2025年高考备考高中数学个性化分层教辅尖子生篇《直线与方程》

第1页（共1页）2025年高考备考高中数学个性化分层教辅尖子生篇《直线与方程》一．选择题（共10小题）1．（2024春•鼓楼区校级期末）已知a→，b→是不共线的向量，且AB→=a→+b→，AC→=mA．12 B．32 C．522．（2024春•滁州期末）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E为棱BB1的中点，空间中一点P满足D1P→A．2+2 B．2+5 C．33．（2023秋•河南期末）下列说法正确的是（）A．“直线ax﹣y+3＝0与直线x﹣ay＝0互相平行”是“a＝﹣1”的充分不必要条件 B．直线2cosαx﹣2y+3＝0的倾斜角θ的取值范围是[0，πC．过点（1，2）的直线分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，若S△OAB取最小值时，直线的方程为y＝﹣2x+4 D．已知A（﹣1，2），B（3，2），若直线l：kx+y﹣k+1＝0与线段AB有公共点，则k∈[−4．（2023秋•屏山县期末）设a∈R，则“a＝1”是“直线（a+1）x+ay+3＝0与直线2ax+y﹣5＝0平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．（2024•吉林模拟）过点（0，0）与圆x2+y2﹣4x﹣2y+4＝0相切的两条直线夹角为α，则cosα＝（）A．35 B．45 C．556．（2024•咸安区校级模拟）已知在等腰直角三角形ABC中，CA＝CB＝4，点M在以C为圆心、2为半径的圆上，则|MB|+1A．35−22 B．17 C．1+257．（2024春•东坡区期末）已知直线l1：ax+y﹣3＝0和直线l2：3x﹣2y+3＝0垂直，则a＝（）A．−32 B．32 C．−8．（2024春•西城区期末）如图，已知正六棱锥P﹣ABCDEF的侧棱长为6，底面边长为3，Q是底面上一个动点，PQ≤42，则点QA．4π B．5π C．6π D．7π9．（2024春•五华区校级月考）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P在侧面CC1D1D（含边界）上运动，Q在底面ABCD（含边界）上运动，则下列说法不正确的是（）A．若直线AC与直线AP所成角为30°，则P点的轨迹为椭圆的一部分 B．若过点Q作体对角线A1C的垂线，垂足为H，满足|QA|＝|QH|，则点Q的轨迹为双曲线的一部分 C．若点P到直线B1C1的距离与点P到平面ABCD的距离相等，则点P的轨迹为抛物线的一部分 D．若点P满足∠PAD＝∠PAC1，则点P的轨迹为线段10．（2024春•顺义区校级月考）若直线l过两点（0，0）和(1，−3)，则直线A．π3 B．23π C．5二．多选题（共5小题）（多选）11．（2023秋•薛城区期末）记y=14x2的图象为Ω，如图，一光线从x轴上方沿直线x＝1射入，经过Ω上点M（x1，y1）反射后，再经过Ω上点N（x2，y2）反射后经过点P，直线MO交直线A．x1x2＝﹣4 B．|MN|=23C．以MN为直径的圆与直线y＝﹣1相切 D．P，N，Q三点共线（多选）12．（2024春•南关区校级期末）如图，正三棱锥A﹣BCD和正三棱锥E﹣BCD的侧棱长均为2，BD＝2．若将正三A﹣BCD绕BD旋转，使得点A，C分别旋转至点M，N处，且M，B，D，E四点共面点M，E分别位于BD两侧，则（）A．MN⊥BD B．MN⊥CE C．MC的长度为6 D．点C与点A旋转运动的轨迹长度之比为3（多选）13．（2024•香河县校级模拟）已知直线l经过点（2，3），且点A（﹣3，2），B（5，﹣4）到直线l的距离相等，则直线l的方程可能为（）A．4x﹣y﹣5＝0 B．4x+y﹣11＝0 C．3x+4y﹣18＝0 D．3x﹣4y+6＝0（多选）14．（2024春•青秀区校级期末）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为底面ABCD内（含边界）一点．（）A．若A2P=3，则满足条件的B．若A1P=2，则点C．若A1P∥平面B1D1C，则A1P长的最小值为2 D．若A1P=2且A1P∥平面B1D1C，则平面A1PC1截正方体外接球所得截面的面积为（多选）15．（2024春•南充期末）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，|AB|＝2，M是CC1的中点，则下列说法中正确的有（）A．异面直线MB与AA1所成角的余弦值为55B．A1C⊥平面MBD C．过A，B，M三点作正方体ABCD﹣A1B1C1D1的截面，则截面面积为25D．若P为正方体对角线BD1上的一个动点，则|PD|+|PM|最小值为5+三．填空题（共5小题）16．（2023秋•新洲区期末）已知直线l1：x+ay﹣a＝0，l2：ax﹣（2a﹣3）y﹣1＝0互相垂直，则a的值为．17．（2024•天河区校级模拟）直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，直线l1不与直线l2垂直，且直线l1和直线l2夹角的角平分线的斜率为k1+k22，则18．（2024春•青秀区校级期末）已知直线l：2mx+（m+n）y+2n＝0，点A（﹣1，2），B（3，3），点A在直线l上的射影为H，则线段BH长度的取值范围为．19．（2024春•顺义区期末）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的边长为2，且M为棱AA1的中点，点P在正方形ABCD的边界及其内部运动，且满足MP与底面ABCD所成的角为π4①存在点P使得MP⊥BD1；②点P的轨迹长度为π2③三棱锥P﹣A1BD1的体积的最小值为23④线段|PC1|长度最小值为342其中所有正确结论的序号是．20．（2024春•印台区校级期末）如图，在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别为棱AB，AA1上的点，且AM＝AN＝1，点P是正方体ABCD﹣A1B1C1D1表面上的一点，若C1P∥平面CD1NM，则点P的轨迹长度为．四．解答题（共5小题）21．（2024春•卓尼县校级期末）已知O为坐标原点，A（4，0），B（1，m），C（0，3）．（1）若A，B，C三点共线，求实数m的值；（2）若点M满足OM→=xOA22．（2024春•浦东新区校级期末）已知直线l：kx﹣y+1+2k＝0，k∈R（1）直线过定点P，求点P坐标；（2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设三角形OAB的面积为4，求出直线l方程．23．（2024春•西青区校级期末）已知直线l：kx﹣y+1+2k＝0．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S，试求S的最小值并求出此时直线l的方程．24．（2024春•甘肃期末）定义：如果在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），那么称d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为A，B两点间的曼哈顿距离．（1）已知A，B两个点的坐标为A（x，2），B（1，x），如果它们之间的曼哈顿距离不大于5，那么x的取值范围是多少？（2）已知A，B两个点的坐标为A（a，x），B（x，﹣3），如果它们之间的曼哈顿距离恒大于3，那么a的取值范围是多少？（3）若点A（x，y）在函数y＝2x图象上且x∈Z，点B的坐标为（1，16），求d（A，B）的最小值并说明理由．25．（2024春•仁寿县期末）在△ABC中，已知A（3，﹣1），∠B的内角平分线BD所在的直线方程是x﹣3y+6＝0，AB边上的中线CE所在的直线方程是x+y﹣8＝0求：（1）点B的坐标；（2）BC边所在直线的方程．

2025年高考备考高中数学个性化分层教辅尖子生篇《直线与方程》参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2024春•鼓楼区校级期末）已知a→，b→是不共线的向量，且AB→=a→+b→，AC→=mA．12 B．32 C．52【考点】三点共线．【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．【答案】C【分析】运用向量的减法运算得BC→，B，C，D三点共线，即BC→∥【解答】解：因为BC→=AC→−AB→即BC→又CD→=3a→+2故选：C．【点评】本题考查平面向量坐标运算法则、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（2024春•滁州期末）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E为棱BB1的中点，空间中一点P满足D1P→A．2+2 B．2+5 C．3【考点】与直线有关的动点轨迹方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑推理；数学运算．【答案】D【分析】取A1A，C1C的中点为F、G，连接FD1、D1G，BG，BF，EG，可证P的轨迹截正方体表面所得图形为平行四边形BGD1F故可求截面的周长．【解答】解：空间中一点P满足D1P→=xA1C1→如图，取A1A，C1C的中点为F、G，连接FD1，D1G，BG，BF，EG，因为A1D1∥B1C1∥EG，A1D1＝B1C1＝EG，所以四边形A1D1GE为平行四边形，则A1E∥D1G，A1E＝D1G，在正方形A1B1BA中，因为F、E分别为所在棱的中点，故BE∥FA1，BE＝FA1，故四边形A1FBE为平行四边形，故FB∥A1E，FB＝A1E，所以四边形BGD1F为平行四边形，同理可证得：C1EBG为平行四边形，故C1E∥BG，因为FB∥A1E，FB⊄平面A1C1E，A1E⊂平面A1C1E，所以FB∥平面A1C1E，因为C1E∥BG，BG⊄平面A1C1E，C1E⊂平面A1C1E，所以BG∥平面A1C1E，又因为BG∩BF＝B，所以，平面BGD1F∥平面A1C1E，当D1P⊂平面BGD1F时，则D1P∥平面A1C1E，所以点P的轨迹截正方体表面所得图形即为平行四边形BGD1F，由勾股定理计算可得BF=BG=(故截面的周长为4×5故选：D．【点评】本题主要考查空间向量的应用，截面周长的求法，空间位置关系的判断，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．3．（2023秋•河南期末）下列说法正确的是（）A．“直线ax﹣y+3＝0与直线x﹣ay＝0互相平行”是“a＝﹣1”的充分不必要条件 B．直线2cosαx﹣2y+3＝0的倾斜角θ的取值范围是[0，πC．过点（1，2）的直线分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，若S△OAB取最小值时，直线的方程为y＝﹣2x+4 D．已知A（﹣1，2），B（3，2），若直线l：kx+y﹣k+1＝0与线段AB有公共点，则k∈[−【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；充分条件与必要条件；直线的截距式方程．【专题】转化思想；转化法；直线与圆；数学运算．【答案】C【分析】对于A，结合直线平行的性质，即可求解；对于B，结合直线与倾斜角的关系，即可求解；对于C，结合基本不等式的公式，即可求解；对于D，结合直线的斜率公式，即可求解．【解答】解：直线ax﹣y+3＝0与直线x﹣ay＝0互相平行，则a=1所以“直线ax﹣y+3＝0与直线x﹣ay＝0互相平行”是“a＝﹣1”的必要不充分条件，故A错误；由直线2cosαx﹣2y+3＝0，得y=cosα⋅x+3所以斜率k＝cosα∈[﹣1，1]，设倾斜角为θ，则tanθ∈[﹣1，1]，又θ∈[0，π），所以θ∈[0，π4]∪[设直线y﹣2＝k（x﹣1），则A(1−2所以S△OAB=1所以此时直线的方程为y＝﹣2x+4，故C正确；若直线l：kx+y﹣k+1＝0，得：l：（x﹣1）k+y+1＝0，所以直线恒过定点C（1，﹣1），因为kAC直线l：kx+y﹣k+1＝0与线段AB有公共点，则k∈(−∞，−32]∪[故选：C．【点评】本题主要考查直线的性质，考查转化能力，属于中档题．4．（2023秋•屏山县期末）设a∈R，则“a＝1”是“直线（a+1）x+ay+3＝0与直线2ax+y﹣5＝0平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；充分条件与必要条件．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；简易逻辑；逻辑推理；数学运算．【答案】A【分析】直接利用直线平行的充要条件求出结果．【解答】解：直线（a+1）x+ay+3＝0与直线2ax+y﹣5＝0平行的充要条件为（a+1）﹣2a2＝0，整理得2a2﹣a﹣1＝0，解得a＝1或−1故当a＝1或−1故“a＝1”是“直线（a+1）x+ay+3＝0与直线2ax+y﹣5＝0平行”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：直线平行的充要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．5．（2024•吉林模拟）过点（0，0）与圆x2+y2﹣4x﹣2y+4＝0相切的两条直线夹角为α，则cosα＝（）A．35 B．45 C．55【考点】两直线的夹角与到角问题；圆的切线方程；直线与圆的位置关系．【专题】对应思想；综合法；直线与圆；数学运算．【答案】A【分析】先求圆心和半径，然后设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出切线方程，再根据两直线的夹角公式即可求出．【解答】解：如图，x2+y2﹣4x﹣2y+4＝0化为标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1，圆心为（2，1），半径为1，过点（0，0）与圆x2+y2﹣4x﹣2y+4＝0相切的两条直线夹角为α，设切线为y＝kx，则圆心（2，1）到切线y＝kx的距离d=|2k−1|k2+1=1故切线为y=43x或y所以tanα=43，且易知解得cosα=3故选：A．【点评】本题考查直线与圆的位置关系及直线的斜率问题，属于中档题．6．（2024•咸安区校级模拟）已知在等腰直角三角形ABC中，CA＝CB＝4，点M在以C为圆心、2为半径的圆上，则|MB|+1A．35−22 B．17 C．1+25【考点】两点间的距离公式．【专题】转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．【答案】B【分析】利用△MCE∽△ACM，得出ME=12MA，将MB+12MA转化为【解答】解：如图所示，设圆C与CA相交于点P，取CP的中点为E，连接ME，则CECM又∠MCE＝∠ACM，∴△MCE∽△ACM，∴MEMA=CECM=则MB+12MA＝MB+ME≥BE，即B、M、E三点共线时MB+又BE=4故选：B．【点评】本题考查圆的有关性质，以及距离和最小问题，属于中档题．7．（2024春•东坡区期末）已知直线l1：ax+y﹣3＝0和直线l2：3x﹣2y+3＝0垂直，则a＝（）A．−32 B．32 C．−【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；逻辑推理；数学运算．【答案】D【分析】直接利用直线垂直的充要条件求出结果．【解答】解：由于直线l1：ax+y﹣3＝0和直线l2：3x﹣2y+3＝0垂直，故3a﹣2＝0，解得a=2故选：D．【点评】本题考查的知识要点：直线垂直的充要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．8．（2024春•西城区期末）如图，已知正六棱锥P﹣ABCDEF的侧棱长为6，底面边长为3，Q是底面上一个动点，PQ≤42，则点QA．4π B．5π C．6π D．7π【考点】与直线有关的动点轨迹方程．【专题】计算题；转化思想；分析法；立体几何；数学抽象；直观想象．【答案】B【分析】根据正六棱锥的结构特征可得PO=33，进而可得OQ≤5，分析可知点Q所形成区域为以O为圆心，半径为【解答】解：因为P﹣ABCDEF为正六棱锥，则顶点P在底面的投影为底面中心O，如图，又因为底面边长为3，则OC＝3，可得PO=P且PQ≤42，则OQ=可知点Q所形成区域为以O为圆心，半径为5的圆面，其面积为π(5故选：B．【点评】本题考查立体几何中的动点轨迹问题，属于中档题．9．（2024春•五华区校级月考）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P在侧面CC1D1D（含边界）上运动，Q在底面ABCD（含边界）上运动，则下列说法不正确的是（）A．若直线AC与直线AP所成角为30°，则P点的轨迹为椭圆的一部分 B．若过点Q作体对角线A1C的垂线，垂足为H，满足|QA|＝|QH|，则点Q的轨迹为双曲线的一部分 C．若点P到直线B1C1的距离与点P到平面ABCD的距离相等，则点P的轨迹为抛物线的一部分 D．若点P满足∠PAD＝∠PAC1，则点P的轨迹为线段【考点】与直线有关的动点轨迹方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；空间位置关系与距离；直观想象；数学运算．【答案】B【分析】以A为坐标原点建立空间直角坐标系，设P（1，m，n），得到AC→，AP→的坐标，通过直线AC与直线AP所成角为30°，得到m、n的方程，即可判断设Q（a，b，0），由|QA|＝|QH|，通过向量运算可得a+b=±3−1，即可判断设点P到平面ABCD的距离为n，又点P到直线B1C1的距离为(1−m)2+(1−n)2，两者相等，可得（m﹣1）2＝2由∠PAD＝∠PAC1，即cos∠PAD＝cos∠PAC1，通过向量运算可得m+n=3−1，即可判断【解答】解：棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以A为坐标原点，AD所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），C（1，1，0），D（1，0，0），A1（0，0，1），C1（1，1，1），P在侧面CC1D1D（含边界）上运动，假设P（1，m，n），则AC→=（1，1，0），AP→=(1，m，n)，m所以cos30°=AC即(m−2)23+n2=1，mQ在底面ABCD（含边界）上运动，设Q（a，b，0），A1Q→=(a，b，−1)，|A1H→|为向量A可得|QH|=|由|QA|＝|QH|得，a+b=±3−1，故由条件得，点P到直线B1C1的距离为(1−m)2设点P到平面ABCD的距离为n，由(1−m)2+(1−n)2=n，化简得（m﹣1）2AC1→=（1，1，1），cos∠PAC1=AC1→⋅AP化简得m+n=3−1，故故选：B．【点评】本题考查空间几何体的结构特征的应用，动点的轨迹方程的判断，是中档题．10．（2024春•顺义区校级月考）若直线l过两点（0，0）和(1，−3)，则直线A．π3 B．23π C．5【考点】直线的倾斜角．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；逻辑推理；数学运算．【答案】B【分析】不与x轴垂直的直线斜率k与倾斜角θ的关系k＝tanθ，根据正切值求θ即可．【解答】解：该直线不与x轴垂直，设倾斜角为θ，斜率k=tanθ=−3，θ=故选：B．【点评】本题考查的知识点：直线的倾斜角和斜率，主要考查学生的运算能力，属于中档题．二．多选题（共5小题）（多选）11．（2023秋•薛城区期末）记y=14x2的图象为Ω，如图，一光线从x轴上方沿直线x＝1射入，经过Ω上点M（x1，y1）反射后，再经过Ω上点N（x2，y2）反射后经过点P，直线MO交直线A．x1x2＝﹣4 B．|MN|=23C．以MN为直径的圆与直线y＝﹣1相切 D．P，N，Q三点共线【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【答案】ACD【分析】由M，F坐标可得MN直线方程，联立抛物线方程，由韦达定理可得A；由焦点弦长公式可得|MN|，得选项B；由MN中点到直线y＝﹣1的距离等于|MN|的一半可得选项C；联立直线可得Q坐标，由光学性质可得D．【解答】解：利用抛物线的光学性质，平行于对称轴的光线，经过抛物线的反射后集中于它的焦点；从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴．因为M(1，14)所以直线MN：y=1−由y=−34x+1，y=14x2选项A，x1+x2＝﹣3，x1x2＝﹣4，y1y2选项B，又因为y1=14，故y故|MN|=y1+选项C，由y1+yMN的中点到准线的距离为|17即等于|MN|的一半，即以MN为直径的圆与直线y＝﹣1相切，故C正确；选项D，直线OM的方程y=14x，与y从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴．由点P在直线x＝﹣4上，则三点都在直线x＝﹣4上，故D正确．故选：ACD．【点评】本题考查抛物线方程的应用，属于中档题．（多选）12．（2024春•南关区校级期末）如图，正三棱锥A﹣BCD和正三棱锥E﹣BCD的侧棱长均为2，BD＝2．若将正三A﹣BCD绕BD旋转，使得点A，C分别旋转至点M，N处，且M，B，D，E四点共面点M，E分别位于BD两侧，则（）A．MN⊥BD B．MN⊥CE C．MC的长度为6 D．点C与点A旋转运动的轨迹长度之比为3【考点】与直线有关的动点轨迹方程．【专题】转化思想；转化法；立体几何；数学运算．【答案】ACD【分析】对于A，先作出图形，取BD中点P，证明BD⊥平面ACP，即可得到BD⊥MN；对于B，分别证明CE⊥平面BDE，MN⊥平面MBD，可推得MN∥CE，接除B，对于C，先求得cos∠MPO=−33，再由余弦定理即可求得MC，对于【解答】解：如图，取BD中点P，连接AP，CP，依题意，AB＝AD，CB＝CD，则有BD⊥AP，BD⊥CP，因为AP∩CP＝P，AP，CP⊂平面ACP，则BD⊥平面ACP，对于A，因为将正三棱锥A﹣BCD绕BD旋转，使得点A，C分别旋转至点M，N处，故MN⊂平面ACP，因为BD⊥平面ACP，故BD⊥MN，即A正确；对于B，因为BC＝CD＝BD＝2，EB=ED=EC=2则由ED2+EC2＝CD2可知，CE⊥DE，同理CE⊥BE，因为DE∩BE＝E，DE，BEC⊂平面BDE，故CE⊥平面BDE，同理可证AC⊥平面ABD，依题意，因为M，B，D，E四点共面，故MN⊥平面MBD，故MN∥CE，故B错误；对于C，设连接AE，交CP于点O，则EO⊥PO，OP=1EP=1则cos∠EPO=3依题意，M，P，E三点共线，可得cos∠MPO=−3在△MPC中，由余弦定理，MC=P=12+(对于D，因为点C与点A是同时旋转，故转动的轨迹长度之比即旋转的半径之比，而点C转动的半径为PC=32×2=3，点故点C与点A旋转运动的轨迹长度之比为3，故D正确．故选：ACD．【点评】本题主要考查余几何体旋转有关的线面关系问题，属于难题．（多选）13．（2024•香河县校级模拟）已知直线l经过点（2，3），且点A（﹣3，2），B（5，﹣4）到直线l的距离相等，则直线l的方程可能为（）A．4x﹣y﹣5＝0 B．4x+y﹣11＝0 C．3x+4y﹣18＝0 D．3x﹣4y+6＝0【考点】点到直线的距离公式．【专题】方程思想；综合法；直线与圆；数学运算．【答案】AC【分析】分别讨论直线l的斜率不存在和存在，结合点到直线的距离公式，解方程可得所求方程．【解答】解：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，A到直线l的距离为5，B到直线l的距离为3，显然不满足题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣3＝k（x﹣2），即kx﹣y+3﹣2k＝0，由已知得|−3k−2+3−2k|k所以k＝4或k=−3所以直线l的方程为4x﹣y﹣5＝0或3x+4y﹣18＝0．故选：AC．【点评】本题考查直线方程，以及点到直线的距离公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．（多选）14．（2024春•青秀区校级期末）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为底面ABCD内（含边界）一点．（）A．若A2P=3，则满足条件的B．若A1P=2，则点C．若A1P∥平面B1D1C，则A1P长的最小值为2 D．若A1P=2且A1P∥平面B1D1C，则平面A1PC1截正方体外接球所得截面的面积为【考点】与直线有关的动点轨迹方程．【专题】数形结合；定义法；立体几何；逻辑推理．【答案】ABD【分析】选项A，B可利用球的截面小圆的半径来判断；由平面ABD∥平面B1D1C1知满足A1P∥平面B1D1C的点P在BD上，A1P长的最大值为2；结合以上条件点P与B或D重合，利用2r=A1P【解答】解：对A选项，如下图：由A1P=3，知点P在以A1又因为P在底面ABCD内（含边界），底面截球可得一个小圆，由A1A⊥底面ABCD，知点P的轨迹是在底面上以A为圆心的小圆圆弧，半径为r=A1P2−对B选项，同理可得点P在以A为圆心，半径为r=A1P2−A1A2对C选项，移动点P可得两相交的动直线与平面B1D1C平行，则点P必在过A1且与平面B1D1C平行的平面内，由平面A1BD∥平面B1D1C，知满足A1P∥平面B1D1C的点P在BD上，则A1P长的最大值为A1B=2对选项D，由以上推理可知，点P既在以A为圆心，半径为1的小圆圆弧上，又在线段BD上，即与B或D重合，不妨取点B，则平面A1PC1截正方体外接球所得截面为ΔA1BC1的外接圆，利用2r=A所以r=63，所以S=πr故选：ABD．【点评】本题考查动点轨迹方程与立体几何结合，属于中档题．（多选）15．（2024春•南充期末）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，|AB|＝2，M是CC1的中点，则下列说法中正确的有（）A．异面直线MB与AA1所成角的余弦值为55B．A1C⊥平面MBD C．过A，B，M三点作正方体ABCD﹣A1B1C1D1的截面，则截面面积为25D．若P为正方体对角线BD1上的一个动点，则|PD|+|PM|最小值为5+【考点】与直线有关的动点轨迹方程；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直．【专题】转化思想；数形结合法；立体几何；逻辑推理；数学运算．【答案】ACD【分析】利用异面直线所成角的定义可判断A选项；利用线面平行的判定定理和线面垂直的性质可判断B选项；作出截面，并计算出截面面积，可判断C选项；将△BD1M、△BDD1延展至同一个平面，由D、P、M三点共线时，|PD|+|PM|取最小值可判断D选项．【解答】解：如图所示：对于A，因为AA1∥CC1，则异面直线MB与AA1所成角为∠BMC或其补角，因为BC⊥CM，且|BC|＝2，|CM|＝1，则|BM|=|BC|所以，cos∠BMC=|CM|故异面直线MB与AA1所成角的余弦值为55，选项A对于B，连接AC交BD于点O，连接OM，因为四边形ABCD为正方形，AC∩BD＝O，则O为AC的中点，又因为M为CC1的中点，所以，AC1∥OM，又因为AC1⊄平面MBD，OM⊂平面MBD，所以，AC1∥平面MBD，若A1C⊥平面MBD，则AC1⊥A1C，根据正方体性质知四边形A1ACC1为矩形，且AA1≠A1C1，则其对角线AC1与A1C不垂直，则选项B错误；对于C，设平面ABM交棱DD1于点N，如图所示：因为平面AA1B1B∥平面CC1D1D，平面ABM∩平面AA1B1B＝AB，平面ABM∩平面CC1D1D＝MN，所以MN∥AB，又因为AB∥CD，则MN∥CD，因为CM∥DN，所以四边形CDNM为平行四边形，所以|DN|=|CM|=12|CC1|=12|DD又因为|AB|＝2，则|MN|＝|AB|，所以四边形ABMN为平行四边形，因为AB⊥平面BB1C1C，BM⊂平面BB1C1C，所以AB⊥BM，所以四边形ABMN为矩形，且其面积为|AB|⋅|BM|=2×5=25对于D，将△BD1M、△BDD1延展至同一个平面，如图所示：且|D1M|=|结合图形可知，当D、P、M三点共线时，|PD|+|PM|取最小值，即（|PD|+|PM|）min＝|DM|，易知BD1=23，BM=D在△BMD1中，cos∠BD则sin∠BD1M=105，则cos∠DD1M＝cos（∠BD1D＝cos∠BD1Dcos∠BD1M﹣sin∠BD1Dsin∠BD1M=3则由余弦定理得|DM|=2所以|PD|+|PM|最小值是5+833故选：ACD．【点评】本题考查了三角恒等变换和余弦定理的应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．三．填空题（共5小题）16．（2023秋•新洲区期末）已知直线l1：x+ay﹣a＝0，l2：ax﹣（2a﹣3）y﹣1＝0互相垂直，则a的值为a＝0或a＝2．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】计算题．【答案】见试题解答内容【分析】由题设条件，可利用两直线垂直的条件建立方程1×a+a×[﹣（2a﹣3）]＝0，解此方程即可得出a的值．【解答】解：∵直线x+ay﹣a＝0与直线ax﹣（2a﹣3）y﹣1＝0互相垂直∴1×a+a×[﹣（2a﹣3）]＝0，解得a＝0或a＝2故答案为a＝0或a＝2【点评】本题考查两条直线垂直关系与两直线系数之间的关系，解题的关键是正确利用此垂直关系建立方程，本题考查了方程的思想17．（2024•天河区校级模拟）直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，直线l1不与直线l2垂直，且直线l1和直线l2夹角的角平分线的斜率为k1+k22，则【考点】两直线的夹角与到角问题；直线的斜率．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．【答案】（﹣1，1）．【分析】根据题意画出图形，再由两条直线夹角的角平分线的斜率为k1+k22，得到△【解答】解：由于平移不影响斜率，不妨设两条直线都过原点，设l1，l2分别交x＝m（m＞0）于A（m，y1），B（m，y2），角平分线交x＝m（m＞0）于点C（m，y3），所以k1=y1−0m−0=y1m，所以直线OC的斜率koc所以y3m=所以C为AB中点．由三线合一可得△AOB为以AB为底边的等腰三角形，且OA＝OB，所以k1＝﹣k2，因为l1，l2不垂直，所以∠AOB不是直角．当∠AOB为锐角时，则l1，l2夹角为∠AOB，所以﹣1＜k1＜1；当∠AOB为钝角时，则l1，l2夹角为∠AOB的补角，l1，l2夹角的角平分线为y轴，斜率不存在，故不符合题意．综上，k1的取值范围是（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．【点评】本题考查了直线的斜率，直线的夹角问题，是中档题．18．（2024春•青秀区校级期末）已知直线l：2mx+（m+n）y+2n＝0，点A（﹣1，2），B（3，3），点A在直线l上的射影为H，则线段BH长度的取值范围为[32−【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；逻辑推理；数学运算．【答案】[32【分析】先求得该直线过定点M（1，﹣2），再根据点A在直线l上的射影为H，得到H的轨迹为以AM为直径的圆，然后利用点与圆的位置关系求解．【解答】解：由直线方程2mx+（m+n）y+2n＝0可知m（2x+y）+n（y+2）＝0，联立2x+y=0y+2=0，解得x=1y=−2，则该直线过定点因为点A在直线l上的射影为H，且A（﹣1，2），所以H的轨迹为以AM为直径的圆，圆的方程为x2+y2＝5，所以圆心为O（0，0），r=5因为B（3，3），所以|BO|=32，则|BO|﹣r≤|BH|≤|BO|+r因此BH长度的取值范围为[32故答案为：[32【点评】本题考查的知识点：直线和圆的位置关系，主要考查学生的运算能力，属于中档题．19．（2024春•顺义区期末）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的边长为2，且M为棱AA1的中点，点P在正方形ABCD的边界及其内部运动，且满足MP与底面ABCD所成的角为π4①存在点P使得MP⊥BD1；②点P的轨迹长度为π2③三棱锥P﹣A1BD1的体积的最小值为23④线段|PC1|长度最小值为342其中所有正确结论的序号是①②③．【考点】与直线有关的动点轨迹方程；棱锥的体积．【专题】转化思想；综合法；立体几何；逻辑推理；数学运算．【答案】①②③．【分析】作出图形，根据题意可得MP与底面ABCD所成的角为∠APM=π4，从而可得AP＝AM＝1，进而可得在底面ABCD内，P在以A为圆心，r＝1为半径的圆弧EF上，其中E，F分别为AD，【解答】解：如图，根据题意可得MP与底面ABCD所成的角为∠APM=π∴AP＝AM＝1，又点P在正方形ABCD的边界及其内部运动，∴在底面ABCD内，P在以A为圆心，r＝1为半径的圆弧EF上，其中E，F分别为AD，AB的中点，∴点P的轨迹长度为π2×1=π当P与E重合时，ME∥A1D，又根据三垂线定理可知BD1⊥A1D，∴ME⊥BD1，∴①正确；当P与F重合时，P到平面A1BD1的距离最小，从而可得三棱锥P﹣A1BD1的体积最小，∴三棱锥P﹣A1BD1的体积的最小值为：VF−A1根据勾股定理可得|PC根据圆的几何性质易知|PC|的最小值为|AC|﹣r=22∴线段|PC1|长度最小值为(22−1)故答案为：①②③．【点评】本题考查立体几何的综合应用，动点轨迹问题，线面角的概念，三棱锥的体积的求解，距离的最值的求解，属中档题．20．（2024春•印台区校级期末）如图，在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别为棱AB，AA1上的点，且AM＝AN＝1，点P是正方体ABCD﹣A1B1C1D1表面上的一点，若C1P∥平面CD1NM，则点P的轨迹长度为213+2【考点】与直线有关的动点轨迹方程．【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；数学运算．【答案】213【分析】根据条件分别在棱A1B1，B1B取点E，F，证明EC1∥平面CD1NM，同理FC1∥平面CD1NM，进而可得平面FEC1∥平面CD1NM，从而P点在正方体表面上运动所形成的轨迹为△C1EF，进一步即可得解．【解答】解：在棱A1B1上取一点E，使得A1E＝1，连接C1E，EM，如图所示，易得EM∥CC1，EM＝CC1，所以四边形EMCC1是平行四边形，所以MC∥EC1，又MC⊂平面CD1NM，EC1⊄平面CD1NM，所以EC1∥平面CD1NM．在棱BB1上取一点F，使得BF＝1，连接FN，FE，FC1，如图所示．同理可得FC1∥平面CD1NM，又FC1∩EC1＝C1，FC1，EC1⊂平面FEC1，所以平面FEC1∥平面CD1NM．所以P点在正方体表面上运动所形成的轨迹为△C1EF．因为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，所以ECEF=2所以点P的轨迹长度为EC故答案为：213【点评】本题考查面面平行的判定和动点的轨迹，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．四．解答题（共5小题）21．（2024春•卓尼县校级期末）已知O为坐标原点，A（4，0），B（1，m），C（0，3）．（1）若A，B，C三点共线，求实数m的值；（2）若点M满足OM→=xOA【考点】三点共线；平面向量的概念与平面向量的模；平面向量的相等与共线．【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．【答案】见试题解答内容【分析】（1）首先表示出AB→，AC→，依题意AB→（2）首先表示出OM→【解答】解：（1）因为A（4，0），B（1，m），C（0，3），所以AB→=(1，m)−(4，0)=(−3，m)，又A，B，C三点共线，所以AB→∥AC所以﹣3×3＝﹣4m，解得m=9（2）因为A（4，0），C（0，3），所以OA→=(4，0)，所以OM→所以|OM所以当x=1825时，【点评】本题考查向量的运算，共线向量基本定理，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量数量积的坐标运算，属于中档题．22．（2024春•浦东新区校级期末）已知直线l：kx﹣y+1+2k＝0，k∈R（1）直线过定点P，求点P坐标；（2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设三角形OAB的面积为4，求出直线l方程．【考点】过两条直线交点的直线系方程．【专题】方程思想；转化法；直线与圆．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由kx﹣y+1+2k＝0，可得k（x+2）+（1﹣y）＝0可得直线l：kx﹣y+1+2k＝0必过直线x+2＝0，1﹣y＝0的交点（﹣2，1）（2）令y＝0，得A（−1+2kk，0）；令x＝0，得B三角形OAB的面积为s=12【解答】解：（1）由kx﹣y+1+2k＝0，可得k（x+2）+（1﹣y）＝0∴直线l：kx﹣y+1+2k＝0必过直线x+2＝0，1﹣y＝0的交点（﹣2，1）∴P（﹣2，1）．（2）∵直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，∴k＞0令y＝0，得A（−1+2kk，0）；令x＝0，得B三角形OAB的面积为s=1解得k=∴直线l方程为：x﹣2y+4＝0【点评】本题考查了直线过定点问题，三角形的面积问题，属于中档题．23．（2024春•西青区校级期末）已知直线l：kx﹣y+1+2k＝0．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S，试求S的最小值并求出此时直线l的方程．【考点】过两条直线交点的直线系方程．【专题】计算题；证明题．【答案】见试题解答内容【分析】（1）直线l过定点，说明定点的坐标与参数k无关，故让k的系数为0可得定点坐标．（2）求出A、B的坐标，代入三角形的面积公式化简，再使用基本不等式求出面积的最小值，注意等号成立条件要检验，求出面积最小时的k值，从而得到直线方程．【解答】解：（1）证明：由已知得k（x+2）+（1﹣y）＝0，∴无论k取何值，直线过定点（﹣2，1）．（2）令y＝0得A点坐标为（﹣2−1令x＝0得B点坐标为（0，2k+1）（k＞0），∴S△AOB=12|﹣2−1=12（2+1k）（2k≥1当且仅当4k=1k，即k即△AOB的面积的最小值为4，此时直线l的方程为12x﹣y即x﹣2y+4＝0【点评】本题考查过定点的直线系方程特征，以及利用基本不等式求式子的最小值．24．（2024春•甘肃期末）定义：如果在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），那么称d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为A，B两点间的曼哈顿距离．（1）已知A，B两个点的坐标为A（x，2），B（1，x），如果它们之间的曼哈顿距离不大于5，那么x的取值范围是多少？（2）已知A，B两个点的坐标为A（a，x），B（x，﹣3），如果它们之间的曼哈顿距离恒大于3，那么a的取值范围是多少？（3）若点A（x，y）在函数y＝2x图象上且x∈Z，点B的坐标为（1，16），求d（A，B）的最小值并说明理由．【考点】两点间的距离公式．【专题】转化思想；转化法；直线与圆；数学运算．【答案】（1）[﹣1，4]；（2）（﹣∞，﹣6）∪（0，+∞）；（3）最小值为3，理由见解析．【分析】（1）根据曼哈顿距离的定义可得|x﹣1|+|2﹣x|≤5，解绝对值不等式可得答案；（2）根据曼哈顿距离的定义可得|a﹣x|+|x+3|＞3恒成立，结合绝对值不等式的意义求出其最小值|a+3|，解不等式即可求得答案；（3）根据曼哈顿距离的定义可得d（A，B）的解析式，分段讨论，结合函数单调性求得每段上的最小值，综合可得答案．【解答】解：（1）因为A（x，2），B（1，x），故d（A，B）＝|x﹣1|+|2﹣x|，由曼哈顿距离不大于5，得|x﹣1|+|2﹣x|≤5，①当x≥2时，2x﹣3≤5，解得2≤x≤4；②当1＜x＜2时，1≤5，解得1＜x＜2；③当x≤1时，3﹣2x≤5，解得﹣1≤x≤1．综上，x的取值范围是[﹣1，4]．（2）因为A（a，x），B（x，﹣3），故d（A，B）＝|a﹣x|+|x+3|，由题意可得|a﹣x|+|x+3|＞3恒成立，因为|a﹣x|+|x+3|≥|a﹣x+x+3|＝|a+3|，当且仅当（x+3）（a﹣x）≥0时等号成立，即|a﹣x|+|x+3|的最小值为|a+3|，所以|a+3|＞3，则a+3＜﹣3或a+3＞3，解得a＜﹣6或a＞0．故a的取值范围是（﹣∞，﹣6）∪（0，+∞）．（3）点A（x，y）在函数y＝2x图象上且x∈Z，点B的坐标为（1，16），故d（A，B）＝|x﹣1|+|2x﹣16|=当x≥4时，d（A，B）＝x+2x﹣17，函数y＝x+2x﹣17在[4，+∞）上单调递增，故d（A，B）≥4+24﹣17＝3，当且仅当x＝4时取等号．当1＜x＜4时，d（A，B）＝x﹣2x+15．令g（x）＝x﹣2x+15，由于x∈Z，故g（2）＝13＞3，g（3）＝10＞3．当x≤1时，d（A，B）＝17﹣x﹣2x，函数y＝17﹣x﹣2x在（﹣∞，1]上单调递减，故d（A，B）≥17﹣1﹣2＝14，当且仅当x＝1时取等号．综上可知，d（A，B）的最小值为3．【点评】本题主要考查两点之间的距离公式，属于难题．25．（2024春•仁寿县期末）在△ABC中，已知A（3，﹣1），∠B的内角平分线BD所在的直线方程是x﹣3y+6＝0，AB边上的中线CE所在的直线方程是x+y﹣8＝0求：（1）点B的坐标；（2）BC边所在直线的方程．【考点】两直线的夹角与到角问题；直线的两点式方程．【专题】计算题．【答案】见试题解答内容【分析】（1）设出B的坐标，利用垂直斜率乘积为﹣1，中点坐标在直线上，联立解方程组即可得到点B的坐标．（2）法一：设出点A的对称点的坐标，利用垂直故选以及平分关系列出方程组，求出A′，利用两点式方程求出直线方程即可．法二：利用到角公式求出BC的斜率，利用点斜式方程，即可得出直线方程．【解答】解：（1）设B（a，b）则AB中点坐标为(a+3且该中点在直线CE上，又点B在直线BD上，所以a+32⇒a=9b=5，∴（2）法一：设点A关于BD：x＝3y+6＝0的对称点为A′（a，b）则a+32⇒a=又A′在BC上，且B（9，5）所以由两点式得BC边方程为x+7y﹣44＝0．（2分）法二：由BD是角B的内角分线，所以，AB到BD的角等于BD到BC的角．而KAB=1，K⇒KBC=−所以点斜式得直线方程：x+7y﹣44＝0（2分）【点评】考查学生掌握两直线垂直时满足斜率乘积为﹣1的条件，会求两直线的交点坐标，以及会根据斜率和一点坐标写出直线的一般式方程．

考点卡片1．充分条件与必要条件【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．2．平面向量的概念与平面向量的模【知识点的认识】向量概念既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．向量的几何表示用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如AB→、BC→，…字母表示，用小写字母a→、b→，…表示．有向向量的长度为模，表示为|向量的模AB→的大小，也就是AB→的长度（或称模），记作|零向量长度为零的向量叫做零向量，记作0→单位向量长度为一个单位长度的向量叫做单位向量AB→（与AB→共线的单位向量是相等向量长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．3．平面向量的相等与共线【知识点的认识】相等向量的定义：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量．共线向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量．规定：零向量与任一向量平行．注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移．【解题方法点拨】平行向量与相等向量的关系：（1）平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向线段表示平行向量时，向量所在的直线重合或平行；（2）平行向量要求两个向量均为非零向量，规定：零向量与任一向量平行．相等向量则没有这个限制，零向量与零向量相等．（3）借助相等向量，可以把一组平行向量移动到同一直线上．因此，平行向量也叫做共线向量．（4）平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量．【命题方向】了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、相等向量、单位向量等概念，理解向量的几何表示．命题形式只要以选择、填空题型出现，难度不大，有时候会与向量的坐标运算等其它知识结合考察．4．棱锥的体积【知识点的认识】棱锥的体积可以通过底面面积B和高度h计算，顶点到底面的垂直距离即为高度．【解题方法点拨】﹣计算公式：体积计算公式为V=1﹣底面面积计算：底面面积B可以根据底面多边形的性质计算．【命题方向】﹣棱锥的体积计算：考查如何根据底面面积和高度计算棱锥的体积．﹣实际应用：如何在实际问题中应用棱锥体积计算．5．异面直线及其所成的角【知识点的认识】1、异面直线所成的角：直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，π2]．当θ2、求异面直线所成的角的方法：求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：6．直线与平面垂直【知识点的认识】直线与平面垂直：如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直的判定：（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的任一条直线．（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．直线与平面垂直的性质：①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b．7．直线的倾斜角【知识点的认识】1．定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．2．范围：[0，π）（特别地：当直线l和x轴平行或重合时，规定直线l的倾斜角为0°）3．意义：体现了直线对x轴正方向的倾斜程度．4．斜率与倾斜角的区别和联系（1）区别：①每条直线都有倾斜角，范围是[0，π），但并不是每条直线都有斜率．②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而斜率是从代数的角度刻画直线的方向．（2）联系：①当a≠π2时，k＝tanα；当α②根据正切函数k＝tanα的单调性：当α∈[0，π2）时，k＞0且tanα随α的增大而增大，当α∈（π2，π）时，k＜0且tanα随【解题方法点拨】直线的倾斜角常结合直线的斜率进行考查．直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，也是用坐标法研究直线性质的基础．在高考中多以选择填空形式出现，是高考考查的热点问题．【命题方向】（1）直接根据直线斜率求倾斜角例：直线3x+y﹣1＝0的倾斜角是（）A.30°B.60°C.120°D.150°分析：求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可．解答：因为直线3x+y﹣1＝0的斜率为：−3直线的倾斜角为：α．所以tanα=−3α＝120°故选C．点评：本题考查直线的倾斜角的求法，基本知识的应用．（2）通过条件转换求直线倾斜角例：若直线经过A（0，1），B（3，4）两点，则直线AB的倾斜角为（）A．30°B.45°C．60°D．120°分析：由直线经过A（0，1），B（3，4）两点，能求出直线AB的斜率，从而能求出直线AB的倾斜角．解答：∵直线经过A（0，1），B（3，4）两点，∴直线AB的斜率k=4−1∴直线AB的倾斜角α＝45°．故选B．点评：本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．8．直线的斜率【知识点的认识】1．定义：当直线倾斜角α≠π2时，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．用小写字母k表示，即k＝tan2．斜率的求法（1）定义：k＝tanα（α≠π（2）斜率公式：k=y3．斜率与倾斜角的区别和联系（1）区别：①每条直线都有倾斜角，范围是[0，π），但并不是每条直线都有斜率．②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而斜率是从代数的角度刻画直线的方向．（2）联系：①当α≠π2时，k＝tanα；当α②根据正切函数k＝tanα的单调性：当α∈[0，π2）时，k＞0且随α的增大而增大，当α∈（π2，π）时，k＜0且随【解题方法点拨】直线的斜率常结合直线的倾斜角进行考查．直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，也是用坐标法研究直线性质的基础．在高考中多以选择填空形式出现，是高考考查的热点问题．【命题方向】（1）已知倾斜角范围求斜率的范围；（2）已知斜率求倾斜角的问题．（3）斜率在数形结合中的应用．9．三点共线【知识点的认识】三点共线字面意思就很明确了，即三个点在同一条直线上．那么三点共线会有什么样的性质呢？如何判断三点共线呢？这里面常用的方法有两种：①这三点任意两点所确定的斜率相同；②向量法．【解题方法点拨】例：若A（0，8），B（5，m），C（6，2）三点共线，则m＝3解：∵A（0，8），B（5，m），C（6，2）三点共线，∴kAB＝kAC，即m−85−0解得m＝3．这是孤立的考查三点共线的题，应该说属于单元测试题．这个例题的入口就是利用了三点共线中任意两点的斜率相等的特点，这也是我们要掌握的最实用最普遍的一个技巧．【命题方向】这个考点内容比较简单，稍微看一下理应都能掌握，唯一注意的就是计算的时候要认真、仔细．10．直线的两点式方程【知识点的认识】直线的两点式方程：经过直线上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（其中x1≠x2，y1≠y2）的直线方程叫做直线的两点式方程，简称两点式．y−y1y2−y1=x−x1x2#注意：两点式适用于与两坐标轴不垂直的直线．特别地：①当x1＝x2时，直线l的方程为x＝x1；②当y1＝y2时，直线l的方程为y＝y1．11．直线的截距式方程【知识点的认识】直线的截距式方程：若直线l与x轴交点为（a，0），与y轴交点为（0，b），其中a≠0，b≠0，a为直线l在x轴上的截距，b为直线l在y轴上的截距，由两点式：y−0b−0=x−a#注意：斜截式适用于与两坐标轴不垂直且不过原点的直线．12．直线的一般式方程与直线的平行关系【知识点的认识】1、两条直线平行与垂直的判定对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：（1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1⊥l2⇔k1•k2＝﹣1．2、直线的一般式方程：（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程y=−ABx−CB，表示斜率为−A（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．（3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0；②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0．如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2⇔A1A2=B1B2≠C1C2；l1与l213．直线的一般式方程与直线的垂直关系【知识点的认识】1、两条直线平行与垂直的判定对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：（1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1∥l2⇔k1•k2＝﹣1．2、直线的一般式方程：（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程y=−ABx−CB，表示斜率为−A（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．（3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0；②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0．如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2⇔A1A2=B1B2≠C1C2；l1与l214．过两条直线交点的直线系方程【知识点的认识】﹣直线方程：