2024-2025学年高中数学1.2.1.1排列与排列数公式课时作业含解析新人教A版选修2-3

PAGE1-课时作业3排列与排列数公式学问点一排列的概念1.下列问题是排列问题吗？(1)从1,3,5,7四个数字中，任选两个做乘法，其结果有多少种不同的可能？(2)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法有多少种不同的可能？(3)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位支配3位客人入座，又有多少种方法？解(1)从1,3,5,7四个数字中，任选两个做乘法，其结果与依次无关，不是排列问题．(2)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，其结果与依次有关，是排列问题．(3)会场有50个座位，选出3个座位不是排列问题，而选出3个座位支配3位客人入座，是排列问题．学问点二排列的列举问题2.写出下列问题的全部排列：(1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应当有多少种机票？(2)A、B、C、D四名同学排成一排照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，共有多少种不同的排列方法？解(1)列出每一个起点和终点状况，如图所示．故符合题意的机票种类有：北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共12种．(2)因为A不排第一，排第一位的状况有3类(可从B、C、D中任选一人排)，而此时兼顾分析B的排法，列树形图如图．所以符合题意的全部排列是：BADC，BACD，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA共14种.学问点三排列数的计算3.eq\f(A\o\al(6,7)－A\o\al(5,6),A\o\al(4,5))＝()A．12B．24C．30D．36答案D解析Aeq\o\al(6,7)＝7×6×Aeq\o\al(4,5)，Aeq\o\al(5,6)＝6×Aeq\o\al(4,5)，所以原式＝eq\f(36A\o\al(4,5),A\o\al(4,5))＝36.4．已知Aeq\o\al(2,n)＝7Aeq\o\al(2,n－4)，则n＝________.答案7解析原方程可化为n(n－1)＝7(n－4)(n－5)．解得n＝7eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＝\f(10,3)舍去)).5．若3Aeq\o\al(3,n)＝2Aeq\o\al(2,n＋1)＋6Aeq\o\al(2,n)，求n.解由3Aeq\o\al(3,n)＝2Aeq\o\al(2,n＋1)＋6Aeq\o\al(2,n)，得3n(n－1)(n－2)＝2(n＋1)n＋6n(n－1)．因为n≥3且n∈N*，所以3n2－17n＋10＝0.解得n＝5或n＝eq\f(2,3)(舍去)．所以n＝5.6．求证：Aeq\o\al(m,n－1)＋mAeq\o\al(m－1,n－1)＝Aeq\o\al(m,n).证明Aeq\o\al(m,n－1)＋mAeq\o\al(m－1,n－1)＝eq\f(n－1！,n－1－m！)＋m·eq\f(n－1！,n－m！)＝eq\f(n－1！n－m＋m,n－m！)＝eq\f(n！,n－m！)＝Aeq\o\al(m,n).一、选择题1．下列问题中：(1)10本不同的书分给10名同学，每人一本；(2)10位同学去做春季运动会志愿者；(3)10位同学参与不同项目的运动会竞赛；(4)10个没有任何三点共线的点构成的线段．属于排列的有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案B解析由排列与依次是否有关确定，可知(1)(3)是排列，(2)(4)不是排列，故选B.2．20×19×18×…×9＝()A．Aeq\o\al(12,20)B．Aeq\o\al(11,20)C．Aeq\o\al(10,20)D．Aeq\o\al(9,20)答案A解析∵20×19×18×…×9是从20起先，表示12个数字的乘积，∴20×19×18×…×9＝Aeq\o\al(12,20).3．已知Aeq\o\al(2,n)＝132，则n等于()A．11B．12C．13D．14答案B解析Aeq\o\al(2,n)＝n(n－1)＝132，即n2－n－132＝0，解得n＝12或n＝－11(舍去)．4．若M＝Aeq\o\al(1,1)＋Aeq\o\al(2,2)＋Aeq\o\al(3,3)＋…＋Aeq\o\al(2014,2014)，则M的个位数字是()A．3B．8C．0D．5答案A解析∵当n≥5时，Aeq\o\al(n,n)＝1×2×3×4×5×…×n＝120×6×…×n，∴当n≥5时Aeq\o\al(n,n)的个位数字为0，又∵Aeq\o\al(1,1)＋Aeq\o\al(2,2)＋Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(4,4)＝1＋2＋6＋24＝33，∴M的个位数字为3.5．从a，b，c，d，e5个人中选出1名组长和1名副组长，但a不能当副组长，则不同的选法种数是()A．20B．16C．10D．6答案B解析不考虑限制条件有Aeq\o\al(2,5)种选法，若a当副组长，有Aeq\o\al(1,4)种选法，故a不当副组长，有Aeq\o\al(2,5)－Aeq\o\al(1,4)＝16种不同的选法．二、填空题6．Aeq\o\al(6,6)－6Aeq\o\al(5,5)＋5Aeq\o\al(4,4)＝________.答案120解析原式＝Aeq\o\al(6,6)－Aeq\o\al(6,6)＋Aeq\o\al(5,5)＝Aeq\o\al(5,5)＝5×4×3×2×1＝120.7．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，要派5名队员参与竞赛，其中3名主力队员支配在第一、三、五位置，其余7名队员选2名支配在其次、四位置，那么不同的出场支配共有________种．答案252解析三名主力队员排在第一、三、五位置有Aeq\o\al(3,3)种排法，其余7名队员选2名排在其次、四位置有Aeq\o\al(2,7)种排法，故共有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(2,7)＝252种出场支配．8．两个家庭的4个大人与2个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为平安起见，首尾肯定要排2个爸爸，另外，2个小孩肯定要排在一起，则这6人入园依次的排法种数为________．答案24解析第一步：将2个爸爸排在两端，有2种排法；其次步：将2个小孩视为一人与2个妈妈随意排在中间的三个位置上，有Aeq\o\al(3,3)种排法；第三步：将2个小孩排序有2种排法．故总的排法有2×2×Aeq\o\al(3,3)＝24种．三、解答题9．解下列各式中的n值．(1)90Aeq\o\al(2,n)＝Aeq\o\al(4,n)；(2)Aeq\o\al(4,n)·Aeq\o\al(n－4,n－4)＝42Aeq\o\al(n－2,n－2).解(1)∵90Aeq\o\al(2,n)＝Aeq\o\al(4,n)，∴90n(n－1)＝n·(n－1)(n－2)(n－3)，∴n2－5n＋6＝90，n2－5n－84＝0即(n－12)(n＋7)＝0，n＝12或n＝－7.由排列数定义知n≥4，n∈N*，∴n＝12.(2)∵Aeq\o\al(4,n)·Aeq\o\al(n－4,n－4)＝42Aeq\o\al(n－2,n－2)，∴eq\f(n！,n－4！)·(n－4)！＝42(n－2)！，∴n(n－1)＝42，即n2－n－42＝0解得n＝7或n＝－6.由排列数定义知n≥4，n∈N*.∴n＝7.10．从1到9这9个数字中取出不同的5个数进行排列．问：(1)奇数的位置上是奇数的有多少种排法？(2)取出的奇数必需排在奇数位置上有多少种排法？解(1)奇数共5个，奇数位置共有3个；偶数共有4个，偶数位置有2个．第一步先在奇数位置上排上奇数共有Aeq\o\al(3,5)种排法；其次步再排偶数位置，4个偶数和余下的2个奇数可以排，排法为Aeq\o\al(2,6)种，由分步乘法计