2024年高考数学一轮复习专题5.1平面向量的概念及线性运算练习含解析

PAGEPAGE15.1平面对量的概念及线性运算【套路秘籍】【套路秘籍】千里之行始于足下一．向量的有关概念名称定义表示方法留意事项向量既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模)向量或；模或平面对量是自由向量零向量长度等于0的向量，方向是随意的记作零向量方向是随意的单位向量长度等于1个单位的向量常用表示非零向量的单位向量是平行向量方向相同或相反的非零向量与共线可记为与任一向量平行或共线共线向量平行向量又叫共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量的相反向量为二．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb口诀：(加法三角形)首尾连，连首尾；(加法平行四边形)起点相同连对角；(减法三角形)共起点，连终点，指向被减．三．向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.四．平面对量基本定理假如e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的随意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内全部向量的一组基底．【修炼套路】【修炼套路】为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始考向一概念辨析【例1】推断下列各命题正确的是：(1)单位向量都相等；(2)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关；(3)若A，B，C，D是不共线的四点，则eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16(→))是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；(4)若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；(5)两向量a，b相等的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.【答案】（2）（3)【解析】(1)不正确．(2)正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不肯定相同．(3)正确，∵eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16(→))，∴|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝|eq\o(DC,\s\up16(→))|且AB∥DC.又∵A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD是平行四边形．反之，若四边形ABCD是平行四边形，则AB綊DC，且eq\o(AB,\s\up16(→))与eq\o(DC,\s\up16(→))方向相同．因此eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16(→)).(4)不正确，当b＝0时，a与c可以不共线．(5)不正确，当a∥b，但方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b.【套路总结】【套路总结】1．相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．2．共线向量即平行向量，它们均与起点无关．相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量肯定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量．向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．4．非零向量a与eq\f(a,|a|)的关系：eq\f(a,|a|)是a方向上的单位向量．5．向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小．6.零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线．【举一反三】1．给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；③若A，B，C，D是不共线的四点，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，则四边形ABCD为平行四边形；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；⑤已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中真命题的序号是________．【答案】③【解析】①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不肯定有相同的起点和终点；②错误，若b＝0，则a与c不肯定共线；③正确，因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|且eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；④错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件；⑤错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为随意向量，满意λa＝μb，但a与b不肯定共线．考向二平面对量的线性运算【例2】在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，若点D满意eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，则eq\o(AD,\s\up6(→))等于()A.eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)cB.eq\f(5,3)c－eq\f(2,3)bC.eq\f(2,3)b－eq\f(1,3)cD.eq\f(1,3)b＋eq\f(2,3)c(2)在△ABC中，点M，N满意eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(MC,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(NC,\s\up6(→)).若eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，则x＝________，y＝______.(3)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up6(→))，则x的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))【答案】（1）A（2）eq\f(1,2)－eq\f(1,6)（3）D【解析】（1）∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))＝2(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))，∴3eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(AC,\s\up6(→))＋Aeq\o(B,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)c.（2）eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，∴x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,6).（3）设eq\o(CO,\s\up6(→))＝yeq\o(BC,\s\up6(→))，∵eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CO,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋yeq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋y(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－yeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1＋y)eq\o(AC,\s\up6(→)).∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，∴y∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))，∵eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴x＝－y，∴x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0)).【套路总结】【套路总结】平面对量的线性运算1.进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相像三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．2.向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．3.用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①视察各向量的位置；②找寻相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.【举一反三】1.如图，在△ABC中，点D在BC边上，且CD＝2DB，点E在AD边上，且AD＝3AE，则用向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))表示eq\o(CE,\s\up6(→))为()A.eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(8,9)eq\o(AC,\s\up6(→)) B.eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(8,9)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(7,9)eq\o(AC,\s\up6(→)) D.eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(7,9)eq\o(AC,\s\up6(→))【答案】B【解析】由平面对量的三角形法则及向量共线的性质可得eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→)))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(AC,\s\up6(→))－\o(AB,\s\up6(→))))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(8,9)eq\o(AC,\s\up6(→)).2.如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点．若eq\o(BE,\s\up6(→))＝λeq\o(BA,\s\up6(→))＋μeq\o(BD,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________.【答案】eq\f(3,4)【解析】∵E为线段AO的中点，∴eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(BD,\s\up6(→))))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(BD,\s\up6(→))＝λeq\o(BA,\s\up6(→))＋μeq\o(BD,\s\up6(→))，∴λ＋μ＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).3.在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2eq\r(3)，BC＝2，点E在线段CD上，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋μeq\o(AB,\s\up6(→))，则μ的取值范围是________．【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))【解析】由题意可求得AD＝1，CD＝eq\r(3)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→)).∵点E在线段CD上，∴eq\o(DE,\s\up6(→))＝λeq\o(DC,\s\up6(→))(0≤λ≤1)．∵eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋λeq\o(DC,\s\up6(→))，又eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋μeq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋2μeq\o(DC,\s\up6(→))，∴2μ＝λ，即μ＝eq\f(λ,2).∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤eq\f(1,2).4.在平行四边形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝xeq\o(AE,\s\up6(→))＋yeq\o(AF,\s\up6(→))(x，y∈R)，则x－y＝________.【答案】2【解析】由题意得eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝xeq\o(AE,\s\up6(→))＋yeq\o(AF,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y,2)))eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋y))eq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y,2)＝1，,\f(x,2)＋y＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4,3)，,y＝－\f(2,3)，))所以x－y＝2.考向三共线定理及其运用【例3-1】已知O，A，B是不共线的三点，且eq\o(OP,\s\up16(→))＝meq\o(OA,\s\up16(→))＋neq\o(OB,\s\up16(→))(m，n∈R)．(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.【答案】见解析【解析】(1)若m＋n＝1，则eq\o(OP,\s\up16(→))＝meq\o(OA,\s\up16(→))＋(1－m)eq\o(OB,\s\up16(→))＝eq\o(OB,\s\up16(→))＋m(eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→)))，∴eq\o(OP,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→))＝m(eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→)))，即eq\o(BP,\s\up16(→))＝meq\o(BA,\s\up16(→))，∴eq\o(BP,\s\up16(→))与eq\o(BA,\s\up16(→))共线．又∵Beq\o(P,\s\up16(→))与Beq\o(A,\s\up16(→))有公共点B，∴A，P，B三点共线．(2)若A，P，B三点共线，存在实数λ，使eq\o(BP,\s\up16(→))＝λeq\o(BA,\s\up16(→))，∴eq\o(OP,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→))＝λ(eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→)))．又eq\o(OP,\s\up16(→))＝meq\o(OA,\s\up16(→))＋neq\o(OB,\s\up16(→)).故有meq\o(OA,\s\up16(→))＋(n－1)eq\o(OB,\s\up16(→))＝λeq\o(OA,\s\up16(→))－λeq\o(OB,\s\up16(→))，即(m－λ)eq\o(OA,\s\up16(→))＋(n＋λ－1)eq\o(OB,\s\up16(→))＝0.∵O，A，B不共线，∴eq\o(OA,\s\up16(→))，eq\o(OB,\s\up16(→))不共线，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－λ＝0，,n＋λ－1＝0，))∴m＋n＝1.【例3-2】(1)已知D为△ABC的边AB的中点．点M在DC上且满意5eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋3eq\o(AC,\s\up6(→))，则△ABM与△ABC的面积比为________．（2）已知的重心为，过任做始终线分别交边于两点，设，则的最小值是________．（3）已知数列为等差数列，且满意，若（），点为直线外一点，则（）【答案】（1）3∶5（2）（3）【解析】（1）由5eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋3eq\o(AC,\s\up6(→))，得2eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))＋3eq\o(AC,\s\up6(→))－3eq\o(AM,\s\up6(→))，即2(eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝3(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→)))，即2eq\o(DM,\s\up6(→))＝3eq\o(MC,\s\up6(→))，故eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)eq\o(DC,\s\up6(→))，故△ABM与△ABC同底且高的比为3∶5，故S△ABM∶S△ABC＝3∶5.≥，当且仅当时等号成立，即时取得最小值．（3）∵数列{an}为等差数列，满意，其中A，B，C在一条直线上，O为直线AB外一点，∴a1+a2024=1，∵数列{an}是等差数列，∴{an}的=1，【套路总结】【套路总结】共线向量定理的主要应用：(1)证明向量共线：对于非零向量a，b，若存在实数λ，使a=λb，则a与b共线．(2)证明三点共线：若存在实数λ，使，则A，B，C三点共线．【注】证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点.(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．【举一反三】1.如图，△ABC中，在AC上取一点N，使AN＝eq\f(1,3)AC；在AB上取一点M，使AM＝eq\f(1,3)AB；在BN的延长线上取点P，使得NP＝eq\f(1,2)BN；在CM的延长线上取点Q，使得eq\o(MQ,\s\up6(→))＝λeq\o(CM,\s\up6(→))时，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(QA,\s\up6(→))，试确定λ的值．【答案】eq\f(1,2)【解析】∵eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(NP,\s\up6(→))－eq\o(NA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BN,\s\up6(→))－eq\o(CN,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(BN,\s\up6(→))＋eq\o(NC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(QA,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))－eq\o(MQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BM,\s\up6(→))＋λeq\o(MC,\s\up6(→))，又eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(QA,\s\up6(→))，∴eq\f(1,2)eq\o(BM,\s\up6(→))＋λeq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，即λeq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MC,\s\up6(→))，∴λ＝eq\f(1,2).2.在△ABC中，O为其内部一点，且满意eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→))＋3eq\o(OB,\s\up16(→))＝0，则△AOB和△AOC的面积比是()A．3∶4B．3∶2C．1∶1D．1∶3【答案】D【解析】依据题意，如图，在△ABC中，M为AC的中点，则eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→))＝2eq\o(OM,\s\up16(→))，又由eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→))＋3eq\o(OB,\s\up16(→))＝0，则有2eq\o(OM,\s\up16(→))＝－3eq\o(OB,\s\up16(→))；从而可得B，O，M三点共线，且2OM＝3BO；由2OM＝3BO可得，eq\f(S△AOC,S△ABC)＝eq\f(OM,BM)＝eq\f(3,5)，S△AOB＋S△BOC＝eq\f(2,5)S△ABC，又由S△AOB＝S△BOC，则S△AOB＝eq\f(1,5)S△ABC，则eq\f(S△AOB,S△AOC)＝eq\f(1,3).故选D.3．已知点D为△ABC所在平面上一点，且满意Aeq\o(D,\s\up16(→))＝eq\f(1,5)Aeq\o(B,\s\up16(→))－eq\f(4,5)Ceq\o(A,\s\up16(→))，若△ACD的面积为1，则△ABD的面积为()A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】由Aeq\o(D,\s\up16(→))＝eq\f(1,5)Aeq\o(B,\s\up16(→))－eq\f(4,5)Ceq\o(A,\s\up16(→))，得5eq\o(AD,\s\up16(→))＝Aeq\o(B,\s\up16(→))＋4Aeq\o(C,\s\up16(→))，所以Aeq\o(D,\s\up16(→))－Aeq\o(B,\s\up16(→))＝4(Aeq\o(C,\s\up16(→))－Aeq\o(D,\s\up16(→)))，即Beq\o(D,\s\up16(→))＝4Deq\o(C,\s\up16(→)).所以点D在边BC上，且|Beq\o(D,\s\up16(→))|＝4|Deq\o(C,\s\up16(→))|，所以S△ABD＝4S△ACD＝4.4.已知等差数列的前项和为，、、三点共线，且，则__________．【答案】1009【运用套路】【运用套路】纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行1．下列说法正确的是（）A．若，则、的长度相等且方向相同或相反B．若向量、满意，且与同向，则C．若，则与可能是共线向量D．若非零向量与平行，则、、、四点共线【答案】C【解析】对于A选项，模相等的向量，方向不肯定相同或者相反，也可能垂直，或者成其它的角度，故A选项错误.对于B选项，向量不能用大于或者小于号相连，向量的模可以比较大小，故B选项错误.对于C选项，不相等的向量可以共线，故C选项正确.对于D选项，平行向量,对应的四点不肯定是共线的，故D选项错误.综上所述，本小题选C.2．在四边形中，且，则四边形的形态肯定是（）A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形【答案】C【解析】因为，所以,四边形是平行四边形又，所以,四边形是菱形，故选C.3．下列说法中正确的是（）A．单位向量都相等B．平行向量不肯定是共线向量C．对于随意向量，，必有D．若，满意且与同向，则【答案】C【解析】对于A,单位向量模都相等，方向不肯定相同，故错误，对于B,平行向量就是共线向量，对于C,若，同向共线，，若，反向共线，，若，不共线，依据向量加法的三角形法则及两边之和大于第三边知，综上可知对于随意向量，，必有正确，对于D,两个向量不能比较大小，故错误.故选C.4．下列结论正确的是（）A．a=bC．a//b，b【答案】A【解析】逐一考查所给的说法：若a=b，则a=若a=0，则由a⋅b=a⋅若b=0，则由a//b，b//c不两个向量无法比较大小，故结论a>b错误，选项D说法错误；故选：5．如图，在平行四边形中，点满意，与交于点，设，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】设是上除点外的令一个三等分点，连接，连接交于，则.在三角形中，是两条中线的交点，故是三角形的重心，结合可知，由于是中点，故.所以，由此可知，故选C.6．（）A． B． C． D．【答案】B【解析】依题意，故选B.7.设D为△ABC的边AB的中点，P为△ABC内一点，且满意，eq\o(AP,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\f(2,5)eq\o(BC,\s\up16(→))，则eq\f(S△APD,S△ABC)＝()A.eq\f(3,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,5)D.eq\f(3,10)【答案】C【解析】如图∵eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\f(2,5)eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(DP,\s\up16(→))＝eq\o(AP,\s\up16(→))，∴Deq\o(P,\s\up16(→))＝eq\f(2,5)Beq\o(C,\s\up16(→))，∠ADP＝∠ABC，∵D是AB的中点，∴AD＝eq\f(1,2)AB.∴eq\f(S△APD,S△ABC)＝eq\f(\f(1,2)·AD·DPsin∠ADP,\f(1,2)·AB·BCsin∠ABC)＝eq\f(1,5).故选C.8.A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合)，若eq\o(OC,\s\up16(→))＝λeq\o(OA,\s\up16(→))＋μeq\o(OB,\s\up16(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是()A．(0,1)B．(1，＋∞)C．(1，eq\r(2)]D．(－1,0)【答案】B【解析】设eq\o(OC,\s\up16(→))＝meq\o(OD,\s\up16(→))，则m>1，因为eq\o(OC,\s\up16(→))＝λeq\o(OA,\s\up16(→))＋μeq\o(OB,\s\up16(→))，所以meq\o(OD,\s\up16(→))＝λeq\o(OA,\s\up16(→))＋μeq\o(OB,\s\up16(→))，即eq\o(OD,\s\up16(→))＝eq\f(λ,m)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(μ,m)eq\o(OB,\s\up16(→))，又知A，B，D三点共线，所以eq\f(λ,m)＋eq\f(μ,m)＝1，即λ＋μ＝m，所以λ＋μ>1.故选B.10.已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且eq\o(OP,\s\up16(→))＝eq\f(3\o(OA,\s\up16(→))－\o(OB,\s\up16(→)),2)，则()A．点P在线段AB上B．点P在线段AB的反向延长线上C．点P在线段AB的延长线上D．点P不在直线AB上【答案】B【解析】eq\o(OP,\s\up16(→))＝eq\f(3\o(OA,\s\up16(→))－\o(OB,\s\up16(→)),2)＝eq\f(3,2)eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→)))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up16(→))，即eq\o(OP,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→))＝eq\o(AP,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up16(→))，所以点P在线段AB的反向延长线上．故选B.11．若O为△ABC所在平面内一点，且eq\o(OA,\s\up16(→))＋2eq\o(OB,\s\up16(→))＋3eq\o(OC,\s\up16(→))＝0，则S△OBC∶S△AOC∶S△ABO＝()A．3∶2∶1B．2∶1∶3C．1∶3∶2D．1∶2∶3【答案】D【解析】如图所示，延长OB到D，使得BD＝OB，延长OC到E，使得CE＝2OC.连接AD，DE，AE.∵eq\o(OA,\s\up16(→))＋2eq\o(OB,\s\up16(→))＋3eq\o(OC,\s\up16(→))＝0，∴点O为△ADE的重心．∴S△OBC＝eq\f(1,6)S△ODE＝eq\f(1,6)×eq\f(1,3)S△ADE＝eq\f(1,18)S△ADE；S△AOC＝eq\f(1,3)S△OAE＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)S△ADE＝eq\f(1,9)S△ADE；S△ABO＝eq\f(1,2)S△OAD＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)S△ADE＝eq\f(1,6)S△ADE.∴S△OBC∶S△AOC∶S△ABO＝eq\f(1,18)∶eq\f(1,9)∶eq\f(1,6)＝1∶2∶3.故选D.12.在△ABC中，M为边BC上随意一点，N为AM中点，eq\o(AN,\s\up16(→))＝λeq\o(AB,\s\up16(→))＋μeq\o(AC,\s\up16(→))，则λ＋μ的值为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D．1【答案】A【解析】设eq\o(BM,\s\up16(→))＝teq\o(BC,\s\up16(→))，则eq\o(AN,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AM,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BM,\s\up16(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BM,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)teq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(t,2)(eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(t,2)))eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(t,2)eq\o(AC,\s\up16(→))∴λ＝eq\f(1,2)－eq\f(t,2)，μ＝eq\f(t,2)∴λ＋μ＝eq\f(1,2).故选A.13在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且eq\o(BC,\s\up16(→))＝3eq\o(CD,\s\up16(→))，点O在线段CD上(与点C、D不重合)，若eq\o(AO,\s\up16(→))＝xeq\o(AB,\s\up16(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up16(→))，则x的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))【答案】D【解析】设Ceq\o(O,\s\up16(→))＝yeq\o(BC,\s\up16(→))，则eq\o(AO,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(CO,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))＋yeq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))＋y(eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→)))＝－yeq\o(AB,\s\up16(→))＋(1＋y)eq\o(AC,\s\up16(→))，∵eq\o(BC,\s\up16(→))＝3eq\o(CD,\s\up16(→))，点O在线段CD上(与点C、D不重合)，∴y∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))，∵eq\o(AO,\s\up16(→))＝xeq\o(AB,\s\up16(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up16(→))，∴x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0)).故选D.14.若M为△ABC内一点，eq\o(AM,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up16(→))，则△ABM和△ABC的面积之比为()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)【答案】A【解析】设eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(AE,\s\up16(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up16(→))，以AD，AE为邻边作平行四边形ADME，延长EM交BC与F，连接BM.则EF∥AB，∴eq\f(S△ABM,S△ABC)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(1,4).故选A.15．在中，为其内部一点，且满意，则和的面积比是（）A．3：4 B．3:2 C．1:1 D．1:3【答案】D【解析】取中点,则由得,所以,在线段上,因此，选D.16．已知，点是边的中点，若点满意，则（）A． B．C． D．【答案】D【解析】点M是边BC的中点，可得2，，可得2（）4，即2（）+12，可得6，即∥，故选：D．17．如图，在中，设，的中点为，的中点为，的中点为，若，则（）A． B． C． D．1【答案】C【解析】由题意可得，，①，②由①②解方程求得.再由可得.18．四边形OABC中，CB=12OA，若OA=aA．a–12b B．12a–b C．b+1【答案】D【解析】由CB=OB-所以AB=19．点P在ΔABC所在平面上，且满意PA+PB+A．12 B．13 C．1【答案】B【解析】因为PA+PB+PC=2AB=2(PB-20．如图所示，点是正六边形的中心，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，本题正确选项：21．如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则A． B．C． D．【答案】D【解析】依据题意得：，又，，所以.故选D.22．已知点是所在平面内一点，且满意，则直线必经过的()A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】D【解析】两边同乘以向量,得即点P在BC边的高线上，所以P的轨迹过△ABC的垂心，故选D.23.在中，是上的点，若，则实数的值为___________.【答案】【解析】因为，所以，即，所以．又因为三点共线，所以，所以．24如图，直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且与对角线AC交于点K，其中，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AK,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，则λ的值为______．【答案】eq\f(2,9)【解析】∵eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(5,2)eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(AF,\s\up6(→)).由向量加法的平行四边形法则可知，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，∴eq\o(AK,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)\o(AE,\s\up6(→))＋2\o(AF,\s\up6(→))))＝eq\f(5,2)λeq\o(AE,\s\up6(→))＋2λeq\o(AF,\s\up6(→))，∵E，F，K三点共线，∴eq\f(5,2)λ＋2λ＝1，∴λ＝eq\f(2,9).25.如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD＝2DC，若eq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AD,\s\up6(→))(m，n∈R)，则m－n＝________.【答案】－2【解析】由于BD＝2DC，则eq\o(BC,\s\up6(→))＝－3eq\o(CD,\s\up6(→))，其中eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，那么eq\o(BC,\s\up6(→))＝－3eq\o(CD,\s\up6(→))