《信号与系统》课件-第1章 信号与系统分析的理论基础

第1章信号与系统分析的理论基础1.1引言1.2信号与系统的分类1.3典型信号及信号与系统分析的基本过程1.4奇异函数1.5正交函数基1.6线性非时变系统系统的描述和分类1.7系统分析的基本方法1.8卷积1.1引言Q1：什么是信号？我国古代利用烽火台

传送敌人入侵的警报信息。击鼓鸣金

传达战斗命令信息可见，所谓的信号就是携带信息的一种载体，而根据载体的不同，可以有不同的信号形式。Q2：什么是系统？系统的功能

解决信号探测、传输和处理问题，也就是根据不同物理事件形成的不同信号，建立一个传输装置或进行加工处理的系统系统

由一些相互作用和相互依赖的事物组成的具有特定功能的整体。相对于系统而言，输入信号常称为激励，输出信号常称为响应。具有

p个输入和

q个输出的系统1.2信号与系统的分类1.2.0信号与系统的描述信号(Signal)信号是携带消息的载体。系统(System)系统是由一些相互作用和相互依赖的事物组成的具有特定功能的整体。1.2.1信号的分类1.确定信号与随机信号所谓确定性信号是指信号是一个确定的时间函数，即给定某一时间值，就可以确定出一个相应的函数值，确定性信号又称为规则信号。然而在实际应用中，人们所获得的信号往往具有不可预知的不确定性，这种信号通常称为随机信号或不确定性信号。。2.周期信号与非周期信号一个连续信号f(t)，若对所有t均有

f(t)=f(t+mT)m=0,±1,±2,…则称f(t)为连续周期信号，满足上式的最小T值称为f(t)的周期。非周期信号是在时间上不具有这种周而复始变化的规律，或者可以认为是周期趋于无限大的周期信号。3.连续时间信号与离散时间信号如果在某一时间范围内，对于任意时间的函数值，除若干个不连续点外，都可以给出确定的值，则这类信号称为连续信号连续信号的幅值可以是连续的，即可以取任何实数，如图1.2-1(a)所示，也可以是离散的，即可以取有限个规定的数值，如图1.2-1(b)所示。对于时间和幅值都是连续的信号又称为模拟信号，如图1.2-1(a)所示。3.连续时间信号与离散时间信号与连续信号相对应的是离散信号。它们是离散时间的函数，只在某些不连续的规定瞬间给出函数值，其他时间函数没有定义。如果离散信号的幅值是连续的，即幅值可取任意实数，如图1.2-2(a)所示，则称为离散抽样信号。如果离散信号的幅值只能取某些规定的数值，如图1.2-2(b)所示，则称为数字信号。4.能量信号与功率信号如果在无限大的时间间隔内，信号的能量为有限值而信号平均功率为零，则此类信号称为能量信号。对它只能从能量方面去加以考察，而无法从平均功率去考察。如果在无限大的时间间隔内，信号的平均功率为有限值而信号的总能量为无限大，则此类信号称为功率信号。1.2.2系统的分类1.线性系统与非线性系统线性系统是指由线性元件组成的系统；非线性系统则是含有非线性元件的系统。2.时变系统与非时变系统如果系统的参数不随时间的变化而变化，则此类系统称为非时变系统或定常系统如果系统的参量随时间而改变，则称其为时变系统或参变系统。3.连续时间系统与离散时间系统若系统的输入和输出都是连续时间信号，则此类系统称为连续时间系统。若系统的输入和输出都是离散时间信号，则此类系统称为离散时间系统。1.2.2系统的分类4.即时系统与动态系统如果系统的输出信号只决定于同时刻的激励信号，与它过去的工作状态无关，则此类系统称为即时系统或无记忆系统。如果系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且还与它过去的工作状态有关，这种系统称为动态系统或记忆系统。5.集总参数系统与分布参数系统只由集总参数元件组成的系统称为集总参数系统含有分布参数元件（如传输线、波导等）的系统则是分布参数系统。1.3典型信号及信号与系统分析的基本过程1.3.1矩形脉冲信号1.3.2正弦信号

随连续时间t按正弦规律变化的信号称为连续时间正弦信号，简称正弦信号。正弦信号的一般形式表示为式中，A、ω和φ分别为正弦信号的振幅、角频率和初相。1.3.3指数信号连续时间指数信号，简称指数信号，其一般形式为1.3.4抽样函数抽样函数定义为：1.3.5高斯函数高斯函数定义为：1.4奇异函数奇异函数信号的各阶导数并非都是有限值，所以通常把这类信号叫做奇异信号或奇异函数典型奇异函数包括单位阶跃函数和单位冲激函数1.4奇异函数1.4.1单位阶跃信号单位阶跃函数描述的是某些实际对象从一个状态到另一个状态可以瞬时完成的过程单位阶跃函数的定义是零时刻前，其值为零，在零时刻后其值为1，单位阶跃函数的数学表达式和波形1.4.1单位阶跃信号如果单位阶跃函数的跳变点不是选择在零点，而是移到t0点，则时移的阶跃函数表示为单位阶跃函数的积分单位阶跃函数的积分等于单位斜坡函数阶跃函数的单边性符号函数的阶跃函数表示符号函数定义为1.4.2单位冲激函数冲激函数定义为对作用时间极短而强度极大的物理过程的理想矩形脉冲演变为冲击函数1.4.2单位冲激函数狄拉克（Dirac）定义狄拉克定义的单位冲激函数单位冲激函数的应用特性1.冲激函数的抽样性若为连续函数，则冲激函数与乘积的积分为2.与单位阶跃函数之间的关系单位冲激函数的应用特性3.冲激函数为偶函数4.冲激函数的时间尺度特性由此可以推论单位冲激函数的应用特性5.冲激函数与任意函数的乘积6.单位冲激偶由此可以推论单位冲激偶定义为单位冲激函数的导数，表达式为单位冲激函数的应用特性7.单位冲激序列1.5.1矢量的正交分解

1.正交矢量

图1.5-1两个矢量正交1.5正交函数基

两矢量V1与V2正交时的夹角为90°。不难得到两正交矢量的点积为零，即所以最佳系数为

若V1与V2正交，则θ=90°,cosθ=0，此时由式(1.5-2)得到的最佳系数c12=0。这表明当V1与V2正交时，用c12V2来近似表示V1还不如用0来近似V1。据此，我们可以把两个矢量V1与V2正交的概念解释如下：给定两个矢量V1和V2，现在要用与V2成比例的矢量c12V2近似地表示V1，要求误差矢量 的模|Ve|最小(此时的c12称为最佳)。若最佳的c12=0，则V1与V2正交。由式(1.5-2)可知，当两矢量V1与V2正交时，c12=0，即V1·V2=0。2.矢量的分解1.5.2正交函数设f1(t)和f2(t)为定义在(t1,t2)区间上的两个函数，现在要用与f2(t)成比例的一个函数c12f2(t)近似地代表f1(t)，其误差函数为得1.5.3正交函数集1.三角函数集1.5.3正交函数集2.复指数函数集1.6线性非时变系统1线性特性系统的线性特性包含齐次性（均匀性）和叠加性（可加性）两个方面的内容2时不变特性

参数不随时间变化的系统，称为时不变系统或定常系统，否则称为时变系统。1.7信号与系统的分析方法LTI系统分析的理论基础是信号的分解特性和系统的线性、时不变特性。实现系统分析的统一观点和方法是：激励信号可以分解为众多基本信号单元的线性组合；系统对激励所产生的零状态响应是系统对各基本信号单元分别作用时相应响应的叠加；不同的信号分解方式将导致不同的系统分析方法。

1.8卷积积分1.8.0卷积的定义

设f1(t)和f2(t)是定义在(-∞，∞)区间上的两个连续时间信号，我们将积分定义为f1(t)和f2(t)的卷积(Convolution)，简记为1.8.1卷积的图解机理

信号f1(t)与f2(t)的卷积运算可通过以下几个步骤来完成：第一步，画出f1(t)与f2(t)波形，将波形图中的t轴改换成τ轴，分别得到f1(τ)和f2(τ)的波形。第二步，将f2(τ)波形以纵轴为中心轴翻转180°，得到f2(-τ)波形。第三步，给定一个t值，将f2(-τ)波形沿τ轴平移|t|。在t<0时，波形往左移；在t>0时，波形往右移。这样就得到了f2(t-τ)的波形。

第四步，将f1(τ)和f2(t-τ)相乘，得到卷积积分式中的被积函数f1(τ)f2(t-τ)。第五步，计算乘积信号f1(τ)f2(t-τ)波形与τ轴之间包含的净面积，便是式(1.8-1)卷积在t时刻的值。第六步，令变量t在(-∞，∞)范围内变化，重复第三、四、五步操作，最终得到卷积信号f1(t)*f2(t)。1.8.3卷积的基本性质卷积代数卷积运算满足三个基本代数运算律，即交换律结合律分配律性质

卷积微积分两个函数相卷积后的导数等于两个函数之一的导数与另一函数相卷积，即