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文档简介

不变子空间一不变子空间的概念及性质定义7

A∈L(V),W是数域P上线性空间V的子空间，称W是A的不变子空间，简称为A－子空间，如果：对任意的ξ∈W，Aξ∈W.

即AWW（对线性变换A封闭）.性质1

对任意的A∈L(V),V,{0}是A－子空间（例1）.

V

WAW性质2

对任意的A∈L(V),A的值域AV,核A－1(0)是A－子空间(例2).证明：对η∈A

V→η∈V→A

η∈A

V,η∈A

－1(0),Aη=0∈A－1(0)，故命题成立.□性质3

AB=BA，则BV,B－1(0)是A－子空间(例3).证明：对任意的Bξ∈B

V，A(Bξ)=B(Aξ)∈B

V→BV是A－子空间.对任意的ξ∈B

－1(0),Bξ=0,要证明

ξ∈B

－1(0)，关键证B(Aξ)=0.而

B(Aξ)=A(Bξ)=A(0)=0,故B－1(0)是A－子空间.□

同理：AV，A－1(0)是B－子空间.

由于Af(A)=f(A)A，故f(A)

V,f(A)－1(0)是A－子空间.性质4

K∈L(V),则V的任一子空间是K－子空间.V的任一子空间是零变换，单位变换的不变子空间.证明：设W是V的任一子空间，对任意的α∈W,由子空间的定义可知，Kα=kα∈W,故命题成立.□性质5

A∈L(V),W是A－子空间，f(x)∈P[x],则W是f(A)－子空间.性质6

W1,W2是A－子空间，则W1+W2,W1∩W2仍是A－子空间.

证明：对任意的α1+α2∈W1+W2，A(α1+α2)=Aα1+Aα2∈W1+W2.对任意的α∈W1∩W2，Aα∈W1且Aα∈W2，故Aα∈W1∩W2，所以命题成立.□

性质7

A∈L(V),则A的属于特征值λ的特征子空间Vλ是A－子空间.

证明：对任意的ξ∈Vλ,Aξ=λξ∈Vλ

→Vλ是A－子

空间.□

性质8

A∈L(V),则A有一维A－子空间的充要条件是：存在λ∈P,对任意的ξ(≠0)∈W,Aξ=λξ,且W=L(ξ).

该性质即说：W是A的一维不变子空间的充要条件是：W是A的某特征值λ的一维特征子空间Vλ.证明：必要性设W是A－子空间，dimW=1→取W的基ξ，即W=L(ξ)→Aξ∈W,即存在λ∈P,使得Aξ=λξ成立.

充分性设Aξ=λξ(ξ≠0)→L(ξ)=W显然是V的一维子空间，对任意的α∈W，α=xξ→应有Aα=A(xξ)=xAξ=x(λξ)=λ(xξ)=λα∈W,即W是一维A－子空间.□二线性变换在子空间上的限制（A｜W）定义

A

∈L(V),W是A－子空间，规定

A｜W：W→W，A｜W(α)=Aα(α∈W),称A｜W为A在W上的限制.AA｜WVWVW

实例：

1.A｜A－1(0)是A－1(0)

上的零变换.

（对任意的α∈A

－1(0),A｜A－1(0)(α)=Aα=0）

2.A∈L(V),W是V的子空间，则A｜W∈L(W).

3.A｜Vλ是Vλ上的数乘变换.

（对任意的α∈Vλ，Aα=λα）

性质10

A∈L(V),W=L(α1,···,αr)是V的A－子空间的充要条件是：Aα1,···,Aαr∈W.

证明：AW=AL(α1,···,αr)=

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