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文档简介

8.5.4空间几何体的截面问题教学目标1、能够利用四个基本事实,三个推论画出空间几何体的截面;教学重难点1、教学重点:基本事实和推理的应用;2、教学难点:利用基本事实和推理画截面。2、了解几种画截面的方式方法.知识回顾1、线线平行的判定方法三角形中位线;平行四边形对边;分线段成比例(相似);同位角、内错角相等,同旁内角互补;平行于同一条直线的两直线平行;棱柱侧棱;向量共线;线面平行的性质;面面平行的性质;2、线面平行的判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行3、线面平行的性质定理一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行4、面面平行的判定定理如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行5、面面平行的性质定理两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行截

义用一个平面去截几何体,此平面与几何体的交集,叫做这个几何体的截面,与几何体表面的交集(交线)叫做截线,与几何体棱的交集(交点)叫做截点.如图:截面

BNB1M如图:截线BM如图:截点B,M

1、在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为BB1的中点,画出过A1,C1,P三点的截面.解:因为此三点在几何体的棱上,且两两在一个平面内,直接连接A1P,A1C1,C1P就得到截面A1C1P.

通性通法

若截面上的点都在几何体的棱上,且两两在同一个平面内,可借

助基本事实“如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线

在这个平面内”,直接连线作截面.2、(多选)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,点E,F,G,H分别为棱A1C1,B1C1,BC,AC上的点,过E,F,G,H四点作截面,则截面的形状可以为(

)A.

矩形B.

菱形C.

正方形D.

梯形解析:截面图如图所示,因为ABC-A1B1C1为直三棱柱,则平面A1B1C1∥平面ABC,截面过平面A1B1C1、平面ABC,则交线EF∥HG,当FG不与B1B平行时,此时截得的EH不平行于FG,四边形EFGH为梯形;当FG∥B1B时,此时截得的EH∥FG,FG⊥EF,当EH≠EF时,四边形EFGH为矩形;当EH=EF时,四边形EFGH为正方形.故A、C、D正确.3、在长方体ABCD-A'B'C'D'中,点P是棱BB'的中点,画出过点A',D',P三点的截面.解:连接

A'P,D'P因为平面

ADD'A'∥平面BCC'B',所以只要过P作A'D'的平行线即可.取CC'的中点Q,连接PQ,则A'D'∥PQ.

连接D'Q即得截面A'PQD'.Q通性通法

若截面与几何体的两个平行平面相交,或者截面上有一条直线与几何体的某一个面平行,可以借助于两个性质:①如果一条直线平行于一个平面,经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条直线就和交线平行;②如果两个平面平行,第三个平面和它们相交,那么两条交线平行,利用平行线法作截面.4、

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BC,CC1的中点,则平面AEF截正方体所得的截面多边形的形状为(

)A.

三角形B.

四边形C.

五边形D.

六边形EF

解析:如图,连接BD,A1D,过点P作BD,A1D的平行线,分别交棱AB,AA1于点Q,R,连接QR.

因为BD∥B1D1,所以PQ∥B1D1,因为B1D1⊂平面B1D1C,PQ⊄平面B1D1C,所以PQ∥平面B1D1C.

因为A1D∥B1C,所以PR∥B1C.

因为B1C⊂平面B1D1C,PR⊄平面B1D1C,所以PR∥平面B1D1C.

又PQ∩PR=P,PQ,PR⊂平面PQR,所以平面PQR∥平面B1D1C,则平面PQR为截面,易知

PQR6、

如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6,M是A1B1的中点,点N在棱CC1上,且CN=2NC1.作出过点D,M,N的平面截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面,写出作法.解:如图所示,连接DN并延长交D1C1的延长线于点E,连接ME交B1C1于点F,交D1A1的延长线于点H,连接DH交AA1于点Q,连接QM,FN,所以五边形DQMFN即为所求截面.EFHQ通性通法

若截面上的点中至少有两个点在几何体的一个表面上,可以借助

于基本事实“如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线

在这个平面内”,利用延长线法作截面.7、已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AB⊥AD,PA=AD=4,BA=BC=2,M为PA中点,过C,D,M的平面截四棱锥P

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