11.1随机事件、古典概型与几何概型

考点一古典概型1.(2018课标全国Ⅱ,5,5分)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都

是女同学的概率为

()A.0.6

B.0.5

C.0.4

D.0.3A组

统一命题·课标卷题组五年高考答案

D设两名男生为A,B,三名女生为a,b,c,则从5人中任选2人有(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),

(B,b),(B,c),(a,b),(a,c),(b,c),(A,B),共10种.2人都是女同学的有(a,b),(a,c),(b,c),共3种,所以所求概

率为

=0.3.方法总结古典概型概率的求法:(1)应用公式P(A)=

求概率的关键是寻求基本事件的总数和待求事件包含的基本事件的个数.(2)基本事件个数的确定方法:①列举法:此法适用于基本事件较少的古典概型;②列表法:此法适用于从多个元素中选定两个元素的试验,也可看成是坐标法;③画树状图法:画树状图法是进行列举的一种常用方法,适用于有顺序的问题或较复杂问题中

基本事件数的探求.2.(2016课标全国Ⅰ,3,5分)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个

花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是

()A.

B.

C.

D.

答案

C从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种有以下选法:(红黄)、(红白)、(红紫)、

(黄白)、(黄紫)、(白紫),共6种,其中红色和紫色的花不在同一花坛(亦即黄色和白色的花不在

同一花坛)的选法有4种,所以所求事件的概率P=

=

,故选C.评析本题主要考查了古典概型,不重不漏地将所有情况列举出来是解题关键.3.(2016课标全国Ⅲ,5,5分)小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,

N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是

()A.

B.

C.

D.

答案

C小敏输入前两位密码的所有可能情况如下:(M,1),(M,2),(M,3),(M,4),(M,5),(I,1),(I,2),(I,3),(I,4),(I,5),(N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(N,5),共15种.而能开机的密码只有一种,所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率为

.4.(2015课标全国Ⅰ,4,5分)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数

为一组勾股数.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为()A.

B.

C.

D.

答案

C从1,2,3,4,5中任取3个不同的数有10种取法:(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,

5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),其中能构成一组勾股数的有1种:(3,4,5),故所求事件的概率P=

,故选C.5.(2017课标全国Ⅱ,11,5分)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1

张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为

()A.

B.

C.

D.

答案

D本题考查古典概型.画出树状图如图:

可知所有的基本事件共有25个,满足题意的基本事件有10个,故所求概率P=

=

.故选D.思路分析由树状图列出所有的基本事件,可知共有25个,满足题目要求的基本事件共有10个.

由古典概型概率公式可知所求概率P=

=

.易错警示本题易因忽略有放回的抽取而致错.疑难突破当利用古典概型求概率时,应区分有放回抽取与无放回抽取.有放回抽取一般采用

画树状图法列出所有的基本事件,而无放回抽取一般采用穷举法.6.(2014课标Ⅰ,13,5分,0.808)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数

学书相邻的概率为

.答案

解析设2本不同的数学书为a1、a2,1本语文书为b,在书架上的排法有a1a2b,a1ba2,a2a1b,a2ba1,ba1

a2,ba2a1,共6种,其中2本数学书相邻的有a1a2b,a2a1b,ba1a2,ba2a1,共4种,因此2本数学书相邻的概率

P=

=

.考点二随机事件的概率1.(2017课标全国Ⅲ,18,12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4

元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经

验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最

高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月

份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶

时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.解析本题考查概率的计算.(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25,由表格数据知,最高气温低

于25的频率为

=0.6,所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,若最高气温不低于25,则Y=6×450-4×450=900;若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2×(450-300)-4×450=300;若最高气温低于20,则Y=6×200+2×(450-200)-4×450=-100.所以,Y的所有可能值为900,300,-100.Y大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知,最高气温不低于20的频率为

=0.8,因此Y大于零的概率的估计值为0.8.2.(2016课标全国Ⅱ,18,12分)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续

保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:上年度出险次数01234≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a出险次数01234≥5频数605030302010(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P(A)的估计值;(2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的

估计值;(3)求续保人本年度平均保费的估计值.解析(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为

=0.55,故P(A)的估计值为0.55.(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为

=0.3,故P(B)的估计值为0.3.(3)由所给数据得保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a频率0.300.250.150.150.100.05调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.1925a.因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a.评析本题考查了频率的求解方法,同时对考生的应用意识及数据处理能力进行了巧妙的考

查,属中档题.考点三几何概型1.(2017课标全国Ⅰ,4,5分)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆

中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自

黑色部分的概率是

()

A.

B.

C.

D.

答案

B本题考查几何概型.设正方形的边长为2,则正方形的内切圆的半径为1,其中黑色部分和白色部分关于正方形的中

心对称,则黑色部分的面积为

,所以在正方形内随机取一点,此点取自黑色部分的概率P=

=

,故选B.2.(2016课标全国Ⅰ,4,5分)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车

站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是()A.

B.

C.

D.

答案

B解法一:7:30的班车小明显然是坐不到的.当小明在7:50之后8:00之前到达,或者8:20

之后8:30之前到达时,他等车的时间将不超过10分钟,故所求概率为

=

.故选B.

解法二:当小明到达车站的时刻超过8:00,但又不到8:20时,等车时间将超过10分钟,7:50~8:30的

其他时刻到达车站时,等车时间将不超过10分钟,故等车时间不超过10分钟的概率为1-

=

.考点一古典概型1.(2016天津,2,5分)甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是

,甲获胜的概率是

,则甲不输的概率为

()A.

B.

C.

D.

B组

自主命题·省(区、市)卷题组答案

A设“两人下成和棋”为事件A,“甲获胜”为事件B.事件A与B是互斥事件,所以甲

不输的概率P=P(A+B)=P(A)+P(B)=

+

=

,故选A.2.(2015湖北,2,5分)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送

来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为

(

)A.134石

B.169石

C.338石

D.1365石答案

B这批米内夹谷约为

×1534≈169石,故选B.3.(2014陕西,6,5分)从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离小于

该正方形边长的概率为

()A.

B.

C.

D.

答案

B设正方形的四个顶点分别是A、B、C、D,中心为O,从这5个点中,任取两个点的事

件分别为AB、AC、AD、AO、BC、BD、BO、CD、CO、DO,共有10种,其中只有顶点到中

心O的距离小于正方形的边长,分别是AO、BO、CO、DO,共有4种.故满足条件的概率P=

=

.故选B.评析本题考查古典概型知识,考查分析问题及阅读理解的能力.理解只有顶点到中心的距离

小于边长是解题的关键.4.(2014江西,3,5分)掷两颗均匀的骰子,则点数之和为5的概率等于

()A.

B.

C.

D.

答案

B掷两颗均匀的骰子,得到的点数有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,

4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,

4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36种结果,点数之和为5的有(1,4),(2,3),(3,2),(4,

1),共4种情况,所以所求事件的概率P=

=

,故选B.5.(2016四川,13,5分)从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则logab为整数的概率是

.答案

解析所有的基本事件有(2,3),(2,8),(2,9),(3,2),(3,8),(3,9),(8,2),(8,3),(8,9),(9,2),(9,3),(9,8),共12

个.记“logab为整数”为事件A,则事件A包含的基本事件有(2,8),(3,9),共2个.∴P(A)=

=

.易错警示对a,b取值时要注意顺序.评析本题考查了古典概型.正确列举出基本事件是解题的关键.6.(2018天津,15,13分)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现

采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?(2)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工

作.①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率.解析本题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其

概率计算公式等基本知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.(1)由已知,甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法

从中抽取7名同学,因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人.(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},

{A,F},{A,G},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{B,G},{C,D},{C,E},{C,F},{C,G},{D,E},{D,F},{D,G},

{E,F},{E,G},{F,G},共21种.②由(1),不妨设抽出的7名同学中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E,来自丙年级的是

F,G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A,B},{A,C},

{B,C},{D,E},{F,G},共5种.所以,事件M发生的概率P(M)=

.7.(2015湖南,16,12分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖方

法是:从装有2个红球A1,A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1,a2和2个白球b1,b2的乙箱中,各随

机摸出1个球.若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖.(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果;(2)有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率.你认为正确吗?

请说明理由.解析(1)所有可能的摸出结果是{A1,a1},{A1,a2},{A1,b1},{A1,b2},{A2,a1},{A2,a2},{A2,b1},{A2,b2},

{B,a1},{B,a2},{B,b1},{B,b2}.(2)不正确.理由如下:由(1)知,所有可能的摸出结果共12种,其中摸出的2个球都是红球的结果为{A1,a1},{A1,a2},{A2,a

1},{A2,a2},共4种,所以中奖的概率为

=

,不中奖的概率为1-

=

>

,故这种说法不正确.评析本题考查了随机事件及其概率,古典概型概率的计算;考查了分析、计算能力及应用意

识.8.(2016山东,16,12分)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需

转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次

记录的数分别为x,y.奖励规则如下:①若xy≤3,则奖励玩具一个;②若xy≥8,则奖励水杯一个;③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.(1)求小亮获得玩具的概率;(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.

解析用数对(x,y)表示儿童参加活动先后记录的数,则基本事件空间Ω与点集S={(x,y)|x∈N,y

∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应.因为S中元素的个数是4×4=16,所以基本事件总数n=16.(1)记“xy≤3”为事件A,则事件A包含的基本事件数共5个,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1).所以P(A)=

,即小亮获得玩具的概率为

.(2)记“xy≥8”为事件B,“3<xy<8”为事件C,则事件B包含的基本事件数共6个,即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4).所以P(B)=

=

.事件C包含的基本事件数共5个,即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1).所以P(C)=

.因为

>

,所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.评析本题主要考查了古典概型,理解题意、不重不漏地列举出基本事件是解题关键.考点二几何概型1.(2014辽宁,6,5分)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,则质

点落在以AB为直径的半圆内的概率是

()

A.

B.

C.

D.

答案

B

P=

=

=

.故选B.2.(2015山东,7,5分)在区间[0,2]上随机地取一个数x,则事件“-1≤lo

≤1”发生的概率为

()A.

B.

C.

D.

答案

A由-1≤lo

≤1,得

≤x+

≤2,解得0≤x≤

,所以事件“-1≤lo 

≤1”发生的概率为

=

,故选A.3.(2015陕西,12,5分)设复数z=(x-1)+yi(x,y∈R),若|z|≤1,则y≥x的概率为

()A.

+

B.

+

C.

-

D.

-

答案

C利用复数的几何意义可知|z|≤1表示的区域为以(1,0)为圆心,1为半径的圆及其内

部,此区域内满足y≥x的点对应的区域如图中阴影部分所示,

故所求概率P=

=

-

,故选C.4.(2015湖北,8,5分)在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p1为事件“x+y≤

”的概率,p2为事件“xy≤

”的概率,则

()A.p1<p2<

B.p2<

<p1

C.

<p2<p1

D.p1<

<p2

答案

D(x,y)构成的区域是边长为1的正方形及其内部,其中满足x+y≤

的区域如图(1)中阴影部分所示,所以p1=

=

,满足xy≤

的区域如图(2)中阴影部分所示,所以p2=

=

>

,所以p1<

<p2,故选D.

5.(2015重庆,15,5分)在区间[0,5]上随机地选择一个数p,则方程x2+2px+3p-2=0有两个负根的概

率为

.答案

解析要使方程x2+2px+3p-2=0有两个负根,必有

解得

<p≤1或p≥2,结合p∈[0,5]得p∈

∪[2,5],故所求概率为

=

.考点一古典概型1.(2013课标全国Ⅰ,3,5分)从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概

率是

()A.

B.

C.

D.

C组

教师专用题组答案

B从1,2,3,4中任取2个不同的数,共有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)6种不同的结果,取

出的2个数之差的绝对值为2的有(1,3),(2,4)2种结果,概率为

,故选B.2.(2011课标卷,6,5分)有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各参加其中一个小组,每位同学参加各

个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为

()A.

B.

C.

D.

答案

A甲、乙两人都有3种选择,共有3×3=9种情况,甲、乙两人参加同一兴趣小组共有3

种情况.∴甲、乙两人参加同一兴趣小组的概率P=

=

,故选A.易错警示认为甲、乙共有3×2=6种选择,从而选错B.3.(2014湖北,5,5分)随机掷两枚质地均匀的骰子,它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1,点

数之和大于5的概率记为p2,点数之和为偶数的概率记为p3,则

()A.p1<p2<p3

B.p2<p1<p3

C.p1<p3<p2

D.p3<p1<p2

答案

C随机抛掷两枚骰子,它们向上的点数之和的结果如图,则p1=

,p2=

,p3=

,∴p1<p3<p2,故选C.

4.(2013天津,15,13分)某产品的三个质量指标分别为x,y,z,用综合指标S=x+y+z评价该产品的等

级.若S≤4,则该产品为一等品.现从一批该产品中,随机抽取10件产品作为样本,其质量指标列

表如下:产品编号A1A2A3A4A5质量指标(x,y,z)(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(1,2,1)

产品编号A6A7A8A9A10质量指标(x,y,z)(1,2,2)(2,1,1)(2,2,1)(1,1,1)(2,1,2)(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;(2)在该样本的一等品中,随机抽取2件产品,(i)用产品编号列出所有可能的结果;(ii)设事件B为“在取出的2件产品中,每件产品的综合指标S都等于4”,求事件B发生的概率.解析(1)计算10件产品的综合指标S,如下表:其中S≤4的有A1,A2,A4,A5,A7,A9,共6件,故该样本的一等品率为

=0.6,从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)(i)在该样本的一等品中,随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A7},

{A1,A9},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A7},{A2,A9},{A4,A5},{A4,A7},{A4,A9},{A5,A7},{A5,A9},{A7,A9},共15种.(ii)在该样本的一等品中,综合指标S等于4的产品编号分别为A1,A2,A5,A7,则事件B发生的所有可

能结果为{A1,A2},{A1,A5},{A1,A7},{A2,A5},{A2,A7},{A5,A7},共6种.所以P(B)=

=

.评析本题主要考查用样本估计总体的方法、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、

古典概型及其概率计算公式等基础知识,考查学生数据处理能力和运用概率知识解决简单问

题的能力.产品编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10S4463454535考点二几何概型1.(2013湖南,9,5分)已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P,使△APB的最大边是

AB”发生的概率为

,则

=

()A.

B.

C.

D.

答案

D矩形ABCD如图所示,在点P从D点向C点运动过程中,DP在增大,AP也在增大,而BP

在逐渐减小,当P点到P1位置时,BA=BP1,当P点到P2位置时,AB=AP2,故点P在线段P1P2上时,△

ABP中边AB最大,由题意可得P1P2=

CD.在Rt△BCP1中,B

=

CD2+BC2=

AB2+AD2=AB2.即AD2=

AB2,所以

=

,故选D.

2.(2013湖北,15,5分)在区间[-2,4]上随机地取一个数x,若x满足|x|≤m的概率为

,则m=

.答案3解析当m≤2时,

=

,无解.当2<m≤4时,

=

,∴m=3.综上,m=3.3.(2014重庆,15,5分)某校早上8:00开始上课,假设该校学生小张与小王在早上7:30~7:50之间到

校,且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早5分钟到校的概率为

(用数字作答).答案

解析设小张和小王到校的时间分别为7时x分和7时y分,则

则满足条件的区域如图中阴影部分所示.

故所求概率P=

=

.评析本题考查几何概型及数学建模的能力,考查考生的转化与化归思想的应用.本题的易错

点是弄错事件发生所对应的区域.考点一古典概型1.(2018广西桂林月考)某大型反贪电视剧播出之后,引起了观众的强烈反响.为了了解该电视

剧的人物特征,小赵计划从1至6集中随机选取两集进行观看,则他恰好选择连续的两集观看的

概率为

()A.

B.

C.

D.

答案

B基本事件如下:(1、2),(1、3),(1、4),(1、5),(1、6),(2、3),(2、4),(2、5),(2、6),(3、

4),(3、5),(3、6),(4、5),(4、6),(5、6),共15种,其中连续的有(1、2),(2、3),(3、4),(4、5),(5、6),

共5种,故概率为

=

.三年模拟A组

2016—2018年高考模拟·基础题组2.(2018四川雅安中学月考)在微信群的某次抢红包活动中,所发红包被随机分成2.63元,1.95元,

3.26元,1.77元,0.39元,共五份,每人只能抢一次,则红包被抢完时,小淘、小乐两人抢到的红包金

额之和不少于5元的概率是

()A.

B.

C.

D.

答案

B由题意得,基本事件总数为10,其中小淘、小乐两人抢到的红包金额之和不少于5元

的情况有(2.63、3.26),(1.95、3.26),(1.77、3.26),共3种,∴小淘、小乐两人抢到的红包金额之和不少于5元的概率P=

,故选B.3.(2018四川绵阳二诊)将一颗骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,将第一次向上的点数记为m,

第二次向上的点数记为n,曲线C:

+

=1,则曲线C的焦点在x轴上,且离心率e≤

的概率等于

()A.

B.

C.

D.

答案

D因为离心率e≤

,所以

≤

,解得

≤

<1.当m=6时,n=5,4,3;当m=5时,n=4,3;当m=4时,n=3,2;当m=3时,n=2;当m=2时,n=1,共9种情况,故其概率为

=

,选D.4.(2017广西南宁模拟,2)将一颗骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则所得的两个点数和不小

于10的概率为

()A.

B.

C.

D.

答案

D

先后抛掷2次骰子,共有6×6=36个基本事件,其中两个点数和不小于10的有(4,6),(5,

6),(6,6),(5,5),(6,5),(6,4)这6个基本事件,所以所求概率为

=

,故选D.评析本题主要考查了古典概型,不重不漏地将所有情况列举出来是解题关键.5.(2017云南师大附中月考,4)从编号为1,2,3,4的四个小球中任选两个球,则选出的两个球数字

之和不小于5的概率为

()A.

B.

C.

D.

答案

B解法一:依题意,从编号为1,2,3,4的四个小球中任选两个小球,相应的选法共有6种,

其中所选出的两个球数字之和小于5的选法共有2种,因此所求的概率等于1-

=

.解法二:依题意,从编号为1,2,3,4的四个小球中任选两个球,相应的选法共有6种,其中所选的两

个球数字之和不小于5的选法共有4种,因此所求的概率等于

=

.6.(2017四川成都七中高考热身,8)有一个正方体的玩具,六个面分别标注了数字1,2,3,4,5,6,

甲、乙两位学生进行如下游戏:甲先抛掷一次,记正方体朝上的数字为a,再由乙抛掷一次,记正

方体朝上的数字为b,若|a-b|≤1,则称甲、乙两人“默契配合”,则甲、乙两人“默契配合”的

概率为

()A.

B.

C.

D.

答案

D甲、乙两人抛掷玩具所有可能的事件有36种,其中“甲、乙两人‘默契配合’”所包含的基本事件有:(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),

(3,4),(4,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6),共16种.∴甲、乙两人“默契配合”的概率为P=

=

.故选D.7.(2017广西名校联考,10)齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等

马,田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马,现

从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛,则田忌的马获胜的概率为

()A.

B.

C.

D.

答案

A分别用A、B、C表示齐王的上、中、下等马,用a、b、c表示田忌的上、中、下等

马,从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛,有Aa、Ab、Ac、Ba、Bb、Bc、Ca、Cb、Cc,

共9种情况,其中田忌的马获胜的有Ba、Ca、Cb,共3种情况,所以田忌的马获胜的概率为

.故选A.评析本题出错的原因有两个:(1)理解不清题意,不能将基本事件列举出来;(2)列举基本事件

有遗漏.考点二几何概型1.(2018贵州黔东南州模拟)某同学通常在早上6:00到7:00的任意时刻起床,但在6:55之后起床

就会迟到,那么该同学迟到的概率为

()A.

B.

C.

D.

答案

B根据几何概型可得,该同学迟到的概率为

=

.2.(2018西藏拉萨一模)五角星可通过连接正五边形的对角线得到,且它具有一些优美的特征,

如

=

=

=

.在正五边形A1B1C1D1E1内随机取一点,则此点取自正五边形A2B2C2D2E2内部的概率为

()

A.

B.

C.

D.

答案

D由

=

=

=

,可得A2E2=

B1A2=

A1B1,显然小、大两个正五边形相似,相似比为

,故面积比为

,则所求概率为

,故选D.3.(2018云南曲靖一中模拟)在区域

内任取一点P(x,y),满足y≤

的概率P=

()A.

B.

C.

D.

答案

C曲线y=

是以(1,0)为圆心,1为半径的圆的上半部分,由几何概型得P=

=

.故选C.方法点睛

(1)当试验的结果可以用长度、面积、体积度量时,应考虑使用几何概型求解.(2)几何概型有两个特点:一是无限性,二是等可能性.基本事件可以抽象为点,尽管这些点是无

限的,但它们所占据的区域都是有限的,因此可用“比例法”求解几何概型的概率.4.(2017贵州遵义模拟,3)已知指数函数y=f(x)的图象过点P(3,27),则在(0,10]内任取一个实数x,

使得f(x)>81的概率为()A.

B.

C.

D.

答案

D设指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1),因为其图象过点(3,27),所以a3=27,得a=3.令f(x)=3x>

81,则x>4,即x∈(4,10]时,有f(x)>81,所以所求的概率为P=

=

.5.(2017广西柳州模拟,5)如图,圆C内切于扇形AOB,∠AOB=

,若在扇形AOB内任取一点,则该点在圆C内的概率为

()

A.

B.

C.

D.

答案

C设扇形AOB的半径为R,则其面积为

R2.如图,设圆C的半径为r,则由图知OC=2r,即R=3r,圆C的面积为πr2=

πR2,故所求概率P=

=

.

6.(2017广西南宁二中模拟,9)已知Ω={(x,y)|x+y≤6,x≥0,y≥0},Γ={(x,y)|x≤4,y≥0,x-2y≥0},若

向区域Ω上随机投一点P,则点P落入区域Γ的概率是

()A.

B.

C.

D.

答案

D如图,其中区域Ω表示的面积为S△AOB=18,区域Γ表示的区域面积为=S△COD=4,根据几

何概型知所求概率P=

=

,故选D.

7.(2017广西桂林十八中月考,8)在正方体ABCD-A1B1C1D1中随机取一点P,则|PA|<|AB|的概率是

()A.

B.

C.

D.

答案

D当|PA|=|AB|时,P的轨迹是以A为球心,|AB|为半径的球的

,∴事件|PA|<|AB|对应的几何图形的体积为V1=

×

π|AB|3=

π|AB|3.设正方体的体积为V,则V=|AB|3,∴事件|PA|<|AB|的概率为

=

=

π.故选D.B组

2016—2018年高考模拟·综合题组时间:30分钟

 分值:55分一、选择题(每题5分,共20分)1.(2018广西桂林、贺州联考)在平面直角坐标系中,圆O被y=3sin

x的图象分割为两个对称的鱼形图案,其中小圆的半径均为1,现在大圆内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率P=(

)

A.

B.

C.

D.

答案

D根据题意,大圆的直径等于y=3sin

x的最小正周期,为

=8,大圆面积S=π·

=16π,一个小圆的面积S'=π·12=π,根据几何概型的概率公式可得P=

=

=

,故选D.2.(2017四川成都模拟,4)一个袋中装有大小相同,编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球,从中有放

回地每次取一个球,共取2次,则取得的两个球的编号和小于15的概率为

()A.

B.

C.

D.

答案

D从8个球中有放回地抽取两次,共有64种情况.两球编号之和不小于15的情况有三

种:(7,8),(8,7),(8,8),则两球编号之和不小于15的概率为

,因此两个球的编号和小于15的概率为1-

=

.3.(2017广西陆川模拟,6)给出如下四对事件:①某人射击1次,“射中7环”与“射中8环”;②甲、乙两人各射击1次,“至少有1人射中目标”与“甲射中,但乙未射中目标”;③从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球,“至少一个黑球”与“都是红球”;④从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球,“没有黑球”与“恰有一个红球”.其中属于互斥但不对立的事件的有

()A.0对

B.1对

C.2对

D.3对答案

C①某人射击1次,“射中7环”与“射中8环”两个事件不会同时发生,故为互斥事

件,还可以“射中6环”等,故不是对立事件;②甲、乙两人各射击1次,“至少有1人射中目标”

与“甲射中,但乙未射中目标”,前者包含后者,故②不是互斥事件;③“至少有一个黑球”与

“都是红球”不可能同时发生,但一定会有一个发生,所以这两个事件是对立事件;④“没有黑

球”与“恰有一个红球”不可能同时发生,故它们是互斥事件,但还有可能“没有红球”,故不

是对立事件.故选C.4.(2017广西河池模拟,6)甲、乙、丙三位同学上课后独立完成5道自我检测题,甲及格的概率

为

,乙及格的概率为

,丙及格的概率为

,则三人至少有一人及格的概率为

()A.

B.

C.

D.

答案

C由题设可知甲、乙、丙三位同学都不及格的概率是

×

×

=

,故甲、乙、丙三位同学至少有一人及格的概率是1-

=

,故选C.5.(2017云南师大附中模拟,13)一架飞机向目标投弹,击毁目标的概率为0.2,目标未受损的概率

为0.4,则目标受损但未被完全击毁的概率为

.二、填空题(每题5分,共10分)答案0.4解析因为目标被击毁,未受损,受损但未被完全击毁是互斥事件且是对立事件,所以目标受损

但未被完全击毁的概率P=1-0.2-0.4=0.4.6.(2017云南曲靖模拟,14)设函数y=f(x)在区间[0,1]上的图象是连续不断的一条曲线,且恒有0≤

f(x)≤1,可以用随机模拟方法计算由曲线y=f(x)及直线x=0,x=1,y=0所围成部分的面积S,先产生

两组(每组N个)区间[0,1]上的均匀随机数x1,x2,…,xN和y1,y2,…,yN,由此得到N个点(xi,yi)(i=1,2,

…,N),再数出其中满足yi≤f(xi)(i=1,2,…,N)的点数N1,那么由随机模拟方法可得S的近似值为

.答案

解析根据题意可得由直线x=0,x=1,y=0,y=1所围成的正方形中共有N个点,由曲线y=f(x)及直线x=0,x=1,y=0所围成的部分中有N