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常数项级数的审敛法上页下页铃结束返回首页一、正项级数及其审敛法

正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列有界.

正项级数各项都是正数或零的级数称为正项级数.

这是因为正项级数的部分和数列{sn}是单调增加的,而单调有界数列是有极限.

下页定理1(正项级数收敛的充要条件)

定理2(比较审敛法)

>>>

推论

下页>>>

解

下页定理2(比较审敛法)

>>>

设∑un和∑vn都是正项级数,且un

kvn(k>0,

n

N).若级数∑vn收敛,则级数∑un收敛;若级数∑un发散,则级数∑vn发散.

设∑un和∑vn都是正项级数,且un

kvn(k>0,

n

N).若级数∑vn收敛,则级数∑un收敛;若级数∑un发散,则级数∑vn发散.p

级数的收敛性

证

下页定理2(比较审敛法)

定理3(比较审敛法的极限形式)下页

解

>>>

下页

解

定理3(比较审敛法的极限形式)下页收敛

当

1(或

)时级数发散

当

1时级数可能收敛也可能发散

定理4(比值审敛法

达朗贝尔判别法)

解

所以

根据比值审敛法可知所给级数收敛

例5

证明级数是收敛的

所以

根据比值审敛法可知所给级数发散

下页

解

收敛

当

1(或

)时级数发散

当

1时级数可能收敛也可能发散

定理4(比值审敛法

达朗贝尔判别法)提示:所以

根据比值审敛法可知所给级数收敛

下页

解

收敛

当

1(或

)时级数发散

当

1时级数可能收敛也可能发散

定理4(比值审敛法

达朗贝尔判别法)下页定理5(根值审敛法

柯西判别法)收敛

当

1(或

)时级数发散

当

1时级数可能收敛也可能发散

所以

根据根值审敛法可知所给级数收敛

因为

解

定理5(根值审敛法

柯西判别法)收敛

当

1(或

)时级数发散

当

1时级数可能收敛也可能发散

所以

根据根值审敛法可知所给级数收敛

因为

解

下页定理6(极限审敛法)因为

解

根据极限审敛法

知所给级数收敛

下页定理6(极限审敛法)因为

解

根据极限审敛法

知所给级数收敛

首页二、交错级数及其审敛法交错级数交错级数是这样的级数,它的各项是正负交错的.下页

例如

二、交错级数及其审敛法交错级数交错级数是这样的级数,它的各项是正负交错的.定理7(莱布尼茨定理)

(1)un

un

1(n

1

2

3

)

则级数收敛

且其和s

u1

其余项rn的绝对值|rn|

un

1

>>>

下页这是一个交错级数.

解

由莱布尼茨定理,级数是收敛的,且其和s<u1

1,首页则级数收敛,且其和s

u1,其余项rn的绝对值|rn|

un

1.定理7(莱布尼茨定理)因为此级数满足

例12

三、绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛下页

例如

三、绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛定理8(绝对收敛与收敛的关系)应注意的问题

下页

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