北师大版八年级数学上册平行线的证明《三角形内角和定理》示范课教学课件

三角形的内角和定理第2课时与三角形外角有关的定理第七章平行线的证明八年级数学上册•北师大版学习目标1.了解并掌握三角形的外角的定义.2.掌握三角形的外角的性质，利用外角的性质进行简单的证明和计算.复习回顾ACB三角形内角和定理：三角形内角和等于_____.符号表述：在△ABC中，∠A，∠B，∠C为△ABC的内角，则∠A+∠B+∠C=_____.练一练：在△ABC中，若∠A+∠B=∠C，∠B-∠A=30°，则∠A=_____，∠B=_____，∠C=_____.180°180°30°60°90°进行新课ABCED在证明三角形内角和定理时，我们把△ABC的一边BC延长得到了∠ACD，∠ACD叫做什么角？下面我们就给这种角命名，并且来研究它的性质.知识点一三角形外角的概念定义：如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，ABCD∠ACD是△ABC的一个外角像这样，三角形内角的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.ABCD问题1：如图，延长AC到E，∠BCE是不是△ABC的一个外角？E∠DCE是不是△ABC的一个外角？∠BCE是△ABC的一个外角∠DCE不是△ABC的一个外角问题2：画出△ABC所有的外角，并指出有哪几个？ABC123654△ABC的外角有6个，分别是∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6.问题3：△ABC的6个外角有什么关系？（位置关系和数量关系）ABC123654∠1和∠6是对顶角，∠1=∠6；∠2和∠5是对顶角，∠2=∠5；∠3和∠4是对顶角，∠3=∠4.ABC123654归纳：三角形外角的特征角的顶点是三角形的顶点；角的一边是三角形的一边；另一边是三角形一边的延长线；每个三角形都有6个外角.ABCEDF练一练：如图，∠BEC是哪个三角形的外角？∠AEC

是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？

∠BEC是△AEC的外角；∠AEC是△BEC的外角；∠EFD是△BEF和△DCF的外角.知识点二三角形外角的性质探究1：△ABC的外角∠ACD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？ABCD三角形的外角相邻的内角不相邻的内角∠ACD与∠ACB互补探究2：△ABC的外角∠ACD与其不相邻的两内角（∠A，∠B）有什么关系？ABCD猜测：∠A+∠B=∠ACD.你能证明这个猜想吗？已知，如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.ABCD证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形内角和定理），∴∠A+∠B=180°-∠ACB（等式的性质）.∵∠ACB+∠ACD=180°（平角的定义），∴∠ACD=180°-∠ACB（等式的性质）.∴∠ACD=∠A+∠B（等量代换）.定理三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.定理三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.三角形内角和定理推论1：ABCD几何语言：在△ABC中，∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD=∠A+∠B.探究3：△ABC的外角∠ACD与其不相邻的两内角（∠A，∠B）的大小关系如何呢？ABCD解：∵∠ACD=∠A+∠B，∴∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B.定理三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.定理三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.三角形内角和定理推论2：ABCD几何语言：在△ABC中，∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B.∵∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形内角和定理），∴∠A+∠B=180°-∠ACB（等式的性质）.∵∠ACB+∠ACD=180°（平角的定义），∴∠ACD=180°-∠ACB（等式的性质）.∴∠ACD=∠A+∠B（等量代换）.∵∠ACD=∠A+∠B，∴∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.定理推论推论由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫做这个基本事实或定理的推论.推论可以当做定理使用.例2

已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC.求证：AD∥BC.BAEDC分析：证明AD∥BC平行线的判定证明内错角相等或同位角相等或同旁内角互补证法一：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），又∠B=∠C（已知），∴∠C=∠EAC（等式的性质）.∵AD平分∠EAC（已知），∴∠DAC=∠EAC（角平分线的定义）.∴∠DAC=∠C（等量代换）.∴AD//BC（内错角相等，两直线平行）.BAEDC这里运用了“内错角相等，两直线平行”.你还能想到其他证明方法吗？BAEDC证法二：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），又∠B=∠C（已知），∴∠B=∠EAC（等式的性质）.∵AD平分∠EAC（已知），∴∠DAE=∠EAC（角平分线的定义）.∴∠DAE=∠B（等量代换）.∴AD//BC（同位角相等，两直线平行）.例3已知：如图，P是△ABC内一点，连接PB，PC.求证：∠BPC>∠A.证明：如图，延长BP，交AC于点D.∵∠BPC是△PDC的一个外角（外角的定义），∴∠BPC＞∠PDC（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）.∵∠PDC是△ABD的一个外角（外角的定义），∴∠PDC＞∠A（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）.∴∠BPC＞∠A.D你还有其他的证明方法吗？角度模型∠A+∠B+∠C=∠D随堂练习1.如图，AB//CD，∠A＝37°,∠C＝63°，那么∠F

等于（）A.26°B.63°C.37°D.60°A2

.如图，D是△ABC的BC边上一点,∠B=∠BAD，∠ADC=80°，∠BAC=70°，求∠B和∠C的度数.解：∵∠ADC是△ABD的外角.在△ABC中，∵∠B+∠BAC+∠C=180°，∴∠C=180º-40º-70º=70°.∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°.又∵∠B=∠BAD，ABCD3.如图，在△ABC中，∠A=45°，

外角∠DCA=100°.求∠B和∠ACB的度数.ABCD【教材P183随堂练习

第1题】解：∵∠DCA是△ABC的一个外角(已知)，∠DCA=100°(已知)，∠A=45°(已知)，∴∠B=100°-45°=55°(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).又∵∠DCA+∠BCA=180°(平角的定义)，∴∠ACB=80°(等式的性质).ABCD4.如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角，那么∠1，∠2，∠3的和是多少度？【教材P183随堂练习

第2题】解：∵∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角，∴∠1=∠ABC+∠ACB.∠2=∠BAC+∠ACB.∠3=∠ABC+∠BAC.∵三角形内角和为180°，∴∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°.∴∠1+∠2+∠3=2（∠BAC+∠ABC+∠ACB）=360°.5.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.解：∵∠1是△FBE的外角,∴∠1=∠B+∠E,同理，∠2