四年级思维训练上册教案

数学思维训练教案

本学期，我们四年级组成立了以数学思维训练为主的校本课程。本课程每

周三和周五的第六节课集中学习，地点是四年级两个班。为更好的开展本课程,

特制定计划如下：

一、活动意义

1、培养学生学习数学的兴趣，充分认识有价值的数学，激发学习数学的热

情与学好数学的勇气。

2、拓宽学生的知识视野，培养学生的问题意识与应用意识。

3、培养优秀学生发现问题、分析问题与解决问题的数学探索与创新精神。

二、活动目标

1、能在现实情境中主动发现并提出简单的数学问题。

2、能积极参加各项数学活动，不断获得成功的体验，进一步树立学好数学

的信心。

3、联系生活用数学，不断增强学数学，用数学的自觉性。

三、活动措施

1、以校本课程为载体，注意把辅导内容与课堂教学有机结合。

2、以兴趣为老师，开展丰富多彩的活动，提高数学能力。

3、以竞赛为抓手，形成强势效应，让学生了解数学，喜欢数学。

四、具体活动内容及时间安排

第一周第一讲方阵问题（一）

第二周第二讲方阵问题（二）

第三周第三讲巧求周长（一）

第四周第四讲巧求周长（二）

第五周第五讲逻辑推理初步

第六周第六讲枚举问题（一）

第七周第七讲枚举问题（二）

第八周第八讲平均数问题（一）

第九周第九讲平均数问题（二）

第十周第十讲消去问题（一）

第十一周第十一讲消去问题（二）

第十二周第十二讲行程问题（一）

第十三周第十三讲行程问题（二）

第十四周第十四讲填补不完整的算式

第一讲方阵问题（一）

学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做歹IJ.如果行数与列数都相

等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。

方阵的基本特点是：

①方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同.每向里一层，每边

上的人数就少2。

②每边人（或物）数和四周人（或物）数的关系：

四周人（或物）数二［每边人（或物）数・1］义4；

每边人（或物）数二四周人（或物）数:4+1。

③中实方阵总人（或物）数二每边人（或物）数x每边人（或物）数。

例1：有一条公路长900米，在公路的一侧从头到尾每隔10米栽一根电线

杆，可栽多少根电线杆？

分析：要以两棵电线杆之间的距离作为分段标准.公路全长可分成若干段.由

于公路的两端都要求栽杆，所以电线杆的根数比分成的段数多lo

解：以10米为一段，公路全长可以分成

900-10=90（段）共需电线杆根数:90+1=91（根）

练习与作业

四年级同学参加广播体操比赛，要排列成每行11人，共11行的方阵。这个

方阵里有多少同学？

用棋子排成一个6X6的正方形，共需用棋子多少枚？

有1764棵树苗，准备在一块正方形的苗圃（实心方阵）里栽培。这个正方

形苗圃的每边要栽多少棵树苗？

576人排成一个实心方阵，这个方阵每边多少人？

棋子若干只，恰好可以排成每边6只的正方形，棋子的总数是多少？棋子

最外层有多少？

在大楼的正方形平顶四周装彩灯，四个角都装一盏，每边装25盏，四周共

装彩灯多少盏？

第二讲方阵问题（二）

例3：某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人。问方阵外

层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？

分析：根据四周人数和每边人数的关系可以知：

每边人数二四周人数弘+1,可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队

列的总人数就可以求了。

解：方阵最外层每边人数：60:4+1=16（人）

整个方阵共有学生人数：16x16:256（人）

答：方阵最外层每边有16人，此方阵中共有256人。

例4：晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个.

晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？

分析：方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个。知道最外面一层每边

放14个，就可以求第二层及第三层每边个数。知道各层每边的个数，就可以求

出各层总数。

解:最外边一层棋子个数：（14-1）x4=52（个）

第二层棋子个数:（14-2-1）x4=44（个）

第三层棋子个数:（14-2x2-1）x4=36（个）

摆这个方阵共用棋子：52+44+36=132（个）

练习与作业

有16个学生站在正方形场地的四周，四个角上都站1人，如果每边站的人

数相等，那么每边站几个学生？

有一个正方形池塘，四个角上都栽1棵树，如果每边栽6棵，四边一共栽

多少棵树？

有100个少先队员参加广播操比赛，十人一行，排成了一个正方形队。这

个正方形四周站了多少个少先队员？

在一块正方形场地的四周竖电线杆，四个角上都竖1根，一共竖28根，正

方形场地每边竖多少根电线杆？

某会议室的天棚是正方形，准备在天棚四周每边安装8灯（包括四个角上

都安装1盏），四周一共安装多少盏灯？

第三讲巧求周长（一）

我们已经会计算长方形和正方形的周长了，但对于一些不是长方形、正方

形而是多边形的图形，怎样求它的周长呢？可以把求多边形的周长转化为求长

方形和正方形的周长。

例1：如图13—1所示，求这个多边形的周长是多少厘米？

图13-2图13-1

分析：要求这个多边形的周长，也就是求线段AB+BC+CD+DE+EF+FA

的和是多少，而在这六条线段中，只有AB和BC这两条线段的长度是已知的，

其余四条线段的长度均是未知的.当然，这个多边形的周长还是可以求的.用一个

大正方形把这个图形圈起来，如图13—2所示，这个大正方形是ABCG.把线段

EF水平向上移动，移到CG边上，这样CD+EF的长度正好与AB的长度相等.

同样把竖直方向上的DE边向左移动，移到AG边上，这样AF+DE的长度正好

与BC边的长度相等.这样虽然CD、DE、EF、FA这四条线段的长度不知道，但

这四条线段的长度和我们可以求出来，这样求这个多边形的周长就转化为求一

个正方形的周长。

练习与作业

下图的周长与长—厘米，宽厘米的长方形周长相同，所以它的周长

为一厘米（单位：厘米）。

下图的周长可以看成一个长由一个1厘米的小线段组成，宽由一个1

厘米的小线段成的长方形的周长，所以它的周长是厘米。

求下列各图形的周长（单位：厘米）。

①周长为一厘米。

2

2

②周长为厘米（围成图形的小线段长1厘米）。

第四讲巧求周长（二）

例2.把长2厘米宽1厘米的长方形一层、两层、三层地摆下去，摆完第十

五层，这个图形的周长是多少厘米？

图13-3

分析：先观察图13-3,第一层有一个长方形，第二层有两个长方形，第三

层有三个长方形……找到规律，第十五层有十五个长方形,同样，用一个大长方

形把这个图形圈起来•因此求这个多边形的周长就转化为求一个长为2x15=30

（厘米）、宽为1x15=15（厘米）的长方形周长。

解:（2x15+1x15）x2

=45x2=90（厘米）

答：这个图形的周长为90厘米。

练习与作业

求下列各图形的周长（单位：厘米）。

①周长为多少厘米。

2I12

1.1

-------------2

②周长为多少厘米（每条小线段长度都是1厘米）？

用9个边长为2厘米的小正方形摆成下图形状，它的周长为多少厘米?

街心公园有一块草坪（如下图），图上所标数字是线段的米数。在草坪四周

从某顶点开始每2米种一棵月季花，一共需种棵。

第五讲逻辑推理初步

在有些问题中，条件和结论中不出现任何数和数字，也不出现任何图形，

因而，它既不是一个算术问题，也不是一个几何问题。

也有这样的题目，表面看来是一个算术或几何问题，但在解决它们的过程

中却很少用到算术或几何知识。

所有这些问题的解决，需要我们深入地理解条件和结论，分析关键所在，

找到突破口，由此入手，进行有根有据的推理，做出正确的判断，最终找到问

题的答案。这类问题我们称它为逻辑推理。

例1.一桩谋杀案中，两个嫌疑犯甲和乙。另有四个证人正在受到讯问。第

一个证人说：“我只知道甲是无罪的。”第二个证人说：“我只知道乙是无罪的J

第三个证人说：“前面两个证词中至少有一个是真的。”第四个证人说：“我可以

肯定第三个证人的证词是假的。”通过调查研究，已证实第四个证人说了实话，

请你分析一下，凶手是谁？

分析与解.：题目中条件较多，且四个人的证词有真有假，在这种情况下，

要善于抓住关键，由此入手进行有根有据的逐步推理。本题的关键是：第四个

人说了实话。

因为第四个人说了实话，所以第三个人的证词是伪证，也就是说“前两个

证词中至少有一个是真的”是句假话。由此可以断定，第一个和第二个证人都

说了假话。从而判断出甲和乙都是凶手。

练习与作业

有甲、乙两同学，其中一个人有奇数根铅笔，一个人有偶数根铅笔。如果

再给甲原有的铅笔数，再给乙原有铅笔数的2倍，他们俩共有铅笔数为偶数。

那么，甲同学原有铅笔数是—o

有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，其中丙同学比丁同学高，比戊同学矮；

丁同学比乙同学高；戊同学比甲同学矮。则最高的同学是一,最矮的同学是

有四种树的照片，它们是桃树、杏树、李树、梨树，生物老师将照片从1

到4编了号，让同学们区分四种树，每人说出两个，学生回答如下；第一个学

生：2号是桃树，3号是李树；第二个学生：1号是梨树;2号是杏树；第三个

学生：2号是桃树，4号是梨树；第四个学生：4号是梨树d号是李树。老师发

现这四个同学都只说对了一半，那么，1号是—，2号是—,3号是—,4

号是—o

第六讲枚举问题（一）

电工买回一批日光灯，在灯座上逐一试一遍，结果全部日光灯都是好的。

像这样将事物一个一个全部列举出来的方法就是枚举法。

问题.小明有1个5分币，4个2分币，8个1分币，要拿出8分钱，你能找

出几种拿法？

’分析为了不重复、不遗漏地找出所有可能的拿法，“找”就要按照一定的规

则进行。

先找只拿一种硬币的拿法，有两种：

①1+1+1+1+1+1+1+1=8（分）；

②2+2+2+2=8（分）。

再找拿两种不同硬币的拿法，有四种：

①1+1+1+1+1+1+2=8（分）；

②1+1+1+1+2+2=8（分）；

③1+1+2+2+2=8（分）；

④1+1+1+5=8（分）。

最后找拿三种不同硬币的拿法，只有一种：

@l+2+5=8（分）。由此可见，共有7种不同的拿法。

在上面用枚举法寻找可能拿法的过程中，我们对全部拿法作了适当分类。

合理分类是枚举法解题中力求又快又省的技巧。

练习与作业

用2、5、8三个数字可以组成几个不同的三位数？其中最大的三位数是什

么？最小的三位数是什么？用0、1、3、6可以组成多少个四位数？

有四张卡片分别写有数字01、2、3,从中取出2张卡片并排放在一起，可

以组成多少个两位数？用两个1、一个2、一个3可以组成种种不同的四位数，

这些四位数一共有多少个？

在两位整数中，十位数字大于个位数字的共有几个？

第七讲枚举问题（二）

问题1.假设有A、B、C三个城市，从A到C必须经过B.已知从A到B

可以坐汽车或坐火车到达，而从B到C则可以坐汽车或坐火车或坐飞机到达.问:

从A到C可以有多少种不同的旅行方式？

分析从A到C（A-C）可分两个阶段进行：第一阶段，从A到B（A->B）；

第二阶段，从B到C（B-C）,按照第一阶段使用的交通工具不同可以分为两类:

A->BB->CAf

/自殍----------->（汽J为

①^笄J”车

----------->（汽，火）

'坐飞机

----------->（汽，飞）

/自锌----------->（火,汽

②心等J坐火车

----------->（火,火）

、坐飞机

-----------*（火，飞）

所以，从A到C共有2X3=6种不同的旅行方式。

上述解法中的图示叫做枝形图（图44—1）,在解不太复杂的计数问题中很有用。

练习与作业

有五顶不同的帽子，两件不同的上衣，三条不同的裤子，从中取出一顶帽

子、一件上衣、一条裤子配成一套装束。问：最多有多少种不同的装束？

从甲地到乙地有2条不同的路可走，从乙地到丙地有4条不同的路可走。

问：从甲地到丙地有几条不同的路可走？

从甲地到乙地可以坐飞机、火车、汽车，从乙地到两地可坐飞机、火车、

汽车、轮船，某人从甲地经乙地到内地共有几种走法？

小英从家到学校有三条路可走，从学校到少年之家有四条路可走，小英从

家经过学校到少年之家共有几种走法？

有红、黄、绿、蓝、白五种颜色的铅笔，每两种颜色的铅笔为一组，最多

可以配成不重复的几组？

第八讲平均数问题（一）

求平均数问题是小学学习阶段经常接触的一类典型应用题，如“求一个班

级学生的平均年龄、平均身高、平均分数……

平均数问题包括算术平均数、加权平均数、连续数和求平均数、调和

平均数和基准数求平均数。

解答这类应用题时，主要是弄清楚总数、份数、一份数三量之间的关系，

根据总数除以它相对应的份数，求出一份数，即平均数。

一、算术平均数

例1.用4个同样的杯子装水，水面高度分别是4厘米、5厘米、7厘米和8

厘米，这4个杯子水面平均高度是多少厘米？

分析：求4个杯子水面的平均高度，就相当于把4个杯子里的水合在一起,

再平均倒入4个杯子里，看每个杯子里水面的高度。

解：（4H-5+7+8）：4=6（厘米）

答：这4个杯子水面平均高度是6厘米。

练习与作业

机械厂前3天平均每天加工零件1259只，后4天共加工零件5379只，这

星期内平均每天加工零件多少只？

修路队4天修了两段公路，第一段长430米，第二段长250米，平均每天

修多少米？

甲、乙、丙、丁四个队参加田径比赛。甲队得114分，乙队得210分，丙队

得186分，丁队得178分。四个队的平均成绩是多少分？

东村小学38名少先队员，在校园内和路旁种富麻。在路旁种了190棵，在

校园内种的棵数是路旁的3倍。平均每人种蒐麻多少棵？

第九讲平均数问题（二）

二、加权平均数

例3.果品店把2千克酥糖，3千克水果糖，5千克奶糖混合成什锦糖.已知酥

糖每千克4.40元，水果糖每千克4.20元，奶糖每千克7.20元.问：什锦糖每千

克多少元？

分析：要求混合后的什锦糖每千克的价钱，必须知道混合后的总钱数和与

总钱数相对应的总千克数。

解：①什锦糖的总价：4.40x2+4.20x3+7.20x5=57.4（元）

②什锦糖的总千克数：2+3+5=10（千克）

③什锦糖的单价：57.4^10=5.74（元）

答：混合后的什锦糖每千克5.74元。

我们把上述这种平均数问题叫做“加权平均数”.例3中的5.74元叫做4.40

元、4.20元、7.20元的加权平均数.2千克、3千克、5千克这三个数很重要，对

什锦糖的单价产生不同影响，有权衡轻重的作用，所以这样的数叫做，权数

练习与作业

A、B、C三人储蓄，A储了1240元，B比A少储70元，C比B多储50

元。求A、B、C三人平均储蓄额。

甲、乙二数的平均数是72,丙是18。甲、乙、丙三个数的平均数是多少？

甲、乙的平均数是30,乙、丙的平均数是34,甲、丙的平均数是32。求甲、

乙、而三个数的平均数。

有A、B、C三个数，A与B的平均数是97,B与C的平均数为132,A与

C的平均数为125。问：这三个数的平均数是多少？

小刚参加我学考试，前两次的平均分数是85分，后三次的平均分数是90

分。小刚前后几次考试的平均分数是多少？

第十讲消去问题（一）

转化法指的是从不同的角度和不同的侧面去分析题目中的数量关系，有的

题可以对题中的某些条件进行必要的调整，使这些条件重新组合，解答起来，

往往容易一些。

例1学校买了10盒白粉笔和4盘彩粉笔共花了32元，每盒彩粉笔的价钱

是白粉笔的2.5倍，每盒白粉笔、彩粉笔各多少钱？

分析：依题意，用买1盒彩粉笔的钱可以买2.5盒白粉笔，那么，买4盒彩

粉笔的钱就可以买4x2.5=10（盒）白粉笔。因此，可以理解为花32元买了

10+4x2.5=20（盒）白粉等，这样，就可以求出1盘白粉笔的价格。

解：（1）4盒彩粉笔能换成几盒白粉笔？

4x2.5=10（盒）

（2）白粉笔每盒多少元？一

32；（10+10）=32:20=1.6（元）

（3）彩粉笔每盒多少钱？

1.6x2.5=4（元）

答：白粉笔每盒1.6元，彩粉笔每盒4元。

练习与作业

买一块橡皮和4支铅笔一共用去2角7分，买同样的一块橡皮和2支铅笔

的价钱是1角5分，一块橡皮和一支铅笔各多少钱？

甲班用4元2角钱买了4支铅笔，3支圆珠笔；乙班用10元2角钱买了4

支铅笔和8支圆珠笔。间：铅笔、圆珠笔的单价各是多少元？

妈妈买6米白布，8米花布.用去21元3角钱，王大妈买同样的白布6米，

同样的花布6米，用去18元钱。问：每米白布和每米花布各多少钱？

妈妈买2千克糖果和1千克饼干，共付7元2角，如果买1千克糖果和2

千克饼干得付6元，糖果和饼干每千克多少钱？

小明买6本《红岩》、5本《新华字典》共用7元2角；小刚买5本《红岩》、

6本《新华宇典》共用7元1角。《红岩》和《新华字典》每本售价各多少元？

第十一讲消去问题（二）

例1.从图2-2中你能称出一只菠萝等于几只桃子的重量?

X.]H：I_uI:

△=△

图2-2

这样想：根据（1）、（2）,可推出1个梨的重量等于2支香蕉的重量；然后

把（3）中的一个梨替换成2支香蕉，这样，（3）中就相当于1个菠萝等于2个

桃子和3支香蕉的重量，又回想到（2）中1个菠萝等于4支香蕉的重量，因此,

2个桃子实际上是1支香蕉的重量，可推得1个菠萝等于8个桃子的重量。

例2.1头象的重量等于4头牛的重量，1头牛的重量又等于3匹小马的重量,

而1匹小马的重量刚好与4头小猪的重量相同，那么1头象的重量等于几头小

猪的重量。

这样想：1匹小马刚好是4头小猪的重量，那么3匹小马等于12头小猪的

重量，又1头牛相当于3匹小马的重量，也就是12头小猪的重量，因此4头牛

等于48头小猪的重量，也就是1头象的重量等于48头小猪的重量。

练习与作业

美术小组第一天买了3盒彩笔和1支毛笔，付款4元4角4分，第二天又

买同样的5盒彩笔和3支毛笔，付款7元9角6分。求每盒彩笔和每支毛笔的

价钱？

学校第一次买3只篮球，4只排球用了354元，第二次买2只篮球，3只排

球用了252元。问：篮球与排球的单价各是多少元？

甲求乙代买5千克酒、3千克酱油，按售价交给乙6.45元。乙误买为3千

克酒、5千克酱油.结果拿回2.10元，问每千克酒、酱油各多少元？

王老师带了30元钱去文具店买钢第和圆珠笨。他买了3支钢第和5支圆珠

笔后，剩下的钱再买2支圆珠笔还差4角.再买2支钢笔还差2元。每支钢笔多

少元？

第十二讲行程问题（一）

例1.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。如果两人都按原定

速度行进，那么4小时相遇；现在两人都比原计划每小时少走1千米，那么5

小时相遇。A、B两地相距多少千米？

分析：可以想象，如果甲、乙两人以现在的速度（比原计划每小时少走1

千米）仍然走4小时，那么他们不能相遇，而是相隔一段路。这段路的长度是

多少呢？就是两人4小时一共比原来少行的路。由于以现在的速度行走，他们5

小时相遇，换句话说，再行1小时，他们恰好共同行完这段相隔的路。这样，

就能求出他们现在的速度和了。

解:1x4x2：（5-4）x5=40（千米）

这道题属于相遇问题，它的基本关系式是：速度和x时间二（相隔的）路程。

但只有符合“同时出发，相向而行，经过相同时间相遇”这样的特点才能运用上面

的关系式。不过，当出现，不同时出发”或“没有相遇（而是还相隔一段路）”的情

况时，应该通过转化条件，然后应用上面的关系式。

练习与作业

一列火车平均每小时行用千米，这列火车从甲地到乙地共用了4小时，问:

甲、乙两地相距多少千米？

一辆汽车5小时行了280千米，这辆汽车平均每小时行多少千米?

小明家到学校1800米，小明早晨上学，平均每分钟走120米，问：小明从

家到学校一共用多少分钟？

甲、乙两人同时从东西两村出发相向而行，甲每分钟走85米，乙每分钟走

90米/8分钟后两人相遇。东西两村相距多少米？

甲、乙两列火车同时从两地相向而行，甲车每小时行55千米，乙车每小时

行60千米，4小时后两车相遇。两地相距多少千米？

第十三讲行程问题（二）

例2.小王、小张步行的速度分别是每小时4.8千米和5.4千米。小李骑车的

速度为每小时10.8千米。小王、小张从甲地到乙地，小李从乙地到甲地，他们

三人同时出发，在小张与小李相遇5分钟后，小王又与小李相遇。小李骑车从

乙地到甲地需多长时间？

分析：为便于分析，画出线段图36-1：

甲地AP乙地

ADECB

图36-1

图中C点表示小张与小李相遇地点，D点表示他们相遇时小王所在地点。

根据题意，小王从D点、小李从C点同时出发，相向而行，经过5分钟相遇。

因此，DC的长为

这段长度也是相同时间内，小张比小王多行的路程。这里的“相同时间''指从

三人同时出发到小张与小李相遇所经过的时间。这段时间为

1.3+C5.4-4.8）x60=130（分）

这就是说，小张行完AC这段