第四章：数列章末综合检测卷（解析版）VIP

第四章：数列章末综合检测卷（试卷满分150分，考试用时120分钟）姓名___________班级_________考号_______________________一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．（2023·河北邢台·高二校联考阶段练习）已知数列的前4项分别为，则该数列的一个通项公式为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】观察可知，该数列的一个通项公式为.故选：D.2．（2023·宁夏·高二银川二中校考阶段练习）已知等差数列，其前项和为，则（）A．24B．36C．48D．64【答案】B【解析】因为数列为等差数列，且，由等差数列的性质，可得，所以，又由.故选：B.3．（2023·高二课时练习）利用数学归纳法证明不等式（，）的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，左边增加了（）A．1项B．k项C．2k－1项D．2k项【答案】D【解析】当时，左，当时，左，增加项为，共2k项.故选：D.4．（2023·内蒙古·高二校联考期末）等差数列的前项和为，若，，则（）A．6B．12C．15D．21【答案】C【解析】设，则，，因为为等差数列，所以，，也成等差数列，则，解得．故选：C5．（2023·江苏苏州·高二校考阶段练习）已知数列满足，设的前n项和为，则（）A．B．C．1D．2【答案】D【解析】因为，所以，所以且，所以是首项为公比为的等比数列，所以，所以，，所以，所以，故选：D.6．（2023·北京·高三统考期中）数列满足，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为数列满足，所以，，，，则是以4为周期的周期函数，所以，故选：C.7．（2023·河南濮阳·高二范县第一中学校联考阶段练习）有12个砝码，总质量为，它们的质量从小到大依次构成等差数列，且最重的3个砝码质量之和是最轻的3个砝码质量之和的4倍．用这些砝码称一个质量为的物体，则需要的砝码个数至少为（）A．4B．5C．6D．7【答案】C【解析】将12个砝码的质量从小到大依次设为，由题可知，，，所以，化简得，，所以，由得，，，化简得，，解方程得，所以，，，，，，满足，，又因为，满足，所以这些砝码称一个质量为的物体，则需要的砝码个数至少为6个.故选：C.8．（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）等比数列的各项均为正数，且，.设，则数列的前项和（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设等比数列的公比为，则，则，所以，，所以，，因为，可得，所以，，所以，，所以，，即数列为等差数列，所以，，所以，，因此，.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．（2023·高二课时练习）（多选题）下列说法不正确的是（）A．数列可以表示为B．数列与数列是相同的数列C．数列的第项为1＋D．数列可记为【答案】ABD【解析】A选项，数列和数列，前者是有限项，后者是无限项，所以两个数列不一样，A选项错误.B选项，数列与数列的项的顺序不相同，所以不是相同数列，B选项错误.C选项，，所以数列的第项为1＋，C选项正确.D选项，数列可记为，所以D选项错误.故选：ABD10．（2023·湖南·高二常德市一中校考阶段练习）数列是等差数列，也是等差数列（）A．若，则数列也是等差数列B．若，，为常数，则是等差数列C．若，则是等差数列D．若，则可能是等比数列【答案】ABD【解析】设的首项为，公差为，的首项为，公差为，则，，对于A：，则是以为首项，为公差的等差数列，故A正确；对于B：，（，为常数），则是以为首项，为公差的等差数列，故B正确；对于C：令，，则，显然不是等差数列，故C错误；对于D：令，，则，则为等差数列也为等比数列，故D正确；故选：ABD11．（2023·福建厦门·高二集美中学校考阶段练习）已知是等差数列的前项和，且，则下列选项正确的是（）A．数列为递增数列B．C．的最大值为D．【答案】BC【解析】因为，所以，即，故B正确；所以数列为递减数列，故A错误；所以的最大值为，故C正确；又因为，故D错误；故选：BC.12．（2023·黑龙江·高二牡丹江市第二高级中学校考阶段练习）已知正项等比数列，公比分别为，前项和分别为，若，且，则（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】对于A:因为，所以当时，，又，所以，故，所以，故A正确；对于B:当时，，即，将代入得，即，解得或，因为是正项等比数列，所以，故，所以，故B错误；对于C:由选项B可得，所以，则，又，则，故，故C正确；对于D:由选项B可得，所以，故，故D错误.故选:AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（2023·高二课时练习）在等比数列中，若，则数列的前13项之积等于．【答案】【解析】是等比数列，，.14．（2023·重庆·高二重庆八中校考阶段练习）已知数列的通项公式为，且为递减数列，则实数的取值范围是.【答案】【解析】因为为递减数列，，所以对恒成立，即对恒成立，所以.15．（2023·上海·高二复旦附中校考阶段练习）已知数列的通项公式为，则数列的最大项为第项.【答案】【解析】依题意，，则，当时，，所以当时，，所以数列的最大项为第项.16．（2023·广东佛山·高二高明区第一中学校考阶段练习）设数列中，且满足，则.【答案】【解析】由（）得，时，，相减得，，∴（），又，即，而，∴，所以时，，即，∴.四．解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（2023·山东·高二校联考阶段练习）（1）已知数列的前项和是，且，求的通项公式.（2）已知正项数列的前项和满足，求数列的通项公式.【答案】（1）（2）【解析】（1）由可得，当时，，当时，,∴经验证，当时也成立.所以.（2）∵①∴，得，∴②②－①得：，∴即，∴，，，…，，∴.经验证，当时也成立，所以.18．（2023·江苏南通·高二统考阶段练习）已知等差数列中，前项和为，已知，.（1）求；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】（1）设公差为，由，，得，解得，所以，故；（2）由（1）得，所以.19．（2023·江西南昌·高二铁路第一中学校考阶段练习）已知等差数列前项和为，且.（1）若，求证：数列是等差数列.（2）求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）由题意，，解得，数列的通项公式为，，，数列是以为首项，1为公差的等差数列;（2）当时，，数列的前项和，当时，，数列的前项和，.20．（2023·湖南长沙·高二雅礼中学校考阶段练习）已知数列为等比数列，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设是数列的前项和，若，求出所有值.【答案】（1）；（2）或【解析】（1）因为为等比数列，设其公比为，，，，即，解得，所以，，所以.（2）由（1）知，所以化为：，即，，因为为增函数，所以，所以，所以或.21．（2023·江苏南通·高二统考阶段练习）记数列的前项和为，已知.（1）设，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析，；（2）【解析】（1）因为，当时，，解得得；当时，由，得，两式相减得，即，则，即，又，故，所以，所以是以为首项，2为公比的等比数列，所以，即，所以．（2）由（1）得，所以,所以，则，两式相减，得，所以．22．（2023·广西桂林·校考模拟预测）设数列的前项和为，且与的等差中项为.（1）证明：数列是等比