2024年高考数学考纲解读与热点难点突破专题02函数的图象与性质教学案理

PAGEPAGE1专题02函数的图象与性质【2024年高考考纲解读】(1)函数的概念和函数的基本性质是B级要求，是重要题型；(2)指数与对数的运算、指数函数与对数函数的图象和性质都是考查热点，要求都是B级；(3)幂函数是A级要求，不是热点题型，但要了解幂函数的概念以及简洁幂函数的性质。【重点、难点剖析】1．函数及其图象(1)定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，探讨函数问题时务必需“定义域优先”．(2)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换．2．函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、推断符号和下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则；(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性；(3)周期性：周期性也是函数在定义域上的整体性质．若函数满意f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，则其周期T＝ka(k∈Z)的肯定值．3．求函数最值(值域)常用的方法(1)单调性法：适合于已知或能推断单调性的函数；(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数；(3)基本不等式法：特殊适合于分式结构或两元的函数；(4)导数法：适合于可求导数的函数．4．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(1)指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象和性质，分0<a<1和a>1两种状况，着重关注两函数图象中的两种状况的公共性质；(2)幂函数y＝xα的图象和性质，分幂指数α>0和α<0两种状况．5．函数图象的应用函数的图象和解析式是函数关系的主要表现形式，它们的实质是相同的，在解题时常常要相互转化．在解决函数问题时，尤其是较为繁琐的(如分类探讨，求参数的取值范围等)问题时，要留意充分发挥图象的直观作用.【题型示例】题型一、函数的性质及其应用【例1】(2024·全国Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满意f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)等于()A．－50B．0C．2D．50答案C解析∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(1－x)＝－f(x－1)．∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数．由f(x)为奇函数且定义域为R得f(0)＝0，又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.故选C.【2024北京，理5】已知函数，则（A）是奇函数，且在R上是增函数 （B）是偶函数，且在R上是增函数（C）是奇函数，且在R上是减函数 （D）是偶函数，且在R上是减函数【答案】A【解析】，所以该函数是奇函数，并且是增函数，是减函数，依据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数，故选A.【举一反三】【2024年高考四川理数】已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，，则QUOTE=.【答案】-2【举一反三】(1)(2015·重庆卷)函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域是()A．[－3,1]B．(－3,1)C．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)(2)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lgx，x>0，,x＋3，x≤0.))若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值为()A．－3 B．－1或3C．1 D．－3或1(1)答案：D解析：要使函数有意义，只需x2＋2x－3>0，即(x＋3)(x－1)>0，解得x<－3或x>1.故函数的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．(2)答案：D解析：f(1)＝lg1＝0，所以f(a)＝0.当a>0时，则lga＝0，a＝1；当a≤0时，则a＋3＝0，a＝－3.所以a＝－3或1.【变式探究】(1)(2014·江西)函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为()A．(0,1)B．[0,1]C．(－∞，0)∪(1，＋∞)D．(－∞，0]∪[1，＋∞)(2)(2014·浙江)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x，x<0，,－x2，x≥0.))若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是________．【命题意图】(1)本题主要考查函数的定义域求法以及不等式的解法．通过定义域的求法考查考生的运算求解实力及转化意识．(2)本题主要考查分段函数和不等式恒成立问题，可结合函数图象进行分析求解．【答案】(1)C(2)(－∞，eq\r(2)]【解析】(1)将求函数的定义域问题转化为解不等式问题．要使f(x)＝ln(x2－x)有意义，只需x2－x＞0，解得x＞1或x＜0.∴函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)．(2)结合图形，由f(f(a))≤2可得f(a)≥－2，解得a≤eq\r(2).【方法技巧】1．已知函数解析式，求解函数定义域的主要依据有：(1)分式中分母不为零；(2)偶次方根下的被开方数大于或等于零；(3)对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)的真数x＞0；(4)零次幂的底数不为零；(5)正切函数y＝tanx中，x≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．假如f(x)是由几部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的自变量的集合．依据函数求定义域时：(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．2．函数的值域是由函数的对应关系和函数的定义域所唯一确定的，具有相同对应关系的函数假如定义域不同，函数的值域也可能不相同．函数的值域是在函数的定义域上求出的，求解函数的值域时肯定要与函数的定义域联系起来，从函数的对应关系和定义域的整体上处理函数的值域．题型二、函数的图象及其应用【例2】(2024·全国Ⅱ)函数f(x)＝eq\f(ex－e－x,x2)的图象大致为()答案B【方法技巧】(1)依据函数的解析式推断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行协助推断，这是推断函数图象问题的基本方法．(2)推断困难函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数推断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选．要留意函数求导之后，导函数发生了改变，故导函数和原函数定义域会有所不同，我们必需在原函数的定义域内探讨函数的极值和最值．【2024高考新课标1卷】函数在的图像大致为（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】函数f(x)=2x2–e|x|在[–2,2]上是偶函数，其图像关于轴对称，因为，所以解除A、B选项；当时，有一零点，设为，当时，为减函数，当时，为增函数．故选D。【感悟提升】(1)依据函数的解析式推断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行协助推断，这是解决函数图象推断类试题的基本方法．(2)探讨函数时，留意结合图象，在解方程和不等式等问题时，借助图象能起到非常快捷的作用．【举一反三】(1)(2015·四川卷)函数y＝eq\f(x3,3x－1)的图象大致是()(2)函数y＝f(x)的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1，x2，…，xn，使得eq\f(fx1,x1)＝eq\f(fx2,x2)＝…＝eq\f(fxn,xn)，则n的取值范围是()A.{3,4} B．{2,3,4}C．{3,4,5} D．{2,3}(1)答案：C解析：由已知3x－1≠0⇒x≠0，解除A；又∵x<0时，3x－1<0，x3<0，∴y＝eq\f(x3,3x－1)>0，故解除B；又y′＝eq\f(x2[3x3－xln3－3],3x－12)，当3－xln3<0时，x>eq\f(3,ln3)>0，y′<0，所以D不符合．故选C.(2)答案：B解析：eq\f(fx1,x1)＝eq\f(fx1－0,x1－0)表示(x1，f(x1))与原点连线的斜率；eq\f(fx1,x1)＝eq\f(fx2,x2)＝…＝eq\f(fxn,xn)表示(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，…，(xn，f(xn))与原点连线的斜率相等，而(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，…，(xn，f(xn))在曲线图象上，故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点个数有几种状况．如图所示，数形结合可得，有2,3,4三种状况，故选B.【变式探究】(1)若函数f(x)＝(k－1)·ax－a－x(a>0且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝loga(x－k)的图象是()(2)(2014·山东)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C．(1,2) D．(2，＋∞)【命题意图】(1)本题主要考查函数的奇偶性，单调性的概念以及指数、对数函数的图象．(2)本题主要考查方程的根与函数的零点，意在考查考生的数形结合思想、化归与转化思想及运算求解实力．【答案】(1)C(2)B【解析】(1)由已知f(－x)＝－f(x)，则有(k－1)a－x－ax＝a－x－(k－1)ax，所以k＝2，则f(x)＝ax－a－x，又函数f(x)是减函数，则0<a<1，所以g(x)的图象为C.(2)在同一坐标系中分别画出函数f(x)，g(x)的图象如图所示，方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线y＝kx的斜率大于坐标原点与点(2,1)连线的斜率且小于直线y＝x－1的斜率时符合题意，故eq\f(1,2)＜k＜1.【方法技巧】1．关于推断函数图象的解题思路(1)确定定义域；(2)与解析式结合探讨单调性、奇偶性；(3)视察特殊值．2．关于函数图象应用的解题思路主要有以下两点(1)方程f(x)＝g(x)解的个数可以转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)交点的个数；(2)不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))解集为函数y＝f(x)位于y＝g(x)图象上方(下方)的那部分点的横坐标的取值范围．题型三基本初等函数的图象和性质例3、(2024·天津)已知a＝log2e，b＝ln2，c＝logeq\f(1,3)，则a，b，c的大小关系为()A．a>b>c B．b>a>cC．c>b>a D．c>a>b答案D解析c＝＝log23>log2e＝a，即c>a.又b＝ln2＝eq\f(1,log2e)<1<log2e＝a，即a>b.所以c>a>b.故选D.【变式探究】(2024·全国Ⅰ)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则()A．2x<3y<5z B．5z<2x<3yC．3y<5z<2x D．3y<2x<5z答案D解析令t＝2x＝3y＝5z，∵x，y，z为正数，∴t>1.则x＝log2t＝eq\f(lgt,lg2)，同理，y＝eq\f(lgt,lg3)，z＝eq\f(lgt,lg5).∴2x－3y＝eq\f(2lgt,lg2)－eq\f(3lgt,lg3)＝eq\f(lgt2lg3－3lg2,lg2×lg3)＝eq\f(lgtlg9－lg8,lg2×lg3)>0，∴2x>3y.又∵2x－5z＝eq\f(2lgt,lg2)－eq\f(5lgt,lg5)＝eq\f(lgt2lg5－5lg2,lg2×lg5)＝eq\f(lgtlg25－lg32,lg2×lg5)<0，∴2x<5z，∴3y<2x<5z.故选D.【感悟提升】(1)指数函数、对数函数、幂函数是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类探讨、等价转化等数学思想方法及运算实力．(2)比较代数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．【变式探究】已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax，x<0，,a－3x＋4a，x≥0))满意对随意x1≠x2，都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)<0成立，则a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))) B．(1,2]C．(1,3) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))答案A解析由eq\f(fx1－fx2,x1－x2)<0，得f(x)是减函数，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,a－3<0，,4a≤1，))得a∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))，故选A.【变式探究】对随意实数a，b定义运算“Δ”：aΔb＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a－b≤2，,b，a－b>2，))设f(x)＝3x＋1Δ(1－x)，若函数f(x)与函数g(x)＝x2－6x在区间(m，m＋1)上均为减函数，则实数m的取值范围是()A．[－1,2] B．(0,3]C．[0,2] D．[1,3]答案C题型四、函数性质的综合应用例4、(2024·全国Ⅲ改编)函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为________．(填序号)答案④解析方法一f′(x)＝－4x3＋2x，则f′(x)>0的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(2),2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))，此时f(x)单调递增；f′(x)<0的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，0))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，＋∞))，此时f(x)单调递减．方法二当x＝1时，y＝2，所以解除①②.当x＝0时，y＝2，而当x＝eq\f(1,2)时，y＝－eq\f(1,16)＋eq\f(1,4)＋2＝2

eq\f(3,16)>2，所以解除③.【变式探究】【2024山东，理10】已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】当时，，单调递减，且，单调递增，且，此时有且仅有一个交点；当时，，在上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需选B.【变式探究】【2024天津，理6】已知奇函数在R上是增函数，.若，，，则a，b，c的大小关系为（A） （B） （C） （D）【答案】【解析】因为是奇函数且在上是增函数，所以在时，，从而是上的偶函数，且在上是增函数，，，又，则，所以即，，所以，故选C．【举一反三】【2024年高考北京理数】设函数QUOTE.=1\*GB3①若，则的最大值为______________；=2\*GB3②若无最大值，则实数的取值范围是________.【答案】，.【解析】如图，作出函数与直线的图象，它们的交点是，由，知是函数的微小值点，①当时，，由图象可知的最大值是；②由图象知当时，有最大值；只有当时，，无最大值，所以所求的取值范围是．【感悟提升】(1)指数函数、对数函数、幂函数是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类探讨、等价转化等数学思想方法及其运算实力．(2)比较数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．【举一反三】(2015·全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝xln(x＋eq\r(a＋x2))为偶函数，则a＝________.答案：1解析：∵f(x)为偶函数，∴f(－x)－f(x)＝0恒成立，∴－xln(－x＋eq\r(a＋x2))－xln(x＋eq\r(a＋x2))＝0恒成立，∴xlna＝0恒成立，∴lna＝0，即a＝1.【变式探究】(1)(2014·湖南)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝