2024-2025学年广东省东莞市东莞外国语学校高一下学期第一次月考数学试卷（3月）（含答案）VIP

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省东莞市东莞外国语学校高一下学期第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知a=(−1,2)，b=(1,x)，a//b，则实数A.2 B.−2 C.12 D.2.

已知z=2−i，则z(z+i)=(

)A.6−2i B.4−2i C.6+2i D.4+2i3.在▵ABC中，已知BC=a，AC=b，且a，b是方程x2−13x+40=0的两个根，C=60°，则A.3 B.7 C.89 D.4.符合下列条件的三角形有且只有一个的是(

)A.a=2，c=3，A=π6 B.a=23，b=6，A=π6

C.a=2，b=2，5.如图，在四边形ABCD中，DC=2AB,BE=3EC，设DC=a，DAA.78a+13b B.36.已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acosA=bcosB，则△ABCA.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰或直角三角形7.如图，平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP=3，则AP⋅AC值为(

)A.3 B.63 C.6 8.在▵ABC中，角D,E均在边BC上，且AD为中线，AE为∠BAC=2π3平分线，若AD=3A.12 B.23 C.2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量a=(1,3)，b=(2,y)，(a+A.b=(2,−3) B.向量a，b的夹角为3π4

C.|a+12b10.已知O为坐标原点，点P1(cosα,sinα)，P2(A.|OP1|=|OP2| 11.设a,b,c是平面内共始点的三个非零向量，且两两不共线，xA.关于x的方程ax2+bx+c=0可能有两个不同的实数解

B.关于x的方程ax2+bx+c=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知e1，e2是两个单位向量，若e1在e2上的投影向量为12e2，则e13.在▵ABC中，若a2−b2=bc,sin14.如图，曲线为函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π,x∈[−1,3])(1)ωφ(2)若P(0,−1)，过B作一直线交曲线于M，N两点，则PM⋅PN四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分已知复数z=1+bi(b∈R,i为虚数单位)，z(1)求实数b的值；(2)若复数z是关于x的方程px2+2x+q=0(p≠0,且p,q∈R)16.(本小题15分已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a=(1,2)(1)若|c|=25，且c与(2)若|b|=52，且a+2b与2a17.(本小题15分记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinC=2(1)求B;(2)若△ABC的面积为3+3，求c18.(本小题17分)

如图，在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，BF=2FC，BE与AC，AF分别相交于M，N两点．(1)若BE=λCB+μCA(2)若AB=2AE=27，∠BAD=(3)若BE⊥AF，求cos∠ACB的最小值．19.(本小题17分)射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，光从O点出发，平面内四个点E，F，G，H经过中心投影之后的投影点分别为A，B，C，D.对于四个有序点A，B，C，D，若CA=λCB，DA=μDB，定义比值(1)当x=−1时，称A，B，C，D为调和点列，若1|AC|+1|AD|(2) ①证明：(EFGH)=(ABCD);

 ②已知(EFGH)=32，点B为线段AD的中点，|AC|=3|OB|=3，sin∠ACO参考答案1.B

2.C

3.B

4.D

5.C

6.D

7.D

8.D

9.BD

10.AC

11.CD

12.π313.π314.1；−2

15.解：(1)依题点(1,b)在第四象限，则b<0，由z⋅z=4(2)由(1)知，z=1+3i，由复数z是关于x得p1+整理得(−2p+q+2)+23p+2因此−2p+q+2=0−23p−2

16.解：(1)因为a=(1,2)，而c与a方向相反，

所以c=ta=(t,2t)t<0．

又因为|c|=25，所以t2+2t2=25t<0，解得t=−2，

因此c=(−2,−4)，即c的坐标为(−2,−4)．

(2)因为a+2b与2a−b垂直，

所以a+2b·2a−b=0，即2a2+3a17.解：(1)因为a2+b2−c2=2ab，所以由余弦定理得cosC=a2+b2−c22ab=2ab2ab=22，

而C∈(0,π)，因此C=π4．

又因为sinC=2cosB，所以sinπ4=2cosB，即22=2cosB，解得cos18.解：(1)因为E为AD的中点，

所以BE=BA+AE

=CA−CB−12CB

=CA−32CB，

所以λ=−32，μ=1，故λ+μ=−12;

(2)因为AB=2AE=27，∠BAD=2π3，

由余弦定理得BE2=AB2+AE2−2AB⋅AE⋅cos∠BAE，

即BE2=28+7−2×27×7×(−12)=49，

解得BE=7，

因为AD//BC，所以△AME∽△CMB，

因为E为AD的中点，且CMAM=BCAE，

所以AM=−13CA，

因为BF=2FC，△ANE∽△FNB，

所以ANNF=AEBF=34，

19.解：(1)由x=−1<0知C，D两点分属线段AB内外分点，

不妨设|AB|=|AC|+|CB|，|AB|=|AD|−|BD|，则|AB||AC|=1+|CB||AC|，|AB||AD|=1−|BD||AD|，

由x=−1，知|CB||AC|=|BD||AD|，故|AB||AC|+|AB||AD|=2，

即1|AC|+1|AD|=2|AB|，所以m=2;

(2)(i)由题意，在△AOC，△AOD，△BOC，△BOD中，

|CA||CB|=S△AOCS△BOC=12⋅|OA|⋅|OC|⋅sin∠AOC12⋅|OB|⋅|OC|⋅sin∠BOC=|OA|⋅sin∠AOC|OB|⋅sin∠BOC，

|DA||DB|=S△AODS△BOD=12⋅|OA|⋅|OD|⋅sin∠AOD12⋅|OB|⋅|OD|⋅sin∠BOD=|OA|⋅sin∠AOD|OB|⋅sin∠BOD，

则(ABCD)=|CA||CB||DA||DB|=|OA|⋅sin∠AOC|OB|⋅sin∠BOC⋅|OB|⋅sin∠BOD|OA|⋅sin∠AOD=sin⁡∠AOC⋅sin⁡∠BODsin⁡∠BOC⋅sin⁡∠AOD①

又，在△EOG，△EOH，△FOG，△FOH中，

|GE||GF|=S△EOGS△FOG=12⋅|OE|⋅|OG|⋅sin∠EOG12⋅|OF|⋅|OG|⋅sin∠FO