近世代数练习题题库

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§1第一章基础知识

1.1判断题：

1.2设与都是非空集合，那么。()

1.3AXB=BXA()

1.4只要是到的一一映射，那么必有

唯一的逆映射。()

1.5如果。是A至心的---映射，则j°(a)]=a。

()

1.6集合A到B的可逆映射一定是A到B的双

射。()

1.7设、、都是非空集合，则到的

每个映射都叫作二元运算。()

1.8在整数集Z上，定义“"：ab=ab(a,b

£Z),则“”是Z的一个二元运算。()

1.9整数的整除关系是Z的一个等价关系。

()

1.10填空题：

1.11若A={0,1},则AxA=

1.12设A={1,2},B={a,b},则AXB

1.13设={1}2,3}B={a,b},则

AxB=o

1.14设A={1,2},则

AxA=o.

1.15设集合；，则有

1.16如果是与间的---映射，是

的一个元，则。

1.17设人=31,a2,…a8},则A上不同的

二元运算共有个。

1.18设A、B是集合，|A|=|B|=3,贝快

可定义个从A到B的映射，其中有

个单射，有个满射，有个

双射。

1.19设A是n元集，B是m元集，那么A到B

的映射共有个.

1.20设人={%卜0,则A到A的---映射共

有个.

1.21设A={a,b,c,d,e},则A的----变换共

有个.

1.22集合的元间的关系〜叫做等价关系,

如果〜适合下列三个条件：

阵｝,A,BeM,定义A~B=秩(A)=秩(B),则由“

确定的等价类有个。

1.31证明题：

1.32设是集合A到B的一个映射，对于，

规定关系：.证明：是A的一个等

价关系.

1.33在复数集C中规定关系：.证明:

是C的一个等价关系.

1.34在n阶矩阵的集合中规定关系“~”：.

证明：”是的一个等价关系.

设是集合A的一个关系，且满足：(1)对

任意，有；(2)对任意，若就有.证

明：“是A的一个等价关系.

设G是一个群，在G中规定关系“~存在于

,使得.证明：“"是G的一个等价关系.

第二章群论

判断题：

§2.1群的定义.

设非空集合G关于一个乘法运算满足以下

四条：

(A)G对于这个乘法运算都是封闭的；

(B)(a,b,cG,都有(ab)c=a(be)成立；

(0存在G,使得(aG,都有ea=a成立；

(D)(aG,都存在aG,使得aa=e成立。

则G关于这个乘法运算构成一个群。

()

设非空集合G关于一个乘法运算满足以下

四条：

A)G对于这个乘法运算是封闭的;

B)a,b,cG,都有(ab)c=a(bc)成立；

C)存在eG,使得aG,都有ae=a

成立；

D)aG,都存在aG,使得aa=e

成立。

则G关于这个乘法运算构成一个群。()

1.1设G是一个非空集合，在G中定义了一个

代数运算，称为乘法，如果(DG对乘法运算是封

闭的(2)G对乘法适合结合律(3)G对乘法适合消

去律，则G构成群。()

1.2设G是一个有限非空集合,G中定义了一

个代数运算称为乘法,如果⑴.G对乘法运算是

封闭的；（2）.乘法适合结合律与消去律，则G对

所给的乘法构成一个群。（）

1.3实数集R关于数的乘法成群。（）

1.4若G是一个n阶群,aG,|a|表示a的阶,

则⑸。()

1.5若|a|=2,|b|=7,ab=ba,则|ab|=14。

设Q为有理数集，在Q上定义二元运算“”，

ab=a+b+ab（）构成一个群。（）

§2.2变换群、置换群、循环群

1.6一个集合上的全体---变换作成一个变

换群。（）

1.7一个集合A的所有变换作成一个变换群

G.（）

1.8集合A的所有的一一变换作成一个变换

群。（）

1.9素数阶群都是交换群。（）

1.10p（p为质数）阶群G是循环群.（）

1.11素数阶的群G一定是循环群.（）

1.123次对称群工是循环群。（）

1.13任意群都同构于一个变换群.（）

1.14有限群都同构于个置换群。()

1.15任何一个有限群都与一个循环群同构。

()

1.16在5次对称群中，(15)(234)的阶是

6.()

1.17在4次对称群S4中，(12)(324)的阶

为6。()

1.18在中，(12)(345)的阶是3。

()

1.19任意有限群都与一个交换群同构。

()

1.20因为22阶群是交换群,所以62阶群也

为交换群。()

1.216阶群是交换群。(..

1.224阶群一定是交换群。()

1.234阶群一定是循环群。()

1.24循环群一定是交换群。()

1.25设G是群，a,beG,|a|=2,|b|=3,则

|ab|=6o()

1.2614阶交换群一定是循环群。()

1.27如果循环群中生成元的阶是无限的,

则与整数加群同构。.().

1.28有理数加群Q是循环群。（）

若一个循环群G的生成元的个数为2,则G为

无限循环群。（）

§2.3子群、不变子群。

1.29若H是群G的一个非空子集，且

a,bH都有abH成立，则H是G的一个子

群。（）

1.30若H是群G的一个非空有限子集，且

a,bH都有abH成立，则H是G的一个子

群。（）

1.31循环群的子群也是循环群。（）

1.32如果群的子群是循环群，那么也

是循环群。（）

1.33一个阶是11的群只有两个子群。

（）

1.34有限群G中每个元素,的阶都整除群G的

阶。（）

1.35设G是一个n阶群，m|n,则G中一定有

m阶子群存在。（）

1.36若G是60阶群，则G有14阶子群。（）

1.37设G是60阶群，则G有40阶子群。

（）

1.38阶为100的群一定含25阶元。（）

1.39阶为100的群一定含25阶子群。（）

1.40阶为81的群G中，一定含有3阶元。

（）

1.41设H是群G的一个非空子集，则。

（）

1.42设H是群G的一个非空子集，则。

（）

1.43群G的子群//是不变子群的充要条件为

Vg€G,V〃G"o（）

1.44群的一个子群元素个数与的每一

个左陪集的个数相等.（）

1.45指数为2的子群不是不变子群。（）

1.46若NH,HG,则NG。（）

1.47若N是群G的不变子群,N是群N的不变

子群，则N是G的不变子群。（）

1.48设H<G,KWG,则HK〈G。（）

若NN,HG那么NHGo（）

§2.4商群、群的同态定理。

1.49群之间的同态关系是等价关系。（）

1.50循环群的商群是循环群。（）

1.51设f:是群到群的同态满射，a£

，则a与f(a)的阶相同。()

1.52设G是有限群，HWG,则。()

1.53若是群G到的同态满射，N是G的

一个不变子群，则(N)是的不变子群，且

o()

1.54设f是群G到群的同态映射，HG,

则f(H)o()

1.55设f是群G到群的同态映射，HWG

则f(H)<o()

1.56若是群G到的一个同态满射,N是G的一

个不变子群,则(N)是的不变子群,且工

1.57若是群G到的同态满射，是的一个不变

子群，()表示斤的原象,则0是G不变子群,且二o

()

2设G和都是群，，，N=(),

则NG,且。()

2.1填空题：

2.2在群G中，a,b£G,a2=e,a-Iba=

b2,贝!]|b[=o

2.3在交换群G中,a,b£G,|a|=8,|b|=

3,则|a_2b|=o

2.4设a是群G的元,a的阶为6,则a4的阶

为0

2.5设a是群G中的一个8阶元，则a的阶为

2.6设G是交换群,a、bG,|a|=5,|b|=7,

则Iab|=o

2.7群AG中有个1阶元。

2.8在S5中，4阶元的个数为

2.9在S4中，3阶元的个数为

2.10设为群,若,则

2.11设群G={e,al,a2,•••,an-1),运

算为乘法，e为G的单位元，则aln=—.

2.12若a,b是交换群G中的5阶元和7?阶元,

则ab的阶为o

2.13在整数加群Z中，<4>n<6>

2.1410阶交换群G的所有子群的个数是

2.15阶数最小的非交换群的阶数是

O一个有限非可换群至少含有

____________个元素.

2.16任意群G一定同构于G的一个

2.17n次对称群Sn的阶是

23456789]

2.1843961827)分解为互不相

交的循环之积是O

2.19n阶有限群G一定置换

群。

2.20每一个有限群都与一个群同

构。

2.21已知为上的元素，则=

2.22给出一个5-循环置换,那么

2.23在4次对称群S4中，

(134)2(312)-1=.

2.24在4次对称群S4中，(24)(231)=

,(4321)-1=,

(132)的阶为o

2.25在6次对称群S

中，（1235）（36）=

2.26（2431）,=o

2.27设群G的元a的阶是n,则ak的阶是

2.28设群中元素的阶为,如果,那

么与存在整除关系为O

2.29已知群中的元素的阶等于50,则

的阶等于O

2.30设为循环群，那么（1）若的阶为无

限，则同构于,（2）若的阶为

n,则同构于o

2.31若群G是一个6阶循环群，则G与（模6

剩余类同构）同构。

2.32设=是循环群，则与模的剩余

类加群同构的充要条件是O

2.33整数加群（Z,+）的两个生成元是—+1

和-1________

2.34整数加群Z有个生成元.

2.35整数加群（Z,+）的生成元是

2.36无限循环群G=（a）的生成元为_a的逆

2.37无限循环群G中能作为G的生成元的元

素共有个。

2.38若G=(a)是一个无限循环的乘法群,则G

的另一个生成元是a的逆元—o

2.39剩余类加群Z共有_4个元可作为

它的生成元。

2.4016阶循环群G中能作为G的生成元的元

素的个数为—8o

2.41模10G379》剩余类加群(Z,+)中能作为

Z的生成元的元素有O

2.42设=是12阶循环群，则的生成元

是O

2.43设是一个阶群，其中是一个素数,

是一个正整数，则的真子群的一切可能的阶

数是O

2.44设G是p阶群，(p是素数)，则G的

生成元有个.

2.45剩余类加群Z12有个生成元.

2.46设H是群G的非空子集，则H是G的子群

的充要条件是O

2.47设G=(a)是6阶循环群，则G的子群

有o

2.48设群G是24阶群，G中元素a的阶是6,

则元素a2的阶为,子群H=<

a3>的在G中的指数是o

2.49设为群的子群，则是群的子群

的充分必要条件为O

2.50设是群的子群，，则

2.51在3次对称群S3中，H={(1),(12))

是S3的一个子群，则H(23)=.

2.52在3次对称群S3中，H={(1),(23)},

则S3对H的右陪集分解式是o

2.53邑的子群//={(0.(123),(132)}的一切右陪集

2.54G<a)是21阶群，H=.则

[G:H]=o

2.55凯莱定理说：任一个子群都同一个

同构。

2.56凯莱定理的内容是：任一个子群都同一

个同构。

2.57设G是群,N是G的非空子集，则NAG

的充要条件是o

2.586阶循环群有个子群.

2.59设G是由a生成的30阶循环群,H=<a

-5>,则G/H=o

2.60设G=(a)是10阶群，H=(a)，则=

2.61设：A,，贝！Jo

2.6216阶循环群G中能作为G的生成元的元

素的个数为O

2.63设：A,，则=o

2.64模10的剩余类加群乙。的生成元为

2.65设a是群G中的一个6阶元，则的阶

为O

2.66一个6阶的非交换群G中的非单位元的

阶一定是。

2.67剩余类加群（〃+）中能作为它的生成元的

元素有O

2.68设G是群，a,b£G,|a|=12,则

|balOb-11=o

2.69设G是一个20阶的交换群，a£G,|a|=2,

则G/<a>go

2.70在整数加群Z中，，，则

2.71在整数加群Z中，则[G:H]

2.72在12阶循环群G中，G=<a>,H=<a2>,则

2.73在4次对称群S4中，S={(123)},则

<S>=O

2.74在S5中，=(235)(13)(24),则

2.7521阶群G中，7阶子群的个数为

2.76设N,商群中的单位元是

2.77在Z24中，24,H=<[a]>,Z8,则

[a]=o

2.78在整数加群Z中，H=<a>,则a

2-79设Gl,G2分别为m,n阶循环群，则

G1〜G2的充要条件是o

2.80Z4到Z2的所有同态映射是

2.81在整数加群Z中，<12>+<18>+<10>

2.82在同构的意义下，6阶群有

种。

2.83设G是模4的剩余类加群，那么

Aut（G）=o

2.84设G是正有理数作成的乘法群,

a,a=（P,q为奇数，n为整数）,令:a

是G到（Z,+）的同态映射，则

2.85设G,H是两个阶互素的有限群，则G

到H的同态映射f为o

2.86在环R=4Z={4k|keZ）中，（8）

2.87在整数加群Z中，S={22,32}则

<S>=O

2.88设群中元素的阶为，如果，那

么与存在整除关系为。

2.89设是一个阶交换群，是的一个

（）阶元，则商群的阶等于

2.90

7、一个非正方形的长方形S的对称群是

{•..}o

13.平面上的正方形的对称群是

72.设a,b是群G的两个元素，满足aba=ba2b,

a3=l,b7=L则b=。

2.91证明题:

2.92令.证明，G对于矩阵的普通乘法作在

一个群.

2.93设G是整数集,规定运算:.证明：G

对运算作成一个群.

2.94方程工一】=。在复数范围内的三个根关

于数的乘法构成群.

2.95设证明:关于矩阵的乘法构成群.

2.96全体可逆的阶方阵的集合（）关

于矩阵的乘法构成一个非交换群.这个群的单位

元是单位矩阵，每个元素（即可逆矩阵）的逆元

是的逆矩阵.

2.97设为实数集，，令，将的所有这样

的变换构成一个集合，试证明：对于变换普通

的乘法，作成一个群。

2.98证明：若群G的每个元素都满足方程，

则G是一个Abel群（交换群）.

2.99设G是一个群，证明：G是交换群的充

分必要条件是，对任意，都有.

2.100证明：在群G中，与有相同的阶.

2.101证明：在群G中，与有相同的阶.

2.102证明：在n阶群G中每个元都满足

xn=e.

2.103设为群..证明：与b有相同的阶.

2.104证明：在群G中，ab与ba有相同的

阶.

2.105设为群..证明：，，有相同的

阶.

2.106设为到的同构映射，.证明：

与有相同的阶.

2.107设为群，，的阶为，，.证明:

■

2.108设,的阶为，证明的阶是,其

中。

2.109证明：循环群是交换群.

2.110证明：有限群中阶数大于2的元的个

数必是偶数.

2.111证明：任意偶数阶群必含有阶为2的

元素.

2.112设为素数.证明：中每一个非零元

都是生成元.

2.113设G是一个群,.若a的阶是正整

数n.证明：对.

2.114设G是一个交换群，m是固定的正整

数.令.证明：H是G的一个子群.

2.115假定和是一个群G的两个元，并且

,又假定的阶是，的阶是，，证明：的

阶是。

2.116设是群G的子群.证明：也是G

的一个子群.

2.117设G是一个群，令.证明：C是G

的一个子群.

2.118设G是一个群，S是G的一个非空子

集.令.证明：C(S)是G的一个子群.

2.119若群G的阶是素数p,则G是一个循

环群，试证之.

2.120证明：循环群的子群也是循环群.

2.121若群G与群同态，且G是循环群,

证明：也是循环群.

2.122证明：阶为的群(p是素数)一定包

含有一个阶为P的子群.

2.123设H,K是群G的不变子群，证明:

HK也是G的不变子群。

2.124设H,K是群G的不变子群，且.证

明：，都有.

2.125设H,K是群G的不变子群，证明：

也是G的不变子群。

2.126设H是群G的子群,N是G的不变子

群。证明：HN是G的子群.

2.127设G是一个n阶有限群.证明：G的

每一个元素都满足方程.

2.128设G是一个群，是G的中心，证明:

C是G的一个不变子群.

2.129设C是群G的中心，即.且商群

是循环群.证明：G交换群.

2.130若G是循环群，H是G的一个子群.

证明：也是循环群.

2.131设G是一个群，令.证明：是G到

G的同构映射的充分必要条件是：G是一个交换

群.

2.132设H是群G的子群，令NG(H)={x|x(G,

xH=Hx},证明NG(H)是G的子群.

2.133设G是群，令C={x|x(G,(y(G,

xy=yx},证明C是G的正规子群。

2.134设G=(a)是一无限循环群，证明G的

生成元只有两个。

2.135设G是交换群，证明G中一切有限阶

元素组成的集合T是G的一个子群，且除单位

元之外不含有限阶元素。

2.136取定群G的元u,在G中定义新的

“o"：aob=aub.a.bG.证明(G,o)是

群.

2.137证明循环群的子群也是循环群。

2.138设p是一个素数，证明2P阶群G中

一定有一个P阶子群No

2.139若G是一个群,e是G的单位元,G中

任何元都是方程的解，证明G是一个交换群。

2.140若G是一个循环群,N是G的一个子群,

证明也是一个循环群.

2.141证明阶是素数的群一定是循环群。

2.142设G是一个43阶的有限群,证明G的

子群只有单位元群及G本身。

2.143证明：群G为交换群为G到G的一

个同构映射。

2.144设G是一个1000阶的交换群，a是G

的一个100阶元，证明。

2.145设G是群，f:G-G,aa2,()证

明f是群G的自同态G是交换群。

2.146设G={(a,b)|a,b|R,}，在

G上定义“”：(a,b)证明(G,)构成

一个群。

2.147设G是有限交换群，f:

GG,f(g)=gk(gG)证明

fAut(G)(k,|G|)=lo

2.148设G是100阶的有限交换群，f:GG,

f(g)=g49(gG),证明fAut(G)o

2.149设A<G,B<G如果存在a,b^G,使得

Aa=Bb,则A=Bo

2.150设G是交换群，m是固定的整数，令

H={a|aG,am=e),证明HGo

2.151设HG,令CG(H)=

{g|gG,hH,gh=hg),证明CG(H)Go

2.152设G是非空有限集合，“”是G的

一个二元运算，“”适合结合律及左、右消去

律，证明：(G,)构成一个群，当G是无限集时

呢？

2.153设G是2000阶的交换群，

HG,|H|=200,证明：是一个循环群。

2.154证明：无限循环群的生成元的个数

只有两个。反之，一个循环群G的生成元只有两

个，则G是否一定同构于Z?

2.155设G是一个循环群，|G|3,4,G的生

成元的个数为2,证明GZo

2.156设G是有限群，HG,aG,证明存

在最小正整数叫使amH,且m|。

2.157设G是奇阶群，则对任意gG,存在

唯一元xG,使g=x2。

2.158证明：整数加群Z与偶数加群2Z同

构。

2.159设HG,g是G的一个固定元素,

gHg-l={ghg-l|hH}(1)证明：gHg-LGo(2)

证明：Ho

2.160设G=,G对复数的加法构成群，H

对矩阵的加法也构成群，证明：GHo

2.161设H是群G的非空子集，且H中元的

阶都有限，证明：HG。

2.162设Ng|G/N|=10,geG,|g|=12,证

明：g2eNo

2.163设G是群，a,bG,ab=ba,|a|=m,

|b|=n,<a>Cl<b>={e}.证明：|ab|=[m,n]

(Em,n]是m,n的最小公倍数)。

2.164设是一个n次置换,集合X={1,2,

3,…，n},在X中，规定关系心”为k~l,

使r(k)=L证明：”是X上的一个等价关系。

2.165设K={⑴,(12)(34),(13)(24),

(14)(23)}证明：KS4o

2.166设G是群，HG,规定关系“a~

b证明：~是6的一个等价关系，且a所在的

等价类[a]=Ha。

2.167证明：15阶群至多含有一个5阶子

群。

2.168设HG,若H的任意两个左陪集的乘

积仍是一个左陪集，证明HGo

2.169设NG,[G:N]=2004,证明：对，

恒有。

2.170设NG,[G:N]=4,证明：存在MG,

且[G:M]=2。

2.171设H,NG,证明：|ab|二6。

2.172设HG,证明：HG如果由o

2.173设k|叫证明：稀产…

2J74群G的非平凡子群N称为G的极小子

群，如果不存在子群B使得，证明：整数加

群Z没有极小子群。

2.175如果是循环群，证明：G是交换群

(其中C(G)是群G的中心)。

2.176证明：6阶交换群是循环群。举例说

明6阶群不一定是循环群。

2.177证明：在一个有单位元的环R中，全

体可逆元组成的集合对R的乘法构成一个群。

2.178设H,K则对任意a,bG,则

HaKb=或HaKb是HK的一个右陪集，该

结果能否推广？

2.179设是群.证明：如果对任意的，

有，则是交换群.

2.180证明：在群「中，如果从=”则

2.181设为加群.证明：任给，，有.

2.182证明：一个子群的左陪集的所有元素

的逆元素组成这个子群的一个右陪集。

2.183设群的子群在中的指数为2.

证明：，.

2.184设为群，是的子群.证明：中

每个元素属于且属于的一个左陪集.

2.185设是群，是的子群，.则是

的子群.

2.186设是群，是的非空子集.证明:

中与中每个元素都可交换的元素全体是

的子群.

2.187设.证明：是的子群.

2.188设是交换群.是一个固定的正整

数.令，.证明：与都是的子群.

2.189证明：（山丁川7=®$_丁用），

2.190设c是群，证明：c的中心

C==G｝是G的正规子群.

2.191设G是群，H&G,KdG,证明：HKcG.

2.192设是群，和分别是的子群

和正规子群.证明：（1）是的正规子群；（2）

是的子群.

2.193设为的中心.证明：如果是循

环群，则是交换群.

2.194设为群，对任意的，称为的

换位子，的所有换位子生成的子群叫做的换

位子群，记作.证明：（1）是的正规子

群；（2）商群是交换群；（3）若，且为

交换群，则是的子群.注：是由所有换位

子的可能乘积所组成的集合.

2.195设与为群，为到的同态映

射..证明：当且仅当对任意的，有.

2.196设与为群，为到的同态映

射.，.证明：

2.197设为到的同态映射，.为

的子群.证明：.

2.198设与分别为阶与阶循环群.

证明：当且仅当.

2.199设都是群的正规子群.证明：

2.200设群在集合上的作用是传递的.

证明：如果是的正规子群，则在的

作用下的每个轨道有同样多的元素.

2.201设群作用在集合上，.证明：如

果存在，使得，则.

2.202设为大于1的正整数.令证明：关

于剩余类的乘法构成一个交换群.

2.203设群与群同态，是的一个不变

子群，是的逆象证明。

2.204证明：设是群，如果对任意的，

有，则是交换群。

2.205证明：任何方阵都可唯一地表示成一

个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

2.206设a、b是群G的元素，a的阶为2,b

的阶为3,且ab=ba,证明ab的阶是6.

2.207,。那么H是的一个子群。

2.208一个群G的一个不空有限子集H作成

G的一个子群的充分而且必要条件是：

2.209设是所有阶可逆矩阵关于矩阵

的乘法构成的群.是所有行列式等于1的

阶矩阵所组成的集合.则是的子群.

2.210群的任何两个子群的交集也是

的子群.

2.211设为的子群.则在中左

陪集的个数与右陪集的个数相同.

2.212有限群G的任一元素的阶都是群G的

阶数的因子.

2.213设《与G为群，-是。与。，的同构映

射，则(1)如果■为G的单位元，则小)为C的

单位元；(2)任给aeG,5为「⑷的逆元，即

5)=Ma))-1-

2.214如果是交换群，则的每个子群

都是的正规子群.

2.215设，，则.

2.216群G的任何两个正规子群的交还是G

的正规子群.

2.217设与是群，是到的同态

映射.⑴如果是的单位元，则是的

单位元；(2)对于任意的，是在中的逆

元.即

2.218设门与。是群，《是。到。的满同态.

如果我是G的正规子群，则以a是G的正规子

群.

2.219设是循环群，G与同态，证明是

循环群。

2.220设G是群，aEG,令CG(a)={x|x

WG,xa=ax},证明：CG(a)WG

2.221设6~,H={x|xeG,

f(x)£}o证明：H/Kerfg.

2.222设G是群，u是G的一个固定元,定义

"o”:aob=au2b(a,b£G),.证明(G,

o)构成一个群.

2.223设G是群,HWG。令NG(H)={x|x

CG,xH=Hx}.CG(H)={x|x£G,h£

H,hx=xh}・证明:(1)NG(H)WG(2)

CG(H)ANG(H)

2.224设G与是两个群，f:G~,K=

Kerf,W，令H={x|x£G,f(x)£

),证明：HWG且H/K丝.

2.225设和是一个群的两个元且，

又设的阶，的阶，并且，证明：的

阶。

2.226设为实数集，，令，将的所

有这样的变换构成一个集合，试证明：对于变

换普通的乘法,作成一个群。

2.227设6==｛有理数域上所有n阶可逆矩

阵｝,H=｛AlAGG,|A|=1｝证明：H是G的不变

子群.

2.228整环Z中的单位有o

2.229环Z6的全部零因子是o

2.230若是一个有单位元的交换环，是

的一个理想，那么是一个域当且仅当是一一

2.231整数环Z的理想有个.

2.232整数环Z的商域是.

2.233除环的理想共有个。

2.234剩余类环Zs的零因子个数等于

2.235在整数环Z中，由｛2,3｝生成的理

想是.

2.236剩余类环Z7的可逆元有个.

2.237设Z11是整数模11的剩余类环，则

Z11的特征是.

2.238剩余类环Zn是域on是

2.239设Z7={0,1,2,3,4,5,6}是整数

模7的剩余类环，在Z7[x]中,

(5x-4)(3x+2)=.

2.240在整数环中

2.241剩余类环Z6的子环S={[0],[2],

[4]},则S的单位元是.

2.242中的所有可逆元是：

2.243模8的剩余类环Z8的子环有

个.

2.244除环的理想共有个.

2.245剩余类环Z6的子环S={[0],[2],

[4]},则S的单位元是.

2.246在，i+3,Ji2,e-3中,是

有理数域Q上的代数元.

2.247后+6在Q上的极小多项式是

2.248一个有单位元的无零因子

称为整环。

2.249设有限域的阶为81,则的特征

2.250一个无零因子环的特征指的是

2.251含/(〃为素数)个元的域尸的特征是

2.252设Z8是模8的剩余类环，则Z8中的

零因子是

2.253剩余类环Z15的可逆元有个.

2.254设Z[x]是整系数多项式环，则Z[x]

的主理想(x2)=.

2.255设Q是有理数域，则Q=.

2.256在有理数域Q上的极小多项式是

2.257若是有单位元的环的由生成的

主理想，那么中的元素可以表达为O

2.258若是一个有单位元的交换环，是

的一个理想，那么是一个域当且仅当是

2.259若域的一个扩域叫做的一个代

数扩域，如果O

2.260模12的剩余类环Z12的可逆元是

2.261实数域R上的n阶矩阵环％(R)的理

想是O

2.262设R=3Z={3k|k£Z},1=(3),那么R/I

2.263若在多项式环Z［x］中，a£Z,如果（a,

x）是Z［x］的一个主理想，那么a=o

2.264设

Ql/2］=\a+by/2\a,beQ\则.

2.265商环/%+，）的特征是o

2.266商环©%外）的特征是

2.267在整数环Z中，包含(12)的极大理

想是____________

2.268在整数环Z中,包含（30）的素理想

是.

2.269在模30的剩余类环Z30中，包含

（［15］）的极大理想是.

2.270在整数环Z中,1=（3）,尸⑸，贝！IIJ

的生成元是O

2.271Z6的所有商环是.

2.272模12的剩余类环Z12的零因子是

2.273在模m的剩余类环Z中，Z,={[x]|[x]

£Zm,[x]W[o]｝若Z对Zm乘法构成一个群,

贝!Im■

2.274在整数环Z中,a£Z,a|2004,(a)

是Z的素理想，则ao

2.275模8的剩余类环/+,・)中关于乘法的所

有可逆元的个数为O

2.276设⑹与(q)是环(Z,+)的主理想,

其中P,q是不同的质数，则

(p)(Q)=o

2.277模12的剩余类环(Z,+,)中关于乘法运

算的所有的可逆元是O

2.278设N是环R的非空子集,则N是R的右

理想的充要条件是

2.279环亿。,+,)关于乘法的所有可逆元为

2.280若R是交换环，acR则主理想

(a)=o.

2.281设Z6是模6的剩余类环，在Z61x］中,

（［2］X2-［4］）（［3］X-［1］）=o

2.282若模n的剩余类或是一个无零因子环,

则n___________________

2.283若R=2Z是所有偶数对普通数的加法和

乘法构成的环，则R的商域为

2.284设Z,是模4的剩余类环,则Zjx］中的

多项式X?在Z4上有个根。

2.285设R为整环，a,b,eR,b|a,则(b)

__________(a).

2.286环（Z,+）是域，当且仅当n为

数。

2.287设R是交换环，则主理想（a）二

2.288在整数环中，所有包含30的极大理想

为。

2.289

2.290证明：模m的剩余类环Zm的每一个理

想都是主理想。

2.291设，（1）验证R是矩阵环Z2

X2的一个子环。（2）证明I是R的一个理想。

2.292证明:模m的剩余类环Zm的每个子环

都是理想.

2.293

2.294证明数域F={a+b|a,bWQ}的自

同构群是一个2阶循环群.

2.295在多项式环多x]中,证明：(1)(3,x)

={3a0+alx+**e+anxn|ai£Z}.(2)Z[x]/⑶

X)含3个元素.

2.296在整数环Z中，a,b$Z,证明(a,b)是

Z的极大理想的充要条件是a,b的最大公因数

是一个素数。

2.297设.(1)验证R对矩阵的加法

和乘法构成环。(2)证明I是R的一个理想。

2.298在整数环Z中，p,q是不同的素数,

证明(p)c(q)=(pq),(p,q)=Z。

2.299若Q是有理数域，证明(x)是Q[x]的极

大理想。

2.300设证明(R,+,()是整环(+,(是数的

加法与乘法).

2.301设A是实数域R上一切三阶方阵关于

方阵的加法、乘法作成的环。证明

aloo

N=ook，bi，qGR是A的一个左理想。

cioo

2.302证明一个主理想环I的每一非零极大

理想都是一个素元所生成的。

2.303证明（3,x）是Z[x]的一个极大理想。

2.304证明环R的两个理想的交集仍是R的

一个理想。

2.305设I是一个主理想环,a,bd,d是a

是与b的一个:大公因子，证明（a,b)=(d)o

2.306在整数环Z中，证明Z/（p）是域=p为

质数（素数）。

2.307在多项式环Z[X]中，证明（5,X）不是主

理想。

2.308设R是一有单位元的交换环，且R只

有平凡理想，证明R是域。

2.309设Z是整数环，x是Z上的未定元，证

明Z[x]的生成理想。

2.310⑶x）={}，并且剩余类环={[0],

[1],[2]}o

2.311证明（5,x）不是Z[x]的主理想。

2.312证明整数环Z到自身的所有同态映射

为零同态和恒等同态。

2.313设是有理数域上的二阶方阵环，证

明只有零理想和单位理想，但不是一个除

环。

2.314设R为环，如果每个元素都满足

a2=a,证明R为交换环。

2.315环R中元素a称作幕零的，是指存在

正整数叫使得am=O,证明：当R为交换环时，

两个塞零元素之和，两个幕零元素之积都为塞

零元素。

2.316设R和都是含单位元的环，，f

是R到的满同态，证明：(1)fUR);；(2)

如果a是R的单位，则f(a)是的单位。

2.317设证明：A是关于矩阵的加法和乘法

构成一个无单位元的环。

2.318证明：一个具有素数个元素的环是交

换环。

2.319设R是一个有单位元1R的无零因子环,

证明：如果ab=lR则ba=lR

2.320设R是交换环，X是R的非空子集，令

证明：Ann(X)是R的理想。

2.321设R是环，I,J是R的两个理想，令

,证明：［I:J］是R的理想。

2.322设Z证明：是域。

2.323设R是有单位元的交换环，I是R的真

理想，证明：如果R的每个不在I中的元素都可

逆，则I是R的唯一的极大理想。

2.324在Z[x]中，证明（7,x）不是Z[x]的一

个主理想。

2.325设I和J是环R的理想，且满足1+尸R,

in尸｛0｝证明：。

2.326设f：为环的同态。如果R是除环，求

证f是零同态或f是单同态（零同态是指g:,

）o

2.327设是环的满同态。K=Kerf,P是R的

素理想，且的素理想。

2.328设f:是环的满同态，Q是S的素理

想，证明：是R的素理想。

2.329设D为整环，m和n为互素的正整数,a,

bD如果am=bm,an=bn求证a=bo

2.330证明：Z[x]不是主理想整环。

2.331设R为交换环，R2=R,则R的每个极

大理想都是素理想。

2.332设R[x]是实数域R上的一元多项式环,

取x2+lR[x]证明：,C为复数域。

2.333设S是环R的子环，I是R的理想，且

IS,证明：（1）的子环。（2）若S是R的

理想，则的理想。

2.334设f是环R到环的满同态，A为R的

理想，证明：。

2.335设f是群G到群的满同态，N是G的

正规子群，证明：。

2.336设R是欧氏环，I是R的一个素理想,

证明：I是R的一个极大理想。

2.337设f是环R的满自同态,R只有有限个

理想，证明f是R的一个自同构。

2.338证明集合QM1={a+M+d网*b,deQ}关

于通常数的加法与乘法构成域.

2.339证明：由所有形如（累）’5R的矩阵

组成的集合。关于矩阵的加法与乘法构成一个

无单位元的环，试确定这个环的所有零因子.

2.340证明：一个具有素数个元素的环是交

换环.

2.341设是环.是的单位元.证明：对

任意的，.

2.342设是环.证明：对任意的，有⑴

；（2）,

2.343设是有单位元的环()，且是

无零因子环..证明：如果，则.

2.344设克为加群，定义氏的乘法为

而=0.a.beR证明(兄+.)为环，并求出区的所有

子环与理想.

2.345设集合证明2为

%(R)的子环.

2.346设是交换环，是的非空子集.令

o证明：是的理想.

2.347设是无零因子环，是的子环.证明:

当有单位元时，的单位元就是的单位元.

2.348设为的子环，是的理想，且

.证明：(1)是的子环；(2)如是的理

想，则是的理想.

2.349设：为环同态.证明⑴如果

是的理想，则是的理想.(2)如果是

的理想，且满，则是的理想.

2.350设和为的理想，且满足，.

证明：.

2.351设：为环的满同态，和分别是

和的理想.证明：如果，且，则有环同构

2.352证明：z[Q]是欧几里德环.

2.353设是个正整数.证明是一个域.

2.354设是素特征的域.证明：对中

任意元和，有

2.355设是阶的有限域