2025年甘肃省临夏回族自治州九年级诊断考试一模数学试卷（原卷版+解析版）

2025年临夏州九年级诊断考试（一）数学试卷本试卷共8页，满分120分，考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、县/区、考点、考场、座号填写清楚．2．答题请使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．请按照题号在答题卡各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．4．保持答题卡纸面清洁，不折叠，不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项）1.2025年是农历乙巳蛇年，2025的倒数是（）A2025 B. C. D.2.金蛇献瑞、蛇舞新春！下列图案中，是中心对称图形的是（）A. B.C. D.3.一部《哪吒之魔童闹海》在全球影史票房榜上不断将新纪录收入囊中．据网络数据平台，截至3月19日，《哪吒之魔童闹海》累计票房（含海外及预售票房）突破151.7亿元．151.7亿用科学记数法表示（）A B. C. D.4.如图，已知，，则度数为（）A. B. C. D.5.下列计算正确的是（）A. B. C. D.6.如图，A、B、C为上的三个点，，则的度数为（）A.15° B.30° C.45° D.60°7.掀起了“人工智能”的热潮，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时．则下列方程正确的是（）A. B.C. D.8.如图是一次函数的图象，下列说法正确的是（）A.y随x增大而增大 B.图象经过第三象限C.， D.当时，9.如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点，．若，，则的长为（）A. B.6 C. D.10.如图①，在中，，D是边的中点，点P从的顶点A出发，沿以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点D，在运动过程中，线段的长度y随时间x变化的函数图象如图②所示，Q是曲线部分的最低点，则的长为（）A.3 B. C. D.12二、填空题（本大题共6小题．每小题3分，共18分）11因式分解：______．12.函数中，自变量的取值范围是_______.13.如图是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，则这个正八边形的一个内角是______14.关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是_____．15.“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为，开口宽为，这个水容器所能装水的最大深度是________．16.如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交BC于点F．若，则的长为______．三、解答题（一）（本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.计算：18.解不等式组：．19.下面是小夏同学进行分式化简的过程：化简：．解：原式………………第一步………………第二步．………………第三步（1）小夏同学的化简过程从第______步开始出现错误；（2）请写出正确的化简过程．20.用直尺和圆规作圆的内接正方形．作法图形①作直径．②过点作的垂线．③作的平分线交于点．④以为圆心，长为半径，作弧交于点．⑤依次连接，，．四边形就是所求作的正方形．（1）完成作图；（保留作图痕迹）（2）说明按作法求作的四边形是正方形的理由．21.为了让同学们更多地了解家乡文化，在某次班会上，甲、乙准备从“．临夏砖雕、．傩舞傩戏、C．河州泥塑、．保安腰刀”这四个传统的非物质文化遗产中，各选一个进行学习并做演讲．班长做了4张背面完全相同的卡片，如图，卡片正面分别粘贴了这4个非物质文化遗产的图画．将卡片背面朝上洗匀后，让甲先从这4张卡片中随机抽取一张，放回后乙再随机抽取一张，以所抽取卡片正面的内容进行准备．（1）甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到临夏砖雕的概率是_____；（2）请用列表或画树状图的方法，甲、乙两人抽到不同非物质文化遗产的概率．22.如图①是位于嘉峪关市雄关广场转盘中心的象征这座城市的雄关之光，于2001年6月建成，其形如长剑指天，寓意亲手创造了戈壁钢城的嘉峪关人坚韧不拔，奋发向上，继续创建嘉峪关更加辉煌明天的美好愿望．某校实践小组把“测量雄关之光雕塑的高度”作为一项活动课题，并设计了如下的测量方案．活动课题测量雄关之光雕塑的高度工具无人机示意图

说明如图②，用无人机在点处测得雕塑顶端处的仰角为，雕塑底端处的俯角为，无人机距离雕塑的水平距离为，雕塑垂直于地面，，，，在同一平面内测量数据米请根据以上测量数据，计算雄关之光雕塑的高度．（结果保留整数）（参考数据：，，，，，）四、解答题（二）（本大题共5小题，共40分．解答时应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤）23.随着科技的发展人工智能渐渐走进了人们的生活，现从甲、乙两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了20个用户的得分数据进行整理、描述和分析（得分用表示），共分为四组，A：，B：，C：，D：，下面给出了部分信息．甲款人工智能软件得分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100．乙款人工智能软件在C组内（）的所有得分数据：85，86，87，88，88，88，90，90．甲、乙两款人工智能软件得分统计表：软件平均数中位数众数方差甲8685.596.6乙8688乙款人工智能软件得分扇形统计图：根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：_______，______，______；（2）根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）若本次调查有900名用户对甲款人工智能软件进行了调查评分，有1200名用户对乙款人工智能软件进行了评分，估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意（）的总用户数．24.如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数（）在第一象限内的图象相交于点，点在反比例函数的图象上．（1）求反比例函数的解析式及点的坐标；（2）求直线与两坐标轴围成的的面积．25.如图，在中，，以边为直径作，分别交边，于点D，E，过点E作直线于点G，交的延长线于点F．（1）求证：直线是的切线；（2）若，，求半径的长．26.【探究与证明】【问题情境】如图1，点为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点逆时针方向旋转度点、的对应点分别为点、．【问题解决】（1）如图2，在旋转的过程中，点落在了上，求此时的长；（2）若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，①试判断四边形的形状，并说明理由；②连接，求的长．27.已知：如图，抛物线与坐标轴分别交于点，，，点是线段上方抛物线上的一个动点，过点作轴的垂线，交线段于点，再过点作轴交抛物线于点．（1）求抛物线解析式；（2）当点运动到什么位置时，的长最大．求出点坐标（3）是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．

2025年临夏州九年级诊断考试（一）数学试卷本试卷共8页，满分120分，考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、县/区、考点、考场、座号填写清楚．2．答题请使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．请按照题号在答题卡各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．4．保持答题卡纸面清洁，不折叠，不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项）1.2025年是农历乙巳蛇年，2025的倒数是（）A.2025 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查的是倒数的含义．根据乘积为1的两个数互为倒数作答即可．【详解】解：2025的倒数是，故选：B．2.金蛇献瑞、蛇舞新春！下列图案中，是中心对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，故选：A．3.一部《哪吒之魔童闹海》在全球影史票房榜上不断将新纪录收入囊中．据网络数据平台，截至3月19日，《哪吒之魔童闹海》累计票房（含海外及预售票房）突破151.7亿元．151.7亿用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：151.7亿用科学记数法表示为，故选：C．4.如图，已知，，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了平行线性质的应用，熟练掌握平行线的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．由，，根据两直线平行，内错角相等，即可求得的度数．【详解】解：∵，∴．故选：C．5.下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了底数幂乘法、单项式除以单项式、合并同类项、幂的乘方等知识点，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．利用同底数幂乘法、单项式除以单项式、合并同类项、幂的乘方等运算法则分别计算，判断即可．【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；B、，原式计算错误，不符合题意；C、和不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；D、，计算正确，符合题意；故选：D．6.如图，A、B、C为上的三个点，，则的度数为（）A.15° B.30° C.45° D.60°【答案】D【解析】【分析】由，是所对的圆心角与圆周角，再利用圆周角定理可得答案．【详解】解：A、B、C为上的三个点，，．故选D【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握“在同圆或等圆中，同一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键．7.掀起了“人工智能”的热潮，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时．则下列方程正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是列出等量关系．设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，根据两队合作小时完成，可得出方程．【详解】解：设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，依题意得，故选：B．8.如图是一次函数的图象，下列说法正确的是（）A.y随x增大而增大 B.图象经过第三象限C.， D.当时，【答案】C【解析】【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，一次函数与坐标轴的交点坐标问题，根据一次函数的图象：从左往右逐渐下降，与y轴交于正半轴，再逐项判断即可得，能正确的识图是解本题的关键．【详解】解：A、由图象可得：y随x增大而减小，原说法错误，不符合题意；B、图象不经过第三象限，原说法错误，不符合题意；C、由图象可得y随x增大而减小，所以，函数图象与y轴的交点的纵坐标为b，则，原说法正确，符合题意；D、由图象可得，当时，，原说法错误，不符合题意．故选：C．9.如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点，．若，，则的长为（）A. B.6 C. D.【答案】A【解析】【分析】连接，先证明，得到，中垂线的性质得到，勾股定理求出的长，再利用勾股定理求出的长即可．【详解】解：连接，设交于点，如图：∵矩形，∴，，∴，∵是的垂直平分线，∴，∵，∴，∴，∴，在中，，在中，；故选A．【点睛】本题考查矩形的性质，中垂线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明．10.如图①，在中，，D是边的中点，点P从的顶点A出发，沿以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点D，在运动过程中，线段的长度y随时间x变化的函数图象如图②所示，Q是曲线部分的最低点，则的长为（）A.3 B. C. D.12【答案】C【解析】【分析】本题考查了函数图象，等边三角形的判定与性质，中位线的性质，含30°的直角三角形等知识．解题的关键在于从函数图象上获取信息．由图象知，，如图③，过点作，则，此时，最短，，，是等边三角形，点是的中点，是的中位线，进而可求的值．【详解】解：由函数图象可知，当时，；当时，最小，当时，，，，如图③，过点作，则，此时，最短，，∴，，∴，，是等边三角形，点是的中点，点是的中点，是的中位线，，故选：C．二、填空题（本大题共6小题．每小题3分，共18分）11.因式分解：______．【答案】【解析】【分析】本题考查用提公因式法分解因式．用提公因式分解因式即可．【详解】解：，故答案为：．12.函数中，自变量的取值范围是_______.【答案】【解析】【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数．【详解】依题意，得x-3≥0，

解得：x≥3．【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．13.如图是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，则这个正八边形的一个内角是______【答案】【解析】【分析】此题考查了正多边形内角问题，利用正多边形的内角和除以边数即可得到答案【详解】解：，即这个正八边形的一个内角是，故答案为：14.关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是_____．【答案】1【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．由题意知，，计算求解即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，∴，解得，，故答案为：1．15.“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为，开口宽为，这个水容器所能装水的最大深度是________．【答案】【解析】【分析】连接，过点O作于点D，交于点C，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而可得出的长．本题考查的是垂径定理的应用和勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．【详解】解：连接，过点O作于点D，交于点C，如图所示：∵，∴，由题意得：，在中，，∴，即水的最大深度为，故答案为：．16.如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交BC于点F．若，则的长为______．【答案】2【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．结合平行四边形的性质以及点E为的中点证明，再证明，由相似三角形的性质解答即可．详解】解：∵平行四边形中，对角线，相交于点O，∴，∵点E为的中点，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案为：2．三、解答题（一）（本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.计算：【答案】1【解析】【分析】分别进行二次根式的化简，零指数幂，然后将各部分的最简值进行合并即可得出答案；【详解】原式=3-1-1=1【点睛】本题考查了实数的运算，解答本题的关键是熟练掌握二次根式的化简计算以及零指数幂，属于基础题；18.解不等式组：．【答案】．【解析】【分析】本题主要考查解不等式组，掌握不等式的性质，不等式组的取值方法是解题的关键．根据不等式的性质分别得到，，再根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”即可求解．【详解】解：，解不等式①，去括号得，，移项可得，，合并同类项得，，解得，；解不等式②，去分母得，，移项得，．合并同类项得，，解得，；∴不等式组的解集为．19.下面是小夏同学进行分式化简的过程：化简：．解：原式………………第一步………………第二步．………………第三步（1）小夏同学的化简过程从第______步开始出现错误；（2）请写出正确的化简过程．【答案】（1）二；（2）．【解析】【分析】本题考查了分式的加减混合运算．（）根据分式的混合运算顺序和运算法则逐步进行判断即可；（）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简即可．【小问1详解】解：根据题意可得：第二步计算减法时，没有变号，∴小夏同学的化简过程从第二步开始出现错误，故答案为：二；【小问2详解】解：．20.用直尺和圆规作圆的内接正方形．作法图形①作直径．②过点作的垂线．③作的平分线交于点．④以为圆心，长为半径，作弧交于点．⑤依次连接，，．四边形就是所求作的正方形．（1）完成作图；（保留作图痕迹）（2）说明按作法求作的四边形是正方形的理由．【答案】（1）作图见解析（2）理由见解析【解析】【分析】本题考查作图－复杂作图，角平分线的定义，直径所对的圆周角等于，正方形的判定，用“”证明三角形全等及性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．（1）根据要求作出图形即可；（2）根据邻边相等的矩形是正方形证明即可．【小问1详解】解：所作图形如图所示：【小问2详解】解：理由如下：，，的平分线交于点，，是的直径，，在和中，，，，，四边形是矩形，又，四边形是正方形．21.为了让同学们更多地了解家乡文化，在某次班会上，甲、乙准备从“．临夏砖雕、．傩舞傩戏、C．河州泥塑、．保安腰刀”这四个传统的非物质文化遗产中，各选一个进行学习并做演讲．班长做了4张背面完全相同的卡片，如图，卡片正面分别粘贴了这4个非物质文化遗产的图画．将卡片背面朝上洗匀后，让甲先从这4张卡片中随机抽取一张，放回后乙再随机抽取一张，以所抽取卡片正面的内容进行准备．（1）甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到临夏砖雕的概率是_____；（2）请用列表或画树状图的方法，甲、乙两人抽到不同非物质文化遗产的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到临夏砖雕的结果有1种，利用概率公式可得答案．（2）列表可得出所有等可能的结果数以及甲、乙两人抽到不同非物质文化遗产的结果数，再利用概率公式可得出答案．【小问1详解】解：由题意知，共有4种等可能结果，其中抽到临夏砖雕的结果有1种，∴甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到临夏砖雕的概率是．【小问2详解】解：列表如下：

ABCDABCD共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人抽到不同非物质文化遗产的结果有12种，∴甲、乙两人抽到不同非物质文化遗产的概率为．22.如图①是位于嘉峪关市雄关广场转盘中心的象征这座城市的雄关之光，于2001年6月建成，其形如长剑指天，寓意亲手创造了戈壁钢城的嘉峪关人坚韧不拔，奋发向上，继续创建嘉峪关更加辉煌明天的美好愿望．某校实践小组把“测量雄关之光雕塑的高度”作为一项活动课题，并设计了如下的测量方案．活动课题测量雄关之光雕塑的高度工具无人机示意图

说明如图②，用无人机在点处测得雕塑顶端处的仰角为，雕塑底端处的俯角为，无人机距离雕塑的水平距离为，雕塑垂直于地面，，，，在同一平面内测量数据米请根据以上测量数据，计算雄关之光雕塑的高度．（结果保留整数）（参考数据：，，，，，）【答案】39米【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．根据垂直的定义得到，根据三角函数的定义得到（米，（米，于是得到结论．【详解】解：，，在中，，米，（米，在中，，米，（米，（米，答：雄关之光雕塑的高度约为39米．四、解答题（二）（本大题共5小题，共40分．解答时应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤）23.随着科技的发展人工智能渐渐走进了人们的生活，现从甲、乙两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了20个用户的得分数据进行整理、描述和分析（得分用表示），共分为四组，A：，B：，C：，D：，下面给出了部分信息．甲款人工智能软件得分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100．乙款人工智能软件在C组内（）所有得分数据：85，86，87，88，88，88，90，90．甲、乙两款人工智能软件得分统计表：软件平均数中位数众数方差甲8685.596.6乙8688乙款人工智能软件得分扇形统计图：根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：_______，______，______；（2）根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）若本次调查有900名用户对甲款人工智能软件进行了调查评分，有1200名用户对乙款人工智能软件进行了评分，估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意（）的总用户数．【答案】（1），，（2）乙，理由见解析（3）名【解析】【分析】（1）根据中位数和众数的定义、百分比的意义求解即可；（2）根据中位数、众数和方差的意义进行判断即可；（3）用样本估计总体即可．【小问1详解】解：共个数据，乙组数据第个、第个数据分别为、，中位数，甲组数据中出现的次数最多，众数，，，故答案为：，，；【小问2详解】解：乙款人工智能软件更受用户欢迎，理由如下：因为甲、乙两款人工智能软件得分的平均数相等，但乙款人工智能软件得分的中位数和众数均高于甲，而且乙的方差小于甲的方差，乙更稳定，所以乙款人工智能软件更受用户欢迎（答案不唯一，合理即可），答：乙款人工智能软件更受用户欢迎；【小问3详解】解：（名），估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意（）的总用户数约为名．【点睛】本题主要考查了求中位数，求众数，求扇形统计图的某项数目，运用中位数做决策，运用众数做决策，运用方差做决策，用样本估计总体等知识点，熟练掌握中位数、众数、方差的概念及扇形统计图是解题的关键．24.如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数（）在第一象限内的图象相交于点，点在反比例函数的图象上．（1）求反比例函数的解析式及点的坐标；（2）求直线与两坐标轴围成的的面积．【答案】（1）反比例函数的解析式为，点的坐标为；（2）．【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式．（1）由点可求得，联立得，求得，据此可求得点的坐标；（2）利用待定系数法求得直线的解析式，再求得，，再根据三角形的面积公式求解即可．【小问1详解】解：∵点在反比例函数的图象上，∴，∴反比例函数的解析式为，联立得，解得，∵点在第一象限，当时，，∴点的坐标为；【小问2详解】解：设直线的解析式为，将，代入得，，解得，∴直线的解析式为，当时，，当时，，∴，，∴．25.如图，在中，，以边为直径作，分别交边，于点D，E，过点E作直线于点G，交的延长线于点F．（1）求证：直线是的切线；（2）若，，求半径的长．【答案】（1）见解析（2）3【解析】【分析】本题考查了圆周角定理、切线的判定、勾股定理，掌握切线的判定方法，学会利用勾股定理求线段长度是解题的关键．（1）连接，，由直径可得，结合可得，进而得到，再利用平行线的性质可得，即可得证；（2）设，在中利用勾股定理，解方程得出的值即可解答．【小问1详解】证明：如图，连接，，是的直径，，，又，，，，，，，，直线是的切线．【小问2详解】解：设，在中，，，解得：，半径的长为3．2