明：因为AQE户为正方形，

所以

又因为平面ADEF_L平面ABC。，

且平面AOEF、平面458=A。，

所以A/_L平面ABCO.

所以4尸_18.............................4分

(II)由(I)可知，A/_L平面ABC。，所以_LAT>,AF±AB.

因为N8AD=90。，所以/两两垂直.

分别以ARAQAF为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(如图).

因为回=4)=1,BC=3,

所以A(0,0,0),B(l,0,0),C(l,3,0),0(0,1,0),E(0,1,1),尸(0,0,1),

所以加=(-1,0,1),而=。,2,0),DE=(0,0,1).

设平面CDE的一个法向量为〃=(乂y,z),

则卜呼。，x+2y=0,

n-DE=0.z=0.

令工=2,则y=T,

所以〃=(2,-1,0).

设直线BF与平面CDE所成角为夕,

则sin6=|cos〈〃,BF)|=..............9分

V5x\/25

(III)设处=X(AG(0,1]),

设Af(X，X，zJ,则(西一l，x，Z|)=4(-1,1,0),

所以玉=1—Zy=0,所以M(l-%4()),

所以AM=(I—Z%0).

设平面AFM的一个法I可量为m=(x0,加z0),则《

m-AF=0.

因为Ak=(0,0,1),所以卜1一，/+二=°'

4=0.

令%=4,则%=7-1,所以〃z=(4丸一1,0).

在线段用)上存在点M,使得CE//平面等价于存在2e[0.1],使得

mCE=0.

因为C启=(一1,一2,1),由/72・CE=O,

所以—A—2(4—1)=0,

解得九二耳£仁」],

所以线段上存在点M，使得CE〃平面AFM，且也=2.........................14

BD3

分

18.(本小题满分13分)

解：(I)当。=1时，/(冷=胆..所以广。)=二^.

xX”

因为/'⑴=1"⑴=0，

所以曲线)，=/(x)在(1,/⑴)处的切线方程为》=l-1............................3

分

(II)当。=一1时，/(外二蚂;».

x

函数/(%)的定义域为(-00,0).

不等式/(x)>A4-1成立<=>3")>x+l成立<=>ln(-x)-x?-x<0成立.

X

设g(x)=In(-x)-x2-x(XG(-00,0)),

贝IJg\X)=L-2X-\=-2/7+1=(-2一+1)('+1)

XXX

当工变化时，g'(x)，g(x)变化情况如下表：

Xy,一D-i(-1,0)

—

g'(x)+0

g(x)/极大值

所以g(x)«g(-l).

因为g(T)=0，所以冢此《0，

所以］^Nx+1.........................................................8分

x

(III)求导得求(x)J7中㈤..令人x)=0,因为。工0可得x=2.

xa

当4>()时，/(X)的定义域为(0,+oo).当X变化时，f\x),/(X)变化情况如下表:

e

X(0,-)(2,+co)

aaa

—

/"3)+0

fM/极大值

此时/(X)有极大值f(马二色,无极小值.

ae

此时/(x)有极小值/(-)=无极大

ae

值.......................................13分

19.（本小题满分14分）

解：（I）由题意a=&,b=l,c=\]a2-b2=1

所以禺心率e=£=,左焦点

a2

F（-l,O）......................................4分

（ID当），u-（）时直线/方程为*=&或x0，直线/与椭圆C相切.

?2=

当％。0时，由，万+.一'得（2年+淄f-4y+4-4人=0,

lv+2%y=2

由题知，1-+y2=1,即若+2此=2,

所以△=（4%）2-4（2呼+4）（4-44）

=16国+2第-2）=0.

故直线/与椭圆C相

切................................................8分

（III）设A（K，y）,R（x2,y2）,

当先=（）时，X]=x2,y=-y2,%=±41,

22

E4•f8=（K+1尸一），：=（X1+1）-6+（X1-l）=2<-4=0,

所以即乙4F3=90.

当先w（）时，由：；O导。2—+2叫於。,

2（24+%）_2-10^

则x}+x2=

1+'।2-西

I，、，_M1丫与+r-1-一5年一4%+4

>1>212一:T7（内+X）+---「,---

4%2稣22+2%

因为E4•尸8=。+[3）（上+1,%）

-5（焉+2寸）+1（10

2+2寸_.

所以E4JLFB,即尸8=90.

故ZAFB为定值

90.....................................................14分

20.(本小题满分13分)

解：⑴％=。，。|0二1，。100=1..........................................