黑龙江省哈尔滨市第七十三中学校2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

哈田中（哈73中）2024-2025学年度下学期高一学年第一次月考数学考试时间：120分钟卷面分值：150分注意事项：1.答题前，务必将自已的姓名､考号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，必须将答案书写在专设答题页规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答.在试题卷上答题无效.5.考试结束后，只交试卷答题页.第I卷选择题（共58分）一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，且，则（）A.1 B. C.2 D.42.下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若，则.其中正确命题的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.43.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（）A. B.C. D.4.如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边中点，且，则A. B. C. D.5.已知，，，，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.6.在中，，，，则是（）A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等边三角形7.在中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若，，则A. B. C. D.8.在直角梯形中，，，，，，则（）A B.C. D.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下面的命题正确的有（）A.方向相反的两个非零向量一定共线B.单位向量都相等C若，满足且与同向，则D.“若A、B、C、D是不共线四点，且”“四边形ABCD是平行四边形”10.已知复数，则下列说法正确的是（）A.的实部为3 B.的虚部为2C. D.11.对于中，有如下判断，其中正确的判断是（）A.若，则符合条件的有两个B.若，则为等腰三角形C.若，则D.若，则是钝角三角形第II卷非选择题（共92分）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.i是虚数单位，则，则的值为________．13.已知平面向量，满足，，且，则向量与的夹角的大小为______.14.已知的外接圆半径为，，，则的面积为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知平面向量，．（1）求的值；（2）求值．16.设复数，其中.（1）若是纯虚数，求的值；（2）所对应的点在复平面的第四象限内，求的取值范围.17.已知，，设，（1）若，求实数k的值；（2）当时，求与的夹角的余弦值；（3）是否存在实数k，使，若存在k，求出k的值；若不存在，说明理由．18.在海岸A处，发现北偏西75°的方向，与A距离2海里的B处有一艘走私船，在A处北偏东45°方向，与A距离（）海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船．此时，走私船正以10海里/小时的速度从B向北偏西30°方向逃窜，问：（1）刚发现走私船时，缉私船距离走私船多远？在走私船的什么方向？（2）缉私船沿什么方向能最快追上走私船？19.在锐角中，分别是角的对边，若.（1）求角的大小；（2）求取值范围；（3）当取得最大值时，在所在平面内取一点（与在两侧），使得线段，，求面积的最大值.

哈田中（哈73中）2024-2025学年度下学期高一学年第一次月考数学考试时间：120分钟卷面分值：150分注意事项：1.答题前，务必将自已的姓名､考号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，必须将答案书写在专设答题页规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答.在试题卷上答题无效.5.考试结束后，只交试卷答题页.第I卷选择题（共58分）一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，且，则（）A.1 B. C.2 D.4【答案】C【解析】分析】利用复数相等列方程组，由此求得.【详解】由于，所以.故选：C2.下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若，则.其中正确命题的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】根据平面向量的相关概念，逐项判断，即可得到本题答案.【详解】对于①，由共线向量的定义可知：方向相反的两个向量也是共线向量，故①错误；对于②，长度相等，方向相同的向量是相等向量，故②正确；对于③，平行向量的方向相同或相反，不一定方向相同，所以不一定相等，故③错误；对于④，若，可能只是方向不相同，但模长相等，故④错误.故选：A3.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（）A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】根据复数对应的点的坐标写出复数的代数形式，结合共轭复数的定义进行求解即可.【详解】因为复数对应的点的坐标是，所以，因此，故选：B4.如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量的线性运算可得的表示形式.【详解】，故选：A．【点睛】本题考查向量的线性运算，用基底向量表示其余向量时，要注意围绕基底向量来实现向量的转化，本题属于容易题.5.已知，，，，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出，，则在方向上的投影向量为，即可求解．【详解】由，，，，得，，所以在方向上的投影向量为.故选：A.6.在中，，，，则是（）A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等边三角形【答案】C【解析】【分析】根据三角形三边的大小关系，可以判定角为最大角，结合余弦定理，求得，即得所求.【详解】在中，因为，，，则，所以，由余弦定理可知：，所以角为钝角，则是钝角三角形.故选：C.7.在中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知及余弦定理可得，可得，利用三角函数恒等变换的应用可求，由，可得，进而可求，即可得解．【详解】解：，由余弦定理可得：，可得，，，可得：，可得：，，由，可得：，，．故选D．【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．8.在直角梯形中，，，，，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据题意得，，进而得，再结合已知和向量的加减法运算求解即可得的答案.【详解】由题意可求得，，所以，又，则.故选：C.【点睛】本题考查用基底表示向量，考查运算能力，是基础题.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下面的命题正确的有（）A.方向相反的两个非零向量一定共线B.单位向量都相等C.若，满足且与同向，则D.“若A、B、C、D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形”【答案】AD【解析】【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可.【详解】对于A，由相反向量的概念可知A正确；对于B，任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，故B错误；对于C，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C错误；对于D，若A、B、C、D是不共线的四点，且，可得，且，故四边形ABCD是平行四边形；若四边形ABCD是平行四边形，可知，且，此时A、B、C、D是不共线的四点，且，故D正确.故选：AD.10.已知复数，则下列说法正确的是（）A.的实部为3 B.的虚部为2C. D.【答案】BD【解析】【分析】根据复数的实部、虚部、共轭复数、模等知识确定正确答案.【详解】由于复数，所以z的实部为，虚部为2，所以，.所以AC选项错误，BD选项正确.故选：BD11.对于中，有如下判断，其中正确的判断是（）A.若，则符合条件的有两个B.若，则为等腰三角形C.若，则D.若，则是钝角三角形【答案】BCD【解析】【分析】对于A选项，由于给出的条件是可以判断三角形全等的条件，所以符合条件的三角形只有一个；对于B选项，由条件可得三角形两个角相等，所以可以判断三角形为等腰三角形；对于C选项，由正弦定理先将角化为边，再换成角度的正弦值可判断；对于D选项，边角转换后可由余弦定理判断.【详解】A选项，给出的条件为SAS（两边一夹角），符合这个条件的三角形有且只有一个，所以A选项错误；B选项，由，可得，则为等腰三角形，所以B选项正确；C选项，∵，∴，∴，∴，所以C选项正确；D选项，边角转换得，∴，∴C为钝角，则是钝角三角形，所以D选项正确.故选：BCD.第II卷非选择题（共92分）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.i是虚数单位，则，则的值为________．【答案】【解析】【分析】根据复数的乘法法则化简得到，求出.【详解】由题意得，即，，故，故答案为：13.已知平面向量，满足，，且，则向量与的夹角的大小为______.【答案】##【解析】【分析】根据向量垂直数量积等于，结合已知条件求出的值，利用向量夹角公式即可求解.【详解】由，所以，即，因为，，所以，设向量的夹角为，所以，所以.故答案为：.14.已知的外接圆半径为，，，则的面积为__________.【答案】【解析】【分析】根据题意，可求得，结合正弦定理可求得，即，进而可求得，再根据三角形面积公式即可求解.【详解】由，，解得，由正弦定理可得，，所以，则，所以的面积.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知平面向量，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先计算的坐标，然后由向量模的公式可得；（2）由数量积的坐标表示可得.【小问1详解】因为，所以，所以；【小问2详解】因为，所以．16.设复数，其中.（1）若是纯虚数，求的值；（2）所对应的点在复平面的第四象限内，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据纯虚数定义可得到解方程即可；（2）根据复数对应的点在复平面的第四象限内可以得到，解不等式即可.【小问1详解】是纯虚数，只需，解得.【小问2详解】由题意知，解得，故当时，所对应的点在复平面的第四象限内.17.已知，，设，（1）若，求实数k的值；（2）当时，求与的夹角的余弦值；（3）是否存在实数k，使，若存在k，求出k的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）1（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）由向量的坐标，可求向量的模和数量积，若，则，利用向量的模和数量积求实数k的值；（2）由向量的夹角公式，利用向量的模和数量积求与的夹角的余弦值；（3）由向量的平行条件，求实数k的值.【小问1详解】由题意，向量，，可得，由，得，解得；【小问2详解】时，，，．∴，∴与的夹角的余弦值为；【小问3详解】由，则成立，得，因为不共线，故，解得．∴存在实数，使得．18.在海岸A处，发现北偏西75°的方向，与A距离2海里的B处有一艘走私船，在A处北偏东45°方向，与A距离（）海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船．此时，走私船正以10海里/小时的速度从B向北偏西30°方向逃窜，问：（1）刚发现走私船时，缉私船距离走私船多远？在走私船的什么方向？（2）缉私船沿什么方向能最快追上走私船？【答案】（1）缉私船距离走私船海里，在走私船的正东方向（2）缉私船沿北偏西方向能最快追上走私船【解析】【分析】（1）根据题求得，由正弦定理求得，得到，得出为水平线，即可得到答案；（2）设经过时间小时后，缉私船追上走私船，得到，结合正弦定理求得，进而得到答案.【小问1详解】由题意，可得，则，在中，由正弦定理，即，解得，因为，所以，所以为水平线，所以刚发现走私船时，缉私船距离走私船海里，在走私船的正东方向．【小问2详解】设经过时间小时后，缉私船追上走私船，在中，可得，由正弦定理得，因为为锐角，所以，所以缉私船沿北偏西的方向能最快追上走私船．19.在锐角中，分别是角的对边，若.（1）求角的大小；（2）求取值范围；（3）当取得最大值时，在所在平面内取一点（与在两侧），使得线段，，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用同角三角函数关系结合