2024高考数学一轮复习第七章立体几何课时作业40空间点直线平面之间的位置关系文VIP

PAGEPAGE1课时作业40空间点、直线、平面之间的位置关系[基础达标]一、选择题1．[2024·江西七校联考]已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是()A．相交或平行B．相交或异面C．平行或异面D．相交、平行或异面解析：依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．答案：D2．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是()A．b⊂αB．b∥αC．b⊂α或b∥αD．b与α相交或b⊂α或b∥α解析：b与α相交或b⊂α或b∥α都可以．答案：D3.如图所示，ABCD－A1B1C1D1是正方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面解析：连接A1C1，AC(图略)，则A1C1∥AC，∴A1，C1，A，C四点共面，∴A1C⊂平面ACC1A∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1.又M∈平面AB1D∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1同理A，O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，∴A，M，O三点共线．答案：A4．[2024·河北张家口模拟]三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等边三角形，AA1⊥平面ABC，AA1＝AB，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，则BM与A.eq\f(1,10)B.eq\f(3,5)C.eq\f(7,10)D.eq\f(4,5)解析：取BC的中点O，连接NO，AO，MN，因为B1C1綊BC，OB＝eq\f(1,2)BC，所以OB∥B1C1，OB＝eq\f(1,2)B1C1，因为M，N分别为A1B1，A1C1的中点，所以MN∥B1C1，MN＝eq\f(1,2)B1C1，所以MN綊OB，所以四边形MNOB是平行四边形，所以NO∥MB，所以∠ANO或其补角即为BM与AN所成角，不妨设AB＝2，则有AO＝eq\r(3)，ON＝BM＝eq\r(5)，AN＝eq\r(5)，在△ANO中，由余弦定理可得cos∠ANO＝eq\f(AN2＋ON2－AO2,2AN·ON)＝eq\f(5＋5－3,2×\r(5)×\r(5))＝eq\f(7,10).故选C.答案：C5．[2024·安徽联合检测]若在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠A1AC＝∠BAC＝60°，平面A1ACC1⊥平面ABC，AA1＝AC＝AB，则异面直线AC1与A1A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(2),4)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),4)解析：解法一如图，在平面ABC，平面A1B1C1中分别取点D，D1，连接BD，CD，B1D1，C1D1，使得四边形ABDC，A1B1D1C1为平行四边形，连接DD1，BD1，则AB＝C1D1且AB∥C1D1，所以AC1∥BD1，故∠A1BD1即异面直线AC1与A1B所成的角．连接A1D1，过点A1作A1M⊥AC于点M，连接BM，设AA1＝2，由∠A1AM＝∠BAC＝60°，得AM＝1，BM＝eq\r(3)，A1M＝eq\r(3)，因为平面A1ACC1⊥平面ABC，A1M⊂平面A1ACC1，所以A1M⊥平面ABC，所以A1M⊥BM，所以A1B＝eq\r(6)，在菱形A1ACC1中，易求得AC1＝2eq\r(3)＝BD1，在菱形A1B1D1C1中，易求得A1D1＝2eq\r(3)，所以cos∠A1BD1＝eq\f(A1B2＋BD\o\al(2,1)－A1D\o\al(2,1),2A1B·BD1)＝eq\f(6＋12－12,2\r(6)×2\r(3))＝eq\f(\r(2),4)，所以异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为eq\f(\r(2),4).解法二令M为AC的中点，连接MB，MA1，易得MA，MB，MA1两两垂直．以M为原点，eq\o(MA,\s\up10(→))，eq\o(MB,\s\up10(→))，eq\o(MA1,\s\up10(→))的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设AA1＝AC＝AB＝2，则A(1,0,0)，B(0，eq\r(3)，0)，A1(0,0，eq\r(3))，C1(－2,0，eq\r(3))，所以eq\o(AC1,\s\up10(→))＝(－3,0，eq\r(3))，eq\o(A1B,\s\up10(→))＝(0，eq\r(3)，－eq\r(3))，所以cos〈eq\o(AC1,\s\up10(→))，eq\o(A1B,\s\up10(→))〉＝eq\f(－3,2\r(3)×\r(6))＝－eq\f(\r(2),4)，故异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为eq\f(\r(2),4).答案：B二、填空题6．设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是________．①P∈a，P∈α⇒a⊂α；②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β；③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α；④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b.解析：当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；a∩β＝P时，②错；如图∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，又a∥b，由a与b确定唯一平面γ，但γ经过直线a与点P，∴γ与α重合，∴b⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．答案：③④7．如图所示，G，H，M，N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上全部正确答案的序号)．解析：图(1)中，直线GH∥MN；图(2)中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图(3)中，连接MG，HN，GM∥HN，因此GH与MN共面；图(4)中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．所以图(2)，(4)中GH与MN异面．答案：(2)(4)8．[2024·福建四地六校联考]已知三棱锥A－BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD成60°角，点M、N分别是BC、AD的中点，则异面直线AB与MN所成角的大小为________．解析：如图，取AC的中点P，连接PM，PN，则PM∥AB，且PM＝eq\f(1,2)AB，PN∥CD，且PN＝eq\f(1,2)CD.∴∠MPN或其补角为AB与CD所成的角，则∠MPN＝60°或∠MPN＝120°，∵PM∥AB，∴∠PMN或其补角是AB与MN所成的角，∵AB＝CD，∴PM＝PN，若∠PMN＝60°，则△PMN是等边三角形，∴∠PMN＝60°，∴AB与MN所成的角为60°.若∠MPN＝120°，则∠PMN＝30°，∴AB与MN所成的角为30°，综上，异面直线AB与MN所成的角为30°或60°.答案：30°或60°三、解答题9.如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F，求证：E，F，G，H四点必定共线．证明：因为AB∥CD，所以AB，CD确定一个平面β.又因为AB∩α＝E，AB⊂β，所以E∈α，E∈β，即E为平面α与β的一个公共点．同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点，因为若两个平面有公共点，那么它们有且只有一条通过公共点的公共直线，所以E，F，G，H四点必定共线．10．如图，已知不共面的三条直线a，b，c相交于点P，A∈a，B∈a，C∈b，D∈c，求证：AD与BC是异面直线．证明：假设AD和BC共面，所确定的平面为α，那么点P，A，B，C，D都在平面α内，∴直线a，b，c都在平面α内，与已知条件a，b，c不共面冲突，假设不成立．∴AD和BC是异面直线．[实力挑战]11．[2024·武汉调研]在棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在棱AB，CD上，且AE＝CF(1)求异面直线A1E与C1F(2)求四面体EFC1A1解析：(1)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，延长DC至M，使CM＝1，则AE綊CM.连接AC，EM，∴ME綊AC綊A1C1，连接MC1，∴A1E綊C1M∴∠FC1M为异面直线A1E与C1在△FC1M中，C1F＝C1M＝eq\r(10)，FM＝2，∴cos∠FC1M＝eq\f(10＋10－4,2×\r(10)×\r(10))＝eq\f(4,5).故异面直线A1E与C1F所成角的