2025年云南省楚雄彝族自治州楚雄市中考一模数学试题（原卷版+解析版）

2025年云南省初中学业水平考试数学模拟试卷（全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟）一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把正确选项的代号填在题后括号内）1.手机信号的强弱通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强（单位：），则下列信号最强的是（）A. B. C. D.2.2025年元旦期间，小南一家来到昆明旅游，与好友比拼“某运动”步数，小南查到的步数是16000步．将数据16000用科学记数法表示为（）A. B. C. D.3.下列运算结果不正确的是（）A. B.C. D.4.一个几何体的表面展开图如图所示，这个几何体是（）A.圆柱 B.圆锥 C.长方体 D.球5.若二次根式有意义，则x的取值范围是（）A. B. C. D.6.如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底C处，点D在的延长线上，若，，则的度数为（）A. B. C. D.7.甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数（单位：米）与方差如下表所示．运动员甲乙丙丁1.901.851.901852.92.650.167.85根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁8.按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第n个单项式是（）A. B. C. D.9.下列各点在反比例函数的图象上的是（）A B. C. D.10.如图，两个完全相同的菱形如图所示叠放在一起，若重叠部分是正八边形，则的度数为（）A. B. C. D.11.下面四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是（）A. B. C. D.12.关于x的一元二次方程的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根 D.没有实数根13.在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，则BC的长为（）A.6 B.7.5 C.8 D.12.514.如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图2，筒车与水面分别交于点、，筒车上均匀分布着若干盛水筒，表示筒车的一个盛水筒，是的直径，连接、，点在的延长线上，若，则（）A. B. C. D.15.如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点P，Q都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若，，，则的长度为（）A.7 B.8 C.9 D.10二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）16.因式分解：m2－9m=________．17.如图，灯光照射三角板形成投影，三角板与其投影的相似比为，且三角板的一边长为，则投影中对应边的长为______．18.《义务教育课程标准》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．小亮调查了全班同学一周学会炒的菜品数量，结果如图所示，则全班同学一周学会炒的菜品数量的平均数是______．19.一个圆锥的侧面展开图是半径为12的半圆，则该圆锥的高是______．三、解答题（本大题共8小题，共62分）20.计算：．21.如图，点A，F，C，D在一条直线上，，，．求证：．22.某校为了让学生体验农耕劳动，开设了校园劳动基地．现计划购买甲、乙两种型号的劳动工具．已知甲型劳动工具的单价比乙型劳动工具少3元，且用300元购买甲型劳动工具的数量与用345元购买乙型劳动工具的数量相等．求甲型号劳动工具的单价．23.纵览古今篇章，横看诗家千言，多少豪情与向往被寄存于一纸墨色中，在错落的诗行间，在起伏的音韵中，中华文化始终熠熠生辉．云南某实验中学拟举办第八届“诗溢风华”诗词大会，每班选2名学生参赛，九（3）班有1名男生和3名女生报名参加．现要从这4名学生中随机选取2名学生参加比赛．（1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果数．（2）求选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的概率．24.如图，中，、分别平分、．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）过点E作，垂足为F．若的周长为28，，求25.剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受，剪纸内容多，寓意广，生活气息浓厚．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共60套进行销售，已知购进一套甲种剪纸比购进一套乙种剪纸多10元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元．（1）求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元？（2）设购进甲种剪纸装饰x套()，购买甲、乙两种剪纸装饰共花费y元，求y与x之间函数关系式；（3）若甲种剪纸的售价为65元/套，乙种剪纸的售价为50元/套，该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过2800元，要使这批剪纸装饰全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润．26.如图，已知抛物线与直线相交于点和点B．（1）求m和b的值．（2）若直线与线段交于点P，与抛物线交于点Q，求P，Q两点间距离的最大值．27.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作MN⊥AC，垂足为M，交AB的延长线于点N，过点B作BG⊥MN，垂足为G，连接CM．（1）求证：直线MN是⊙O切线；（2）求证：BD2＝AC•BG；（3）若BN＝OB，⊙O的半径为1，求tan∠ANC的值．

2025年云南省初中学业水平考试数学模拟试卷（全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟）一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把正确选项的代号填在题后括号内）1.手机信号的强弱通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强（单位：），则下列信号最强的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，比较各数的绝对值大小，即可解答．【详解】解：，则信号最强的是，故选：A．【点睛】本题考查了有理数的大小比较，负数比较大小时，绝对值大的反而小，熟知比较法则是解题的关键．2.2025年元旦期间，小南一家来到昆明旅游，与好友比拼“某运动”步数，小南查到的步数是16000步．将数据16000用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可．【详解】数据16000用科学记数法表示为．故选：C．3.下列运算结果不正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查单项式除以单项式，积的乘方和幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，运用相关运算法则计算出各选项再进行判断即可．【详解】解：A、，计算正确，不符合题意，B、，计算正确，不符合题意，C、，计算正确，不符合题意，D、，原式计算错误，符合题意，故选：D．4.一个几何体的表面展开图如图所示，这个几何体是（）A.圆柱 B.圆锥 C.长方体 D.球【答案】B【解析】【分析】根据圆锥的展开图，可得答案．【详解】圆锥的侧面展开图是扇形，底面是圆．故选：B．【点睛】本题考查了几何体的展开图，熟常见悉图形的展开图是解答本题的关键．5.若二次根式有意义，则x的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式要有意义，被开方数为非负数，解不等式即可．【详解】∵二次根式有意义，∴∴．故选：C．6.如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底C处，点D在的延长线上，若，，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了平行线．解决问题的关键是熟练掌握两直线平行，内错角相等，对顶角相等．由平行线的性质可知，再根据对顶角相等得出，最后由求解即可．【详解】∵，∴，∵，∴．故选：B．7.甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数（单位：米）与方差如下表所示．运动员甲乙丙丁1.901.851.901.852.92.650.167.85根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（）A甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】C【解析】【分析】本题考查根据平均数和方差作决策，重点考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．结合表中数据，先找出平均数最大的运动员；再根据方差的意义，找出方差最小的运动员即可．【详解】解：由表中数据可知，成绩的平均数最大的是甲和丙，成绩方差最小的是丙，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择丙．故选：C．8.按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第n个单项式是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了单项式规律题，分别确定单项式的系数和字母指数规律即可求解．【详解】解：由题意得：单项式的系数依次为：；字母的指数依次为：；∴第个单项式是．故选：A．9.下列各点在反比例函数的图象上的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．根据得，所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于2，就在函数图象上．【详解】解：，A、，本选项不符合题意；B、，本选项符合题意；C、，本选项不合题意；D、，本选项不合题意．故选：B．10.如图，两个完全相同的菱形如图所示叠放在一起，若重叠部分是正八边形，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据正八边形的性质可得，再根据邻补角的定义、等腰三角形的内角和可得，从而可得，然后根据三角形的内角和定理即可得．【详解】解：如图，重叠部分是正八边形，，，，，，，故选：C．【点睛】本题考查了正八边形的性质、等腰三角形的内角和问题等知识点，熟练掌握正八边形的性质是解题关键．11.下面四种化学仪器示意图是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C．是轴对称图形，故本选项合题意；D．不是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：C．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．12.关于x的一元二次方程的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根 D.没有实数根【答案】A【解析】【分析】本题考查根的判别式．求出判别式的符号，即可得出结论，掌握根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴方程有两个不相等的实数根．故选A．13.在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，则BC的长为（）A6 B.7.5 C.8 D.12.5【答案】A【解析】【分析】根据题意画出图形，然后根据三角函数的知识进行解答即可．【详解】解：如图∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，，解得：，故选：A．【点睛】本题考查了解直角三角形，熟知正弦的定义：对边比斜边，是解本题的关键．14.如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图2，筒车与水面分别交于点、，筒车上均匀分布着若干盛水筒，表示筒车的一个盛水筒，是的直径，连接、，点在的延长线上，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，邻补角等知识．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，邻补角是解题的关键．如图2，连接，则，，由，可得，根据，求解作答即可．【详解】解：如图2，连接，∵是的直径，∴，∴，∵，∴，∴，故选：D．15.如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点P，Q都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若，，，则的长度为（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】B【解析】【分析】分别作出两条抛物线的对称轴，交于点M，N，得四边形是矩形，利用抛物线的对称性计算即可．本题考查了抛物线的性质，矩形的性质，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．【详解】分别作出两条抛物线的对称轴，交于点M，N，∴四边形是矩形，∴，∵，，，∴，，∴，，∴，故选B．二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）16.因式分解：m2－9m=________．【答案】m(m-9)【解析】【分析】直接利用提公因式法因式分解即可．【详解】解：m2－9m=m(m-9)．故答案为m(m-9)．【点睛】本题主要考查了提公因式法因式分解，找准多项式中各项的公因式是解题的关键．17.如图，灯光照射三角板形成投影，三角板与其投影的相似比为，且三角板的一边长为，则投影中对应边的长为______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查相似三角形的应用．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解．【详解】解：设投影三角尺的对应边长为x

，∵三角尺与投影三角尺相似，∴解得.∴投影中对应边的长为.故答案是：10．18.《义务教育课程标准》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．小亮调查了全班同学一周学会炒的菜品数量，结果如图所示，则全班同学一周学会炒的菜品数量的平均数是______．【答案】2.6【解析】【分析】本题考查了加权平均数的应用，根据扇形图以及权重，进行列式计算即可作答．【详解】解：依题意，．故答案为：2.6．19.一个圆锥的侧面展开图是半径为12的半圆，则该圆锥的高是______．【答案】【解析】【分析】本题考查了圆锥的结构特征，是基础题．求出圆锥的底面半径r，再利用勾股定理求出圆锥的高．【详解】解：设圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图是半径为12的半圆，可得，解得，所以此圆锥的高为，故答案为：．三、解答题（本大题共8小题，共62分）20.计算：．【答案】3【解析】【分析】首先计算零指数幂，负整数指数幂，绝对值，化简二次根式和特殊角三角函数，此题考查了零指数幂，负整数指数幂，绝对值，化简二次根式和特殊角三角函数运算，解题的关键是掌握以上运算法则．【详解】．21.如图，点A，F，C，D在一条直线上，，，．求证：．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，利用证明，得到，再根据线段的转化即可得出结论．【详解】证明：∵∴又∵，∴，，．22.某校为了让学生体验农耕劳动，开设了校园劳动基地．现计划购买甲、乙两种型号的劳动工具．已知甲型劳动工具的单价比乙型劳动工具少3元，且用300元购买甲型劳动工具的数量与用345元购买乙型劳动工具的数量相等．求甲型号劳动工具的单价．【答案】甲型劳动工具的单价为20元．【解析】【分析】本题考查了分式方程的应用，设甲型劳动工具的单价为元，则乙型劳动工具的单价为元，根据“用300元购买甲型劳动工具的数量与用345元购买乙型劳动工具的数量相等”列分式方程，解方程并检验即可．【详解】解：设甲型劳动工具的单价为元，则乙型劳动工具的单价为元．根据题意，得，解得．经检验，是原方程的解且符合题意，则，答：甲型劳动工具的单价为20元．23.纵览古今篇章，横看诗家千言，多少豪情与向往被寄存于一纸墨色中，在错落的诗行间，在起伏的音韵中，中华文化始终熠熠生辉．云南某实验中学拟举办第八届“诗溢风华”诗词大会，每班选2名学生参赛，九（3）班有1名男生和3名女生报名参加．现要从这4名学生中随机选取2名学生参加比赛．（1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果数．（2）求选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的概率．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，正确列出表格或画出树状图是解题的关键．（1）列出表格得到所有等可能性的结果数；（2）找到符合题意的结果数，根据概率计算公式求解即可．【小问1详解】解：设3名女生分别用A、B、C表示，1名男生用D表示，列表如下：ABCDA（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）由表格可知一共有12种等可能性的结果数；【小问2详解】∵其中选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的结果数有种，∴选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的概率为．24.如图，在中，、分别平分、．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）过点E作，垂足为F．若的周长为28，，求【答案】（1）见解析（2）35【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，由角平分线的定义可得，利用证明可得；（2）过E点作于H，由角平分线的性质可求解，根据平行四边形的性质可求解，再利用三角形的面积公式计算可求解．【小问1详解】证明：∵四边形是平行四边形，∴，，，∴，∵、分别平分、，，，，∴，∴，，，∴，∴，∵，∴四边形是平行四边形；小问2详解】解：作过E作交于点H，∵的周长为28，，∵平分，，∴，．【点睛】本题主要考查平行四边形的判定与性质，角平分线的定义与性质，三角形的面积，全等三角形的判定与性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．25.剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受，剪纸内容多，寓意广，生活气息浓厚．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共60套进行销售，已知购进一套甲种剪纸比购进一套乙种剪纸多10元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元．（1）求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元？（2）设购进甲种剪纸装饰x套()，购买甲、乙两种剪纸装饰共花费y元，求y与x之间的函数关系式；（3）若甲种剪纸的售价为65元/套，乙种剪纸的售价为50元/套，该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过2800元，要使这批剪纸装饰全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润．【答案】（1）甲种剪纸装饰套装单价为元，乙种剪纸装饰套装单价为元（2）（3）甲种剪纸装饰套，乙种剪纸装饰套时，所获利润最大，最大利润为元【解析】【分析】本题考查一次函数和一元一次方程的应用：（1）设乙种剪纸装饰套装单价元，则甲种剪纸装饰套装单价为元，根据题意列方程，解方程即可；（2）购进甲种剪纸装饰套乙种剪纸装饰套，总费用元为甲乙种剪纸装饰套装费用的和列出一次函数即可；（3）甲种剪纸装饰套装利润为元，乙种剪纸装饰套装利润为元，则利润为根据随的增大而增大，且为非负整数可得当时，取最大值．【小问1详解】设乙种剪纸装饰套装单价为元，则甲种剪纸装饰套装单价为元，根据题意，得解得，∴甲种剪纸装饰套装单价为元，乙种剪纸装饰套装单价为元．【小问2详解】设购进甲种剪纸装饰套，则购进乙种剪纸装饰套，购买甲、乙两种剪纸装饰共花费元，根据题意，得，即∴与之间的函数关系式为；【小问3详解】设甲、乙两种剪纸装饰获得的利润为元，根据题意，得即，∴随的增大而增大∵该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过元，，即，解得，∵为非负整数∴当时，取最大值，(元)，此时套，即商家购进甲种剪纸装饰套，乙种剪纸装饰套时，所获利润最大，最大利润为元．26.如图，已知抛物线与直线相交于点和点B．（1）求m和b的值．（2）若直线与线段交于点P，与抛物线交于点Q，求P，Q两点间距离的最大值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求函数解析式、线段最值问题，解题的关键是掌握以上知识点．（1）用待定系数法即可求解；（2）求出点P的坐标为和点Q的坐标为，再得到关于a的二次函数，利用二次函数的性质即可求解．【小问1详解】解：将点A的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，将点A的坐标代入直线表达式得：，解得；【小问2