函授线性代数试题及答案

函授线性代数试题及答案姓名：____________________

一、多项选择题（每题2分，共20题）

1.设矩阵$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，下列矩阵中，与$\boldsymbol{A}$相似的是：

A.$\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}$

B.$\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$

C.$\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}$

D.$\begin{pmatrix}2&4\\3&5\end{pmatrix}$

2.设$n$阶方阵$\boldsymbol{A}$满足$\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{O}$，则下列结论正确的是：

A.$\boldsymbol{A}$必定是零矩阵

B.$\boldsymbol{A}$的特征值只能是0

C.$\boldsymbol{A}$的行列式为0

D.$\boldsymbol{A}$必定是可逆矩阵

3.设$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}$，则$\boldsymbol{A}$的秩为：

A.1

B.2

C.3

D.4

4.设$\boldsymbol{A}$是一个$3\times3$的实对称矩阵，下列结论正确的是：

A.$\boldsymbol{A}$的特征值都是实数

B.$\boldsymbol{A}$的特征值都非负

C.$\boldsymbol{A}$的特征向量都正交

D.$\boldsymbol{A}$的特征值互不相等

5.设$\boldsymbol{A}$是一个$n\timesn$的实对称矩阵，且$\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{O}$，则下列结论正确的是：

A.$\boldsymbol{A}$的特征值都是0

B.$\boldsymbol{A}$的特征值都是实数

C.$\boldsymbol{A}$的特征值都非负

D.$\boldsymbol{A}$的特征值互不相等

6.设$\boldsymbol{A}$是一个$3\times3$的实对称矩阵，且$\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{A}$，则下列结论正确的是：

A.$\boldsymbol{A}$的特征值都是1

B.$\boldsymbol{A}$的特征值都是0

C.$\boldsymbol{A}$的特征值都是实数

D.$\boldsymbol{A}$的特征值都非负

7.设$\boldsymbol{A}$是一个$3\times3$的实对称矩阵，且$\boldsymbol{A}$的特征值为$1,2,3$，则下列结论正确的是：

A.$\boldsymbol{A}$的特征向量都是正交的

B.$\boldsymbol{A}$的特征值都是实数

C.$\boldsymbol{A}$的特征向量都是单位向量

D.$\boldsymbol{A}$的特征值都非负

8.设$\boldsymbol{A}$是一个$3\times3$的实对称矩阵，且$\boldsymbol{A}$的特征值为$1,2,3$，则下列结论正确的是：

A.$\boldsymbol{A}$的特征向量都是正交的

B.$\boldsymbol{A}$的特征值都是实数

C.$\boldsymbol{A}$的特征向量都是单位向量

D.$\boldsymbol{A}$的特征值都非负

9.设$\boldsymbol{A}$是一个$3\times3$的实对称矩阵，且$\boldsymbol{A}$的特征值为$1,2,3$，则下列结论正确的是：

A.$\boldsymbol{A}$的特征向量都是正交的

B.$\boldsymbol{A}$的特征值都是实数

C.$\boldsymbol{A}$的特征向量都是单位向量

D.$\boldsymbol{A}$的特征值都非负

10.设$\boldsymbol{A}$是一个$3\times3$的实对称矩阵，且$\boldsymbol{A}$的特征值为$1,2,3$，则下列结论正确的是：

A.$\boldsymbol{A}$的特征向量都是正交的

B.$\boldsymbol{A}$的特征值都是实数

C.$\boldsymbol{A}$的特征向量都是单位向量

D.$\boldsymbol{A}$的特征值都非负

11.设$\boldsymbol{A}$是一个$3\times3$的实对称矩阵，且$\boldsymbol{A}$的特征值为$1,2,3$，则下列结论正确的是：

A.$\boldsymbol{A}$的特征向量都是正交的

B.$\boldsymbol{A}$的特征值都是实数

C.$\boldsymbol{A}$的特征向量都是单位向量

D.$\boldsymbol{A}$的特征值都非负

12.设$\boldsymbol{A}$是一个$3\times3$的实对称矩阵，且$\boldsymbol{A}$的特征值为$1,2,3$，则下列结论正确的是：

A.$\boldsymbol{A}$的特征向量都是正交的

B.$\boldsymbol{A}$的特征值都是实数

C.$\boldsymbol{A}$的特征向量都是单位向量

D.$\boldsymbol{A}$的特征值都非负

13.设$\boldsymbol{A}$是一个$3\times3$的实对称矩阵，且$\boldsymbol{A}$的特征值为$1,2,3$，则下列结论正确的是：

A.$\boldsymbol{A}$的特征向量都是正交的

B.$\boldsymbol{A}$的特征值都是实数

C.$\boldsymbol{A}$的特征向量都是单位向量

D.$\boldsymbol{A}$的特征值都非负

14.设$\boldsymbol{A}$是一个$3\times3$的实对称矩阵，且$\boldsymbol{A}$的特征值为$1,2,3$，则下列结论正确的是：

A.$\boldsymbol{A}$的特征向量都是正交的

B.$\boldsymbol{A}$的特征值都是实数

C.$\boldsymbol{A}$的特征向量都是单位向量

D.$\boldsymbol{A}$的特征值都非负

15.设$\boldsymbol{A}$是一个$3\times3$的实对称矩阵，且$\boldsymbol{A}$的特征值为$1,2,3$，则下列结论正确的是：

A.$\boldsymbol{A}$的特征向量都是正交的

B.$\boldsymbol{A}$的特征值都是实数

C.$\boldsymbol{A}$的特征向量都是单位向量

D.$\boldsymbol{A}$的特征值都非负

16.设$\boldsymbol{A}$是一个$3\times3$的实对称矩阵，且$\boldsymbol{A}$的特征值为$1,2,3$，则下列结论正确的是：

A.$\boldsymbol{A}$的特征向量都是正交的

B.$\boldsymbol{A}$的特征值都是实数

C.$\boldsymbol{A}$的特征向量都是单位向量

D.$\boldsymbol{A}$的特征值都非负

17.设$\boldsymbol{A}$是一个$3\times3$的实对称矩阵，且$\boldsymbol{A}$的特征值为$1,2,3$，则下列结论正确的是：

A.$\boldsymbol{A}$的特征向量都是正交的

B.$\boldsymbol{A}$的特征值都是实数

C.$\boldsymbol{A}$的特征向量都是单位向量

D.$\boldsymbol{A}$的特征值都非负

18.设$\boldsymbol{A}$是一个$3\times3$的实对称矩阵，且$\boldsymbol{A}$的特征值为$1,2,3$，则下列结论正确的是：

A.$\boldsymbol{A}$的特征向量都是正交的

B.$\boldsymbol{A}$的特征值都是实数

C.$\boldsymbol{A}$的特征向量都是单位向量

D.$\boldsymbol{A}$的特征值都非负

19.设$\boldsymbol{A}$是一个$3\times3$的实对称矩阵，且$\boldsymbol{A}$的特征值为$1,2,3$，则下列结论正确的是：

A.$\boldsymbol{A}$的特征向量都是正交的

B.$\boldsymbol{A}$的特征值都是实数

C.$\boldsymbol{A}$的特征向量都是单位向量

D.$\boldsymbol{A}$的特征值都非负

20.设$\boldsymbol{A}$是一个$3\times3$的实对称矩阵，且$\boldsymbol{A}$的特征值为$1,2,3$，则下列结论正确的是：

A.$\boldsymbol{A}$的特征向量都是正交的

B.$\boldsymbol{A}$的特征值都是实数

C.$\boldsymbol{A}$的特征向量都是单位向量

D.$\boldsymbol{A}$的特征值都非负

二、判断题（每题2分，共10题）

1.若矩阵$\boldsymbol{A}$与矩阵$\boldsymbol{B}$相似，则$\boldsymbol{A}$与$\boldsymbol{B}$的行列式相等。（）

2.若矩阵$\boldsymbol{A}$与矩阵$\boldsymbol{B}$相似，则$\boldsymbol{A}$与$\boldsymbol{B}$的秩相等。（）

3.若矩阵$\boldsymbol{A}$与矩阵$\boldsymbol{B}$相似，则$\boldsymbol{A}$与$\boldsymbol{B}$的特征值相等。（）

4.若矩阵$\boldsymbol{A}$的行列式为0，则$\boldsymbol{A}$必定是奇异矩阵。（）

5.若矩阵$\boldsymbol{A}$的秩为1，则$\boldsymbol{A}$必定是可逆矩阵。（）

6.若矩阵$\boldsymbol{A}$是对称矩阵，则$\boldsymbol{A}$的特征值都是非负实数。（）

7.若矩阵$\boldsymbol{A}$是实对称矩阵，则$\boldsymbol{A}$的特征向量都是实数向量。（）

8.若矩阵$\boldsymbol{A}$是实对称矩阵，则$\boldsymbol{A}$的特征值互不相等。（）

9.若矩阵$\boldsymbol{A}$是实对称矩阵，则$\boldsymbol{A}$的特征向量线性无关。（）

10.若矩阵$\boldsymbol{A}$是实对称矩阵，则$\boldsymbol{A}$的特征值对应的特征向量是正交的。（）

三、简答题（每题5分，共4题）

1.简述矩阵的秩的定义及其性质。

2.如何判断一个矩阵是否为实对称矩阵？

3.请解释矩阵的特征值和特征向量的概念，并说明它们之间的关系。

4.简述矩阵的相似对角化的条件及其过程。

四、论述题（每题10分，共2题）

1.论述矩阵的秩与矩阵的行阶梯形矩阵之间的关系，并说明如何通过行阶梯形矩阵来计算矩阵的秩。

2.论述实对称矩阵的性质及其在实际问题中的应用，举例说明如何利用实对称矩阵的性质解决实际问题。

试卷答案如下

一、多项选择题（每题2分，共20题）

1.C

解析：相似矩阵具有相同的秩和特征值，$\boldsymbol{A}$与$\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}$相似，因为它们的行列式相等且特征值相同。

2.B,C

解析：$\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{O}$意味着$\boldsymbol{A}$的特征多项式$\det(\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})=0$，因此特征值只能是0。

3.C

解析：矩阵$\boldsymbol{A}$的秩等于其行数或列数中的较小者，因为$\boldsymbol{A}$是一个$3\times3$的矩阵，且每一行都是线性无关的。

4.A,B

解析：实对称矩阵的特征值总是实数，且由于矩阵是对称的，其特征向量可以正交化。

5.A,B

解析：$\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{O}$意味着$\boldsymbol{A}$的特征值都是0，因为特征值$\lambda$满足$\lambda^2=0$。

6.A,B

解析：$\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{A}$意味着$\boldsymbol{A}$的特征值只能是1，因为$\lambda^2-\lambda=0$。

7.A,B,D

解析：特征值为1,2,3的实对称矩阵，其特征向量都是实数向量，且可以正交化。

8.A,B,D

解析：与第7题相同，特征值为1,2,3的实对称矩阵，其特征向量都是实数向量，且可以正交化。

9.A,B,D

解析：与第7题相同，特征值为1,2,3的实对称矩阵，其特征向量都是实数向量，且可以正交化。

10.A,B,D

解析：与第7题相同，特征值为1,2,3的实对称矩阵，其特征向量都是实数向量，且可以正交化。

二、判断题（每题2分，共10题）

1.√

解析：相似矩阵具有相同的行列式。

2.√

解析：相似矩阵具有相同的秩。

3.√

解析：相似矩阵具有相同的特征值。

4.√

解析：行列式为0的矩阵是奇异矩阵。

5.×

解析：秩为1的矩阵不一定是可逆矩阵，因为它的行列式为0。

6.√

解析：实对称矩阵的特征值都是非负实数。

7.√

解析：实对称矩阵的特征向量是实数向量。

8.×

解析：实对称矩阵的特征值可以相等。

9.√

解析：实对称矩阵的特征向量线性无关。

10.√

解析：实对称矩阵的特征向量是正交的。

三、简答题（每题5分，共4题）

1.矩阵的秩是矩阵中线性无关的行（或列）的最大数目。性质包括：矩阵的秩等于其行阶梯形