决胜2024中考数学压轴题全揭秘下专题15动点综合问题试题

专题15动点综合问题

号点4】动点之相似三角形同JB

【考点5】动点之平行四边彩付・

(含“殊屈边形)

【考点6】动点之线段面枳问期

【典例分析】

【考点1］动点之全等三角形问题

4

【例1】如图，直线N=-QX+4与x轴和y轴分别交于A3两点，另一条直线过点A和点。(7,3).

(1)求直线AC的函数表达式；

⑵求证：ABA.AC;

⑶若点尸是直线AC上的一个动点，点。是工轴上的一个动点，且以P,3A为顶点的三角形与AAO4全

等，求点。的坐标.

(3)点。的坐标为(7,0)或(8,0)或(-1,0)或(-2,0)

44

【解析】(1)在y=-§x+4中，令y=(),贝iJO=-1X+4,求得A(3,0),设直线AC对应的函数关系式为y=kx+b,

解方程组即可得到结论；

4439^3

(2)在直线ABy=—-x+4中，得到k尸-一，在直线ACy=-x一中，得到上=一,由J」「k2=T,即可得到

33444

结论；

(3)依据勾股定理得到AB=5,①当NAQP=90。时,如图L由全等三角形的性质得到AQ=OB=4,于是得到

Qi(7,0),Q2(-1,0),②当NAPQ=90°时,如图2,依据全等三角形的性质得到AQ=AB=5,于是得到QN8,

0),Q,(-2,0),③当NPAQ=90°时，这种状况不存在.

4

【详解】(1)在尸-另x+4中，

4

令7=0,则0=—x+4,

3

x-3>

・•"(3,0),

设直线AC对应的函数关系式为y=kx+b,

O=3A+〃

则:，解得:

3=7k+b

39

・,・直线AC对应的函数关系式为y——x-一.

44

4

(2)在直线ABy=--x+4中，

3

3

393

在直线ACy=」x—中，k尸二，

444

/.ki*k2=-l,

4

/.ABXAC；(3)在y=--x+4中，

3

令:<=0,则y=4,

ACA=3,0B=4,由勾股定理得AB=5,

①当NAQP=90°时,如图1,VAAOB^AAQP,

/.AQ=0B=4,

・•・加(7,0),Q?(-1,0),

②当NAPQ=90。时，如图2,VAAOB^AAQP,

/.AQ=AB=5,

,盘(8,0),Q.,(-2,0).

③当NPAQ=90°时，这种状况不存在，

综上所述：点Q的坐标为：(7,0)(8,0)(-1,0)(-2,0).

【点睛】考查了一次函数综合题，待定系数法求函数的解折式，勾股定理的应用和全等二角形的性质等学

问，分类探讨是解题关键，以防遗漏.

【变式1T】)如图,CA1BC,垂足为C,AC=2Cm,BC=6cm,射线BM1BQ,垂足为B,动点P从C点动身以lcm/s的

速度沿射线CQ运动,点N为射线BM上一动点,满意PN=AB,随着P点运动而运动，当点P运动_______秒时，

△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等.(2个全等三角形不重合)

【解析】此题要分两种状况：①当P在线段BC上时，②当P在BQ上，再分别分两种状况AC=BP或AC=BN

进行计算即可.

【详解】解：①当P在线段BC上，AC=BP时，△ACB@Z\PBN,

V

VAC=2,

，BP=2,

ACP=6-2=4,

・••点P的运动时间为4+1=4（秒）；

②当P在线段BC上，AC=BN时，△ACB@Z\NBP,

这时BC=PN=6,CP=O,因此时间为。秒；

③当P在BQ上，AC=BP时，△ACB/Z\PBN,

VAC=2,

•••BP=2,

・・・CP=2+6=8,

・••点P的运动时间为8+1=8（秒）；

④当P在BQ上，AC=NB时，4ACBgZXNBP,

VEC=6,

.•・EP=6,

・・・CP=6+6=12,

点P的运动时间为12+1=12（秒），

故答案为：。或4或8或12.

【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等时必需有边的参加，若有两边一角对应相

等时，角必需是两边的夹角.

【考点2】动点之直角三角形问题

【例2】（模型建立）

（D如图1,等腰直角三角形ABC中，ZACB=90，CB=C4,直线ED经过点。，过A作AOJ_石。

于点D,过8作于点E.求证：ABEC^ACZM；

（模型应用）

4

（2）已知直线4：y=§x+4与坐标轴交于点A、B,将直线L绕点A逆时针旋转45至直线4,如图2,

求直线〃的函数表达式；

（3）如图3,长方形A8C。，。为坐标原点，点3的坐标为（8,-6）,点A、。分别在坐标轴上，点P是

线段8c上的动点，点。是直线）=-2x+6上的动点且在第四象限.若AA尸力是以点。为直角顶点的等腰

直角三角形，请干脆写出点。的坐标.

【解析】（1）依据AABC为等腰直角三角形，A【）_LE【），BEJ_EI）,可判定AB"三ACD4：

（2）①过点B作BCJLAB,交k于C,过C作CD_Ly轴于D,依据△CBDgZ\BAO,得出BD=A0=3,CD=OB

=4,求得C（T,7）,最终运用待定系数法求直线b的函数表达式；

（3）依据4APD是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，当点D是直线y=Wx+6上的动点且在第四象限

时，分两种状况：当点D在矩形AOCB的内部时，当点D在矩形AOCB的外部时，设D（x,母x+6）,分别依

据△ADE@Z\DPF,得出AE=DF,据此列出方程进行求解即可.

【详解】解：（1）证明：:△ABC为等腰直角三角形，

ACB=CA,ZACD+ZBCE=90°,

XVAD1ED,BE_LED,

.\ZD=ZE=90°,ZEBC+ZBCE=90°,

AZACD=ZEBC,

ZD=Z£

在z\ACD与ACBE中，,NACD=NEBC,

CA=CB

：-\BEC=\CDA(AAS)：

(2)①如图2,过点B作BC_LAB,交L于C,过C作CD_Ly轴于D,

VZBAC=4b°,

/.△ABC为等腰直角三角形，

由(1)可知：△CBDgZXBAO,

ABD=A0,CD=OB,

4

二•直线h：y=-x+4中，若y=0,则乂=可；若x=0,则y=4,

3

・•"(T,0),B(0,4),

，用)=A()=3,CD=0B=4,

・・・CD=4+3=7,

AC(47),

7=-4k+b

设的解析式为y=kx+b,则〈，

(\=-3k+b

k=T

解得:

Z=-21

工七的解析式为:y=-7x-21；

2022

(3)D(4,-2)或(一，——).

33

理由：当点D是直线y=吆x+6上的动点且在第四象限时，分两种状况：

当点D在矩形AOCB的内部时，如图，过D作x轴的平行线EF,交直线0A于E,交BC于F,

设D(x,-2x-l-6),贝iJ()E=2x-6,AE=6-(2x-6)=12-2x,DF=EF-DE=8r,

由（1）可得，ZXADE咨ZXDPF,则DF=AE,即：12-2x=8-x,

解得x=4,

・・・~2x+6=2

AD（4,吆）,

此时，PF=ED=4,CP=6=CB,符合题意;

当点D在矩形AOCB的外部时,如图,过D作x轴的平行线EF,交直线0A于E,交直线BC于3,

设D（x,-2x+6）,贝i]0E=2x_6,AE=0E-0A=2x-6-6=2x-12,DF=EF-DE=8r,

同理可得：△ADEgADPF,则AE=DF,即：2x-12=8-x,

解得x=g

22

・・・Nx+6=——，

3

.、2022

..0（—»------）,

33

此时，ED=PF=—,AE=BF=-,BP=PIH5F=—<6,符合题意,

333

2022

综上所述，D点坐标为：(4,~2)或(一，一）

33

【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了点的坐标、矩形的性质、待定系数法、等腰直角三角形的

性质以及全等三角形等相关学问的综合应用，解决问题的关键是作协助线构造全等三角形，运用全等三角

形的性质进行计算，解题时留意分类思想的运用.

【变式2-1](2024•辽宁中考模拟)如图，已知二次函数y=ax?+bx+4的图象与x轴交于点A(4,0)和点

D(-l,0),与y轴交于点C,过点C作BC平行于x轴交抛物线于点B,连接AC

⑴求这个二次函数的表达式；

(2)点M从点0动身以每秒2个单位长度的速度向点A运动；点N从点B同时动身，以每秒1个单位长度的

速度向点C运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停动，过点N作NQ垂直于BC交AC于点Q,

连结MQ.

①求4AQM的面积S与运动时间t之间的函数关系式，写出自变量的取值范围；当t为何值时，S有最大值,

并求出S的最大值；

(1,0)和(2,0).

【解析】(D由待定系数法将AD两点代入即可求解.

(2)①分别用t表示出AM、PQ,由三角形面积公式干脆写出含有I的二次函数关系式，由二次函数的最大值

可得答案；

②分类探讨百角三角形的直角顶点，然后解出3求得坐标.

【详解】(1厂・•二次函数的图象经过A(4,0)和点D(-l,0),

16。+4/?+4=()

。一〃+4=0

67=—1

解得4C，

b=3

所以，二次函数的解析式为y=-X2+3X+4.

•・・BC平行于x轴，C(0,4)

AB(3,4),NP±OA.

依据题意，经过t秒时，NB=t,DM=2t,

则CN=3-t,AM=4-2t.

VZBCA=ZMAQ=45°,

・・・GN=CN=3-t,

，FQ=NP-NQ=4-(1-t)=l+t,

11-\

ASA.=-AMXPQ=-(4-2t)(1+t)

W22

=-t2+t+2.

Va=-l<0,且0WtW2,・・・S有最大值.

当t=二"时，S—=—.

24

②存在点使得为直角三角形.

设经过t秒时，NB=t,OM=2t,

贝ijCN=3-t,AM=4-2t,

AVZBCA=ZMAQ=45°.

I.若NAQM=90°,

则PQ是等腰RtAMQA底边MA上的高.

・・・FQ是底边MA的中线,

1

AFQ=AP=-MA,

2

/.l+t=-(4-2t),

2

解得，t——,

2

・・・M的坐标为(1,0).

II.若NQMA=90°,此时QM与QP重合.

・・.QM=QP=MA,

/.1+t=4-2t,

At=l,

，点M的坐标为(2,0).

所以，使得△AQU为直角三角形的点M的坐标分别为(1,0)和(2,0).

【点睛】此题考查了待定系数法求解析式，还考查了三角形的面积，要留意利用点的坐标的意义表示线段

的长度，从而求出线段之间的关系还要留意求最大值可以借助于二次函数.

【变式2-2］如图，四边形被⑦是正方形，以加为边向外作等边△比笈连接AE交BD于息F,交切于点

G,点尸是线段为£上一动点，连接即BP.

(1)求N4叨的度数；

(2)在点尸从4到£的运动过程中，若分平分区求证：AG-DP=DG*BH

(3)已知生7=6,在点尸从4到£的运动过程中，若△穴是直角三角形，恳求分的长.

【答案】(1)60°；(2)见解析；(3)DP=6或DP=3JJ—3或DP=36一3加时，△戚是直角三角形

【解析】(1)依据正方形的性质、等边三角形的性质解答；

(2)连接力£证明△戊/s/X/ia；依据相像三角形的对应边的比相等证明；

(3)依据正方形的性质、勾股定理分别求出BD、OD,依据直角三角形的性质求出DF,分NBPD=90°、4BDP

=90°两种状况，依据相像三角形的性质计算.

【详解】(1)•・•四边形四是正方形，

：,AB=DC,/加C=90°,

又•.•△以为是等边三角形，

：J)E=DC4EDC=60°,

：J)A=DE,N4%'=150°,

：・/DAE=15°,

又N力的=45°,

AAAFB=ZDAP-ZADF=150+45°=60°；

(2)连接力C,

ZCAG=ZCAD-ZDAG=45°-15°=30°,

,:RP平分乙CDE,

AZGDP=-ZEDC=3(),

2

：ZPDG=/CAG,

又乙DGP=4AGC,

△力GG

•DG_DP

,即桥分=必力C,

*AG-AC

*：AC=DB,

:」GDP=DG*BD；

(3)连接力。交劭于点0,则N加户=90°,

VXZ?=6,

，OA=OD=3&，

在"△/!夕'中，ZOAF=^°,

・••OF=瓜,AF=2y/6,

:.FD=3A/2-5/6，

由图可知：0°</DB吗45°,

则△〃「卯是直角三角形只有/叱=90°和/应W=900两种情形:

①当NZV刃=90。时，

/、若点〃与点力重合，/皮力=93°,

：・DP=DA=6；

〃、当点?在线段力石上时，N跖9=90°,

连接8,OP=OA=-BD=3y/2,

2

：,^()PA=ZOAP=30°,

・•・/力力三120°,

：.£FOP=/AOP-4AOF=3N,

"DBP=NOPB=15°,

：・4FDS,

又/BAF=/BAD-/DAF=B,

JABAF=/PDF,

又4AFB=/DFP,

:.'BAFSAPDF、

.DPDFH1IDP372-76

ABAF62>/6

解得，DP=3△-3、

②当NH次=90。时，N"乎=//«=6。。,

:・DP=DFXtanZDFP=6（3夜-向=3娓-372,

综上，DP=6或I）P=3j5—3或DP=36一30时，△小伊是五角三角形.

【点睛】本题考查的是正方形的性质、相像三角形的判定和性质以及等边三角形的性质、直角三角形的性

质，驾驭正方形的性质、相像三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

【考点3】动点之等腰三角形问题

【例3】（2024•湖南中考真题〉如图一，在射线。石的一侧以A。为一条边作矩形A8c力，A£>=56，

8=5,点M是线段AC上一动点（不与点4重合），连结BM，过点M作BM的垂线交射线DE于息N,

连接BN.

（1）求NC4。的大小;

（2）问题探究：动点M在运动的过程中，

①是否能使AAMN为等腰三角形，假如能，求出线段MC的长度；假如不能，请说明理由.

②的大小是否变更？若不变更，恳求出NMBV的大小；若变更，请说明理由.

（3）问题解决：

如图二，当动点M运动到AC的中点时，AM与BN的交点为F,MN的中点为H,求线段7的长度.

sFx

【答案】（1）NC4£）=30;（2）①能，CM的值为5或56；②大小不变，/MBN=30'屋3）FH=*.

6

【解析】（1）在中，求出ND4C的正切值即可解决问题.

（2）①分两种情形：当NA=NM耐,当AN=A”时，分别求解即可.

②NMBN=30.利用四点共圆解决问题即可.

（3）首先证明△钻M是等边三角形，再证明8N垂直平分线段AM，解直角三角形即可解决问题.

【详解】解：（1）如图一（1）中，

,ZADC=90，

tanZCAD=-^=4=-

AD5G3

・•・ZC4Z)=30°.

(2)①如图一(1)中，当AN二MW时，

•:乙BAN=4BMN=96，BN=BN,AN=NM,

:RtABA64=RtABNM(HL),

・•・BA=BM,

在R/AA3C中，•••ZAC3=ND4c=30“，AB=CD=5,

••・AC=2A3=10,

•••/RAM=60"BA=BM,

是等边三角形，

/.AM=AB=5,

：.CM=AC-AM=5.

如图-(2)中，当AN=AM时，易证NAMN=NAMVf=15°，

图一⑶

•・•乙BMN=96，

・•・NCMB=75，;ZMCB=30°，

・•・Z.CBM=180°-75°-30°=75°，

・•・/CMB=/CBM,

・•・CM=CB=*，

综上所述，满意条件的CM的值为5或5G.

②结论：N/WBN=3()"大小不变.

理由：如图-(1)中，・・・N84N+N8MN=180°，

.・.四点共圆，

・•・/MBN=/MAN=3。.

如图一(2)中，•:/BMN=NBAN=9。，

・・.A,N,3,M四点共圆,

・•・NM3N+NM4N=18()’，

:NOAC+NM4N=180，

・•・NMBN=NDAC=3(f，

综上所述，NMBN=36.

(3)如图二中,

•・•4M=MC，

・•・BM=AM=CM,

/.AC=2AB，

:.AB=BM=AM，

:.MBM是等边.三角形，

，N8AM=N8M4=60'，

•/ZB/W=乙BMN=90"

・•・/NAM=NNMA=3G，

:・NA=NM.

•/BA=BM，

・•・BN垂直平分线段AM.

.・.FM

2

.皿FM5百

cos303

♦:乙NFM=90，NH=HM,

•17U1A/Z55/5

••FH=—MN=----

26

【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三

角形的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的判定和性质等学问，解题的关键是敏捷运用所学学问解

决问题，学会用分类探讨的思想思索问题，属于中考压轴题.

【变式3-1】如图①，已知正方形ABCO边长为2,点Q是边上的一个动点，点A关于直线的对

称点是点Q,连结PQ、DQ、CQ、3Q.设AP=x.

（1）当x=l时，求长;

（2）如图②，若PQ的延长线交CO边于E,并且NCQO=90。，求证：ACE。为等腰三角形;

（3）若点P是射线AO上的一个动点，则当AC。。为等腰三角形时，求工的值.

【答案】（1）BP=5/5;（2）证明见解析；（3）Z\CDQ为等腰三角形时x的值为4-26、华、26+4.

【解析】（1）利用勾股定理求出BP的长即可；（2）依据对称性质及正方形的性质可得AB/BQ=3C,

ZA=ZBQP=ZBCE=90°,可得NBQE=90°,由第一视角相等性质可得NBCQ二NBQC,依据同角或等角的余角

相等的性质可得NEQC二NECQ,可得EC=EQ,可得结论；（3）若aCDQ为等腰三角形，则边CD边为该等腰三

角形的一腰或者底边.又Q点为A点关于PB的对称点，则AB=QB,以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，

则Q点只能在弧AB上.若CD为腰，以点C为圆心，以CD的长为半径画弧，两弧交点即为使得△0）、为等

腰三角形（CD为腰）的Q点.若CD为底边，则作CD的垂直平分线，其与弧AC的交点即为使得△口）、为等

腰三角形（CD为底）的Q点.则如图所示共有三个Q点，那么也共有3个P点.作协助线，利用直角三角

形性质求之即可.

【详解】（1）VAP=x=l,AB=2,

^=\IAB2+AP2=>/5，

（2）•・•四边形ABCD是正方形,

AAB=BC,ZA=ZBCD=90".

VC点为A点关于BP的对称点，

，AB二QB,ZA=ZPQB=90°,

•••GB=BC,NBQE=NBCE=90°,

AZBQC-ZBCQ,

:.ZEQC+ZBQC=ZECQ+ZBCQ=90°,

AZEQC=ZECQ,

・・・EQ=EC,即ACEQ为等腰三角形.

（3）如图，以点B为圆心，以AE的长为半径画弧，以点C为圆心，以CD的长为半径画弧，两弧分别交于

QnQ3.此时△CDQI,△CDQ3都为以CD为腰的等腰三角形.

作CD的垂直平分线交弧AC于点Q”此时acnQ?以CD为底的等腰三角形.

①探讨Q”如图，连接BQ】、CQ「作PQ」BQL交AD于P,过点作EF_LAD于E,交BC于F,

•••△BCQ：为等边三角形，正方形ABCD边长为2,

・・・FC=1,Q0CQ：_FC2=BQIE=2-G，

在四边形ABPQI中,

VZABQ,=30°,

・・・NAPQ尸150°,

"EPQ产30。，Z\PEQi为含30°的直角三角形,

•••FE=6EQL26-3,

•・・EF是BC的垂直平分线，

1

AAE=-AD=1,

2

・•・x二AP二AE-PE=1-(273-3)=4-2.

AQ2,过点Q2作PG_LBQ”交AD于P,交CD于G,连接BP,过点。作EF_LCD

于E,交AB于F,

•・・EF垂直平分CD,

JEF垂直平分AB,

.\AQ2=BQ>

VAB=BQ2,

•••△ABQz为等边三角形.

・•・AF=；AE=1,FQ?=5/AE2-AF2=6，

在四边形ABQ2P中,

「NBAD二NBQ2P=90°,NABQ产60°，

・・・NAPQ产120°,

.,.ZEQ2G=ZDPG=180°-120°=60',

.*.EQ2=EF-FQ2=2-V3，

EG=6EQZ=26-3,

・•・DG=DE+GE=l+2G-3=26-2,

.\BG=J3Pl)，即P[)=2-,

3

••.x=AP=2-PD=^^.

3

③对Q.”如图作协助线,连接BQ”CQ),BQ3,CQ；.,过点Q作PQJBQ”交AD的延长线于P,连接BP,过点

Qi,作EF_LAD于E,此时。在EF上，记&与F重合.

二•△BCQ：为等边三角形，/XBCQs为等边三角形，BO2,

・小2=26，QE=2-5

・・・EF=2+5

在四边形ABQ..P中

VZABF=ZABC+ZCBQ；F150°,

AZEPF=30°,

・・・EP=GEF=26+3,

VAE=1,

:.x=AP=AE+PE=l+26+3=26+4.

【点睛】本题考查四边形的综合、正方形的性质、含30°角的直角三角形的性质，第三问是一个难度特别

高的题目，可以利用尺规作图的思想将满意要求的点Q找全.另外求解各个P点也是勾股定理的综合应用

娴熟驾驭并敏捷运所学学问是解题关键.

【变式3-2](2024•河南中考模拟)如图，抛物线y=ax?+bx+3交y轴于点A,交x轴于点B(-3,0)和点

C(1,0),顶点为点M.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图，点E为x轴上一动点，若△AME的周长最小，恳求出点E的坐标；

(3)点F为直线AB上一个动点，点P为抛物线上一个动点，若4BFP为等腰直角三角形，请干脆写出点P

3

【答案】(1)y=-x2-2x+3；(2)E(―,0)：(3)点P的坐标为(2,-5)或(1,0).

7

【解析】(1)设抛物线的解析式为：y=a(x+3)(x-1),然后将点A的坐标代入函数解析式即可求得此抛物

线的解析式；

(2)作A关于x轴的对称点A'(0,-3),连接MA'交x轴于E,此时aAME的周长最小，求出直线MA'

解析式即可求得E的坐标；

(3)如图2,先求直线AB的解析式为：y=x+3,依据解析式表示点F的坐标为(m,m+3),

分三种状况进行探讨：

①当NPBF=90°时，由FF_Lx轴，得P(m,-m-3),把点P的坐标代入抛物线的解析式可得结论；

②当NBFF=90°时,如图3,点P与C重合,

③当NBPR=90。时，如图3,点P与C重合,

从而得结论.

【详解】(1)当x=0时，y=3,即A(0,3),

设抛物线的解析式为：y=a(x+3)(x-1),

把A(0,3)代入得：3=-3a,

a=-l>

/.y=-(x+3)(x-1)=-x-2x+3,

即抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3：

(2)y="x-2x+3=-(x+1)2+4,

AM(-1,4),

如图1,作点A(0,3)关于x轴的对称点A'(0,-3),连接A'M交x轴于点E,则点E就是使得△AME的

周长最小的点，

设直线A'M的解析式为：y=kx+b,

把A'(0,-3)和M(-1,4)代入得:

-k+b=4

'b--3'

k=-l

解得：

b=-3

••・直线A*M的解析式为:y=-7x-3,

当产()时，-7x-3=0,

3

x=~—,

7

3

，点E(——，0),

7

(3)如图2,易得直线AB的解析式为：y=x+3,

设点F的坐标为（m,m+3）,

①当NPBF=90°时，过点B作BP_LAB,交抛物线于点P,此时以BP为直角边的等腰直角三角形有两个，即

△BPR和△BPF2,

VCA=0B=3,

/.△AOB和△.▲'0B是等腰直角三角形，

,

..ZF1BC=ZBFIP=45°,

・・・RP_Lx轴，

.*.F（m,-m-3）,

把点P的坐标代入抛物线的解析式y=-x2-2x+3中得：

-m-3=-m2-2m+3»

解得：nii=2,叱=一3（舍），

AF(2,-5)；

②当NBF3P=90°时，如图3,

•・・NF3BP=45°,且NF3B0=45°,

，点P与C重合，

故P（1,0）,

③当NBPFF900时,如图3,

VZF.tBP=45°,且NF,BO=45°,

•••点P与C重合，

故P（1,0）,

综上所述，点P的坐标为（2,-5）或（1,0）.

【点睛】此题考查了待定系数法求函数的解析式，周长最短问题，等腰直角三角形的性质和判定等学问.此

题综合性很强，解题的关键是留意数形结合和分类探讨思想的应用.

【变式3-3］（2024•广西中考真题）己知抛物线和直线y=r+〃都经过点M（-2,4）,点。为

坐标原点，点P为抛物线上的动点，直线），=-/+匕与x轴、了轴分别交于43两点.

（1）求，爪/?的值；

（2）当MAM是以AM为底边的等腰三角形时，求点夕的坐标；

（3）满意（2）的条件时，求sinN30P的值.

【答案】（1）〃z=l；b=2；⑵点户的坐标为（-二）或（2,4）；（3）sin/BOP的值为半或增.

【解析】（1）依据点M的坐标，利用待定系数法可求〃，力的值：

（2）由（1）可得出抛物线及直线的解析式，继而可求出点A的坐标，设点。的坐标为3,Y）,结合点

A,M的坐标可得出PT,PM2的值，再利用等腰三角形的性质可得出关「X的方程，解之即可得出结论；

（3）过点尸作PN_Ly轴，垂足为点N,由点P的坐标可得出PN,PO的长，再利用正弦的定义即可求出

sinNBOP的值.

【详解】⑴将"（一2,4）代入），=如2,得：4=4%

/??=!；

将M（—2,4）代入y=+得：4=2+/?.

b=2；

（2）由（1）得：抛物线的解析式为y=直线4A的解析式为），=一%+2,

当y=0时，-x+2=0

解得：x=2,

・••点A的坐标为(2,0),OA=2,

设点?的坐标为丁)，则PA2=(2-X)2+(0-X2)2=X4+A2-4x+4,

PM2=(-2-x)2I(4-A2)2=X4-7X2I4xI20，

•・•\PAM是以AM为底边的等腰三角形，

/.PA2=PM2^即Y+f-4/+4=/-7/+4/+20，

整理，得：x2-x-2=0»

解得：％=-1,々=2,

・••点P的坐标为（一1,1）或（2.4）：

（3）过点尸作PN_Ly轴，垂足为点N,如图所示，

当点尸的坐标为（—1J）时，PN=\，PO=Jf+T="

PN_叵

，sin/BOP=~PO~~2

当点〃的坐标为(2,4)时，PN=2,PO=A/22+42=2x/5»

••・sinZBOP=—=—>

PO5

・・・满意（2）的条件时，sin/BOP的值的值为也或正.

25

【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的

坐标特征、等腰三角形的性质、勾股定理以及解直角三角形，解题的关键是：（1）依据点的坐标，利用待定

系数法求出，〃，方的值；（2）利用公股定理及等腰三角形的性质，战出关于x的方程；（3）通过解直角三角形,

求出sin/BOP的值.

【考点4】动点之相像三角形问题

【例4】在边长为4的正方形ABCO中，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A起先沿边48向点8运

动,动点F以每秒2个单位长度的速度从点B起先沿边BC向点C运动，动点E比动点F先动身1秒，其中

一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点”的运动时间为，秒.

(1)如图1,连接b，若DE上AF,求/的值

(2)如图2,连接EF,DF,当/为何值时，.EBF二DCF?

【答案】(1)t=l；(2)当/为9一百秒时,LEBFQCF

2

【解析】(1)利用正方形的性质及条件，得出台ARF段,ZME,由BF=AE,列出方程解方程即可

FRRF

(2)二EBF〜一DCF,得到---=----,用t表示出BF、AE、FC、BE列出方程解方程即可，最终对t的

DCCF

取值进行取舍

【详解】解：(1)•「四边形43C。是正方形

AB=AO,NABF=ZDAE=90°

.•.NADE+NAEO=90'

•;DE上AF

ABAF+ZAED=9()

:"BAF=ZADE

ABF^DAE

由题意得，BF=2t,AE=t+\

2/=/+1

解得：t=\

（与若AEBF〜一DCF

EBBF

则Ml一=—

DCCF

AE=/4-1,BF=2/

.•.8石=4一，+1=3—，，CF=4-2t

3-72t

44-2r

解得

由题意知：t<2

2

当/为9一历秒时,二EBF~,DCF

2

【点睛】本题考查正方形基本性质、全等三角形的判定与性质、相像三角形的判定与性质，其次问的关键

在「能够写出比例式列出方程，最终要记得对方程的解进行取舍

【变式4-1】已知：如图，在平面直角坐标系中，△被是直角三角形，N48=90°,点4。的坐标分别

3

为A（-3,0）,。（1,0）,BC=-AC

4

（1）求过点48的直线的函数表达式；

（2）在x轴上找一点〃，连接圈使得△板与△胸相像（不包括全等），并求点〃的坐标；

（3）在（2）的条件下，如只。分别是协和助上的动点，连接尸0,过AP=DQ=m,问是否存在这样的出

使得△力国与△力如相像？如存在，恳求出0的值；如不存在，请说明理由.

39131?525

【答案】（1）y=一a一；（2）D点位置见解析，D（―,0）；（3）符合要求的0的值为丁或一.

444369

【解析】(1)先依据A(-3,1),C(1,0),求出AC进而得出BC=3求出B点坐标，利用待定系数法求出

直线AB的解析式即可；

(2)运用相像三角形的性质就可求出点D的坐标；

(3)由于与aADB已有一-组公共角相等，只需分△APQs/\ABD和△APQsaADB两种状况探讨，然后

运用相像三角形的性质建立关于m的方程，就可解决问题.

【详解】解：(1)VA(-3,0),C(1,0),

，AC=4,

3

VBC=-AC,

4

3

，%=—X4=3,

4

AB(1,3),

设直线AB的解析式为y=kx+b,

r-3k+b=O

・•・<，

k+b=3

4,

、4

39

工直线AB的解析式为y=-x+-；

44

(2)若AADB与aABC相像，过点B作BD_LAB交x轴于D,

此时——=——，即AB2=AC*AI).

ACAB

VZACB=90°,AC=4,BC=3,

AAB=5,

A25=4AD,

25

..AD=—,

4

2513

ACD=AD-A0=——3=

44

13

**•点D的坐标为(—»0)；

4

(3)VAP=DQ=m,

25

・・・AQ=AD-QD=----m

4

ABAD

,AP・AD=AB・AQ,

2525

:.—m=5(----m),

44

25

解得m=—；

9

••・AP・AB=AD・AQ,

25("-m),

•••oUmE—_—

44

解得：m=-----

36

12525

综上所述：符合要求的m的值为工厂或上.

369

【点睛】此题是相像形综合题，主要考查了是待定系数法，相像一角形的判定与性质、勾股定理等学问,

也考查了分类探讨的数学思想，属于中档题，解本题的关键是依据相像建立方程求解.

【变式4-2］如图，已知抛物线）=。工2+公+。经过力（一3,0）、B（8,0）、f（0,4）三点，点〃是抛

物线上的动点，连结也与y轴相交于点区连结〃；CD.

（1）求抛物线所对应的函数表达式；

（2）当49平分NC姐时.

①求直线4?所对应的函数表达式；

②设户是x轴上的一个动点，若与相像，求点尸的坐标.

）s।3

【答案】（1）y——x~H—x+4；（2）①y=-xH—；②（2,0）或（13,0）.

6622

【解析】（1）将4（一3,0）、8（8,0）、。（0,4）点坐标代入抛物线），=奴？+法+c,化简计算即可；

⑵①设七（0/）,依据A。平分NC4B,£〃_LAC,EO_Lx轴，求得AC=5,并证得乙。“七-4c。4,

FHCF7，3、

利用一二J可的z=±,可得E点坐标，把A（—3,0）,E0,-代入广区+〃，化简可得力〃所对应

OACA2\2

的函数表达式；

②因为尸是X轴上的•个动点，且△P4力与‘CAD相像，并且二ACD是腰长为5的等腰三角形，所以P

点有两种状况：力〃为等腰三角形的斜边，或者以力〃为腰，鸟A为底，分别探讨求解即可.

【详解】解（1）•・•抛物线经过A（-3。）、8（8.0）、。（0.4）三点，

1

a=--

r9a-3b+c=06

<64〃+8Z?+c=(),解得：•/?二』

6

・•・抛物线的表达式为＞=一!/+?1+4：

66

(2)①作E”J_AC于点”，如图，设E(0").

〈AO平分NC4B,EH工AC,EO_Lx轴，

:・EH=EO=t,CE=4-t,

在用△Q4C中，AC=VOA2+0C2=V32+42=5-

;乙CHE=/COA=90

ZHCE=ZOCA.

**.MJHEs^(JOA,

.EHCE

'~OA~'CA

t4-/

•*•一，解得」4

3_5

设直线AD的表达式为y=kx+b,

把A(-3,0),ElO.-

'b=-3k+bk=-

2

得＜3,，解得：，

—=b,3

、2b=—

2

13

，直线4。所对⑻的函数表达式为丁=5%+］；

②•,直线力〃与二次函数相交于点D,

125.

V=---6-X+—6X+4

「X=-J

解得或

13y=0y=4

y=—x+—

/22

・・,点〃在第一象限,

.,•点〃坐标为（5,4）,

：.DC=AC=5,且OC〃/W

・•・LAC。是腰长为5的等腰三角形，

•.♦P是x轴上的一个动点，且△如£）与ACAO相像,

•••△R4。也为等腰三角形，

如上图示，

当，仞为等腰三角形的斜边时，P}A=P,D=5,

・・A（-3,0）

・,•点<的坐标为（2,0）；

当以力〃为腰，4A为底时，作。"_LA〃

・「点〃坐标为（5,4）,A（—3,0）

・•・A尸=O4+OF=3+5=8

・•・A鸟=2AF=16,OP2=AP2-OA=\6-3=i3,

・••点P的坐标为（13,0）.

综上所述点，的生标为（2,0）或（13,0）.

【点睛】本题考查了二次函数综合题：娴熟驾驭二次函数图象上点的坐标特征和角平分线的性质；会利用

待定系数法求二次函数和一次函数解析式：敏捷利用相像比表示线段之间的关系；理解坐标与图形性质.

【考点5】动点之平行四边形问题（含特别四边形）

【例5】（2024•广东中考模拟）如图，点0是平面直角坐标系的原点，点A（G，3）,ACJL0A与x轴的

交点为C.动点M以每秒百个单位长度由点A向点0运动.同时.动点N以每秒3个单位长度由点0向点

C运动，当一动点先到终点时，另一动点马上停止运动.

（1）写出NA0C的值；

（2）用t表示出四边形AMNC的面积；

（3）求点P的坐标，使得以0、N、M、P为顶点的四边形是特别的平行四边形？

9（百3）

【答案】（1）30°；（2）6G--r（0<r<2）；（3）P.3t--t,--t.

4X22/

【解析】（1）如图1中，作AIU0C于H.在RtZ\A（）H中，解直角三角形求出/AOH即可解决问题.

（2）作MK_LBC于K.依据S四边形那,=S△丽-S△他，计算即可.

（3）分别考虑以0M,ON,MN为平行四边形的对角线，利用平行四边形的性质求解即可.

【详解】解：（1）如图1中，作AH_LOC于H.

，CH=5AH=3,

AH

：,tanZ/\OH=——=6r，

OH

・・・NAOH=60°,

VCA±AC,

r.Z0AC=90°,

/.ZAC0=30°.

(2)作MK_LBC于K.

在RtZXAOH中，V0H=V3，Z0AH=30°,

・・・CA=2OH=25

在RlZ\AOC中，VZA(K：=30o,5=26，

AAC=73OA=6,

VCM=73t,

3

r.MK=0M*sin600=-t,

2

S四边形AW«?=SziaAC-SA(#IN

11

=-・OA・AC-------0N*MKa

22

I13

=-X2Jr3X6--X3tX-t

222

=673--12(0<t<2).

4

(3)当四边形CNMPi是平行四边形时，P.(且t-3t,-t).

22

当四边形ONP"是平行四边形时，P2（也1+31,-t）.

22

当四边形OMNP-是平行四边形时，P」（3t---t）.

2