2024高考数学一轮复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入课时作业25平面向量基本定理及坐标表示文

PAGEPAGE1课时作业25平面对量基本定理及坐标表示[基础达标]一、选择题1．已知点A(－1,5)和向量a＝(2,3)，若eq\o(AB,\s\up10(→))＝3a，则点B的坐标为()A．(7,4)B．(7,14)C．(5,4)D．(5,14)解析：设点B的坐标为(x，y)，则eq\o(AB,\s\up10(→))＝(x＋1，y－5)．由eq\o(AB,\s\up10(→))＝3a，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＝6,y－5＝9，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5,y＝14.))答案：D2．[2024·衡水中学调研卷]设向量a，b满意|a|＝2eq\r(5)，b＝(2,1)，则“a＝(4,2)”是“a∥b”成立的是()A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件解析：若a＝(4,2)，则|a|＝2eq\r(5)，且a∥b都成立；因a∥b，设a＝λb＝(2λ，λ)，由|a|＝2eq\r(5)，得4λ2＋λ2＝20.∴λ2＝4，∴λ＝±2.∴a＝(4,2)或a＝(－4，－2)．因此“a＝(4,2)”是“a∥b”成立的充分不必要条件．答案：C3．已知A(1,4)，B(－3,2)，向量eq\o(BC,\s\up10(→))＝(2,4)，D为AC的中点，则eq\o(BD,\s\up10(→))＝()A．(1,3)B．(3,3)C．(－3，－3)D．(－1，－3)解析：设C(x，y)，则eq\o(BC,\s\up10(→))＝(x＋3，y－2)＝(2,4)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3＝2,y－2＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1,y＝6，))即C(－1,6)．由D为AC的中点可得点D的坐标为(0,5)，所以eq\o(BD,\s\up10(→))＝(0＋3,5－2)＝(3,3)．答案：B4．[2024·洛阳市高三统一考试]已知向量a＝(m,2)，b＝(3，－6)，若|a＋b|＝|a－b|，则实数m的值是()A．－4B．－1C．1D．4解析：由|a＋b|＝|a－b|，两边平方整理得a·b＝0，即3m－12＝0，故m答案：D5．[2024·湖北孝感模拟]设D、E、F分别为△ABC三边BC、CA、AB的中点，则eq\o(DA,\s\up10(→))＋2eq\o(EB,\s\up10(→))＋3eq\o(FC,\s\up10(→))＝()A.eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up10(→))B.eq\f(3,2)eq\o(AD,\s\up10(→))C.eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up10(→))D.eq\f(3,2)eq\o(AC,\s\up10(→))解析：因为D、E、F分别为△ABC三边BC、CA、AB的中点，所以eq\o(DA,\s\up10(→))＋2eq\o(EB,\s\up10(→))＋3eq\o(FC,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up10(→))＋eq\o(CA,\s\up10(→)))＋2×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(CB,\s\up10(→)))＋3×eq\f(1,2)×(eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(CB,\s\up10(→))＋eq\f(3,2)eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\f(3,2)eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\f(3,2)eq\o(AC,\s\up10(→))，故选D.答案：D6．[2024·成都市高三诊断性检测]已知向量a＝(2,1)，b＝(3,4)，c＝(k,2)，若(3a－b)∥c，则实数kA．－8B．－6C．－1D．6解析：由题意，得3a－b＝(3，－1)．因为(3a－b)∥c，所以6＋k＝0，解得答案：B7．[2024·河北衡水中学调研]始终线l与平行四边形ABCD中的两边AB，AD分别交于点E，F，且交其对角线AC于点M，若eq\o(AB,\s\up10(→))＝2eq\o(AE,\s\up10(→))，eq\o(AD,\s\up10(→))＝3eq\o(AF,\s\up10(→))，eq\o(AM,\s\up10(→))＝λeq\o(AB,\s\up10(→))－μeq\o(AC,\s\up10(→))(λ，μ∈R)，则eq\f(5,2)μ－λ＝()A．－eq\f(1,2)B．1C.eq\f(3,2)D．－3解析：eq\o(AM,\s\up10(→))＝λeq\o(AB,\s\up10(→))－μeq\o(AC,\s\up10(→))＝λeq\o(AB,\s\up10(→))－μ(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AD,\s\up10(→)))＝(λ－μ)eq\o(AB,\s\up10(→))－μeq\o(AD,\s\up10(→))＝2(λ－μ)eq\o(AE,\s\up10(→))－3μeq\o(AF,\s\up10(→))，因为E、M、F三点共线，所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1，即2λ－5μ＝1，∴eq\f(5,2)μ－λ＝－eq\f(1,2)，故选A.答案：A8．[2024·河北五个一名校联考]在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满意eq\o(AP,\s\up10(→))＝2eq\o(PM,\s\up10(→))，则eq\o(PA,\s\up10(→))·(eq\o(PB,\s\up10(→))＋eq\o(PC,\s\up10(→)))等于()A．－eq\f(4,9)B．－eq\f(4,3)C.eq\f(4,3)D.eq\f(4,9)解析：如图，∵M是BC的中点，且eq\o(AP,\s\up10(→))＝2eq\o(PM,\s\up10(→))，∴eq\o(AP,\s\up10(→))＝eq\o(PB,\s\up10(→))＋eq\o(PC,\s\up10(→))，∴eq\o(PA,\s\up10(→))·(eq\o(PB,\s\up10(→))＋eq\o(PC,\s\up10(→)))＝－eq\o(PA,\s\up10(→))2，∵AM＝1且eq\o(AP,\s\up10(→))＝2eq\o(PM,\s\up10(→))，∴|eq\o(PA,\s\up10(→))|＝eq\f(2,3)，∴eq\o(PA,\s\up10(→))·(eq\o(PB,\s\up10(→))＋eq\o(PC,\s\up10(→)))＝－eq\f(4,9)，故选A.答案：A9．[2024·郑州市中学质量检测]如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近点A的三等分点，点P在线段BN上且eq\o(AP,\s\up10(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(2,11)))eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\f(2,11)eq\o(BC,\s\up10(→))，则实数m的值为()A．1B.eq\f(1,3)C.eq\f(9,11)D.eq\f(5,11)解析：eq\o(AP,\s\up10(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(2,11)))eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\f(2,11)eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(2,11)))eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\f(2,11)(eq\o(AC,\s\up10(→))－eq\o(AB,\s\up10(→)))＝meq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up10(→))，设eq\o(BP,\s\up10(→))＝λeq\o(BN,\s\up10(→))(0≤λ≤1)，则eq\o(AP,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋λeq\o(BN,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋λ(eq\o(AN,\s\up10(→))－eq\o(AB,\s\up10(→)))＝(1－λ)eq\o(AB,\s\up10(→))＋λeq\o(AN,\s\up10(→))，因为eq\o(AN,\s\up10(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up10(→))，所以eq\o(AP,\s\up10(→))＝(1－λ)eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\f(1,3)λeq\o(AC,\s\up10(→))，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1－λ,\f(2,11)＝\f(1,3)λ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(6,11),m＝\f(5,11)，))故选D.答案：D10．[2024·河北、河南、山西三省联考]如图，在等边△ABC中，O为△ABC的重心，点D为BC边上靠近B点的四等分点，若eq\o(OD,\s\up10(→))＝xeq\o(AB,\s\up10(→))＋yeq\o(AC,\s\up10(→))，则x＋y＝()A.eq\f(1,12)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)解析：设点E为BC的中点，连接AE，可知O在AE上，由eq\o(OD,\s\up10(→))＝eq\o(OE,\s\up10(→))＋eq\o(ED,\s\up10(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AE,\s\up10(→))＋eq\f(1,4)eq\o(CB,\s\up10(→))＝eq\f(1,6)(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→)))＋eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→)))＝eq\f(5,12)eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\f(1,12)eq\o(AC,\s\up10(→))，故x＝eq\f(5,12)，y＝－eq\f(1,12)，x＋y＝eq\f(1,3).故选B.答案：B二、填空题11．[2024·广州市中学综合测试]已知向量a＝(m,2)，b＝(1,1)，若|a＋b|＝|a|＋|b|，则实数m＝________.解析：解法一a＋b＝(m＋1,3)，|a＋b|＝eq\r(m＋12＋9)，|a|＝eq\r(m2＋4)，|b|＝eq\r(2)，由|a＋b|＝|a|＋|b|，得eq\r(m＋12＋9)＝eq\r(m2＋4)＋eq\r(2)，两边分别平方得m2＋2m＋10＝m2＋6＋2eq\r(2)×eq\r(m2＋4)，即m＋2＝eq\r(2)×eq\r(m2＋4)，两边分别平方得m2＋4m＋4＝2m2＋8，解得m＝2.解法二a·b＝(m,2)·(1,1)＝m＋2，|a|＝eq\r(m2＋4)，|b|＝eq\r(1＋1)＝eq\r(2)，由|a＋b|＝|a|＋|b|，得a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＋2|a||b|，即a·b＝|a||b|，故m＋2＝eq\r(2)×eq\r(m2＋4)，两边分别平方得m2＋4m＋4＝2m2＋8，解得m＝2.答案：212．[2024·石家庄市重点中学摸底考试]平行四边形ABCD中，M为BC的中点，若eq\o(AB,\s\up10(→))＝λeq\o(AM,\s\up10(→))＋μeq\o(DB,\s\up10(→))，则λμ＝________.解析：∵eq\o(DB,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))－2eq\o(BM,\s\up10(→))＝3eq\o(AB,\s\up10(→))－2eq\o(AM,\s\up10(→))，∴eq\o(AB,\s\up10(→))＝λeq\o(AM,\s\up10(→))＋3μeq\o(AB,\s\up10(→))－2μeq\o(AM,\s\up10(→))，∴(1－3μ)eq\o(AB,\s\up10(→))＝(λ－2μ)eq\o(AM,\s\up10(→))，∵eq\o(AB,\s\up10(→))和eq\o(AM,\s\up10(→))是不共线向量，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－3μ＝0,λ－2μ＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(μ＝\f(1,3),λ＝\f(2,3)，))∴λμ＝eq\f(2,9).答案：eq\f(2,9)13．[2024·济南市高考模拟试题]已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与3a－b平行，则实数x解析：因为a＋b＝(1,1)＋(2，x)＝(3,1＋x)，3a－b＝3(1，1)－(2，x)＝(1,3－x)，a＋b与3a－b平行，所以3(3－x)＝1＋x，解得答案：214．[2024·湖南湘东五校联考]在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若eq\o(AC,\s\up10(→))＝λeq\o(AM,\s\up10(→))＋μeq\o(AN,\s\up10(→))，则实数λ＋μ＝________.解析：如图，∵eq\o(AM,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BM,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(DC,\s\up10(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up10(→))，①eq\o(AN,\s\up10(→))＝eq\o(AD,\s\up10(→))＋eq\o(DN,\s\up10(→))＝eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up10(→))，②由①②得eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AN,\s\up10(→))－eq\f(2,3)eq\o(AM,\s\up10(→))，eq\o(DC,\s\up10(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AM,\s\up10(→))－eq\f(2,3)eq\o(AN,\s\up10(→))，∴eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(DC,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AM,\s\up10(→))－eq\f(2,3)eq\o(AN,\s\up10(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AN,\s\up10(→))－eq\f(2,3)eq\o(AM,\s\up10(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AM,\s\up10(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AN,\s\up10(→))，∵eq\o(AC,\s\up10(→))＝λeq\o(AM,\s\up10(→))＋μeq\o(AN,\s\up10(→))，∴λ＝eq\f(2,3)，μ＝eq\f(2,3)，λ＋μ＝eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)[实力挑战]15．[2024·福建高三质检]庄重漂亮的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个特别美丽的几何图形，且与黄金分割有着亲密的联系：在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且eq\f(PT,AT)＝eq\f(\r(5)－1,2).下列关系中正确的是()A.eq\o(BP,\s\up10(→))－eq\o(TS,\s\up10(→))＝eq\f(\r(5)＋1,2)eq\o(RS,\s\up10(→))B.eq\o(CQ,\s\up10(→))＋eq\o(TP,\s\up10(→))＝eq\f(\r(5)＋1,2)eq\o(TS,\s\up10(→))C.eq\o(ES,\s\up10(→))－eq\o(AP,\s\up10(→))＝eq\f(\r(5)－1,2)eq\o(BQ,\s\up10(→))D.eq\o(AT,\s\up10(→))＋eq\o(BQ,\s\up10(→))＝eq\f(\r(5)－1,2)eq\o(CR,\s\up10(→))解析：由题意得，eq\o(BP,\s\up10(→))－eq\o(TS,\s\up10(→))＝eq\o(TE,\s\up10(→))－eq\o(TS,\s\up10(→))＝eq\o(SE,\s\up10(→))＝eq\f(\o(RS,\s\up10(→)),\f(\r(5)－1,2))＝eq\f(\r(5)＋1,2)eq\o(RS,\s\up10(→))，所以A正确；eq\o(CQ,\s\up10(→))＋eq\o(TP,\s\up10(→))＝eq\o(PA,\s\up10(→))＋eq\o(TP,\s\up10(→))＝eq\o(TA,\s\up10(→))＝eq\f(\r(5)＋1,2)eq\o(ST,\s\up10(→))，所以B错误；eq\o(ES,\s\up10(→))－eq\o(AP,\s\up10(→))＝eq\o(RC,\s\up10(→))－eq\o(QC,\s\up10(→))＝eq\o(RQ,\s\up10(→))＝eq\f(\r(5)－1,2)eq\o(QB,\s\up10(→))，所以C错误；eq\o(AT,\s\up10(→))＋eq\o(BQ,\s\up10(→))＝eq\o(SD,\s\up10(→))＋eq\o(