中考冲刺专题培优2025（五）二次函数专题【无答案】

二次函数铅垂直1．如图，已知抛物线与x轴交于A，D两点，AD＝5，点A在直线l：上．（1）求抛物线W1的解析式；（2）将抛物线W1沿x轴翻折后得到抛物线W2，W2与直线l交于A，B两点，点P是抛物线W2上A，B之间的一个动点（不与点A、B重合），PM⊥AB于M，PN∥y轴交AB于N，求MN的最大值．2．如图，抛物线交x轴于，两点，与y轴交于点C，AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．（1）求抛物线的表达式；（2）过点P作，垂足为点N．设M点的坐标为，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？3．（高新四模）如图，已知抛物线L：y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点B（﹣3，0）和点A（1，0），现将抛物线L沿y轴翻折，得到抛物线L1，点A和点B的对应点分别为A1和B1．（1）求抛物线L1的解析式；（2）抛物线L1与y轴交于点C，在直线B1C上方的抛物线L1上是否存在一动点P，使四边形PCOB1的面积最大？若存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．二次函数全等1．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．（1）求该抛物线的表达式；（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．2．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，AC＝4，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，若C（0，2）．（1）请直接写出A、B的坐标；（2）求经过A、B、C三点的抛物线表达式；（3）l为抛物线对称轴，P是直线l右侧抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△ABC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．二次函数相似1．在平面直角坐标系中，已知抛物线L：y＝ax2+（c﹣a）x+c经过点A（﹣3，0）和点B（0，﹣6），L关于原点O对称的抛物线为L′．（1）求抛物线L的表达式；（2）点P在抛物线L′上，且位于第一象限，过点P作PD⊥y轴，垂足为D．若△POD与△AOB相似，求符合条件的点P的坐标．2．已知抛物线y＝﹣x2+2x+8与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点B、C的坐标；（2）设点C′与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P，使△PCC′与△POB相似，且PC与PO是对应边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是（﹣4，0），点B的坐标是（1，0），与y轴交于点C，P是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，线段PD与直线AC相交于点E．（1）求该抛物线的解析式；（2）连接OP，是否存在点P，使得∠OPD＝2∠CAO？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．4．二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，点M为y轴负半轴上一点，且OM＝2．（1）求二次函数表达式；（2）点E是线段AB（包含A，B）上的动点，过点E作x轴的垂线，交二次函数图象于点P，交直线AM于点N，若以点P，N，A为顶点的三角形与△AOM相似，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．已知抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点．现将抛物线平移，使平移后的抛物线过点和点．（1）求抛物线的表达式；（2）点，为抛物线上一点，过点作轴平行线，交直线于点，过点作轴平行线，交轴于点．当与相似时，求点坐标．6．如图，抛物线y=13x2+bx−4与x轴交于A、C两点（点A在点C的右侧），与y轴交于点B，且（1）求抛物线的表达式；（2）点P在抛物线上，当∠PBA+∠CBO＝45°时，求点P的横坐标．二次函数直角三角形1．如图，抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求二次函数的表达式及顶点坐标；（2）连接BC，在抛物线的对称轴上是否存在一点E，使△BCE是直角三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，顶点为M的抛物线与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线L1顶点M的坐标；（2）平移抛物线L1得到新抛物线L2，使得新抛物线L2经过原点O，且与x轴另一交点为E，若△EAM为直角三角形，请求出满足条件的新抛物线L2的表达式．二次函数矩形1．（矩形）如图，抛物线l：y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线l′，l′与原抛物线相交于点M，点H为平面直角坐标系内一点，原抛物线对称轴上是否存在一点N，使以点A，M，N，H为顶点的四边形是以AM为边的矩形？若存在，请求出点N、点H的坐标；若不存在，请说明理由．2．已知抛物线L：y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）抛物线L平移后得到L'，点A、C在L'上的对应点分别为A'，C'，若以A、C、A'、C'为顶点的四边形是面积为20的矩形，求平移后的抛物线L'的表达式．二次函数面积相等1．已知抛物线L：y＝x2＋x－6与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），并与y轴相交于点C．(1)求A、B、C三点的坐标，并求出△ABC的面积；(2)将抛物线向左或向右平移，得到抛物线L´，且L´与x轴相交于A´、B´两点（点A´在点B´的左侧），并与y轴交于点C´，要使△A´B´C´和△ABC的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2﹣x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C．（1）求抛物线C1的解析式；（2）设抛物线C1关于坐标原点对称的抛物线为C2，点A，B的对应点分别为A'，B'．抛物线C2的顶点为E，则在x轴下方的抛物线C2上是否存在点F，使得△ABF的面积等于△B'BE的面积．若存在，求出F点的坐标；若不存在，请说明理由．二次函数等腰三角形1．已知抛物线C：y＝ax2+bx﹣4的对称轴为x＝2，且过点A（1，2）．（1）求抛物线C的表达式及顶点坐标；（2）对称轴直线x＝2与x轴的交于点D，与抛物线C交于点N．平移抛物线C得到抛物线C′，使得抛物线C′的顶点M在直线x＝2的右侧．若等腰三角形DNM面积为8，请叙述平移过程．2．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的表达式；（2）点D是抛物线上一点，且∠DBC的角平分线在x轴上，点M是y轴上一点，若△ADM是以AD为腰的等腰三角形，求出点M的坐标．二次函数菱形1．（菱形）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，已知，C（0，3），以AC为边在AC左侧作等边△ACD，点D在第二象限．（1）求抛物线的表达式；（2）将等边△ACD沿x轴方向平移，在抛物线的对称轴上存在一点E，使得以点A，C，D，E为顶点的四边形是菱形，请求出点E的坐标，并写出平移方式．2．已知：抛物线L：y＝x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的关系式以及顶点D的坐标；（2）将抛物线L沿x轴向右平移，得到抛物线L'，L'与x轴交于点M，且点M是点A的对应点，若A、D、M是一菱形的三个顶点，求L′的解析式．二次函数平行四边形1．在同一直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2﹣2x﹣3与抛物线C2：y=x2+mx+n关于y轴对称，C2与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧．（1）求抛物线C1，C2的函数表达式；（2）求A、B两点的坐标；（3）在抛物线C1上是否存在一点P，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以AB为边，且以A、B、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．2．已知抛物线C：y=﹣x2+bx+c经过A（﹣3，0）和B（0，3）两点，将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N．（1）求抛物线C的表达式；（2）求点M的坐标；（3）将抛物线C平移到C′，抛物线C′的顶点记为M′，它的对称轴与x轴的交点记为N′．如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？3．如图，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b都经过A（0，3）、B（﹣3，0）两点，该抛物线的顶点为C．（1）求此抛物线和直线AB的表达式；（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过点M作x轴的垂线交抛物线于点N．使点M，N，C，E是平行四边形的四个顶点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．4．如图，已知抛物线L：y＝ax2+bx+c（a＞0），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA，点A（﹣1，0）．（1）求抛物线L的函数表达式；（2）若抛物线L的顶点为D，抛物线的对称轴交直线BC于点E，点P为直线DE右侧抛物线上一点，点Q在直线BC上，是否存在以点D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．5．已知抛物线m：y＝ax2+bx﹣6与x轴交于A（﹣6，0），B（﹣2，0）两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴为直线l．（1）求抛物线m的表达式及其对称轴．（2）将原抛物线y＝ax2+bx﹣6先向右平移5个单位，再向下平移4个单位，得到新抛物线m'；P是平移后的抛物线m'上一动点，Q是直线l上一动点．若以点B，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．二次函数位似1．在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝﹣x2+x+2与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）连接AC、BC，以点C为位似中心，将△ABC扩大到原来的2倍得到△A1B1C，其中点A1、B1分别是点A、B的对应点，如何平移抛物线L才能使其同时经过点A1、B1，求出所有的平移方式．二次函数等腰直角三角形1．已知抛物线L：经过点（﹣2，3）和（6，7），与x轴的交点为A、B，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C．（1）求抛物线L的函数表达式；（2）将抛物线L平移，得到抛物线L'，且点A经过平移后得到的对应点为A'．要使△A'BC是以BC为斜边的等腰直角三角形，求满足条件的抛物线L'的函数表达式．2．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+5经过点M（1，3）和N（3，5）（1）试判断该抛物线与x轴交点的情况；（2）平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A（﹣2，0），且与y轴交于点B，同时满足以A、O、B为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由．3．已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0）．（1）求抛物线的表达式；（2）若点F是该抛物线对称轴上一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△POF是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线：y＝ax2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣6）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D在抛物线上且在对称轴的右侧，点E在对称轴上，△ODE是以OE为斜边的等腰直角三角形，求点D的坐标．二次函数正方形1．如图，抛物线的对称轴与轴交于点，与轴交于点．（1）求点、的坐标；（2）为该抛物线上的一个动点，点为点关于直线的对称点（点在点的左侧），点在坐标平面内，请问是否存在这样的点，使得四边形是正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．二次函数胡不归1．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、点B两点，与y轴交于点C（0，2），对称轴为x＝﹣．（1）求抛物线的表达式；（2）M是抛物线上的点且在第二象限，过M作MN⊥AC于N，求AN+MN的最大值．2．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，，与轴交于点，点是抛物线上轴左侧的一个动点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若点关于直线的对称点恰好落在轴上，求点的坐标．3、在直角坐标平面xOy中，直线y=−14x+2沿y轴向下平移；5个单位后，正好经过抛物线y=ax2+8ax+2的顶点C，抛物线与y轴交于点(1)求点C的坐标；(2)点M在抛物线对称轴上，且位于C点下方，当∠MBC=∠BCO时，求点M的坐标．9．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，且经过点（﹣1，3），点C是抛物线L1的顶点，将抛物线L1向右平移得到抛物线L2，且点B在抛物线L2上．（1）求抛物线L1的表达式；（2）在抛物线L2上是否存在一点P，使得∠PAC＝90°，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．二次函数专题1．（2024）已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表：x…﹣4﹣2035…y…﹣24﹣80﹣3﹣15…则下列关于这个二次函数的结论正确的是（）A．图象的开口向上 B．当x＞0时，y的值随x值的增大而减小 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线x＝11．（2023）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+m2﹣m（m为常数）的图象经过点（0，6），其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（）A．最大值5 B．最大值154 C．最小值5 D．最小值1．（副题）如表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：x…﹣3035…y…16﹣5﹣80…则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是（）A．图象的顶点在第一象限 B．有最小值﹣8 C．图象与x轴的一个交点是（﹣1，0） D．图象开口向下2．（2022）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y13．（2021）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：x…﹣2013…y…6﹣4﹣6﹣4…下列各选项中，正确的是（）A．这个函数的图象开口向下 B．这个函数的图象与x轴无交点 C．这个函数的最小值小于﹣6 D．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大4．（2021）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+m（m＞1）沿y轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．（高新二模）点P（t，n）在以直线x＝1为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上，则t﹣n的最大值等于（）A． B． C． D．6．（高新四模）y＝x2+（1﹣a）x+1是关于x的二次函数，当x的取值范围是1≤x≤3时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是（）A．a≤﹣5 B．a≥5 C．a＝3 D．a≥37．（高新五模）已知抛物线y＝ax2﹣5ax+4a（a≠0）不经过第三象限，与x轴交于A，B两点，其顶点C．这条抛物线关于x轴对称的抛物线顶点为C′，若四边形ACBC'是正方形，则a的值为（）A． B． C． D．8．（高新六模）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m+3的图象不经过三、四象限，且当时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．9．（工大一模）若抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣2a+3（a为常数）与x轴有两个交点，则此抛物线的顶点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．（工大二模）已知抛物线y＝ax2﹣4ax+b（a＜0）经过A（m﹣3，y1），B（m+1，y2）两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1＞y2，则m的值可能是（）A．1 B．2 C．3 D．411．（工大三模）已知抛物线L：y＝x2﹣4x+c，其顶点为M，与y轴交于点N，将抛物线L绕原点旋转180°，点M、N的对应点分别为P、Q，若四边形MNPQ为矩形，则c的值为（）A． B． C． D．12．已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．abc＞0 B．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣2，x2＝3 C．a+b＝c-b D．a+4b＝3c13．（3分）如果三点A（﹣1，y1），B（2，y2）和C（6，y3）在抛物线y＝x2﹣6x+m的图象上，那么y1，y2与y3之间的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y114．（3分）二次函数y＝x2+bx+3的图象过点A（2，3），若关于x的一元二次方程x2+bx＝t﹣4（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是（）A．6＜t＜11 B．2≤t＜11 C．3≤t＜12 D．3≤t＜715．已知二次函数y＝ax2+2ax+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法：①ac＞0；②若点P（﹣2，m），Q（0.5，n）都在该抛物线上，则m＜n；③3a+c＞0；④方程ax2+（2a+1）x+c＝0有两个不相等的实数根．正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个16．（3分）已知抛物线，则它的顶点一定在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限17．（3分）在平面直角坐标系中，二次函数为常数）的图象经过点，，，且，则的值为A．3或 B．或 C．3 D．18．（3分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+4（a≠0）的图象只经过坐标平面内的两个象限，下列叙述正确的是（）A．顶点可能在第四象限 B．最大值是4﹣a C．a的值可能是5 D．x＞2时，y随x增大而增大19．已知点A（﹣2，y1），B（0，y2），C（3，y3），D（5，y4）在抛物线y＝ax2﹣4ax+b（a≠0）上，且y1＞y3，则y2与y4之间的大小关系为（）A．y2＞y4 B．y2＜y4 C．y2＝y4 D．不确定20．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数y的部分对应值如表：x…﹣m01m﹣2…y…0﹣8﹣50…根据表格中的信息，以下结论正确的是（）A．当x＝﹣1时，y有最大值 B．当﹣1≤x≤0时，y随x的增大而减小 C．关于x的一元二次方程ax2+bx+c+5＝0的根为x1＝1，x2＝﹣3 D．若y＞0，则x＞221．在同一平面直角坐标系中，有两条抛物线关于y轴对称，且它们的顶点与原点的连线互相垂直，若其中一条抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+m，则m的值为（）A．2或﹣6 B．﹣2或6 C．2或6 D．﹣2或﹣622．（交大一模）已知抛物线，则它的顶点一定在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限23．（交大二模）在平面直角坐标系中，二次函数为常数）的图象经过点，，，且，则的值为A．3或 B．或 C．3 D．24．（交大三模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+4（a≠0）的图象只经过坐标平面内的两个象限，下列叙述正确的是（）A．顶点可能在第四象限 B．最大值是4﹣a C．a的值可能是5 D．x＞2时，y随x增大而增大25．（铁一一模-2024）对任意实数x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）满足x2+2x+5≤y≤2x2+4x+6，则a﹣b+c的值是（）A．2 B．3 C．4 D．526．（铁一二模-2024）点，都在二次函数的图象上．若，则的取值范围为A． B． C． D．27．（铁一三模-2024）已知抛物线y＝x2﹣2mx﹣4（m＞0）的顶点M关于坐标原点O的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M的坐标为（）A．（1，﹣5） B．（3，﹣13） C．（2，﹣8） D．（4，﹣20）28．（铁一一模-2025）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣1，0）和（1，4），且抛物线与x轴的其中一个交点的横坐标m满足3＜m＜4，那么a的取值可能是（）A．﹣3 B．1 C．2 D．−30．（师大一模-2025）在平面直角坐标系中，已知抛物线L：y＝x2﹣2tx+2t2﹣t（t为常数），则下面选项正确的是（）A．若点A（t，y1），B（2t，y2）在抛物线L上，则y1＞y2 B．若点A（﹣t，y1），B（2t，y2）在抛物线L上，则y1＜y2 C．当t＞0时，抛物线L只经过第一、二象限 D．当t＜0时，抛物线L只经过第一、二象限31．（师大二模-2025）已知关于x的二次函数y=x2+(bA.b<3B.b>3C.b≤0D.b<032．（高新一模-2025）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+m2+3m（m为常数）的图象经过点（0，4），其对称轴在y轴左侧，则下列结论正确的是（）A．这个函数图象与x轴有1个交点 B．这个函数图象的对称轴为直线x＝﹣2 C．当x＞−12时，y的值随D．这个函数有最小值1533．（高新二模-2025）已知二次函数y＝mx2﹣8mx+16m+8（m≠0），当x≤3时，y随x的增大而增大，当0＜x＜t时，函数的最大值是8，最小值是16m+8，则t的值可能是（）A．2 B．4 C．6 D．934（工大一模-2025）．一次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=−1，则过点Ma,2a−b和点Nb2−4ac,a−b+cA．第一象限 B．第一象限 C．第三象限 D．第四象限35、（工大二模-2025）．已知抛物线y=x2+(m+2)x+m,当x=2时，y>0，且当x<-2时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）A.−83≤m≤2B.m≥2C.m>−36（交大一模-2025）．已知关于x的二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3，当x≥2时，y随x的增大而增大，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（）A． B．1 C．1或﹣2 D．或37、（高新三中一模-2025）若二次函数y＝ax2+2ax+3a的图象过不同的三个点A（t，y1），B（1﹣t，y2），C（﹣1，y3），且y1＞y2＞y3，则t的取值范围是（）A． B． C．t＞且t≠2 D．38．（交大二模-2024）在平面直角坐标系中，二次函数为常数）的图象经过点，，，且，则的值为A．3或 B．或 C．3 D．39．（交大三模-2024）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+4（a≠0）的图象只经过坐标平面内的两个象限，下列叙述正确的是（）A．顶点可能在第四象限 B．最大值是4﹣a C．a的值可能是5 D．x＞2时，y随x增大而增大40、（交大四模-2024）已知点A（﹣2，y1），B（0，y2），C（3，y3），D（5，y4）在抛物线y＝ax2﹣4ax+b（a≠0）上，且y1＞y3，则y2与y4之间的大小关系为（）A．y2＞y4 B．y2＜y4 C．y2＝y4 D．不确定41．（交大五模-2024）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数y的部分对应值如表：x…﹣m01m﹣2…y…0﹣8﹣50…根据表格中的信息，以下结论正确的是（）A．当x＝﹣1时，y有最大值 B．当﹣1≤x≤0时，y随x的增大而减小 C．关于x的一元二次方程ax2+bx+c+5＝0的根为x1＝1，x2＝﹣3 D．若y＞0，则x＞242．（交大六模-2024）抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1的顶点一定不在第（）象限．A．﹣ B．二 C．三 D．四二次函数应用大题1．（2024）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索L1与缆索L2均呈抛物线型，桥塔AO与桥塔BC均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线FF′为x轴，以桥塔AO所在直线为y轴，建立平而直角坐标系．已知：缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称，桥塔AO与桥塔BC之间的距离OC＝100m，AO＝BC＝17m，缆索L1的最低点P到FF′的距离PD＝2m．（桥塔的粗细忽略不计）（1）求缆索L1所在抛物线的函数表达式；（2）点E在缆索L2上，EF⊥FF′，且EF＝2.6m，FO＜OD，求FO的长．2．（2023）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为48m3，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：方案一，抛物线型拱门的跨度ON＝12m，拱高PE＝4m．其中，点N在x轴上，PE⊥ON，OE＝EN．方案二，抛物线型拱门的跨度ON′＝8m，拱高P'E'＝6m．其中，点N′在x轴上，P′E′⊥O′N′，O′E′＝E′N′．要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架ABCD的面积记为S1，点A、D在抛物线上，边BC在ON上；方案二中，矩形框架A'B'C′D'的面积记为S2，点A'，D'在抛物线上，边B'C'在ON'上．现知，小华已正确求出方案二中，当A'B'＝3m时，S2（1）求方案一中抛物线的函数表达式；（2）在方案一中，当AB＝3m时，求矩形框架ABCD的面积S1并比较S1，S2的大小．3．（2022）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点到的距离为．（1）求满足设计要求的抛物线的函数表达式；（2）现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点、处分别安装照明灯．已知点、到的距离均为，求点、的坐标．4．（8分）嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏，沙包运动的路线可以近似的看作是抛物线．如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长、嘉嘉在点A（6，1）处将沙包（看成点）抛出，其运动路线为抛物线l1：y＝a（x﹣3）2+2的一部分，淇淇恰在点B（0，c）处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线l2：的一部分．（1）写出l1的最高点坐标，并求a，c的值；（2）若嘉嘉在x轴上方2m的高度上，且到点A水平距离不超过0.9m的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值．5．（8分）某校课外科技活动兴趣小组研制了一种航模飞机，这种航模飞机飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分．活动小组在水平安全线上设置一个高度可以变化的发射平台，当发射平台的高度变化时，飞机飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到．如图所示，以水平安全线上发射平台所在位置A为坐标原点，以水平安全线为x轴，建立平面直角坐标系．通过实验，在A处发射飞机，收集到飞机相对于出发点的飞行水平距离x（单位：m）与飞行高度y（单位：m）的部分对应数值如表．飞行水平距离x/m020305080…飞行高度y/m040547064…根据上面的信息，解决下列问题：（1）当活动小组在A处发射飞机时，求飞机落到水平安全线时飞行水平距离；（2）在水平安全线上设置回收区域MN，AM＝125m，MN＝5m，若飞机能落到回收区域MN内（不包括端点M，N），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．6．【情境探究】小明和小强做弹力球游戏．游戏规则如下：小明抛出弹力球，弹力球落地后弹起再落下，小强在某个位置放置一块接球板，若弹力球在第二次落地前碰到接球板则小强胜（球与接球板触碰），否则小明胜．【数学建模】弹力球两次运动轨迹均可近似看成抛物线，如图所示．一次游戏过程中：小明站在起点O处抛弹力球，以O为坐标原点，水平方向直线和竖直方向直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，弹力球从离地面2米的A处抛出，第一次落地前，球在距离起点O水平距离为2m处，达到飞行最大高度为3.6m，弹力球在B处落地后再次弹起，第二次飞行的水平距离BC＝4米，且飞行的最大高度为第一次的一半．【问题解决】（1）求弹力球第一次着地前抛物线的函数表达式；（2）小强在距起点8米处放置接球板EF，EF垂直地面于点B，且EF＝1m，请通过计算判断谁会获胜．7．（8分）陕北窑洞，具有十分浓厚的民俗风情和乡土气息．如图所示，某窑洞口的下部近似为矩形OABC，上部近似为一条抛物线．已知OA＝3米，AB＝2米，窑洞的最高点M（抛物线的顶点）离地面OA的距离为米．（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；（2）若在窑洞口的上部要安装一个正方形窗户DEFG，使得点D、E在矩形OABC的边BC