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定积分在物理学上的应用上页下页铃结束返回首页一、变力沿直线所作的功

例1

电量为+q的点电荷位于r轴的坐标原点O处,

它所产生的电场力使r轴上的一个单位正电荷从r

a处移动到r

b(a<b)处,

求电场力对单位正电荷所作的功.

解

在r轴上,

当单位正电荷从r移动到r+dr

时,

提示：根据物理学,

在电量为+q的点电荷所产生的电场中,

距离点电荷r处的单位正电荷所受到的电场力的大小为下页于是所求的功为下页一、变力沿直线所作的功

例1

电量为+q的点电荷位于r轴的坐标原点O处,

它所产生的电场力使r轴上的一个单位正电荷从r

a处移动到r

b(a<b)处,

求电场力对单位正电荷所作的功.

解

在r轴上,

当单位正电荷从r移动到r+dr

时,

例2

在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体.

在等温条件下,

由于气体的膨胀,

把容器中的一个活塞从点a处推移到点b处.

计算在移动过程中,

气体压力所作的功.

解

所以作用在活塞上的力为在点x处,因为V

xS,

提示：由物理学知道,

一定量的气体在等温条件下,

压强p与体积V的乘积是常数k

,

即下页于是所求的功为

下页

例2

在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体.

在等温条件下,

由于气体的膨胀,

把容器中的一个活塞从点a处推移到点b处.

计算在移动过程中,

气体压力所作的功.

解

在点x处,因为V

xS,

所以作用在活塞上的力为因为这薄层水的重力为9.8

32dx,

例3

一圆柱形的贮水桶高为5m,

底圆半径为3m,

桶内盛满了水.

试问要把桶内的水全部吸出需作多少功？

在区间[0,5]上点x处任取一薄层水,其的高度为dx.

解

作x轴如图.此即功元素.

dW

9.8

32

xdx所以把这薄层水吸出桶外所需作的功近似为=88.2

x

dx,

于是所求的功为首页二、水压力

例4

一个横放着的圆柱形水桶,

桶内盛有半桶水.

设桶的底半径为R,

水的比重为

,

计算桶的一个端面上所受的压力.

解

取坐标系如图.

在水深x处于圆片上取一窄条,

其宽为dx,

桶的一个端面上所受的压力为背景知识首页三、引力

例5

求长度为l、线密度为

的均匀细直棒对其中垂线上距棒a单位的质量为m的质点M的引力.

解

取坐标系如图.引力在

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