2024年高考数学考点分析与突破性讲练专题15平面向量概念及线性运算平面向量基本定理理

PAGEPAGE1专题15平面对量概念及线性运算、平面对量基本定理考纲要求：1.了解向量的实际背景，理解平面对量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.驾驭向量加法、减法的运算，理解其几何意义.3.驾驭向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义．二、概念驾驭及解题上的留意点：1.平面对量的线性运算方法①不含图形的状况：可干脆运用相应运算法则求解.②含图形的状况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解.2.利用平面对量的线性运算求参数的一般思路①没有图形的精确作出图形，确定每一个点的位置.②利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式.③比较、视察可知所求.3.选取基向量，向量之间的相互表示，重视平行四边形法则.4.|a＋b|与|a－b|的几何意义：以向量a，b为边所作平行四边形的两条对角线的长度.共线向量定理的三个应用1.证明向量共线：对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线.2.证明三点共线：若存在实数λ，使eq\o(AB,\s\up6(→))＝λ\o(AC,\s\up6(→))，则A，B，C三点共线.3.求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程组，求参数的值.三、高考考题题例分析：例1.(2015·全国卷Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，则()A．eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→)) B．eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))C．eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→)) D．eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))【答案】A【解析】：(1)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).故选A．例2.(2015高考新课标1)设为所在平面内一点，则（）（A）(B)（C）(D)【答案】A【解析】：由题知=，故选A.例3.(2015湖南)已知点，，在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为（）A.6B.7C.8D.9【答案】B.例4.(2015高考北京)在中，点，满意，．若，则 ； ．【答案】【解析】:特别化，不妨设，利用坐标法，以A为原点，AB为轴，为轴，建立直角坐标系，，，则，.例5.(2015江苏高考)已知向量a=，b=,若ma+nb=(),则的值为______.【答案】【解析】:由题意得：例6．(2015高考新课标2)设向量，不平行，向量与平行，则实数_________．【答案】【解析】:因为向量与平行，所以，则所以例7.（2024全国卷I）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=（）A．﹣ B．﹣C．+ D．+【答案】A．例8.（2024全国卷III）已知向量=（1，2），=（2，﹣2），=（1，λ）．若∥（2+），则λ=．【答案】例9.（2024天津卷）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1．若点E为边CD上的动点，则的最小值为（）A． B． C． D．3【答案】【解析】：如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，过点B做BN⊥x轴，过点B做BM⊥y轴，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1，∴AN=ABcos60°=，BN=ABsin60°=，∴DN=1+=，∴BM=，∴CM=MBtan30°=，∴DC=DM+MC=，∴A（1，0），B（，），C（0，），平面对量概念及线性运算练习选择题：1．D是△ABC的边AB的中点，则向量eq\o(CD,\s\up6(→))等于()A．－eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→)) B．－eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))C．eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→)) D．eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))【答案】A【解析】：如图，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＝－eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→)).2．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是随意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BA,\s\up6(→))相等．则全部正确命题的序号是()A．① B．③C．①③ D．①②【答案】A3.设a0为单位向量，下述命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是()A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】：向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不肯定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种状况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.4.设a是非零向量，λ是非零实数，则下列结论正确的是()A．a与－λa的方向相反 B．|－λa|≥|a|C．a与λ2a的方向相同 D．|－λa|≥|λ|a【答案】C【解析】：A中，当λ＜0时，a与－λa方向相同，故A不正确；B中，当－1＜λ＜1时，|－λa|＜|a|，故B不正确；C中，因为λ2＞0，所以a与λ2a方向相同，故C正确；D中，向量不能比较大小，故D不正确，故选C．5.给出下列四个命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中正确命题的序号是()A．②③B．①②C．③④D．②④【答案】A③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.故选A．6．已知eq\o(AC,\s\up6(→))＝3eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，则下列等式中成立的是()A．c＝eq\f(3,2)b－eq\f(1,2)aB．c＝2b－aC．c＝2a－bD．c＝eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b【答案】A【解析】：因为eq\o(AC,\s\up6(→))＝3eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(3,2)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)b－eq\f(1,2)a，故选A．7.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的随意一点，则eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))等于()A．eq\o(OM,\s\up6(→)) B．2eq\o(OM,\s\up6(→))C．3eq\o(OM,\s\up6(→)) D．4eq\o(OM,\s\up6(→))【答案】D【解析】：因为M是平行四边形ABCD对角线AC，BD的交点，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OM,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝2eq\o(OM,\s\up6(→))，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝4eq\o(OM,\s\up6(→)).8．(2024·全国卷Ⅱ)设非零向量a，b满意|a＋b|＝|a－b|，则()A．a⊥b B．|a|＝|b|C．a∥b D．|a|＞|b|【答案】A9．如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若eq\o(DE,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝()A．eq\f(5,8)B．eq\f(1,4)C．1D．eq\f(5,16)【答案】A【解析】：eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))，所以λ＝eq\f(1,4)，μ＝－eq\f(3,4)，故λ2＋μ2＝eq\f(5,8)，故选A．10．在△ABC中，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(NC,\s\up6(→))，若P是直线BN上的一点，且满意eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)eq\o(AC,\s\up6(→))，则实数m的值为()A．－4 B．－1C．1 D．4【答案】B11.已知向量i，j不共线，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝i＋mj，eq\o(AD,\s\up6(→))＝ni＋j，m≠1，若A，B，D三点共线，则实数m，n应满意的条件是()A．m＋n＝1 B．m＋n＝－1C．mn＝1 D．mn＝－1【答案】C【解析】：因为A，B，D三点共线，所以eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(AD,\s\up6(→))，存在非零实数λ，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))，即i＋mj＝λ(ni＋j)，所以(1－λn)i＋(m－λ)j＝0，又因为i与j不共线，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－λn＝0，,m－λ＝0，))则mn＝1，故选C．12．设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为()A．3 B．4C．5 D．6【答案】B【解析】：如图，∵D为AB的中点，则eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))，又eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(OD,\s\up6(→))＝－eq\o(OC,\s\up6(→))，∴O为CD的中点，又∵D为AB中点，∴S△AOC＝eq\f(1,2)S△ADC＝eq\f(1,4)S△ABC，则eq\f(S△ABC,S△AOC)＝4.二、填空题13．已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))满意等式eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))，则四边形ABCD的形态为________．【答案】平行四边形【解析】：由eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))得eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，所以eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，所以四边形ABCD为平行四边形．14．(2015·全国卷Ⅱ)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.【答案】12【解析】：∵λa＋b与a＋2b平行，∴λa＋b＝t(a＋2b)，即λa＋b＝ta＋2tb，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝t，,1＝2t，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2)，,t＝\f(1,2).))15．在△ABC中，点M，N满意eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(MC,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(NC,\s\up6(→)).若eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，则x＝________；y＝________.【答案】eq\f(1,2)－eq\f(1,6)16．在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于点H，M为AH的中点．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(BC,\s\up6(→))，则λ＋μ＝________.【答案】eq\f(2,3)【解析】：因为AB＝2，∠ABC＝60°，AH⊥BC，所以BH＝1.因为BC＝3，所以BH＝eq\f(1,3)BC．因为点M为AH的中点，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AH,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BH,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(BC,\s\up6(→))))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→))，又eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(BC,\s\up6(→))，所以λ＝eq\f(1,2)，μ＝eq\f(1,6)，所以λ＋μ＝eq\f(2,3).三、解答题17．在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，试用a，b表示eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AG,\s\up6(→)).【答案】eq\o(AD,\s\up6(→))eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b；eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b.18．设e1，e2是两个不共线的向量，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1－8e2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1－e2.(1)求证：A，B，D三点共线；(2)若eq\o(BF,\s\up6(→))＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．【解析】(