边界层积分方程课件

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边界层积分方程*对流边界层示意图层流附面层过渡区域湍流附面层层流底层层流段过渡段湍流段*概述：上次课我们得到了边界层微分方程如下(层流)：连续方程：参数：动量方程：能量方程：*微分方程的缺点：有10个参数：且不易测量。即使在定常、忽略体积力、无内热源的假设下，仍有8个不易测量的参数。工程上关心的是表面局部摩阻系数Cf和局部传热系数h等：

用微分方程组没有体现出来。

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为此我们提出积分方程！*推导积分方程的几个假定定常无体积力无内热源

在这三个先决的假定条件下，我们才能推出控制体的积分方程。实际上，这几个假定也是符合一般工程需要的。*定义几个厚度边界层厚度δ是粘性剪切层的几何厚度，它只表示壁面附近粘性力影响区域的大小。但是，由于边界层流动的速度是渐进地接近主流的，因此确定边界层外边界是困难的。所以工程中又引进另外一些更确切并且具有一定物理意义的边界层积分厚度的概念

排量厚度与动量厚度焓厚度与传导厚度*推导这几个厚度的几个假定定常无内热源无体积力另外，表面无吸入或者吹出*

左端取到边界层尚未开始处，右端取到充分发展处；下端贴着壁面，上端在边界层以上。推导这几个厚度的控制体：*排量厚度关于质量：体积内：流过控制体表面的质量：左端：下端：

右端：上端：

DABC*排量厚度控制体的质量守恒在定常条件下：

令，以使得整个边界层均包括在积分之内，定义排量厚度，使得

DABC*排量厚度物理意义

称为边界层排量厚度，它表明：由于流体的粘性作用，存在着流动被阻滞了的边界层，为了满足连续性方程，流道就得扩张，才能让一定量的流体通过，因此流线向外偏斜，被排移了的距离；也就是说，由于边界层的存在排移了厚度为的非粘性流体的流量。*控制体的物理意义如图，红线为一条流线，由于边界层的存在使它向上偏移了排量厚度δ1的距离。流线Yy=Y+δ1U∞δ1注意到，只是x的函数。*注意

排量厚度只是一种定义，并不能实际应用。因为：被积函数中的项无法知晓；关于“”的积分上限无法实现。后面的动量厚度之定义也存在着同样的问题

*动量厚度关于动量体积内：在定常条件下，流过控制面的动量：

左端：下端：右端：上端：

DABCY足够大，穿越BC边界的流量*动量厚度应用控制体的动量定理有：令，以使得整个边界层均包括在积分之内，定义动量厚度，使得*动量厚度的物理意义

是由于边界层的存在所引起的动量通量减少量的度量，它正比于物体表面的阻力。它具有明确的物理意义：由于边界层的存在损失了厚度为的非粘性流体的动量。*

现在，我们就来推导质量和动量积分方程:

方法：将质量和动量微分方程在控制体内积分，利用排量厚度和动量厚度的定义，消去一些积分号。注意：假定条件为定常、忽略体积力（壁面处可以有吸入或吹出）*与推导微分方程一样，推导边界层积分方程也需要控制体的定义。但是，积分方程的控制体与微分方程的大不一样。*微分方程与积分方程控制体的不同微分方程的控制体积：控制体取在边界层内部或外部的任意位置，且x方向与y方向都为无穷小，如图中几个小方块。*微分方程与积分方程控制体的不同积分方程的控制体积：根据边界层厚度十分有限这一事实，控制体在x方向没有要求，而y方向为有限高度。且y方向的高度Y必须大于边界层厚度。另外，积分方程的控制体不关注流态，不必理会控制体内部是层流还是湍流。

*质量积分方程0xy控制体的质量微分方程为：在控制体内沿0到Y积分上式，有：

-----质量积分方程定常*动量积分方程控制体的动量微分方程为：在控制体内沿0到Y积分上式，有：Y0xy*动量积分方程上下限处的物理条件：由控制体质量守恒方程：即：Y0xy*动量积分方程应用沿流线的无粘性流动的伯努力方程微分得：把压力梯度项与自由流速度项联系起来。*动量积分方程推导——动量积分方程*动量积分方程最终形式经整理得到动量积分方程为：我们可以看到：将排量厚度和动量厚度引用到边界层的积分方程中，可以将积分运算形式改造成代数运算形式。*焓厚度与传导厚度仿照排量厚度和动量厚度，可定义出焓厚度:传导厚度:*能量积分方程在假定条件：①定常；②忽略体积力；③忽略内热源下，引入控制体能量方程

前面引入了:*能量积分方程沿对上式左右两端分别积分左端=其中第二项:*能量积分方程其中第三项:又质量守恒定律*能量积分方程得到:*能量积分方程同样,沿对右式进行积分*能量积分方程结合上下限物理条件:*能量积分方程令左边等于右边,得到边界层能量方程的积分形式为：代入焓厚度的定义于上式中,可得:

*能量积分方程展开并整理得:*方程封闭性的讨论边界层动量方程：微分方程：

参量：——5个，不易测量

积分方程：

参量：

——6个，容易测量*边界层能量方程：微分方程：

参量：——8个，不易测量

积分方程：参量：——6个，容易测量*边界层积分方程的其他形式动量积分方程的其它形式定常/忽略体积力定常/忽略体积力/无吸入与吹出*定常/忽略体积力/无吸入与吹出/恒定密度定常/忽略体积力/无吸入与吹出/恒定密度/恒定自由流*局部摩阻系数的引入

定义局部摩阻系数:

则在定常/忽略体积力/无吸入与吹出/恒定密度/恒定自由流条件下,由动量积分方程,得:*能量积分方程的其它形式定常/忽略体积力/忽略内热源定常/忽略体积力/忽略内热源/无吸入与吹出*定常/忽略体积力/忽略内热源/无吸入与吹出/恒定密度定常/忽略体积力/忽略内热源/无吸入与吹出/恒定密度/恒定自由流*定常/忽略体积力/忽略内热源/无吸入与吹出/恒定密度/恒定自由流/恒定温度差定义局部传热系数:引入焓的表达式:则局部Stanton数为:*小结在一定假设条件下,通过对边界层微分方程进行边界层高度的积分,得到边界层的积分方程,以获得数值解.为简化积分方程,引入排量厚度,动量厚度和焓厚度,注意引入这三个量所取的控制体DABC*边界层微分方程和积分方程控制体的区别:*积分方程的封闭性与微分方程相当,但当流体具体确定后,三个厚度就变为可测量的,有具体数据的物理量,所以与微分方程相比,积分方程的最大优点是:(1)将不易测量的参量改造成容易测量的参量

(2)可将积分运算形式改造成代数运算形式*本章给出了局部摩阻系数和局部Stanton数的函数表达,但