2025年广东省汕头市潮南区峡山街道中考一模数学试题（原卷版+解析版）

2024～2025学年度第二学期九年级数学科模拟考试卷（A）说明：1．全卷共4页，考试用时120分钟，满分为120分．2．请将答案写在答题卷相应的位置上．一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）1.的倒数是（）A.2025 B. C. D.2.下列式子运算正确是（）A. B.C. D.3.如图，它是由5个完全相同小正方体搭建的几何体，俯视图是（）A. B. C. D.4.若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（）A. B.0 C.1 D.45.如图，正六边形内接于，周长为，则边心距的长为（）A. B. C. D.6.如图，中，，，，将绕点A逆时针方向旋转得，交于点E，则的长为（）A B. C. D.7.，，则（）A.4 B.6 C.8 D.8.如图，在中，为中点，，若的面积为，则的面积为（）A. B. C. D.9.如图，点E在矩形的边上，将矩形沿翻折，点B恰好落在边的点F处，如果，那么的值等于（）A. B. C. D.10.如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，E，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）11.因式分解：_________12.在实数中，其中无理数有______个．13.如图，将一张含有30°角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若∠2＝54°，则∠1的大小为_____．14.如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为______；15.如图，菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，与交于点D，若反比例函数经过点D，则_________．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分）16.计算：．17.解不等式组：并求所有整数解的和．18.已知关于的一元二次方程，求证：该方程一定有两个实数根．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）19.图是一盏台灯的照片，图是其示意图．台灯底部立柱（与桌面垂直）的高为，支架长为，支架长为．若支架的夹角为，支架与底部立柱的夹角为，求台灯的旋钮到桌面的距离（精确到）．（参考数据：，）20.文旅发展促进经济增长的同时，也带动了电器销售．一电器商城销售某品牌空调，该空调每台进货价为2500元，已知该商店6月份售出75台空调，8月份售出108台空调．求该商城7、8两个月售出空调数的月平均增长率；调查发现，当该空调售价为3000元时，平均每天能售出8台；售价每降低50元，平均每天能多售出4台，该商城如何定价能使每天的利润最大？最大利润是多少？21.在矩形中，连接．（1）如图1，请用尺规在边上求作一点，连接，使；（不写作法，保留作图痕迹）（2）如图2，已知点在边上，且，连接，交于点，若，，求的长．五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）22.如图，是的外接圆，是的直径，F是延长线上一点，连接，，且．（1）求证：是的切线；（2）若的半径为5，，求的长．23.在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴交于点，．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点在抛物线上，且在第二象限，连接交轴于点．①若长为，点的横坐标为，求与的函数关系式；②取的中点，连接，当时，求点的坐标．

2024～2025学年度第二学期九年级数学科模拟考试卷（A）说明：1．全卷共4页，考试用时120分钟，满分为120分．2．请将答案写在答题卷相应的位置上．一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）1.的倒数是（）A.2025 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了倒数的定义，根据乘积互为1的两个数互为倒数，进行作答即可．【详解】解：∵∴的倒数是，故选：C2.下列式子运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方、合并同类项，根据同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方、合并同类项的运算法则逐项分析即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键．【详解】解：A、和不是同类项，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意；B、，故原选项计算正确，符合题意；C、，故原选项计算错误，不符合题意；D、，故原选项计算错误，不符合题意；故选：B．3.如图，它是由5个完全相同的小正方体搭建的几何体，俯视图是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】此题主要考查了画三视图的知识；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．根据俯视图是从上面看到的图形，判定即可．【详解】解：俯视图为：，故选：A．4.若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（）A. B.0 C.1 D.4【答案】D【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的解，已知式子的值求代数式的值，先把代入，得，再代入进行计算，即可作答．【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是，∴，∴，∴．故选：D．5.如图，正六边形内接于，的周长为，则边心距的长为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形和运用垂径定理求出是解决问题的关键．由圆的面积求出，证明是等边三角形，得到，由垂径定理得到，再由勾股定理求出即可．【详解】解：∵周长为，∴∵六边形为正六边形，∴，∴是等边三角形，∴∵，∴，∴，故选：A．6.如图，中，，，，将绕点A逆时针方向旋转得，交于点E，则的长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，先求出，，由旋转的性质可得，，，再利用勾股定理解题即可．【详解】解：∵，，∴，，∴，由旋转可得，，，∴，∴，故选：C．7.，，则（）A.4 B.6 C.8 D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方与积的乘方，由题意可得，从而得出，即可得解，熟练掌握运算法则，进行适当变形是解此题的关键．【详解】解：∵，，∴，即，∴，∴，故选：A．8.如图，在中，为中点，，若的面积为，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，平行线分线段成比例，根据三角形的中线的性质可得，根据平行线分线段成比例可得，再根据三角形中线平分三角形面积即可求解．【详解】解：∵在中，点D是的中点，∴，∵∴∴∴，故选：B．9.如图，点E在矩形的边上，将矩形沿翻折，点B恰好落在边的点F处，如果，那么的值等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查翻折的性质，矩形、等腰直角三角形的性质，根据翻折的性质得出，，，再根据等腰直角三角形的性质及勾股定理，设，求出，，，进一步可得结论．【详解】解：∵四边形为矩形，，．∵将矩形沿翻折，，，．，，．，，．设，在中，，，．．故选：B．10.如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，E，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出点，求出，将点沿轴向下平移个单位，得到点，连接，，，易证得四边形是平行四边形，于是可得，由轴对称的性质可得，于是得到，即点是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小，利用待定系数法可求得直线的解析式，然后求得抛物线的对称轴，通过求解两条直线的交点即可得出答案．【详解】解：令，解得：，，，，，如图，将点沿轴向下平移个单位，得到点，连接，，，点沿轴向下平移个单位得到点，，，，抛物线的对称轴轴，且线段在抛物线的对称轴上，线段在轴上，，四边形是平行四边形，，抛物线是轴对称图形，，，当、、三点共线，即点是直线与抛物线对称轴交点时，的值最小，在抛物线中，令，则，，由平移的性质可得：点的纵坐标，，设直线的解析式为，将，代入，得：，解得：，直线的解析式为，在抛物线中，其对称轴为直线，要使的值最小，则点的坐标应满足，解得：，，故选：C．【点睛】本题主要考查了平移的性质，二次函数的图象与性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质，三角形三边之间的关系，求抛物线与轴的交点坐标，求抛物线与轴的交点坐标，因式分解法解一元二次方程，待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，两直线的交点与二元一次方程组的解等知识点，巧妙添加辅助线并运用数形结合思想是解题的关键．二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）11.因式分解：_________【答案】【解析】【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可．【详解】解：．故答案为：．12.在实数中，其中无理数有______个．【答案】2【解析】【分析】无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可．本题考查无理数以及算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键．【详解】解：在实数，中，无理数有，，共2个．故答案：13.如图，将一张含有30°角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若∠2＝54°，则∠1的大小为_____．【答案】24°【解析】【分析】由平行线的性质和三角形的外角性质可得∠3=∠1+30°，可求∠1的度数．【详解】解：如图，∵四边形ABCD是矩形∴AB∥CD∴∠2＝∠3＝54°∵∠3＝∠1+30°∴∠1＝24°故答案为24°【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是本题的关键．14.如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为______；【答案】##【解析】【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，作，可得，推出，即可求解．【详解】解：作交于点H，如图所示：∵是中点，∴，∵∴，∴，∵，∴，故答案为：．15.如图，菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，与交于点D，若反比例函数经过点D，则_________．【答案】【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，求出的坐标是解此题的关键．过作轴于，得出，则根据菱形的性质得出是的中点，求得的坐标，进而求得的坐标，由反比例函数的图象经过点即可求出的值．【详解】解：过作轴于，∵，则，设，则，∵四边形是菱形，∴是的中点，∵，∴，∴，∴点坐标是，∵反比例函数的图象经过点，，故答案为：．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分）16.计算：．【答案】【解析】【分析】本题考查了含特殊角的三角形函数的混合运算，先化简乘方，立方根，正切值，绝对值，再运算加减，即可作答．【详解】解：．17.解不等式组：并求所有整数解的和．【答案】，【解析】【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及求一元一次不等式组的整数解．解各不等式，可得出x的取值范围，取其公共部分即可得出不等式组的解集，再将各整数解相加，即可求出结论．【详解】解：，解不等式①得：；解不等式②得：，∴原不等式组的解集，∴不等式组所有整数解的和为．18.已知关于的一元二次方程，求证：该方程一定有两个实数根．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根的与判别式的关系，理解一元二次方程的判别式与根的关系是解答关键．先求出一元二次方程的判别式，再来判断根的情况．【详解】证明：，，，，该方程一定有两个实数根．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）19.图是一盏台灯的照片，图是其示意图．台灯底部立柱（与桌面垂直）的高为，支架长为，支架长为．若支架的夹角为，支架与底部立柱的夹角为，求台灯的旋钮到桌面的距离（精确到）．（参考数据：，）【答案】约为【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，过点作，垂足为点，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为点，可得是矩形，即得，，得到，，，再分别解、，求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．【详解】解：如图，过点作，垂足为点，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为点，则，∵，∴，∴是矩形，，，∵，∴，∴，在中，，，∵，∴，在中，，，，答：台灯的旋钮到桌面的距离约为．20.文旅发展促进经济增长的同时，也带动了电器销售．一电器商城销售某品牌空调，该空调每台进货价为2500元，已知该商店6月份售出75台空调，8月份售出108台空调．求该商城7、8两个月售出空调数的月平均增长率；调查发现，当该空调售价为3000元时，平均每天能售出8台；售价每降低50元，平均每天能多售出4台，该商城如何定价能使每天的利润最大？最大利润是多少？【答案】该商城7、8两个月售出空调数的月平均增长率为；该商城将空调定价为2800元时，每天的利润最大，最大利润是7200元【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，解题的关键是理解题意，正确建立方程模型与函数模型解决问题．（1）设该商城7、8两个月售出空调数的月平均增长率为，根据题意列方程求解即可；（2）设该商城每台空调降价m元，则每天可多售台，每天的利润为w元.根据题意列出，然后根据二次函数的性质即可求解【详解】解（1）设该商城7、8两个月售出空调数的月平均增长率为x，根据题意得∶，解得∶，(舍去)．答∶该商城7、8两个月售出空调数的月平均增长率为；（2）设该商城每台空调降价m元，则每天可多售台，每天的利润为w元，根据题意得出：，当时，w取得最大值，最大值为5000，此时，答∶该商城将空调定价为2800元时，每天的利润最大，最大利润是7200元．21.在矩形中，连接．（1）如图1，请用尺规在边上求作一点，连接，使；（不写作法，保留作图痕迹）（2）如图2，已知点在边上，且，连接，交于点，若，，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题考查了尺规作图—作垂线、勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）作的垂直平分线交于，点即为所求；（2）设，则，由勾股定理可得，证明，再由相似三角形的性质计算即可得解．【小问1详解】解：如图，即为所作；，由作图可得：，∴；【小问2详解】解：如图，，∵，又，∴，∵四边形是矩形，∴，，∵，∴，设，∴，∴，解得，∵四边形是矩形，∴，∴，∴，∴，又，∴．五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）22.如图，是的外接圆，是的直径，F是延长线上一点，连接，，且．（1）求证：是的切线；（2）若的半径为5，，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）连接，则，因为，所以，由AD是的直径，得，推导出，即可证明是的切线；（2）因为的半径为5，所以，，由，，得，则，由勾股定理求得，再证明，得，则，且，于是得，求得．【小问1详解】证明：连接，则，，，，是的直径，，，是的半径，且，是的切线．【小问2详解