高中数学中函数思想及其教学研究

题目：高中数学中函数思想及其教学研究目录14256_WPSOffice_Level1摘要 127399_WPSOffice_Level1Abstract 129001_WPSOffice_Level1一、引言 224562_WPSOffice_Level1二、函数的基本概念 214256_WPSOffice_Level2（一）函数的概念 228375_WPSOffice_Level2（二）函数思想 319033_WPSOffice_Level1三、函数思想在高中数学中的具体应用 423069_WPSOffice_Level2（一）方程中的函数思想 427399_WPSOffice_Level2（二）不等式中的函数思想 629001_WPSOffice_Level2（三）三角函数中的函数思想 824562_WPSOffice_Level2（四）数列中的函数思想 819033_WPSOffice_Level2（五）向量中的函数思想 1030699_WPSOffice_Level2（六）立体几何中的函数思想 1114612_WPSOffice_Level2（七）解析几何中的函数思想 1210096_WPSOffice_Level2（八）实际应用问题中的函数思想 1330699_WPSOffice_Level1四、函数思想在教学中的贯彻 1522657_WPSOffice_Level2（一）在基础知识教学过程中渗透函数思想 1523501_WPSOffice_Level2（二）在知识运用过程中深化函数思想 1511678_WPSOffice_Level2（三）引导学生利用函数思想进行阶段性总结 1614612_WPSOffice_Level1参考文献 1710096_WPSOffice_Level1致谢 18高中数学中函数思想及其教学研究摘要函数是高中数学中的一个重要的概念，它涵盖的知识多，渗透于高中数学的各部分内容之中。函数思想是函数知识的精髓，也是近年来高考的热点。本文主要有三大模块。第一部分论述了函数与函数思想的内涵以及函数思想是函数基础知识的深化与精髓；第二部分结合典型例题分析总结函数思想在方程、不等式、三角函数、数列、向量、立体几何、解析几何、应用题中的应用；第三部分在中学教学的基础上提出教师在教学过程中渗透函数思想、培养学生的函数思想的方法与建议。关键词：高中数学；函数；函数思想；教学策略ResearchonfunctionthoughtanditsteachinginhighschoolmathematicsAbstractFunctionisanimportantconceptinthehighschoolmathematics,whichcoversalotofknowledgeandpermeatesallpartsofhighschoolmathematics.Functionthoughtistheessenceoffunctionknowledgeandthehotspotofcollegeentranceexaminationinrecentyears.Thispaperisdividedintothreeparts.Thefirstpartdiscussestheconnotationoffunctionandfunctionthought,andthedeepeningandessenceoffunctionbasicknowledge.Thesecondpartanalyzesandsummarizestheapplicationoffunctionthoughtinequationinequality,trigonometricfunction,sequence,vector,solidgeometry,analyticgeometryandproblemsolvingwithtypicalexamples.Onthebasisofmiddleschoolteaching,inthethirdpartweputforwardthemethodsandsuggestionsforteacherstopermeatethefunctionthoughtandtrainstudents'functionthoughtintheteachingprocess.Keywords:Highschoolmathematics;Function;Functionthought;teachingstrategy一、引言数学思想是人们将现实世界中的同数学有关的事物抽象成数学对象，在对这些数学对象进行分析思考的过程中所形成的思维方式。培养学生数学思想的形成是希望学生能有具备数学的眼光，能够从数学的角度去观察、思考、理解实际生活。掌握了数学思想也就掌握了数学知识的精华，只有引导学生在数学知识的学习和运用过程中形成数学思想，才能够真正地提升其数学能力。在高中阶段常用的数学思想主要有：函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、化归与转化思想等。其中最基本的数学思想就是函数与方程思想，函数与方程思想又分为两部分：函数思想与方程思想。本文所研究的函数思想，即指从函数的角度去思考问题、分析问题，找准切入点将问题转化为函数问题，再运用函数的概念和性质解决问题。函数思想在高中数学中有着至关重要的作用，它横跨整个高中数学，遍及于方程、数列、三角函数、不等式等各个模块的学习和应用之中，并将各部分内容联系起来。学生若仅仅学习函数的知识，那么他在解决问题时就只是套用函数概念与性质等，难以真正理解题目内涵，解题效率不高也难以举一反三。只有建立起了函数思想，才能够主动地思考问题，因为数学知识的本质和灵魂是数学思想方法，数学学习的根本目的是掌握数学思想方法，数学教学的核心任务也是数学思想方法的深化[1]。随着数学教学改革的深化，教师在教学中也逐渐重视起了对学生函数思想这一方面能力的培养。二、函数的基本概念《中学数学教材教法总论》认为：现实世界的空间形式和数量关系是数学的主要研究对象，而数学概念则反映了这些研究对象的本质属性及特征[2]。正确理解数学概念是形成数学思想的基础。概念实质上是人脑对客观事物本质特征的认识，因此深化概念教学，有助于学生不断感知经验进而构建数学理论框架，通过运用合理的变式与范例突出概念的本质特征来帮助学生正确理解概念并培养学生思维的深度与灵活性。函数的概念函数是高中数学中一个重要的基本概念，它的本质就是两个非空数集在某种对应关系下的一个对应；同时，正确地理解及掌握函数概念对于树立函数意识、形成函数思想也起到了重要作用。函数的概念既是对之前所学的集合知识的巩固和发展，同时它也是数列、不等式、三角函数、导数等后继知识学习的基础和工具。在初中阶段，学生就已经初步接触到了函数。但由于初中阶段许多数学概念都没有引入，所以初中教材中的函数概念较为笼统：设在一个变化过程中有两个变量和。如果对于每个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么我们就称为自变量，把称为因变量，并且称是的函数。的取值范围就称为该函数的\t"/item/%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"定义域，而相应的取值范围则称为函数的\t"/item/%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"值域。到高中引入了集合与映射的概念后，函数的概念也得到了扩充，在原先两个变量的基础上又增加了“对应法则”的概念。因此，在高中教材中又重新给出了函数的概念：假设有两个非空数集和，如果按照某种确定的对应关系，使得集合中的任一个数，集合B中都有唯一确定的数与对应，那么就被称为从集合到集合的一个函数，记作：。其中，被称作自变量，的取值范围则称为该函数的定义域；与的值所对应的值叫做函数值，函数值的集合称作函数的值域。正确理解函数还念还应注意一下几点：首先，函数包含三要素：定义域、值域和对应法则，其中对应法则为函数的中心要素也是函数关系的本质特征，函数实际上就是揭示这三者之间的关系。在自然状态下，定义域的确定依靠对应法则，而值域的确定则是依靠定义域及对应法则。因此，要正确理解函数概念，关键就是处理好这三者之间的关系。其次，函数的性质是由自变量的变化决定的，而非的某个关系式。函数思想函数思想，即从函数的角度去思考问题、分析问题，找准切入点将问题转化为函数问题，再运用函数的概念和性质解决问题。函数描绘了问题本质的数量特征并且展现了变量间的制约关系。因此，函数思想的本质就是对变量关系的应用，在解决问题时保留问题的本质数量特征，同时去除问题的无关特征，提取出问题的数学对象，联系数量特征之间的关系进而构造函数模型，借助函数模型解决问题。函数是一个比较抽象的概念，对学生而言若只依靠题意与理论解决问题难度较大，这就要求学生能够在数学思想的辅助下将复杂问题转化为简单问题，以此达到理清函数本质的目的，并找到突破口来解决抽象问题，从而将问题完美解决[3]。三、函数思想在高中数学中的具体应用高中数学中对函数思想的考查多与其它知识相结合，常以综合题的形式出现。因此，应注意函数与方程、数列、不等式、立体几何等模块之间的联系。注意各模块数学知识的综合形式，只有多多积累知识才能够融会贯通，化繁为简，提高学生运用综合知识解决问题的能力[4]。（一）方程中的函数思想方程是中学数学中的重要内容，函数在高考中则占据着较大的比重。方程和函数是截然不同的两个概念，而纵观高中数学的整体内容，方程与函数的关系却是最为直接的，方程所表示的数量关系往往就是函数思想的应用[5]。若函数的解析式表示为，那么与其相对应的方程就可以表示为[6]，若从函数图像的角度来考虑，方程的解可以视为为函数的图像与轴交点的横坐标。因此，有些方程问题可以从变量的角度考虑将其转化为函数问题，进而运用函数性质与函数思想来解决；同时，某些函数问题也可以转化为方程问题，利用方程的性质来解决问题。例1.已知函数，如果关于的方程有个不同的实数根，并且所有的实数根的和为，求实数的取值范围。解：令,则,故的图像关于直线对称。又因为方程有个不同的实数根，且所有实数根之和为，所以，。故作函数的图像，如图所示：关于的方程有个不同的实数根可转化为函数的图像与有个不同交点。故结合图像可知，实数的取值范围为。评注：该题从函数的角度去思考方程问题，将方程有个实数根的条件转化为两个函数图像有四个交点，借助函数图像求解的取值范围。例2.解方程。分析：这是一道五次方程，在高中数学中较为少见，教师应当引导学生进行相应变形，利用函数性质解决问题。解：对原方程进行变形可得 。记函数 ，求导可得 ，显然，在其定义域上恒成立，故函数在定义域上为增函数。方程 即为，又因为单调递增，所以 ，解得。评注：该题属于高中阶段较少遇见也较难解决的高阶方程问题，许多学生看到一元五次方程就先泄了气，但实际上借助函数思想进行化简，问题便会迎刃而解。将五次方程整理转化为五次函数，其中将看作一个整体是转化的重点，这也考察了学生对函数概念的理解，接下来再结合单调函数的函数值与自变量一一对应关系，问题便迎刃而解。（二）不等式中的函数思想不等式性质的考查，在各种考试中一般不会独立成题，常常与函数的性质等相联系。因此，在不等式问题的解决中，函数思想发挥着巨大的作用，在很多不等式问题中常规思路往往难以直接解决问题，这时便需要灵活地运用函数性质以及函数思想将不等式问题进行化简。例3.已知奇函数在区间上是单调递减的，，且，，试阐明的值与的关系。分析：如何根据条件将，，联系起来找出三者和是解决本题的关键，要善于从题目给出的条件出发，利用函数的相关概念列出式子进行比较、分析，找出，，三者之间的联系，再转化为三者之和。解：因为 ，所以 。由于函数在区间上是单调递减的，所以 。又因为函数在区间上是奇函数，所以 ①同理： ②同理： ③将①②③左右两边分别相加，得 。所以 ，即 。评注：这个问题是一个综合性问题，将函数的奇偶性和单调性与不等式的性质结合在一起。解决这道题可以基于问题的条件，一个接一个地分析，然后汇总从条件中获得的信息，自然就可以得到解决问题的方案。例4.不等式恒成立，且，求的取值范围。分析：在解决问题时，将看作自变量，在此基础上建立函数，，此时题目便转化为恒成立，且，求的取值范围。然而继续运算仍然比较复杂，所以需要继续转化，将看作自变量，则有，题目此时便转化为恒成立，且，求的取值范围。若即。则在定义域内是增函数，恒成立即 恒成立，解得或（舍去），故。若即。恒成立即 恒成立，解得或（舍去），故。若即。则在定义域内是减函数，恒成立即 恒成立，解得（舍去）或，故。综上所述，的取值范围为或。评注：在解题过程中，教师应当引导学生灵活运用函数思想，尝试将不同未知数看作变量，而不是形成思维定势，只把看作变量。只有多多发散思维从不同角度看问题，才能提高解题效率，进而培养学生的函数思想。（三）三角函数中的函数思想三角函数本身就是一种特殊的函数，除了函数的一般性质之外，它还具有其自身的特殊性质，利用函数思想思考、解题有助于学生加深对三角函数理解，也有利于学生形成函数意识与函数思想。例5.已知函数可得，若有实数解，求的取值范围。分析：由可得 ，则有实数解即有实数解。利用换元法，令，。则问题转化为一元二次方程 在上的根的分布问题。分离可得 ，。将看作的函数，问题转化为求函数的值域，故的取值范围为时，有实数解。评注：该题在函数思想的引领下利用换元法，并构造出新函数，将原问题转化为求新函数的值域。（四）数列中的函数思想数列实际上是一种特殊的函数，从本质上来说数列是定义在正整数集或其有限子集上的“离散型”函数。利用函数思想解决数列问题时，可以将数列的通项公式、前项和公式看作函数关系式，再利用函数的性质解题。在日常教学中不断地渗透函数思想不仅能够是学生使深刻的认识数列的本质，也能进一步加深学生对函数概念、函数思想的理解[7]。例6.设等差数列的前项和为,已知，，。(1)求公差的取值范围；(2)请指出中中的最大值是哪一个，并说明理由。分析：第一问，依据题目给出的条件，我们可以列出有关公差的不等式组，然后求出的取值范围；第二问的解决方法较多，有两种思路可以解决总：一是通项研究法，根据公差的取值范围，找出变号的两项，即当时，求出使得的值；当时，求出使得且的值；二是前项和研究法，即列出前项和的表达式(当时，它可以看作关于n的二次函数)，利用函数性质求表达式的最大值。解：（1）由题意得 解得。方法一：由，得 。因此，若在中存在自然数，使得。则就是中的最大值。由于 ，所以，故最大。方法二： =因为，所以当最小时，最大。当时，,故正整数时，最小，所以最大。方法三：由，得。因此，若在中存在自然数n，使得，则就是中最大值。由 ，可得最大。评注：本题主要考查了等差数列及不等式的知识，并通过解不等式和二次函数的图像与性质来分析求解的最大值，是函数思想在数列中应用的一个重要体现。向量中的函数思想向量是数学中一种非常重要的工具，它的方向、模与数量积等在函数问题中有多种应用，以向量为载体且融合函数的考题在高考中也是频频出现，如果能够巧妙地运用函数思想，则能取得事半功倍之效。例7.，若存在三个实数、、，使，且。求函数；若在上递增，求的取值范围。解：（1）由题设可知， 。又由得 ，化简可得 。（2）求导可得 ，因在上递增，则当时，恒成立。 ，只要即可，故的取值范围为。评注：该题将向量间的几何关系，通过坐标运算数量化转化为函数问题。该题利用导数处理函数、不等式问题。分离变量，运用函数的最值解决恒成立的问题。立体几何中的函数思想立体几何的学习有助于培养学生的空间想象能力，并提升学生将空间问题转化为平面问题的能力。在立体几何问题中有很多关于线段、角、面积、体积的运算，难以直接运用公式解决，因此，需要将图像语言转化为数学符号语言，借助建立函数表达式、构建函数模型的方法来解决。例8.如图所示，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上的任意一点，设，，求异面直线与之间的距离。分析：异面直线之间的距离可以视为一条直线上的任意一点到另一条直线的最短距离。因此，本题可以借助这一知识点，将问题转化为求直线上的任意一点到直线距离的最小值，再设定合适变量建立函数求最小值。解：如图，在上任取一点，作于点，于点。连接。设，则,。由题设可得 。所以 因此，当时，有最小值，且为异面直线与之间的距离。评注：解决这道题，首先要考虑原文题中异面直线的距离应当如何计算，这考察了学生对立体几何基础知识的掌握，将其转化为求异面直线点与点的最短距离问题后，再设立合适的变量将几何问题转化为函数问题，创建函数模型及函数关系式，最后运用函数的相关性质以及不等式的相关知识求解最小值。解析几何中的函数思想解析几何的一个显著特点就是运用代数的思想方法来解决几何问题，函数思想在代数问题中有着广泛的运用，在解析几何问题的解决中自然也起到了重要的作用。例9.设椭圆的离心率为，若点在椭圆的内部，椭圆上有一点，点到点的最远距离不超过，求椭圆短轴长的取值范围[8]。解：由题意可得 ，所以 。设点为椭圆上任意一点，则 ，所以 。又因点到点的最远距离不超过，则有。，即时， ，解得（矛盾）。时， ，解得。又因为在椭圆的内部，所以，所以短轴长的取值范围为。评注：本题选取椭圆上点的纵坐标为变量，利用椭圆方程的等量关系进行消元，构建关于的函数。由于为正常数，并且的大小关系也无法确定，因此需要讨论该二次函数的对称轴是否在其定义域，即讨论二次函数“定轴动区间”的问题。实际应用问题中的函数思想实际应用类问题是近年来高考中与实际生活相联系的热点问题，能够考察学生从实际问题中提取数学特征并建立数学关系式解决问题的能力。此类问题的题目类型多变并且问题结论往往未知，需要学生具体问题具体分析，分析、挖掘题目中的数量关系，构造函数关系式，转化为函数问题来进一步解决。例10.某蔬菜基地种植马铃薯，由历年市场行情获悉，从3月1日起的300天内，马铃薯的市场价、种植成本与上市时间的关系可以表示为数学图像，图Ⅰ的一条折线表示马铃薯市场价与上市时间的关系；图Ⅱ的抛物线表示马铃薯种植成本与上市时间的关系。图Ⅰ图Ⅱ根据图像，请写出图Ⅰ中表示的市场价与时间的函数关系式，图Ⅱ中表示的种植成本与时间的函数关系式；若，问什么时候上市的马铃薯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/，时间单位：天）[9]分析：结合函数图像求出分段函数与二次函数，对收益情况进行分段考察、对比，选出最佳方案。解：（1）由图Ⅰ可得，市场价与时间的函数关系式为： 。由图Ⅱ可得，种植成本与时间的关系式为： 。（2）设在时刻的收益为，则条件可得： 当时，进行配方整理可得 ，所以当时，在区间上有最大值为；当时，配方整理可得 ，所以当时，在区间上取得最大值。综上所述，因为，所以当时，在区间上可取得最大值，即从3月1日开始的第50天时，上市的马铃薯收益最大。评注：本题主要考察了两部分内容：一是根据函数图像建立函数关系式，二是根据题目给出的条件求函数的最大值。检验学生利用数学知识分析解决实际问题的能力。最优化问题往往是通过构建和求解函数模型来解决的。四、函数思想在教学中的贯彻当前我国教育改革正由传统的应试教育转变为素质教育，由重视“结果”转变为既重视“结果”又更加重视“过程”。素质教育是培养学生的创新精神与实践能力的教育，这不仅是应试教育与素质教育的本质区别，也是当前教育活动的根本追求。这就要求当代高中数学教学不仅仅要丰富、巩固学生的数学知识储备，而且要达到引导学生领悟数学思想、掌握数学方法及提升数学素养的目的。在高中数学的各个部分都有着函数及其思想方法的应用，函数知识的学习更是位于高中生初入高中这一重要转型阶段。而到了大学阶段，函数思想依旧贯彻高等数学的教材中，掌握好函数思想对于解决高等数学中的许多问题都有着很好的效果，如解决方程、不等式这样的“静止”问题，解决数列、级数这样的离散问题，以及引入辅助函数，等等[10]。由此可见，函数思想的重要地位及其对学生发展的重要作用。于是，我们如今面对的几个重要问题就是：如何在函数教学过程中既保证学生有着扎实的理论知识又能引导学生正确理解函数思想；如何提高学生运用函数思想解决各类问题的能力，同时培养学生在解题过程中提炼函数思想方法的意识与能力；如何在后续学习中渗透、升华函数思想，进一步发掘学生思维的深刻性。在这一模块，我们结合以上几个问题，对函数思想在教学中的贯彻进行论述。在基础知识教学过程中渗透函数思想教学实践证明，学生所具有的函数观点、函数意识都是在日常教学学习过程中逐渐形成的。所以，在教学过程中教师应当抓住渗透函数思想的机会，注重函数思想在各种定理、公式的提出与证明过程中的应用。在这些过程中，教师要根据教学内容，选择不同的教学方法系统的向学生渗透函数思想方法，同时注意新旧知识的衔接，引导学生接受、探究各类思想方法，并适时帮助学生归纳总结构建新的知识体系。例如，推导等比数列的前项和公式时，可以参考等差数列的前项和公式的推导过程和基本思路以及等比数列的通项公式和相关性质，探究各种推导方法。方法一：错位相减法（教材中的推导方法）方法二：利用解方程的思路推导 解关于的方程可得。在知识运用过程中深化函数思想在知识学习的重难点突破及分析解决各类数学问题的过程中，函数思想方法是行之有效的导向工具。同时，在解题中反复运用函数思想方法也是巩固深化函数思想的一个重要途径。在前面的应用中可以看出，函数思想几乎应用到各种题型中，