题型归纳：立体几何解答题15种题型

【题型归纳】立体几何解答题15种题型

【题型一】平行1：四边形法证线面平行

【典例分析】

如图，在正方体ABCD-A4G2中，E,尸分别是AM,的中点.

(1)求证：所〃平面4C2;(2)求异面直线皿与A。所成角的余弦值.

【答案】⑴证明见解析；⑵*

【分析】(1)取C2中点G,连接尸G,GA,证四边形尸G4E是平行四边形，结合线面平行

的判定即可推理作答.

(1)在正方体ABC。一A4G2中，取CA中点G,连接尸G,GA,如图,

而尸是CD的中点，则尸GHDD,，尸G=,又E是A4,的中点，则A.E//DD,,A,E=^DDX,

因此，AE〃尸G,AE=FG,四边形FGAE是平行四边形，有E尸//GA,而E/Z平面AC，，

G4,u平面ACR,EF〃平面ACR.

【提分秘籍】

基本规律

1.利用平移法做出平行四边形

2.利用中位线做出平行四边形

【变式演练】

1.如图所示，在四棱锥P-ABC。中，PCL底面ABCD,AB^AD,AB!/CD,

AB=2AD=2CD=2,E是P3的中点.

(1)求证：CE〃平面以Q；

(2)若PC=2,求三棱锥尸-ACE的体积.

【答案】(1)证明见解析(2)|

【分析】(1)取以的中点八连接ERDF,利用平行四边形证明EC〃D尸，再由线面平行

的判定定理即可得证;

(2)根据等体积法知力-ACE=VE-ACP,

(1)取B4的中点£连接DF,

•.•点E,F分别为PB,E4的中点，EF//AB,EF=^AB,

XDCIIAB,DC=^AB,：.EFI/CD,EF=CD,

/.四边形EFDC是平行四边形，,EC//DF,

又；EC<Z平面B4。，DFu平面E4D,CE〃平面E4D；

2.如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD,AB//CD,-@.CD=2,AB=1,BC=25/2,

PA^l,ABLBC,N为的中点.

(1)求证：AN〃平面P3C；

(2)求平面PAD与平面P3C所成二面角的余弦值；

(3)在线段尸。上是否存在一点"，使得直线CM与平面P3C所成角的正弦值是上区,

29

若存在求出制的值，若不存在说明理由.

21

【答案】(1)证明见解析(2)-(3)存在，7

34

【分析】

(1)只要证明AN所在平面4VE与平面P8C平行即可；

(2)建立空间直角坐标系，用向量法计算二面角的余弦值；

(3)用向量法计算直线与平面成角的正弦值，然后列方程求解.

(1)

证明：取CP中点工连接NF、BF,

因为乙N分为PC,尸。的中点，则N/〃。C,且

NF=-DC,

2

又且CD=2,AB=1=|DC,所以四边形NA2F是平行四边形,

:.AN//BF,又4V<z面尸BC,BFu而PBC。所以AN〃平面PBC；

【题型二】平行2：中位线法证线面平行

【典例分析】

.如图，四棱锥P-ABCD中，侧面底面48a>,底面A3CD为梯形，AB//DC,且

AP=PD=CD=2AB=273,/APD=/ADC=60。.AC交于点尸，G为△R4D的重心.

(1)求证：GF//平面PAB；

(2)求三棱锥3-GFC的体积.

【答案】（1）证明见解析（2）昱

3

【分析】（1）连接OG并延长交外于点E,连接8E,由已知条件可得AAMSACQF,得

DFDC2.匚、,乙乙e、DG2「-DFDG2

百=9=1■'再由G为上皿的重心，---=一，则有==—，从而可得G/〃班,

GE1FBGE1

再由线面平行的判定可证得结论，

（2）由已知可得△如。和△AZX;为正三角形，连接PG并延长交AD于点M,有尸M_LAD,

2

则9_L面ABC。，从而可得％.G/C=K一MC=]%.ABC，然后由已知条件求解％Y5C,

（1）证明：在图中：连接DG并延长交总于点E,连接圮.

,DFDC2TLe、）以工、DG2DFDG2

MABFS.CDF,则nl而=瓦=丁又由G为A的重心'则nl访=4=「

所以G尸〃EB.而GFU平面RW,EBu平面上4B,所以GP〃平面上4s.

【提分秘籍】

基本规律

中位线法难点在于怎么“发现三角形”

【变式演练】

L如图，三棱台A4G-A2C,平面AACGL平面A3C,侧面AACG是等腰梯形,

ZAAC=~,ZACB=g,AC=BC=2A,Q=2后，M,H分别是AB,AC的中点.

（1）求证：GM〃平面A4〃;

（2）求GM与平面MC所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）这.

7

【分析】（1）根据平行四边形的判定定理和性质，结合线面平行的判定定理进行证明即可;

（2）利用平行线的性质，结合线面垂直的判定定理、三棱锥等积性、线面角的定义进行求

解即可.高中数学资料共享群（QQ群号734924357）

（1）证明：连接4加与交于点尸，连接PH,

因为AC=2AG,所以由棱台的性质可知：AB=2AtBt,且AB//A4,

因为〃是A3的中点，因此AM=A4,因此四边形AM4A是平行四边形，所以？是4M的

中点，又“是AG的中点，

所以PH//G",而PHu平面AB/，"Go平面A8#,

所以GM//平面阴H；

2.如图，在四棱锥尸—A3CD中，PA^nABCD,AD/IBC,ZBAD=—,

AD=2.AB=2BC=2PA=4,拉为尸5上靠近5的三等分点.

（1）求证：PD〃平面ACM；

（2）求直线PD与平面ACM的距离.

【答案】（1）证明见解析（2）后

【分析】（1）以线面平行的判定定理去证明即可解决；

（1）证明：如图，连接2。，交AC于点N,连接跖V.

p

因为M,AD=2BC,所以吃=今j

又M为依靠近B的三等分点，所以翳J，所以黑=黑，

所以MNHPD,又MNu平面AMC,RDU平面AMC,所以P。〃平面AMC.

【题型三】平行3:做平行平面法证线面平行

【典例分析】

如图，C,。分别是以43为直径的半圆。上的点，满足8C=CO=DA,△协3为等边三

角形，且与半圆。所成二面角的大小为90。，E为9的中点.

(1)求：DE〃平面PBC；(2)求二面角A-BE—。的余弦值.

D

【答案】⑴证明见解析⑵理

【分析】(1)通过证明平面ODE〃平面PBC来证得OE〃平面P3C.

(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角A-BE-。的余弦值.

（1）依题意8c=8=DA,所以ZAOD=/OOC=NCO3=6。。,

所以三角形AOD、三角形。OC、三角形CQB是等边三角形，

所以OB=BC=CD=OD,所以四边形OBCD是菱形，所以OD//BC,

由于如《平面PBC,BCu平面PBC,所以OD〃平面P3C.由于E是出的中点，。是

的中点，所以OE//PB,由于OEC平面PBC,PBu平面PBC,所以OE〃平面PBC.

由于OEcOD=O,所以平面ODE〃平面P3C,所以DE〃平面P8C.

【提分秘籍】

基本规律

做出平行平面来证线面平行，属于“麻烦的方法”，但是在证明后续的“探索性”题型时非常

实用。授课时可以先用“中点型”培养“找面做面”的思维。

【变式演练】

1.在四棱锥P—ABCD中，BC=BD=DC=26AD^AB^PD=PB=2.

（1）若E为PC的中点，求证：防〃平面协。.

（2）当平面尸班>，平面ABC。时，求二面角C-PD-3的余弦值.

【答案】（1）证明见解析（2）巫

13

【分析】（1）作出辅助线，利用中位线证明线线平行，进而证明线面平行；（2）建立空间直

角坐标系，利用空间向量解决二面角.

（1）取C。的中点M,连接EM,BM,

由已知得，ABCD为等边三角形，：.BM±CD.

VAD=AB=2,BD=2>/3,ZADB=ZABD=30°,ZADC=90°,/.BM//AD.

又：平面RID,ADu平面B4D,BM〃平面B4D

为PC的中点，加为CD的中点，：.EM//PD.

又：EMU平面BAO,P£>u平面布。，，四0〃平面以D

:EMIBM=M,尸£>cZM=£>,...平面跳加〃平面BAD

BEu平面BEM,：.BE〃平面PAD.

2.如图所示的四棱锥P-AfiCD的底面ABC。是一个等腰梯形，AD//BC,且

AD=2AB=2BC=4,P0是△的中线，点E是棱尸D的中点.

p

(1)证明：CE〃平面

(2)若平面24D，平面ABC。，且PA=PD,尸。=49,求平面与平面PCD夹角余弦

值.

(3)在(2)条件下，求点O到平面R记的距离.

【答案】(1)证明见解析；(2)g；(3)拽L

77

【分析】(1)连接OC、OE,平行四边形的性质、线面平行的判定可得OE//平面上钻、CO//

平面上4B,再根据面面平行的判定可得平面OCE//平面上4B,利用面面平行的性质可证结

论；

(2)取3c的中点为连接证明出尸。，平面A3CD,OMLBC,以。为坐标原

点，OM,笳、丽的方向分别为X轴、y轴、Z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用

空间向量法可求得平面R43与平面PC。所成锐二面角的余弦值.

(3)利用等体积法，/*。=%_咿求。到平面皿的距离.

(1)连接OC、OE,由。、E分别是棱AD、尸。的中点，则OE〃PA,

平面PAu平面E4B,则平面E4B.

又4J//BC,且AT)=2AB=23C=4,高中数学资料共享群(QQ群号734924357)

AO〃3c且AO=BC,四边形ABCO是平行四边形，则CO/MB,

•.•COZ平面%B,ABI平面上4B,则CO〃平面RIB.

又COcOE=O,可得平面OCE〃平面又CEu平面OCE.

CE//平面PAS.

【题型四】平行4：难题--线面探索型

【典例分析】

在四棱锥P—ABCD中，底面ABC。是菱形，AC^}BD=O.

（I）若ACLPZ）,求证：AC,平面P3。；

（H）若平面？AC,平面A8CD,求证：PB=PD；

PM

（in）在棱PC上是否存在点M（异于点C）使得6M//平面240,若存在，求器的

值；若不存在，说明理由.

【答案】（I）证明见解析；（II）证明见解析；（III）不存在.

【分析】（I）由ABC。是菱形可得ACJ_80；结合ACLPD,由线面垂直的判定定理

可得AC1平面。A。.；（II）由（I）可知AC_LP0,由面面垂直的性质可得瓦），P0,

结合BO=DO可得结果；（III）利用反证法，假设存在点〃（异于点C）使得5M//平

面PA。，可推出平面?BD//平面上4。，从而可得结论.高中数学资料共享群（QQ群号

734924357)

【详解】（I）因为底面ABC。是菱形。所以

又因为ACLPZ）,募额戏，所以AC_L平面B4D.

（II）由（I）可知AC_LP0.因为平面平面ABCD,平面PACc平面

尸。1平面ABC。，因为此匚平面尸AC,所以BD工尸0.

因为底面ABCD是菱形，所以麟。=裁修.所以膏遨.

（III）不存在.下面用反证法说明.

假设存在点嬲（异于点露）使得蹊薇〃平面在菱形ABC。中，BC//BC,因为

平面BLD,BCu平面RW,所以平面B4A）.因为平面PBC,BC.L

平面PBC,

.鹿够"f徽嫄=薄，所以平面PBC〃平面RW.而平面PBC与平面RW相交，矛盾.

【提分秘籍】

基本规律

1.常规题，对应的点大多在中点处。

2.要多训练非中点的题选。

【变式演练】

1.如图所示四棱锥尸一ABCD中，上4,底面ABCD,四边形A6C。中，AB±AD,

BC//AD,PA=AB=BC=2,AD=4.

（1）求四棱锥尸—ABCD的体积；

（2）求证：CD1平面A4C；

（3）在棱PC上是否存在点/（异于点C）,使得//平面PAD,若存在，求黑的值；

若不存在，说明理由.

【答案】（1）4；（2）见解析；（3）不存在.

【解析】

【分析】

（1）利用四边形ABCD是直角梯形，求出％BCD，结合上4,底面ABCD，利用棱锥的体

积公式求解即可求；（2）先证明Q4,CD,AC1CD,结合Q4cAC=A,利用线面垂

直的判定定理可得CD,平面尸AC；（3）用反证法证明，假设存在点/（异于点C）使得

8M//平面证明平面PBC//平面Q4。，与平面PBC与平面240相交相矛盾，从

而可得结论.

【详解】(1)显然四边形ABC。是直角梯形，

SABCD=^(BC+AD)XAB=^X(2+4)X2=6

又_L底面ABCDVP_ABCD=|SABCDPA=1x6x2=4

(2);24，平面430CDu平面ABC，.•.A4_LCD在直角梯形ABC。中，

AC=y]AB-+BC2=2>/2，

CD=2V2.AC2+CD2AD2,AC1CDPAr^AC=A,:.CD1^PAC；

⑶不存在，下面用反证法进行证明

假设存在点M(异于点C)使得8M//平面以D•.•BC//AD,且8C,平面以，

ADu平面及⑦，；.BC//平面MD又；BCcBM=B,

，平面PBC7/平面B4D而平面PBC与平面PAD相交，得出矛盾.

71

2.如图，矩形ADER和菱形ABC。所在平面互相垂直，已知ZADC=§,点N是线段AD

的中点.

(1)求证：GV1AF；

(2)试问在线段跖上是否存在点使得直线A产//平面MNC?若存在，请证明A产//

平面MNC,并求出典的值；若不存在，请说明理由.

ME

【答案】(1)证明见解析；(2)存在，证明见解析，2.

【解析】

【分析】

(1)由已知可得AADC是等边三角形，N是线段AD的中点，得CNLA。，根据面面

垂直的性质定理证得平面ADEF,即可证明结论；

(2)取FE的中点P,可证PE〃BC,连接CP交BE于点Af,M点即为所求的点.

利用PE〃BC,可得"‘=9,即可求出结论.

MEPE

【详解】

7C

（1）菱形ABCD,AD=DC,ZADC=-,则AADC是等边三角形,

3

又N是线段AD的中点，•••OVLAD.

又平面ADEF,平面ABCD,平面ADEFC平面A8CD=AO,

所以QV,平面ADE/L

又：AFu平面ADEF,故CNLAF.

（2）取EE的中点P,连接CP交BE于点M,M点即为所求的点.

证明：连接PN,vPE//AD,AD//BC,：.PE//BC,

所以CP与CE相交于点Af,：N是AD的中点，P是FE的中点，

PN//AF,久PNu平而MNC,平面MNC,

；•直线AF//平面MNC.又：尸£/ABC,也=生=2.

MEPE

【题型五】平行5：证面面平行

【典例分析】

如图所示，在三棱柱ABC—A4G中，E,F,G,〃分别是ASAC,A.B.,4G的中

点，

求证：（1）B,C,H,G四点共面;（2）平面ER〃平

面BCHG.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）利用三角形中位线的性质，证明GH//gC-从而可得GH//BC,即可证

明3,C,H,G四点共面;

(2)证明平面E%中有两条直线A]E、所分别与平面BCHG中的两条直线3G、BC

平行，即可得到平面EE&〃平面5cHG.

【详解】⑴G,H分别是4昂AQ的中点，，GH是△A4G的中位线，则GH//4£，

R;B[CJ/BC,:.GHI/BC,：.B,C,H,G四点共面.

(2)：£,F分别为AB,AC的中点，，跖/ABC,•.•EF'a平面BCHG,BCu平面

BCHG,高中数学资料共享群(QQ群号734924357)

二所平面3cHG,又G,£分别是44，A3的中点，A,BXLAB,:.AXGLEB,

•••四边形4E3G是平行四边形，；.AE//GB,AEa平面BCHG,GBu平面3cHG,

AE//平面5cHG,又•.•A1ECEF=E,二平面ER//平面BCHG,

【提分秘籍】

基本规律

面面平行的核心思维是“线面平行”。

【变式演练】

1.如图，在圆柱GQ中，AB,CD分别是上、下底面圆的直径，且A5〃C。，EF,GH分

别是圆柱轴截面上的母线.

C

(1)若CE=DE=2巫,圆柱的母线长等于底面圆的直径，求圆柱的表面积.

(2)证明：平面A5H〃平面召CD.

【答案】(1)24%.(2)证明见详解.

【分析】(1)借助圆柱的母线垂直于底面构造直角三角形计算可得半径，然后可得表面积;

(2)构造平行四边形HQEOI证明。冉〃。声，结合已知可证.

(1)连接C£DF-.-DE=CE,EF1CF,EF±DF：.ACEF^DEF：.CF=DF

因为C。为直径，记底面半径为R,EF=2R。则C乃+。尸2=4R2.•.£>尸=同

又DF2+EF-=DE-(0R)2+(2R)2=Q府解得R=2

圆柱的表面积S=2%Rx2R+2万a

连接。田、0再、。/、UE由圆柱性质知GH〃所且G"=EF，GE〃族

O.E〃02H且O.E±02H四边形HO2EO,为平行四边形/.OtH//O2E又vQH<z平面CDE,

QEu平面CDE

Q"//平面CDE。同理，回〃平面CDE又•.•ABnO|H=a,。冉u平面ABH,ABi平

面ABH

；・平面AB"〃平面ECD.

2.如图①,在梯形R4BC中，43〃PC,AABC与AeiC均为等腰直角三角形，ZPAC=ZABC

=90°,PC=4,D,E分别为24,PC的中点.将APOE沿OE折起，使点尸到点P的位

置(如图②)，G为线段P3的中点.在图②中解决以下两个问题：

(1)求证：平面GAC〃平面PZ>E；

(2)若直线尸区与平面E43C所成的角为30。时，求三棱锥P，—ACG的体积.

【答案】(1)证明见解析(2)叵

6

【分析】

(1)连接BE交AC于点连接GM,P'E,可证得G必〃PE,根据线面平行的判定定

理即可证得GM〃平面PDE.同理可证得AC〃平面BDE.由面面平行的判定定理即可证

得结果.

（2）利用等体积转换可得/TCG=:%-〃AC=；/TBC计算即可得出结果.

（1）连接BE交AC于点M,连接GM,P'E,

四边形ABCE是正方形，M为BE的中点，又G为线段PB的中点，

则GA/〃又GM（Z平面PZ）E,P石u平面PDE,所以GM〃平面尸Z>E.

又。，E分别为B4,尸。的中点，贝！］OE〃AC,又AC（Z平面尸£>石，DEu平面PDE,

所以AC〃平面PDE.又GMn/C=M,GM,/Cu平面GAC,

所以平面GAC〃平面PDE.

【题型六】平行6：难题--面面平行探索性题型

【典例分析】

已知正四棱锥S-ABCD的各条棱长都相等，且点E,厂分别是SB,SO的中点.

（1）求证:AC，S3；

（2）在SC上是否存在点使平面MBD//平面AM,若存在，求出丝的值；若

MC

不存在，说明理由.

【答案】（1）见解析（2）”=2

MC

【解析】试题分析：（1）设ACn3£>=O,连接S。,根据正四棱锥的性质，得SO,平面

ABCZ）,所以SO，AC.又BD±AC,证得AC，平面SBD,进而得到AC±SB.

（2）取CG中点”，连0H并延长交SC于点Af,得OMIIAG,得5。（=平面"BD,

进而得到平面MB。//平面AEF,在ASOC中，得N是中点，M是OV中点，即可

求解结论滴中数学资料共享群（QQ群号734924357）

试题解析：

（1）设ACc班）=0,则。为底面正方形ABC。中心，连接S。,因为S—ABCD为正四

梭锥.所以SO，平面ABCD,所以SO，AC.又也），AC,且SOcBD=0,所以AC，

平面SBD；

因为SBu平面SB。,故AC，SB.

⑵存在点M,设S0c£F=G，连AG,CG.取CG中点”，连0H并延长交SC于点Af,

•；。是AC中点，，0"//AG,即0M//AG,久EF/IBD,OM,BDa平面AEF,

AG,EFu平面AEF,

•••OM//平面AEGB。//平面AER,

入OMcBD=O,。力7,3。匚平面〃8£）,，平面皿5。//平面4石尸，

在AS。。中，作GN//HM交SC于N,则N是SM中点，M是CN中点,

:•必=2.

MC

【提分秘籍】

基本规律

找面的经验：任何一对互相平行平面，和第三个平面相交，交线互相平行

【变式演练】

1.在正方体AG中，E、R分别为4G、吕G的中点，ACIBD=P,AQIEF=Q,

如图.

（1）若4。交平面EEBD于点尺，证明：p、Q、尺三点共线;

（2）线段AC上是否存在点使得平面用〃平面瓦BD,若存在确定加的位置,

若不存在说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，且丝=1.

AC4

【解析】

【分析】

（1）先得出尸。为平面瓦BD与平面A&GC的交线，然后说明点尺是平面A&C。与平

面历BD的公共点，即可得出尸、Q、尺三点共线；

(2)设用DJ4£=。，过点"作OM〃P。交AC于点然后证明出平面4。河〃

平面EFBD,再确定出点M在AC上的位置即可.

【详解】

(1)QACIBD=P,ACu平面A4CC，BDu平面EEBD,所以，点P是平面

441cle和平面石EBD的一个公共点，同理可知，点。也是平面A&GC和平面EFBD的

公共点，则平面A&CC和平面EEBD的交线为尸Q,

・•.ACn平面EEBD=H,4Cu平面A4CC，所以，点卡也是平面A&CC和平面

EEBD的公共点，由公理三可知，R^PQ,因此，P、Q、R三点共线；

(2)如下图所示：

设BRI4G=O,过点M作。暇〃PQ交AC于点M,

下面证明平面与。M〃平面石EB£)

・；E、R分别为4G、4G的中点，.•.3i，〃ER,

QBR6平面EFBD,EFu平面EFBD,：•Bp#平面EFBD.

又OMHPQ,OMU平面EFBD,尸。匚平面石/亚)，，。0〃平面石7亚)，

QOMIBQi=O,OM,用Qu平面耳因此，平面BQ[M〃平面EEBD.

下面来确定点M的位置：

-E,R分别为4G的中点，所以，EFHBR,且ERIOCX=Q,则点。为。a

的中点，

易知4c]〃AC,KPOQUPM,又OMIIPQ,所以，四边形OMPQ为平行四边形，

CAC

.\PM=OQ=^OCl=1AI=1>

••・四边形ABC。为正方形，且ACIBD=P,则P为AC的中点，所以，点M为AP的

中点，-,AM=-AP=-AC,

24

因此，线段AC上是否存在点M,且&丝=4时，平面〃平面EFBD.

AC4

2.如图，在四棱锥尸一ABCD中，已知底面ABC。为矩形，巳4，平面加。,点£为棱。£）

的中点.

（2）直线AD上是否存在一点尸，使平面尸8尸//平面AEC?若存在，请给出证明；若

不存在，请说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）由题意利用线面垂直的判定定理证明题中的结论即可；

（2）延长ZM到点R,使AF=ZM,此时平面PB产//平面AEC利用几何关系结合面面平

行的判定定理即可证得题中的结论.

【详解】（1）由线面垂直的定义可得：PA1CD,由矩形的性质可得：DA1CD,

且是平面“ID内的两条相交直线，故CD1平面

（2）延长ZM到点/，使AF=，此时平面PBF//平面AEC.

证明如下：连接PE3广，

少=ZM,二点A为。F的中点，

又：点£为棱P。的中点，:•AEIIPF

又AEu平面AEC,W平面AEC二P「〃平面AEC

・•・底面48co为矩形，且AO=3C

又：点厂为ZM延长线上的点,AF=ZM:.AF//BCKAF=BC

四边形为平行四边形：.BF//AC

又ACu平面AEC,3/(z平面AEC,KF//平面AEC

又♦.•尸尸U平面尸5尸,5尸U平面尸5尸，尸尸八3尸=尸平面PBF//平面AEC

【题型七】垂直1：线面垂直

【典例分析】

TT

如图，在平行四边形ABC。中，AB=1,5C=2,NCBA=,A3E厂为直角梯形，BE〃AB,

n

ZBAF=—,BE=2,AF=3,平面43cz）_L平面ABE厂.

2

（1）求证：ACL平面ABEF.

（2）求多面体ABCDE与多面体AOE歹的体积的比值.

4

【答案】（1）证明见解析；（2）y

【分析】（1）依据题设条件及勾股定理先证线ABAC垂直，借助题设条件，运用性面面

垂直的性质定理进行推证；

（2）利用勿_AEF=L.AEF可求三棱锥。一A跖的体积，利用面面垂直的性质得出多面体

ABCDE的高，可求得其体积，从而可得答案.

【详解】

71

（1）在中，AB=1,NCBA=—,BC=2,所以

3

222

AC=JBA+BC-2BABCCOSZCBA=3,

所以4。2+郎2=台。2,所以

又因为平面ABCDJ_平面ABEF,平面ABCDpI平面ABEF=AB,AC<^平面ABCD,

所以AC,平面ABEF.

【提分秘籍】

基本规律

讲透彻“三垂线定理”这个最常用的模型

【变式演练】

1.如图，三角形PCD所在的平面与等腰梯形ABCD所在的平面垂直，AB=AD=JcD,

AB〃CD,CP1CD,M为PD的中点.

（1）求证：AM〃平面PBC；

（2）求证：BDL平面PBC.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【分析】（1）取PC的中点N,连MN,BN,可证得四边形为平行四边形，于

是AM//BN,然后根据线面平行的判定定理可得结论成立.（2）在等腰中梯形ABCD中，

取。。的中点T,连AT,BT,证得四边形AB7D为菱形，进而得同理四边

形ABCT为菱形，可得，皮）.再由平面PCD，平面ABCD得到CP，平面ABCD,

于是得CPLa）,最后根据线面垂直的判定可得3D，平面PBC.

证明：（1）如图，取PC的中点N,连MN,BN,为PD的中点，N为PC的中

点，

.,.MN//CD,MN=-CD.又AB//CD,AB=-CD,：.MNIIAB,MN=AB,

22

；•四边形ABM0为平行四边形，AM//BN.又AM■平面PBC,BNu平面PBC,

；•AM//平面PBC.

（2）如图，在等腰中梯形ABCD中，取C。的中点T,连AT,BT.'：AB=-CD,

2

AB//CD,

•••AB=DT,AB//DT,；•四边形A37D为平行四边形.又AB=AD,

四边形A5ZD为菱形，同理，四边形ABCT为菱形，AT//BC.

•••AT±BD,•••平面PC。，平面ABC。，平面尸CDc平面A5CD=CD,

CPLCD,。尸（=平面?。。，，。尸，平面人5。。，又BDu平面ABCD,

：.CP1BD.vBC1BD,BCcCFnC,，加，平面PBC.

2.如图，已知AABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC,且

KA=A3=2a,DC=a,尸是砥的中点，求证：

(1)FD//平面ABC；(2)AF上平面EDB.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【详解】（1）取AB的中点M,连FM,MC,；F、M分别是BE、BA的中点，FM/7EA,

FM=—EA,

2

•・•EA、CD都垂直于平面ABC,JCD〃EA・・・CD〃FM又DC=a,FM=DC

四边形FMCD是平行四边形，，FD〃MC,FD〃平面ABC.

(2)；M是AB的中点，△ABC是正三角形，ACMIAB,又CM_LAE,ABAAE=A,

CM_LAF,FD±AF,；F是BE的中点,EA=AB,AAFXEB,

；.AF_L平面EDB.

【题型八】垂直2：面面垂直

【典例分析】

如图，在以P为顶点，母线长为我的圆锥中，底面圆。的直径长为2,。是圆。所

在平面内一点，且AC是圆。的切线，连接交圆。于点。，连接PD,PC.

（1）求证：平面？AC,平面PBC；

（2）若E是PC的中点，连接OE,ED,当二面角5—尸0—。的大小为120。时，求平

面PAC与平面所成锐二面角的余弦值.

【答案】（1）详见解析；（2）叵.

13

【分析】

（1）由A5是圆。的直径，AC与圆。切于点A,可得ACLA6,

由P。，底面圆。，可得尸0LAC,利用线面垂直的判定定理可知，AC,平面nw,

历

即可推出.又在AR4B中，PA=PB^—AB,可推出利用线面垂

2

直的判定定理可证平面A4C,从而利用面面垂直的判定定理可证出平面R4C,平

面PBC.

解：(1)A3是圆。的直径，AC与圆。切于点A,ACLAB

P。，底面圆。，

POcAB=O,人。，平面^45,，人。，尸5.

又：在AR4B中，PA=PB==AB,PA1PB

2

；PAnAC=A,pg,平面尸AC,从而平面B4C，平面PBC.

【提分秘籍】

基本规律

核心思维：寻找其中一个平面板的垂线(及其平行线)

【变式演练】

1.如图，梯形A5CD所在的平面与等腰梯形AB印所在的平面互相垂直，G为A3的中点,

ABYAD,AB//CD//EF,DA=AF=EF=CD=6,AB=20

(I)求证：CE〃平面A£>F；(H)求证：平面CEG1

平面CFB；

(HD求多面体A产£BCD的体积.

【答案】(I)证明见解析；(II)证明见解析；(III)3.

【分析】(I)可证DF//CE,从而得到CEH平面ADF.

(II)可证所1.平面ECG,从而得到平面CEG1平面CEB

【详解】

(I)因为CDIIEF,且CD=防，则四边形CDFE为平行四边形，板DFHCE.

又DFu平面ADF,CEU平面ADF,所以CE〃平面ADF.

（II）连接歹G.

在等腰梯形ABE尸中，BGI/EF,BG=EF,从而四边形GBEF为平行四边形，

又GB=BE=A故四边形GB所为菱形，故BhEG.

在梯形ABC。中，同理可证四边形AGCD为平行四边形，故4O〃GC.

因为从而GCLAB,而平面AB石尸，平面ABCD,

平面45所「平面=GCu平面A6CD,

故GCL平面ABEF,而Mu平面尸，故GCLM,

因为CGcEG=G,故跖，平面ECG.

因为5Fu平面BCV,故平面CEG1平面CFB.

2.如图，在四棱锥尸一ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD,PA=AB,

E为线段QB的中点.

（1）若R为线段BC上的动点，证明：平面AEFL平面PBC；

（2）若歹为线段BC,CD,DA上的动点（不含A,B）,PA=2,三棱锥A—班尸的

体积是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，请说明理由.

2

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，y.

【分析】（1）利用4£，依,他，6。,可得4£，平面尸8。,根据面面垂直的判定定理可证

平面AEF1平面PBC,

（2）由Q4,底面A5CD,得平面平面ABCO.将问题转化为点R到直线的

距离有无最大值即可解决.

【详解】（1）证明:因为B4=AB,£为线段QB的中点，所以AELM,

因为24,底面ABCD,BCu平面A5C。，所以

又因为底面A5CD为正方形，所以B4nAB=A,所以3CL平面7^45,

因为AEu平面所以因为?3八8。=8,所以平面PBC,

因为AEu平面AEP,所以平面A即，平面PBC.

【题型九】垂直3：难题--垂直探索性题型

【典例分析】

直三棱柱ABC—A6G中，AB=5,AC=3,6C=4,点。是线段AB上的动点.

（1）当点。是的中点时，求证：AC】||平面及C。；

（2）线段A3上是否存在点。，使得平面钻耳4,平面CD耳？若存在，试求出AQ的

长度；若不存在，请说明理由.

9

【答案】（1）见解析；（2）《高中数学资料共享群（QQ群号734924357）

【试题分析】（1）连接§G，交片。于点石，连接OE,则点E是的中点，利用三角

形的中位线有DE//AG，，由此证得线面平行.（2）当CDLAB时平面A3耳A，平面

。用.利用CD,A4,,可证得CD，平面ABB】A,由此证得两个平面垂直.利

用等面积法求得AD的长.

【试题解析】（1）如图，连接3G，交用。于点石，连接OE,则点E是Bq的中点，

又点。是A3的中点，由中位线定理得DE||AG，因为。£u平面耳CD,<X平面

BQ,

（2）当CDLAB时平面AB与4，平面CZ）4.

证明：因为平面ABC,COu平面ABC,所以A&LCD.

又CDLAB,AAir>AB=A,所以CD1平面AB与A，

因为CDu平面CD3］,所以平面ABqA，平面COB］，故点。满足CDLAB.

因为AB=5,AC=3,BC=4,所以AC?+,

9

故AABC是以角。为直角的三角形，又CDLAB,所以AD=《.

【提分秘籍】

基本规律

使用好“逆向思维”这个证明垂直的捷径方法：要证明的必然是成立的。

【变式演练】

1.如图，在三棱柱ABC—4与。］中，CG_L底面ABC,AC_LCB,点。是AB的中点.

%____________

______

（I）求证：AC±BQ；

（II）求证：AC1〃平面CD3］.

（HI）设AB=2A4,,AC=BC,在线段4耳上是否存在点M,使得BN_LCg?若存在,

确定点Af的位置;若不存在，说明理由.

【答案】（I）见解析；（II）见解析；（III）存在，〃为线段44的中点，理由略.

试题分析：（I）通过证得CG，AC,且ACL3C,即可证得AC,平面8。£耳，即证

AC±BC［；

（II）设CB］与C&的交点,为E,连结OE,因为。是A3的中点，石是BQ的中点,

由三角形的中位线定理得。石〃AG,又由线面平行的判定定理即证AG〃平面CDB］；

(Ill)在线段4月上存在点M,使得AM_LCB],且M为线段A4的中点.证明如下:

由已知得A4±CD.

由已知AC=3C,。为线段AB的中点，所以CE)_LA3,可得CD_L平面A414g.连接

BM.因为BM<=平面AA.B.B,所以CD_L,易证BN_LBQ,所以，平面BXCD,

即可得BM_LCB].

试题解析：(I)在三棱柱A3C-44G中，因为CG_L底面ABC,ACu底面ABC,所以

CC]±AC.

又ACJL3C,BCQCC]=C,所以AC_L平面.而BC；u平面则

AC±BC「

(II)设C与与GB的交点为E,连结。E,a因为。是

AB的中点，石是3G的中点，所以。石〃AG.因为。石u平面COB]，<2平面CDB1,

所以AC1〃平面

(III)在线段A4上存在点“，使得BM_LC4，且M为线段4月的中点.