沪科版数学九年级下册综合训练50题含答沪科版数学九年级下册综合训练50题含答案

沪科版数学九年级下册综合训练50题含答案

（填空、解答题）

一、填空题

I.如图，将长为8cm的铁丝首尾相接围成半径为2cm的扇形.则S坨形=

cm2.

8

【答案】4

【分析】由题意求出扇形的弧长，然后根据扇形面积公式求出扇形面积即可.

【详解】•・•扇形周长等于铁丝的长为8。小扇形的半径是2。小

・•・扇形弧长是4cM

用形=g"=gx4x2=4而.

故答案为:4.

【点睛】此题考查了扇形弧长和面积的求法，解题的关键是熟练掌握扇形弧长和面积

公式.

2.农历十五的晚上一定能看到圆月.（）

【答案】x

【分析】根据随机事件的定义，进行判断即可.

【详解】解：农历十五的晚上有可能看到圆月，也可能看不到圆月，

・•・农历十五的晚上能看到圆月是随机事件；

故答案为错误.

【点睛】本题考查了随机事件的定义，解题的关键是熟记定义.

3.著名画家达・芬奇不仅画意超群，同时还是一个数学家，发明家.他增进设计过一

种圆规.如图所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计）一根没有弹性的木

棒的两端A,8能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点尸处的小孔中，随着木

棒的滑动就可以画出一个圆来，若A8=10cm,则画出的圆半径为cm.

A

【答案】5.

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OP=^AB,即为圆的半

径.

【详解】解：如图，•・•两个滑槽互相垂直，点夕是木棒的中点，

：.OP=^AB=^x\0=5cm,

即画出的圆半径为5c、%

【点睛】本题考查直角三角形中线的性质和圆的性质，关键在于对两种综合的掌握.

4.一个口袋中有若干个白球和8个黑球（除颜色外其余都相同），从口袋中随机摸白

1球，记下其颜色，再把它放I可，不断重复上述过程，共摸了200次，其中有57次谟

到黑球，则据此估计口袋中大约有个白球.

【答案】20

【分析】设口袋中白球有x个，摸到黑球的频率为盖建立关于x的方程，解之可得

答案.

【详解】解：设口袋中白球有x个，

解得.e20,

经检验x=20是分式方程的解，

所以口袋中白球大约有20个，

故答案为：20.

【点睛】本题主要考查用样本估计总体，从一个总体得到一个包含大量数据的样本,

我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息.这时，我们用频率分布直方图

来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况.掌握用样本估计总体是解

题关键.

5.己知以点C(小b)为圆心，半径为「的圆的标准方程为(x—a)2+(yi)2=

尺例如：以A(2,3)为圆心，半径为2的圆的标准方程为(X-2)2+(>>-3)2=

4,则以原点为圆心，过点尸(1,0)的圆的标准方程为—.

【答案】f+产=1

【详解】解：因为原点为圆心，过点P(1,0)的圆即是以(0,0)半径为1的圆，

则标准方程为：(x-0)2+(y-0)2=1,

即%2+>,2=1,

故答案为：/+V=L

6.如图，AB是。O的直径，AB=10,C是。O上一点，OD_LBC于点D,BD=4,

则AC的长为.

【答案】6.

【详解】试题分析：由AB是。O的直径，可得NC=90。，又由AB=10,BD=4,由勾

股定理可求得OD的长，又由OD_LBC,根据垂径定理和三角形中位线定理即可求得

AC的长：

〈AB是。O的直径,

・•・ZC=90°.

VAB=IO,

AOB=5.

VBD=4,

.\OD=3.

VOD1BC,

・・・BD;CD.

,AC=2OD=6.

考点；1.垂径定理；2.勾股定理；3.圆周角定理；4.二角形中位线定理.

7.如图，射线48与。。相切于点8,经过圆心。的射线AC与。O相交于点。、C,

连接4C,若N4=40。，则NAC8=

【答案】25

【分析】连接0仇如图，利用切线的性质得443。=90。,再利用互余得到

乙408=50。，然后根据三角形外角性质和等腰三角形的性质计算NC的度数.

【详解】解：连接08,如图，

•・•边45与。。相切,切点为8,

：,0BLAB,

：.ZABO=90°,

:.ZAOB=90°-Z/l=90o-40o=50o,

*：0B=0C,

：,/0BC=/C,

・•・/A0B=N0BC+/C=2NC,

，NG=!N4O8=25。.

2

故答案为：25.

【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切

线，必连过切点的半径,构造定理图，得出垂直关系.

8.将二次函数y=2x2+4x+7的图象绕原点旋转180。得到的图象的函数解析式为

【答案】y=-2x2+4x-7.

【分析】先把二次函数转化为顶点式，再确定旋转后的抛物线的。的值和顶点坐标,

即可得出结果.

【详解】解：•・•卢2F+4x+7=2(x+l)2+5,・•.原抛物线的顶点为(一1,5),

由题意得：旋转后的图象和原图象关于原点对称，开口方向相反，，新图象的顶点为

(1>—5),a=—2,

，所得的图象的解析式为：产一2(X—1)2—5,即产―#+4x—7.

故答案为：J=-2AA4X-7.

【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征和画定二次函数的解析式，属于基

本题型，掌握求解的方法是解题关键.

9.如图，在4x4方格纸片上做随机扎针实验，每块小方格纸片大小，形状完全相同,

则针头♦扎在阴影区域内的概率为.

【答案】I

O

【分析】根据方格纸片可得纸片面积为16,阴影部分的面积为6,然后根据概率公式

进行求解即可.

【详解】解：由方格纸片可得：

纸片面积为4x4=16,快影部分的面积为4+2=6,

工针头扎在阴影区域内的概率为：P==

IoO

故答案为］

O

【点睛】本题主要考查溉率，熟练掌握概率的求法是解题的关键.

10.一个不透明的口袋中装有标号为1、2、3的三个小球，这些小球除标号外完全相

同，随机摸出1个小球，然后把小球重新放回口袋并摇匀，再随机摸出1个小球，那

么两次摸出小球上的数字之和是偶数的概率是.

【答案w

【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，两次摸出小球上的数字之和是奇数的结

果有5种，再由概率公式求解即可.

【详解】解：画树状图如图：

开始

/4\/1\/4\

123123123

和234345456

共有9种等可能的结果，两次摸出小球上的数字之和是奇数的结果有5种，

・••两次摸出小球上的数字之和是偶数的概率为募，

故答案为:

【点睛】此题考查的是列表法或树状图法求概率以及概率公式.列表法可以不重复不

遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以二

完成的事件.

11.一块直角三角板ABC,ZACT=90°,/?C=12cm,AC=9cm,测得8c边的中心

投影4G长为12&m,则A用长为cm.

【答案】156

【分析】由题意易得△ABCS^AMG，根据相似比求4耳即可.

【详解】解：Z4CB=90°,BC=12cm,AC=9cm,

/.AB=^AC2+BC2=>/,92+122=15»

由中心投影可得：△A3CSZSAAG，

.•・4与：八8=8«：8c=i25：i2=75：i,即44=1575cm.

故答案为：15石.

【点睛】本题综合考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用.解题的

关键是利用中心投影的特点可知在这两组三角形相似，利用其相似比作为相等关系求

出所需要的线段.

12.小明想设计一款如图1所示的喷水壶，于是他绘制了如图2所示的设计图，壶身

的主视图呈矩形48co.壶把手呈圆弧状，圆心O落在4。上，圆弧交C。于点£支

撑架”尸所在直线恰好经过0.壶嘴G/的端点/恰好在4。所在直线上.已知

25

AD=8cm,DE=4cm,AF=—cm,HF=FG=6.5cm,则半径A。的长为cm,

12

壶嘴G/的长度为cm.

【答案】5野而

【分析］连接0巴设半径八0=,，在A。。石中，利用勾股定理求出〃过H作

HNlDh垂足为N,过"作垂足为M,证明△04尸SAONH,

4GHMS»G1A,利用相似三角形的性质求解.

【详解】解：连接0E,设半径AO=r,

贝ijOD=AD-AO=S-r,DE=4,

在△OOE中，OD2+DE2=OE2,

即（8-厂『+42二/,

解得：r=5,

即半径AO的长为5c〃?；

过〃作〃ALL。/,垂足为N,过〃作垂足为M,

则△OA/S^ON，，bGHMsRGlA,

.OAOFAFMGHMGH

^ON~OH~~NH'~AG~~AT~~GFf

,•*0F=\JAO2+AF2=JT，

6525

AJ-=12=J2_

ON65NH'

-----F0.5

12

解得：0N=ll,NH*,

：.HM=AN=ON-AO=6,NH=AM=—FM=AM-AF=-,

12t2

:・MG=FG-FM=4,

；•GH=>JHM2-MG2=2而,

4__2x/13

'生+6.5一GI'

12

解得：G/二詈瓜

故答案为：5,.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理.，圆的基本性质，解题的关

键是作出辅助线，理清图中线段的关系.

13.如图，圆心都在x轴正半轴上的半圆O/,半圆O?,…半圆0〃与直线/相切.设

半圆0/,半圆。2,…，半圆。〃的半径分别是。，/-2中，则当直线/与x轴所成

锐角为30°,且门=2时，「2°2/=

【答案】2X32020

【分析】根据切线的性质和相似三角形的性质，求出7「2，…，”，根据数据所呈现

的规律进行计算即可.

【详解】如图，设切点分别为A，4,4…402I，连接。2&，03A3,…

・・.30。

,200,00200y002g'

而OO=2rx,OO2=OO+=2q+&+4)=,

.一J

,•34+02

又・・F=2,

:./;=3。=2x3=6,

同理可求出4=2x32=18,4=2x33=54,^=2x34=162,・・

202<)

:.T；02I=2X3,

故答案为：2X32020.

【点睛】本题考查切线的性质，直角三角形的边角关系以及数字变化规律类，求出各

个半径的值是正确解答的关键.

14.一个口袋中有1()个红球和若干个白球，请通过以下实验估计口袋中白球的个数:

从口袋中随机摸出一球，记下其颜色，再把它放回口袋中，不断重复.上述过程.实验

中总共摸了200次，其中有50次摸到红球.则白球有个.

【答案】30

【分析】根据摸到红球的次数求出摸到红球的概率，再根据概率公式求出白球的个数

即可.

【详解】•・•总共摸了200次，其中有50次摸到红球，

・•・摸到红球的概率为

设白球有X个，则(x+10)x-=10,

4

解得：x=30.

:.白球有30个.

故答案为30

【点睛】本题考查利用频率估计概率及概率公式，概率=所求情况数与总情况数之比,

熟练掌握概率公式是解题关键.

15.如图，OA、OC是。O的半径，点B在。O上，连接AB、BC,若NABO40。，

贝|JNAOC=.度.

【详解】试题分析：丁/ABC与AOC是同弧所对的圆周角与圆心角，ZABC=40°,

••・ZAOC=2ZABC=80°.故答案为80.

考点：圆周先定理.

16.如图，在RtABC中，/。=90。,448。=30。,从。=3,将RiABC绕点A逆时针

旋转得到他△A8C,使点C落在AB边上，连接88',则33'的长度为

【答案】6.

【分析】由30。直角三角形性质可得到AB=24C=6,然后根据旋转的性质可证△力夕夕为

等边三角形即可.

【详解】解：在RtZXABC中，ZABC=30°,

JAB=2AC=6,®C=60。，

由旋转的性质，得=N94C=NR4C=60。，

•••1AM'是等边三角形，

BB'=AB=6.

故答案为：6.

【点睛】本题主要考查了旋转的性质和30。直角三角形性质，等边三角形判定与性质，

掌握旋转的性质和30。直角三角形性质，等边三角形判定与性质是解题关键.

17.如图，AA8c内接于。O,A”_L8c于点，，若AC=8,AH=6,的半径

OC=5,则AB的值为.

B\H

【答案】y

【分析】作直径AE,遥接CE,证△A8”sA4EC,利用相似三角形的对应边成比例

计算即可求解.

【详解】作直径AE,连接CE,

TAE是直径

・•・ZACE=90°,

/.ZAHB=ZACE,又NB=/E,

，/^ABH^AAEC,

.ABAH即Ml解得A喈,

*

IUo2

故答案为

【点睛】本题考查了圆的性质定理和三角形相似的判定和性质，正确的作出辅助线是

解题的关键.

18.若点户（。,-2）与点0（3力）关于原点对称，贝1」/=

【答案】9

【分析】根据关于原点的对称点的特征计算即可.

【详解】解：•・•点尸（〃,-2）与点。（3，份关于原点对称，

a=-3,b=2,

ah—32=9>

故答案为：9.

【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的有关计算，解题的关键是熟知直角坐标

系中两点的坐标关于原点对称，这两个点横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数.

19.如图，AB是的一条弦，点。是©O上的一动点，且4cA=30。.另一条弦

G”经过人C、8C中点E,F.若「O的半径为4,则GE+切的最大值为

【答案】6

【分析】连接。40B，根据圆周角定理，求出NAOB=2NAC8=60。，进而判断出

△408为等边三角形；然后根据。0的半径为4,可得4B=OA=O8=4,再根据三角

形的中位线定理，求出E/的长度；最后判断出当弦G”是圆的直径时，它的值最大，

进而求出GE+M的最大值是多少即可.

【详解】解：连接OA、0B,如图所示：

NAC8=30。，

，NAO8=2NACB=60。，

•：OA=OB,

•••△A08为等边三角形，

•・・。0的半径为4,

：.AB=OA=OB=4,

•:点、E,尸分别是AC、4c的中点，

：,EF=^AB=2,

要求GE+/77的最大值，即求GE+FH+E/（弦GH）的最大值，

•・•当弦G”是圆的直径时，它的最大值为：4x2=8,

，GE+"7的最大值为：8-2=6.

【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形中位线定理，等边三角形的判定与性质等知

识.确定G"的位置是解题的关键.

20.如图，8C为半圆。的直径，A8与半圆。相切于点8,AC与圆。交于点忆E

【答案】12

【分析】根据圆周角定理得到々反'=90°、/EBC=/ECM,根据切线的性质得到

ZABC=90°,证明NABM=NAA仍，得到A8=AM,设AB=5a,根据正切的定义得

到3C=12a,根据勾股定理得到AC=13。，证明CEM^BEC,根据相似三角形的

性质列出比例式，计算即可.

【详解】解：・・・8。为半圆。的直径，

/.zTBEC=90°,

・•・ZEMC+ZECM=90°,

•・•AB与半圆。相切于点8,

/.ZABC=90°,

・•・ZABM+ZEBC=90°f

•・・E为C尸的中点,

•*-EF=EC，

・•・/EBC=NECM,

；・/EMC=ZABM,

NEMC=ZAMB,

JZABM=ZAMB,

:.AB=AM,

设AB=5a,

AU5

VtanZACB=—=—,

BC12

・・・3C=12a,由勾股定理得：AC=ylAB2+BC2=\3a^

CM=\3a-5a=Sa,

•:/EBC=/ECM,4CEM=NBEC,

・•・..CEMsBEC,

.EMECCM

^~EC~~EB~~BC'

.BE-\OEC_Sa_2

EC

解得：EC=12,

故答案为：12.

【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质，根据

△CEA/S^BEC列出比例式是解题的关键.

21.半径为1的圆中有一条弦长为右的弦，那么这条弦所对的圆周角的度数等于

【答案】60。或120。.

【分析】根据垂径定理求得AO的长，再得到448的度数，再根据圆周角定理得到

NAC8的度数，根据圆内接四边形的对角互补即可求得NAEB的度数.

【详解】解：过。作OH_LA6,

OH=-OA,

2

AZOAH=30°,ZAOH=60°.

ZAO"=120。，

NACB=-ZAOB=60°,

2

又•・•四边形4C8。是圆内接四边形，

・••ZADB=180°-ZACfl=180°-60°=120°.

故这条弦所对的圆周角的度数等于60。或120。.

故答案为：60。或120。.

【点睛】此题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质.在解答此类题目时•定要注

意，一条弦所对的圆周角有两个，这两个角互补，不要漏解.

22.已知反比例函数G：y=--（x<0）的图象如图所示，将该曲线绕原点。顺时

X

针旋转45。得到曲线点N是曲线G上的一点，点M在直线）'=T上，连接MN,

ON,若MN=ON,则AA/QV的面积为

【分析】将直线）'=-1和曲线C,绕点。逆时针旋转45。，则直线）』一工与x轴重合,

曲线G与曲线G重合，等腰三角形△ATOM的底边在x轴上，然后利用反比例函数系

数&的性质即可解答.

（详解】将直线）'=-工和曲线g绕点。逆时针旋转45。,

则直线）'=一工与x轴重合，曲线。2与曲线C1重合,

・••旋转后点N落在曲线G上，点例落在x轴上,

如图所示，设点M，N­的对应点分别是AT,N',过点N'作NP_Lx轴于点尸，连接

ON',MN,

•:MN=ON,

:.MN=QN',“'ON'两个全等的等腰三角形,

•・•过点N'作NP_Lx轴于点P,

:.M'P=PO,

^AMON=S&woz=2SA。"伊=2XQX5=5.

故答案为：5

【点睛】本题主要考查坐标与图形变化•旋转、反比例函数的图象及反比例函数系数左

的几何意义，解题的关犍是利用旋转的性质构造△MON'及熟练掌握反比例函数系数

火的几何意义.

23.在平面直角坐标系xoy中，已知点A(2,3),若将0A绕原点O逆时针旋转90。得

到OA。则点A，的坐标是____________.

【答案】(-3.2)

【分析】先作出图形，然后写出坐标即可.

【详解】解：如图：

则A，的坐标是(-3,2).

故答案是(-3,2).

【点睛】本题主要考查了坐标与图形的旋转变换，根据题意正确画出图形成为解答本

题的关键.

24.如图△ABC中，NA=30。，ZC=90°,作△ABC的外接圆.若弧AB的长为

12cm,那么弧AC的长是_____.

【答案】8cm.

【分析［根据圆周角定理以及弧A8与弧AC所对圆周角度数即可得出弧长比与圆周角

比相等，即可得出结论.

【详解】解：；ABC中，ZA=30°,ZC=90°,

・・・NB=60。，AB是直径，

,:AB=12cm

60

AC=—x12=8（cm）,

故答案为8cm.

【点睛】此题考查了圆周角定理以及弧长与圆周角的关系利用弧长比与圆周角比相等

是解题的关键.

25.如图，。0的圆心为原点，半径为2,反比例函数），=K（厚0）图像与。。有两个

X

交点，则女的取值是一.

【答案】2或-2

【分析】由题意可知，反比例函数），-4（氏十0）图象上距。”>O点最近的点在<。内即

可，即反比例函数y=5ZwO）图象与直线）或直线k-x的交点到。为2.

x

【详解】解：由题意可知，反比例函数y=A伙工0）图象上距o点最近的点在。上即

X

可，

・••反比例函数尸人（女工0）图象与宜线），=彳或宜线y=-x的交点到。的距离为2,

x

当左>0时，交点坐标为（4,4）或（-4,-4）,到0">0的距离为疡，

:,叵<2,

Ak=2,

当攵<0时，交点坐标为（-G,口（）或E,-日,到。的距离为

,,J—2A=2»

:.k=-2f

综上，k的值是2或-2,

故答案为：k的值是2或-2

【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，明

确反比例函数）'二人（攵/。）图象上距0”>0点最近的点在O内是解题的关键.

x

26.用一些大小相同的小正方体搭成一个几何体，使得从正面和上面看到的这个几何

体的形状如图所示，那么，组成这个几何体的小正方体的块数至少为.

【详解】试题分析：从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可

以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数.

解：•・•俯视图有5个正方形，

，最底层有5个正方体，

由主视图可得第2层最少有2个正方体，第3层最少芍I个正方体；

由主视图可得第2层最多有4个正方体，第3层最多芍2个正方体；

・•・该组合几何体最少有5+2+1=8个正方体，最多有5+4+2=11个正方体，

故答案为8.

考点：由三视图判断几何体.

27.若一个正六边形的周长为24,则该正六边形的面积为.

【答案】2473

【详解】根据题意画出图形，如图，连接OB,0C,过O作OM_LBC于M,

/.ZBOC=-x360°=60°.

6

VOB=OC,「•△OBC是等边三角形.AZOBC=60°.

•••正六边形ABCDEF的周长为24,/.BC=24：6=4.

.\0B=BC=4,.\BM=OBsinZOBC=4—=273.

2

•••^EF=6SAOBC=64-BC-OM=6.1-4-2VT=

,z

28.如图，一根木棒(AB)长为2d斜靠在与地面(0M)垂直的墙壁(ON)上，与

地面的倾斜角(NA8O)为60。，当木棒A端沿N0向下滑动到4,A/V=

(V3-V2)B端沿直线OM向右滑动到则木棒中点从尸随之运动到产所经过

【答案】《加

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OP=gAB=gA9=OP,

即P是随之运动所经过的路线是一段圆弧；在M/kAOB中，根据含30度的直角三角形

三边的关系得到NAOP=30。，。八二6〃,则易求出。4'=。4-44'=缶,即可得到一4。斤

为等腰直角三角形，得到44'方。=45。，则NPO产=4，。产-/4。0=15。，然后根据

弧长公式计算即可.

：,OP=^AB=^A'B'=OP.

'：AB=2a

OP=a,

当A端下滑B端右滑时，AB的中点P到O的距离始终为定长a,

・・・P是随之运动所经过的路线是一段圆弧.

,?ZABO=600,

.ZAOP=30°fOA=y/3a.

VAA>=（^-V2）«»0Af=OA-AA'=0"，

；.s讥Z4'"O=%哼，

.・・NA'S。=45°,

，NA'O产=45。,

・•・4Pop=ZA'OO—ZAOP=15°,

・••弧PP'的长=平亲瞑

1oU12

即p点运动到产所经过路线PP的长为AM

故答案为：不乃。.

I乙

【点睛】本题考杳了弧长公式：仁n-彳7T•R/（〃为弧所对的圆心角的度数，R为半

径）.也考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及含30度的直.角三角形三

边的关系和等腰直角三角形的性质.

29.如图，已知矩形A8CD中，AB=4,AD=3,P是以C。为直径的半圆上的一个动

点，连接BP.

（1）半圆CQ=_:

（2）的最大值是一.

【答案】2兀2+V13

【分析】（1）根据弧长公式进行计算即可;

（2）将以C。为直径的。。补充完整，由点B在。O外可得出当点夙0、P三点共线

时B尸最大，根据矩形以及圆的性质可•得出。。、。尸的长度，再利用勾股定理即可求

出OB的长度，进而即可得出BP的最大值.

【详解】（1）在矩形A8C。中，AB=CD,AB=4f

：・CD=4,

AC/)=180^x2^

180

故答案为：2兀

(2)将以C。为直径的。。补充完整，如图所示,

•・•点B在。。外，

・•・当点5、。、P三点共线时，8P的值最大.

•「CO为。。的直径，CD=AB=4t

：.OC=OP=2.

在MABOC中，BC=3,OC=2,

°B=JBC?+Od1=y13，

J此时BP=BO+OP=yji3+2.

故答案为：V13+2

【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，矩形的性质以及弧长公式，掌握弧长公式和

矩形的性质是解题的关缝.

30.已知圆O的半径是35?，点。到直线/的距离为4cm,则圆O与直线/的位置关

系是.

【答案】相离

【分析】根据圆心O到直线1的距离大于半径即可判定直线I与。O的位置关系为相

离.

【详解】•••圆心O到直线1的距离是4cm,大于。O的半径为3cm,

••・直线1与。O相离，

故答案为相离

【点睛】此题考查的是直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的大

小关系解答.若dVr,则直线与圆相交；若d=r,则直线于圆相切；若d>r,则直线

与圆相离.

二、解答题

31.如图，在方格纸中，以格点连线为边的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列

操作：先将格点△ABC向右平移4个单位得到△AiBiC”再将AiBCi绕点Ci点旋

转180。得到△A汨2c2.

【答案】见解析.

【分析［将ABC向右平移4个单位后，横坐标变为x+4,而纵坐标不变，所以点

Ai、Bi、Cl的坐标可知,确定坐标点连线即可画出图形△AiBiC”将AAiBiC中的

各点Ai、Bi、G旋转180。后，得到相应的对应点A2、B2、C2,连接各对应点即得

△A2B2C2.

【详解】解：如图所示：

32.有5张看上去无差别的卡片，正面分别写着1,2,3,4,5,洗匀后正面向下放

在在桌子上.

(1)从中随机抽取1张，抽出的卡片上的数字恰好是偶数的概率是：

（2）从中随机抽取2张，求抽出的卡片上的数字恰好是两个连续整数的概率.

2

【答案】（1）,

（2）1

【分析】（1）让偶数的个数除以卡片的总张数即可求得相应概率.

（2）利用树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好是两个连续整数的情况数，即可

求出所求概率.

（1）

解：5个数字中，偶数有2,4两个，

2

所以抽出的卡片上的数字恰好是偶数的概率是:

故答案为：

Q）

树状图如下：

第一张

第二张

共有20种等可能的结果，取出的数字是两个连续整数（记为事件A）的结果有8种，

・・・P（A）=|.

【点睛】此题此题主要考查概率的意义及求法，用列表法或树状图法求概率：列表法

可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两

步或两步以上完成的事件，解题时要注意此题是放I可实验还是不放I可实验，用到的知

识点为：概率二所求情况数与总情况数之比.

33.小亮和小芳都想参加学校社团组织的暑假实践活动，但只有一个名额，小亮提议

用如下的办法决定谁去参加活动：将一个转盘平均分成9等分，分别标上I至9九个

号码，随意转动一次转盘，若转到2的倍数，小亮去参加活动；若转到3的倍数，小

芳去参加活动；转到6或者其它号码，则重新转动转盘.

9

81

w

（l）转盘转到2的倍数的概率是多少？

（2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由.

4

【答案】（1）§；（2）游戏不公平，理由见详解

【分析】（1）直接根据概率公式计算可得；

（2）利用概率公式计算出两人获胜的概率即可判断.

【详解】解：（1）•・•共有1,2,3,4,5,6,7,8,9这9种等可能的结果，其中2

的倍数有4个，

4

：・P（转到2的倍数）=-；

（2）游戏不公平，

共有9种等可能的结果，其中3的倍数有3、6、9共3种可能，2的倍数有2,4,6,

8共4种可能，由于转到6时需要重新转转盘，故6舍去，

，小亮去参加活动的概率为：3-9=；,

小芳去参加活动的概率为：I，

12

・・・广>丁

・•・游戏不公平.

【点睛】本题主要考查游戏的公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，

然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平.

34.如图，在平面直角坐标系中，.SBC的三个顶点坐标为4L-4）,以3「3）,

y.

（1）请画出关于/轴对称的△AMG：

⑵将ABC绕点。顺时针旋转90。，画出旋转后得到的：

⑶请求出在（2）中点8经过的路径长（结果保留兀）.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

⑶&兀

【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B,C的对应点A，片，G即可.

（2）利用旋转变换的性质分别作出A,B,C的对应点4，B2,C即可•

（3）结合（2）根据弧长公式即可求出点8经过的路径长.

【详解】（1）解：如图，△A4G即为所求；

(3)解：由图可知8c=5/2?+2?=2&，

点B经过的路径长=9。"2®="r.

180

【点睛】本题考查了作图-旋转变换，作图-轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称

变换，旋转变换的性质，属于中考常考题型.

35.△ABC中，N84C=90。，点。在A4边上，点£在月。边上，连接。£,取8c边

Ap

的中点。，连接。。并延长到点F,使。F=OD,连接CREF,^-=--=k.

ADAB

②如图2,将①中AAOE绕点A旋转，①中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图

2所示情况给出证明；若不成立，请说明理由.

（2）如图3,若女=&,AB=GA。将△AOE由图1位置绕点A旋转，当点C,E,D

三点共线时，请直接写出sin/1的值.

【答案】（1）①1,等腰直角三角形；②成立，理由见解析

【分析】（1）①证明ABOOg△C。尸得。/=8。，/OCF=/B,进而求得结果：②连

接BD,证明△C4£gZ\84。，可得CE=BD,ZACE=ZABD,从而得至I」CE二CE进而

得出N/CE=90。，即可求解；

（2）连接8。，过点A作AG_LCO于点G,由②得：NCAE=4BAD,CF=BD,

ZECF=90\可得点C、A、D、F共圆，Z1=ZACG,然后设4。=小可得k=6,

AB=6AD,从而得到===可得DE=4,从而得到

AG=&a,再利用锐角三角函数，即可求解.

3

【详解】（1）①TO是8c的中点，

：,OB=OC,

在480。和4CO厂中,

*：OB=OC,ZBOD=ZCOF,OD=OF,

：.^BOD^^COF(SAS),

1.CF=BD,NOCF=NB,

•・"=1,

.\AD=AE,AB=AC,

：.BD=CE,

：.CE=CF,

CE

即：彳"

*/ZB+ZACB=90°,

・•・ZOCF+ZACB=90°,

，NECF=90。,

•••△ECT是等腰直角三角形，

故答案为：I,等腰直角三角形;

②仍然成立，理由如下：

连接8D,如图，

D

由(1)得：ABODSF,

：,CF=BD,ZOCF=ZOBD,

•・•ZBAC=ZDAE=90\

/./BAC-/BAE=/DAE-/BAE,

：,ZCAE=ZBAD,

在4。七和4BAD中,

*：AC=AB,NCAE=NBAD,AE=AD,

：./\CAE^/^BAD(SAS),

:・CE=BD,ZACE=ZABDt

:.CE=CF,

*：N4C8+NA8O90。,

ZACE+ZECO+ZABC=90°,

ZA13D+ZECO+ZABC=90°,

ANECO+NQBO=90。，

NEC0+NFC0=9。。,

・••ZFCE=90°,

•••笠CF=1,AECF是等腰直角三角形；

CF

（2）解:如图，连接5。，过点A作4GJ_CD于点G,

由②得：Z.CAE=NBAECF=BD,ZECF=90°,

：.ZECF=ZEAD=9Q°t

・••点CA、D、尸共圆,

：.Z\=ZACG,

设AD=a,

,:k=&，AB=43AD,

AB=6a,AC=>/6tz,AE=y/2a,

,/ZD4E=90\

/.DE=5i,

•・,SMQE=^DEAG=^AEAD,

・A——瓜

••AG=—ci9

3

也

***sinZACD=—=-2=-=->

AC瓜a3

sinZ1=-.

3

【点睛】本题考查了等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，解宜角三角形等知

识，解决问题的关键是作辅助线，转化求值.

36.我们初中学习的频数直方图是用纵轴表示频数，如果现在我们改用纵轴表示

蝙频率（如第一组［50,60）表示数据小于60但不小于50,组距为60-50=10）,这时

组距

每个小矩形的面积就是该组内数据的频率，这种图形称为频率分布直方图.从某校初

三一班的一次数学测试成绩中随机抽取了部分学生成绩，制作了统计表和频率分布直

方图，后来都受到污损，如图所示，根据以上信息，回答下列问题:

分组频数

[50,60)2

[60,70)■

[70,80)10

[80,90)7

[90,100)2

⑴求该样本的样本容量；

（2）计算频率分布直方图中，从左到右第三个矩形的高度；

（3）从分数在［50,70）间的试卷中，随机抽取两份分析学生成绩，求至少有一份分数在

［50,60）间的概率.

【答案】（1）25

（2）0.04

【分析】（1）先求得［50,60）对应矩形的面积即频率为0.08,再由小组的频数为2,

即可求得该样本的样本容量；

(2)先求得先求得［50,60)数据的频率，即可求解；

(3)用列举法求求至少有•份分数在［50,60)间的概率.

(1)

解:由频率分布直方图知［50,60)对应矩形的面积为0.008x10=0.08,即此分组中的

数据频率为0.08,由表知该组的频数为2,

・二统计数据的个数：2-0.08=25；

(2)

解：第三组即［70,80)中数据的频率：^=0.4,

二矩形的高度：器哈二。04:

(3)

解:分组［60,70)中的数据频数为25-(2+10+7+2)=4,这四份试卷分别记为

片也也也；［50,60)中试卷分别记为4,生，从中任取两份的所有情况为

%出,,%瓦,,％瓦,对4,a执,a业,a力4，瓦尻,岫3,片瓦,b力3力力A,b力4,共有15种,

其中至少有一份的分数在［50,60)之间的情况共有9种，

93

所以，至少有一份的分数在［50,60)之间的概率为已=：.

【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，简单概率的求法，考查数形结合思想，是

基础题.

37.把我们常用的一副三角尺按照如图方式摆放：

(1)如图1,两个三角尺的直角边OA、OD摆放在同一直线上，

①易知AB//CD,理由是；

②求出NBOC的度数；

(2)如图2,如果把图1所示的△044以O为中心顺时针旋转得到NOAB、当N

AQA为多少度时，OB，平分NC8；

(3)如图3,两个三角尺的直角边OA、OD摆放在同一直线上，另一条直角边OB、

OC也在同一条直线上，如果把AQ48以O为中心顺时针旋转倜，当旋转多少度

时，两条斜边AB〃CD,请直接写出答案

图I图2图3

【答案】(1)①旁内角互补,两直线平行;②75。；(2)105°；(3)105。或285。

【分析】(1)①由同旁内角互补，两直线平行可证AB〃CD：

②由平角的性质可求解；

(2)由旋转的性质可得NAOB二NA，OB，=45。，由角的数量关系可求解；

(3)分两种情况讨论，由平行线的性质可求解.

【详解】(1)①•••/BAO=NCDO=90。，

AZBAO+ZCDO=180C,

・・・AB〃CD(同旁内角互补，两直线平行)

故答案为：同旁内角互补，两直线平行；

②・.・NAOB=45。，ZCOD=60°,

.,.ZBOC=75°；

(2)VAOAB以O为中心顺时针旋转得到仆OABI

.•.ZAOB=ZA'OB'=45O,

VZCOD=60°,OB，平分NCOD,

:.ZCOB'=30%

ZCOA=ZA'OB-ZCOB^15°,

/.ZA'OB=ZCOB-ZCOA'=60°,

/.ZAOA'=ZAOB+ZA,OB=105°；

(3)当AB，与OD相交于点E时，如图1,

r

・•・ZD=ZA'EO=60°,

VZA'EO=ZB'+ZEOB',

.•.ZEOB'=60°-45o=15°,

，ZBOB=ZCOD+ZEOB'=105°；

当AB，与AO相交于点F时，如图2,

r

AZD=ZATO=60o,

・•・ZA'OF=180°-ZA'FO-ZA'=180°-60°-45°=75°,

/.旋转的角度=36。°-75°=285°,

综上所述：旋转的角度为105。或285°.

【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形的外角性质，正确的识别图

形并灵活运用性质进行推理是本题的关键.

38.。。的半径r=5cm,圆心O到直线1的距离OD=3cm,在直线I上有P,Q,R

三点，且有PD=4cm,QD=5cm,RD=3cm,那么P,Q,R三点与。。的位置关

系各是怎样的？

【答案】点P在。O上；点Q在。O外；点R在。O内.

【分析】连接OR、OP、OQ,根据勾股定理求得OR、OP、OQ的长，再与半径比较

即可解答.

【详解】如图，连接OR,OP,OQ.

•••PD=4c〃?，OD=3cm,且OD_LL,OP=«JPD?+00，=W+3；=5(cm)=r,

，点P在。O上；

VQD=5cm,AOQ=<QD，、00'='5'+3'=\/S(cm)>5cm=r,

・••点Q在。O外；VRD=3c/n,

OR=^R0?*00i=^3>I3J=3>/2(cin)<5cm=r,

•••点R在00内.

【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，解决本题的关键是首先根据勾股定理算出点

到圆心的距离，再比较点到圆心的距离与圆半径大小关系完成判定.

39.如图，四边形ABC、。内接于20,AB是的直径，过点。作©。的切线交

的延长线于点，交B4的延长线于点E且过点A作，。的切线交E尸于

点G,连接4c

⑴求证：A。平分NG4C：

⑵若AD=5,AB=9,求线段力E的长.

【答案】（1）见解析

⑵赃

9

【分析】（1）根据切线长定理得到G4=GQ,则NGW=NGD4,根据圆周角定理推

出AC〃OE,则/CAD=NGD4,进而得到/GAO=NC4。，据此即可得解；

（2）连接交AC于点H,根据切线的性质、平行线的性质推出0H是△A3C的中

I।9

位线，AH=CH=-AC.则。"=58。，设O“=x，则。，=丁r,BC=2x,解直角

2

三角形得到叵，根据矩形的性质即可得解.

9

【详解】（1）证明：:GA、GO是。。的切线，

:・GA=GD,

：,ZGAD=ZGDA,

••.AB是。0的直径，

/.ZACB=90°,

・・・AC_LBE,

,；DE上BE,

：.AC//DE,

：,ZCAD=ZGDAf

：.ZGAD=ZCAD,

，A。平分NGAC；

(2)解：连接OQ,交AC于点H,

E

•・•DE是（DO的切线，

：・OD1DE,

：.NODE=90。,

由（1）知，AC//DE,

：.OD1AC,

：,AH=CH=^AC,ZAHD=ZCHD=90°,

♦：OA=OB,

・・・OH是aABC的中位线，

：.OH=^BC,

•••A8=9,

9

,\OD=-,

2

g

设OH=x,则。”=一一乂BC=2x,

2

・••AC2=AB2-8C?=81-4xz,

，（2A〃）2=81-4*2,

AH2=AD2-DH\AD=5,

•ZHCE=\S00-ZACB=900=ZODE=4CHD,

•四边形。”。£是矩形，

，DE=CH=AH=.

9

【点睛】此题考查了切线长定理、切线的判定与性质，熟记切线的判定定理与性质定

理并作出合理的辅助线是解题的关键.

40.请用科学的方法证明圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一

半.

【答案】证明见解析.

【详解】成题分析：分三类情况讨论：①当圆心。在的一边上时；②当圆心O

在N8AC的内部时；③当圆心O在NBA。的外部时；分别对3种情况下一条弧所对的

圆周角与它所对的圆心角的关系计算说明即可.

试题解析:

①如图(I),当圆心。在NBAC的一边上时,

*：OA=OC,

・•・ZA=ZC,

VZBOC=ZA+ZC,

:.NBAC'NBOC；

2

②如图(2)当圆心。在/84C的内部时，延长B。交。。丁点。，连接8,则

ZD=ZA,

，：OC=OD,

：.ZD=ZOCD,

■:NBOC=ND+NOCD,

•••NBOL2NA,

即N8AC」N8OC.

2

③如图(3),当圆心。在NB4C的外部时，延长BO交00于点E,连接CE,则

NE=NA,

♦：OC=OE,

：.ZE=ZOCE,

ZBOC=ZE+ZOCE,

：.ZB0C=2ZA,

即N84CJNB0C.

2

点睛：本题关键在于借助同弧所对圆周角相等以及三角形外角的性质求证.

41.已知抛物线，=加+《4｝点人是抛物线上一动点，

（I）若点4的坐标为卜&，2）,求小》的关系式；

（2）若该抛物线上任意不同两点S（N，yJ,丁（七,），2）都满足：当为＜元2＜。时，

上二&＜0；当0"＜与时，上上＞°.点尸，。在），轴上，且P0；,

x,-x2NJ4a）

（2（0,4）,以线段AQ为直径作。M,当0M过点P时，△APQ的面积为3；

①求抛物线的解析式；

②是否存在直线）=/,使得直线丁士被。M所截得的弦长为定值？若存在；求/的

值；若不存在，说明理由.

【答案】（1）〃—无b=1

2

⑵①y=：/；②存在直线y=/,使得直线y=f被0M所截得的弦长为定值，为

4

2y/3

【分析】（1）把点A（-&，2）代入广尔+版即可求解：

（2）①根据当内＜/＜。时，\三＜°：当。＜内＜々时，2