沪教版九年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷专题04锐角的三角比(难点)(原卷版+解析)

专题04锐角的三角比（难点）

一、单选题

1.在用一A3C中，NAC4=90。，N4=3O。，CDLAB,垂足为D.下列四个选项中，不正确的是（）

AC&nBC门cBD旧cBC6

AA.---=---B.---=---C,---=---D.---=---

AB2CD2CD3AC3

2.如图，在SBC中，ZACB=90°,CD、CE分别是斜边AB上的高和中线，下列结论不一定成立的是（）

CD

A.ZA=ZDCBB.tanZECB=—C.CD2=ADDBD.BC?=2DBEC

AD

3.在RSA8C中,ZC=90°,CD是高，如果A8=〃?，ZA=a,那么CD的长为（)

A.”sinatanaB."isinacosa

C.〃卜cosatanaD.mcosacota

4.如图，A,B,C,三点在正方形网格线的交点处，若将“BC绕着点人逆时针旋转得到△AC*,则tanB'

的值为（）

5.共享单车为市民出行提供了便利.图1为单车实物图，图2为单车示意图，A3与地面平行，点A、夙

。共线，点。、F、G共线，坐垫C可沿射线班方向调节.已知，ZABE=70°,ZEAB=45°,车轮半径为

30cm,BE=40cm,小明体验后觉得当坐垫。离地面高度为90cm时骑着比较舒适，此时C石的长约为（）

（结果精确到1cm,参考数据：sin70°»0.9,cos70°«0.3,tan7。。H1.4）

G

6.如图所示一座楼梯的示意图，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与C4的夹角为仇现要在楼梯上铺一条

地毯，己知C4=6米，楼梯宽度4米，则地毯的面积至少需要()

2424C.(24+高)米2D.(24+24tan6)米2

A.米2B.米2

sin。cos。

7.因为sin30o=Lsin2100=-L,所以$由210°=$池(180°+30°)=-5苗3()°；因为sin45°=也，

222

sm2250=—立，所以sin2250=sin(18()°+45°)=-sJ?45。，由此猜想，推理知：一般地当。为锐角时有

2

sinil80°+a)=-sina,由此可知：sin240°=().

A.--B.一变C.-立D.一石

222v

8.如图，在矩形AACO中，E为边8上一点，将AADE沿直线AE翻折，使得点。的对应点/落在4c边

上.若AO=4,NDAE=15。，则CE的长度是()

A.8-46B.4x/3-6C.2GD.I

9.如图，在四边形ABCD中，ZABC=ZBCD=90°,AB=3,BC=石，把Ri一ABC沿着AC翻折得到Rf-AEC,

若tanNCED=巫,则线段OE的长度()

3

A.&B.也C.正D.也

3325

10.如图，四边形A8CO为正方形，将△血?绕点。逆时针旋转90。至,〃点。，B,〃在同一直线上,

HE与AB交于点G,延长HE与C。的延长线交于点/，HB=2,HG=3.以下结论：

①N£DC=135。；②EC?=CDCF；③HG=EF；®sinZCED=—.其中正确结论的个数为()

3

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题

II.如图，正方形AFEB和正方形BEDC的边长相等，点小B、。在同一条直线上.连接人4BD,那么

cosNAOB的值为.

12.如图，是△ABC的角平分线，过点。作A。的垂线交边于点E,垂足为点O,当CE为

边A8上的中线，且CE=A。时，则sin/C48=.

13.我们把两个三角形的重心之间的距离叫做重心距.如图，在△ABC中，乙4=45。，NB=30o,CD是△A8C

中边/W上的高，如果8c=6,那么△AOC和△8CO的重心距是.

3

14.如图，AABC中，Z4BC>50°,tanZBAC=^-,8C=4,将三角形绕着点A旋转，点C落在直线A4

4

上的点C处，点4落在点&处，若C、B、8'恰好在一直线上，则A3的长为.

15.如图，在等边./AC内有一点。，AZ)=5,/%>=6,CO=4,将△48。绕A点逆时针旋转，使A8与AC

重合.点。旋转至点E,则/QOE的余弦值为.

3

16.如图，在RtAABC中，^ACB=90,tanZBAC=-,CD是斜边AB上的中线，点E是直线AC

5

左侧一点，联结AE.CE、ED,若EC1CD,NEAC=NB,则I的值为______

JABC

17.阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的定理，是勾股定理在一般三角

形恃形下的推广.对于任意三角形，任何•边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它仅夹角的余弦

的积的两倍.定理解读：如图，在任意工A8c中，以边8c为例，其它两边是A3和AC,A3和AC的夹角

为乙4,根据余弦定理有6c2=4炉+人:2一248.ACcosA,类似的可以得到关于4长和AC?的关系式.已

知在f.ABC中，BC=2,AB=],AC是BC和A8的比例中项，那么D8的余弦值为.

18.已知在RS4BC中，ZC=90°,BC=\,AC=2,以点C为直角顶点的RSOCE的顶点。在加的延

长线匕OE交CA的延长线于点G,若lan/CED=g,CE=GE,那么8。的长等于.

19.如图，在平面直角坐标系中，点A,C分别在x轴，)，轴上，四边形A8C0为矩形，A/3=I6,点。与

点A关于y轴对称，lan/4cB=:，点七、尸分别是线段A。、AC上的动点，(点E不与点4。重合)，

且NCEF=NACB.当△EFC为等腰三角形时，△AEC的面积为.

三、解答题

20.如图，△ABC中，NAC8=90。，CO1AB于点。，E是AC的中点，。月的延长线交BC的延长线于点F,

(1)求证：&BDFs/\DCF；

(2)求BC的长.

2I

21.如图，在644。中，cosZ^C=-,«C=8M/?=9.分别以点从。为圆心、大于弓4。的同样长为半径

作弧，两弧相交于点例、N,直线MN分别交A8、BC于点D、E.

(1)直线MN是线段8c的,BE=;

⑵求点A到直线MN的距离.

22.冬至是一年中太阳光照射最少的日子，如果此时楼房最低层能来到阳光，一年四季整座楼均能受到阳

光的照射，所以冬至是选房买房时确定阳光照射的最好时机.某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼，该

居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼前面20米处要盖一栋高25米的新楼，

已知上海地区冬至正午的阳光与水平线夹角为29。(参考数据：$加29。4).48；如29。=0.87；心〃29。=0.55)

⑴冬至中午时，超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？

(2)若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距多少米？(结果保留整数)

23.如图,已知在锐角三角形A8C中，A8=5,AC=7,N5=600.

⑴求点。到直线A3的距离；

(2)洛,ABC绕点A旋转，点4落在点。处，点C落在点E处.

①当点。在边BC上时，联结CE,求NS迫的正弦值；

②当AD〃8c时，求点8与点E的距离.

24.如图，在小△A6c中，/ACB-90。，AC-12,BC-5,点。是边AC_L的动点，以CO为边在

外作正方形。。底尸，分别联结AE、BE,BE与AC交于点G

备用图

(1)当时，求正方形CQEF的面积；

(2)延长ED交AB『点、H,如果A3口/和△ABG相似,求sinN4BE的值;

(3)当AG=AE时，求CO的长.

25.如图，已知A8C中，ZACB=90°,A8=6,BC=4,。是边A8上一点(与点A、8不重合)，OE平

分NCDB,交边BC干点、E,EFA.CD,垂足为点凡

c

(1)当OE_L4c时，求。石的长；

⑵当cCEb与“〃C相似时，求NCOE的正切值；

(3)如果8。田的面积是。/?尸面枳的2倍.求这时A。的长.

26.如图1,已知锐角△ABC的高A。、8E相交于点凡延长4D至G,使DG=FD,连接BG,CG.

(1)求证:8D4C=AD3G：

(2)如果8c=10,设lan/ABC二机.

①如图2,当NA8G=90。时，用含/〃的代数式表示△8FG的面积;

②当48=8,且四边形BGCE是梯形时，求机的值.

27.已知正二ABC与正ACDE,连接8D,AE.

(1)如图1，。点在BC上，点£在AC上，AE与8。的数量关系为；直线A£与直线8。所夹锐角

为度；

(2)将.COE绕点C顺时针旋转至如图2,(1)中结论是否仍然成立？请说明理由；

(3)若A8=7,CD=3,将二COE绕点。顺时针旋转至8,D,E三点共线时，请画出图形，并求出8。长.

28.已知点P为线段A8上的一点，将线段A尸绕点A逆时针旋转60。，得到线段4C；再将线段绕点8逆时

针旋转120。，得到线段8。；点〃是A。的中点，联结AM、CM.

BB

A

A

D

图1图2

(1)如图1,如果点P在线段CM上，求证：PM//BD；

(2)如图1,如果点P在线段CM上，求证：PC=2PM；

(3)如果点P不在线段CM上(如图12),当点P在线段48上运动时，NBCM的正切值是否发生变化？

如果发生变化，简述理由；如果不发生变化，请求出N8CM的正切值.

29.如图，在矩形A8C。中，A4=8,3c=12,点E在A4上，AE=5,P是AD上一点,将矩形沿PE折叠,

点A落在点A处.连接4C，与正相交于点F,设

(1)AC=；

(2)若点A在N5八C的平分线上，求下。的长；

(3)求点4,。距离的最小值，并求此时tanNAPE的值；

(4)若点4在△A8C的内部，直接写出K的取值范围.

专题04锐角的三角比（难点）

一、单选题

I.在心AA8c中，ZACB=90°,ZA=30°,CD1AB,垂足为D.下列四个选项中，不正

确的是（）

ACyfiBC6BD75BC小

=

而一»~CD~^1~CD~AC3

【答案】B

【分析】由NACB=90°,/4=30°推出人8=28€：,根据C。，AB推出NBCD=NA=30。，

得至|JBC=2BD,设BD=x,则BC=2x,AB=4x,利用勾股定理求出AC、CD,再列式H算进

行判断.

【解析】•••48=90°,24=30°,

・・・AB=2BC,

VCD1AB,

/.ZBCD+ZB=90°,

VZA+ZB=90°,

AZBCD=ZA=30°,

ABC=2BD,

设BD=x,则BC=2x,AB=4x,

,4。=J,-BC，=2氐，CD=\IBC'-BD，=瓜

.AC>/3CO6BC_石BD6

••---=--,---=--,------,---=■,

AB2BC2AC3CD3

故选：B.

【点睛】此题考查直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，解直角三角形，解题

中设BD二x,则BC=2x,AB=4x,用含x的式子表示各线段使计算简便，更易得出答案.

2.如图，在一ABC中，Z4CB=90°,CD、CE分别是斜边A8上的高和中线，下列结论不

一定成立的是（）

c

DB

A.ZA=ZDCBB.tanZECB=—C.CD1=ADDBD.BC2=2DBEC

【答案】B

【分析】根据NAC8=90。，CDA.AB,DB的余角相等艮J可判断A,根据直角三角形斜边上

的中线等于斜边的一半，即E8=EC,可得ZECB=NB,则

tanZECB=tanB=-=^-=tanADCA=4^»即可判断B选项，根据A选项可得

DBCBCD

tan>4=tanZDC^,即0=竺，即可判断C,根据sinA=sinNZX?8,可得

ADCD

BCDB

—=—,EC=2AB,即可判断D选项.

ABBC

【解析】解：ZACB=90°,CDA.AI3,

二/8+ZA=N8+NOC4=90°

:.ZA=ZDCB

故A选项正确，不符合题意；

­•CD、CE分别是斜边A3上的高和中线，

:.EB=EC,^DCA+ZA=90°,Zfi+ZA=90°

ZECB-XB,NDCA-NB

rryArAn

tanNECB=tan^=—=—=tanZDCA=—

DBCB

tanZ.ECB=-----

CD

故B选项不正确，符合题意;

ZA=Z£)CB

„CDDB

tanA=tanZDCnB,即---,

ADCD

•­•CD2=ADDB

故C选项正确，不符合题意;

ZA=/DCB

sinA=sinZ.DCB,即

ABBC

：.BC?=ABDB

又氐<=gAB

•••BC2=2DBEC

故D选项正确，不符合题意.

故选B.

【点睛】本题考查了三角形中线，高线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，锐角三

角函数，找出图中相等的用是解题的关键.

3.在RSABC中，ZC=90°,C。是高，如果ZA=a,那么CO的长为()

A./M-sinatanaB./zz-sinacosa

C.77?-cos<ztanaD."icosacota

【答案】B

【分析】此题根据题意作图根据锐角三角函数表示出AC,再表示出CD即可求出结果.

【解析】解：根据题意作图如下:

由题意知：AI3=m,ZA=a,

AC=ABcosa,

CD=AC•sina=ABcosa•sina,

即CD=力cosa•sina,

故选：B.

【点睛】此题考查锐角三角函数的应用，主要涉及到正弦和余弦，找准对应边是解题关键.

4.如图，A,B,C,三点在正方形网格线的交点处，若将..AAC绕着点A逆时针旋转得

到△473',则tan8'的值为()

A.1B.-C.-D.也

2344

【答案】B

【分析】过C点作CDJ_AB,垂足为D,根据旋转性质可知，ZBf=ZB,把求tanB，的问题,

转化为在RtABCD中求tanB.

【解析】过C点作COJ.A8,垂足为。

则根据旋转性质可知，=

CDI

在RtBCD中，tanB==-

BD3

所以tanB'=tanB=-

3

故选B.

【点睛】本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法.

5.共享单车为市民出行提供了便利.图1为单车实物图，图2为单车示意图，A8与地面

平行，点A、8、。共线，点。、足G共线，坐垫。可沿射线3K方向调节.已知，ZABE=70°,

ZE4B=45°,车轮半径为30cm,,小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为90cm

时骑着比较舒适，此时CE的长约为（）（结果精确到1cm,参考数据：sin70°«0.9,

cos70°»0.3,tan70°»1.4）

图1图2

A.25cmB.27cmC.22cmD.20cm

【答案】B

【分析】过点C作。V_L48,交A8于M,通过构建直角三角形解答即可.

【解析】解：过点C作CMJ_A3,交A8于M,交地面于N

G

图2

由题意可知MN=30cm,当CN=90cm时，CM=60cm,

CM-

•・•心ABCM中，NA8E=70°,sinNA8E=sin700=---u0.9,

CB

ZBC~67cm,

CE*BC-BE=67-40=27cm.

故选B.

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确构建直角三角形是解答本题的关键.

6.如图所示一座楼梯的示意图，8c是铅垂线，C4是水平线，R4与CA的夹角为"现要

在楼梯上铺一条地毯，已知CA=6米，楼梯宽度4米，则地毯的面积至少需要()

A.3米2B.2米2C.(24+三］米2D.(24+24tan。)米2

sin。cos。kianOJ

【答案】D

【分析】在RAA8C中，利用锐角三角函数求出BC,然后根据平移的性质可得在楼梯上铺

的地毯长，从而求出地毯的面积.

【解析】解：在R/A48C中，AC=6,NBAC=。,

••n族第，

^C=ACtan^=6tan/7(米)，

工在楼梯上铺的地毯长=BC+AC=(6+6tan6>)米，

工地毯的面积=4(6+6tan^)=(24+24tan9)平方米，

故选：D.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的计算是解题的关键.

7.因为由13()。=1,sin210°=-4，所以5由21。°=311(180°-30°)=-如130°；因为5由45°=正，

222

sin225°=--,所以sin2250=sin(1800+45o)=Tin45。,由此猜想,推理知:一般地当。为

2

锐角时有sin(18(r+a)=-sina,由此可知：sin240°=().

A.--B.一"C.-且D.一石

222丫

【答案】C

【解析】本题考查的阅读理解能力.由上述公式可得

sin240=sin(180o+60°)=-sin60°=-22..故选择C.

2

8.如图，在矩形ABC。中，E为边C。上一点，将AAZ无沿直线AE翻折，使得点。的对应

点厂落在8C边上.若AO=4,NQA£=15。，则CE的长度是()

A.8-473B.4^-6C.D.1

【答案】B

【分析】根据折叠性质得到JA片AD=4,ZDAF=ZMF=15°,ND=NAFE=90。，进而得到

ZAFB=30°fWRtAABF,求出3〃=26，进而求出CQ4—2百，求出NEFO60。，解

RtACEF,即可求解.

【解析】解：•・•四边形ABCO是矩形，

，NO/W-N“-NC-ND-9()。，AD-BC-A,

由折叠可知，AF=AD=4,^DAE=^FAE=\50,ND=NA尸E=90°,

JNBAF=NBAD-NDAENFAE=60°,

ZB=90°,

，/A尸8=30。，

/.BF=/iF.cosZAFB=4xcos30=2拒、

:.CF=BC-BF=A-26，

VZAFB=30°,ZAFE=90°,

工NE心60。，

工在RsCE尸中，CE=CF-tanZEFC=(4-2x/3)xtan60=(4一2百卜百=4右一6.

故选：B

【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，解直角三角形等知识，理解矩形与折叠性质，根据特

殊角三角形函数值解直角三角形是解题关键.

9.如图，在四边形A6c。中，/ABC-NB8-9。。,AB=3,BC=6,把&沿着

4c翻折得到放二AEC,若tan/CEO=¥，则线段。E的长度()

A.如B.五C.@D.也

3325

【答案】B

【分析】作O"_LCE,根据折叠的性质得NACE=N4C8,BC=EC,然后结合已知条件求出

QM和EM的长度，最后在即AEQM中运用勾股定理求解即可.

【解析】如图所示，作。M_LC£于M点，

VZABC=90°,AB=3'BC=6

A（an/CAB=—,则NC4B=30。，

3

NABC=NBCD=90。,

J.CD//AB,

/.ZACD=ZCAB=30°,

根据折叠的性质得：ZACE=ZACB=60°,BE=BC=6

・••Z£CD=30°,

设。M=x,则C7）=2x,MC=g,

:・EM=EC-MC=50,

・・.DM2x/3

•tanZ.CED=-----=------，

EM3

.x_273

2

解得：x=：，

经检验，工=|是上述分式方程的解，

2A

EM=竺,

33

，在心中，DE=NDM、EM，=

故选：B.

【点睛】本题考查三角形的翻折问题，涉及到勾股定理，解直角三角形等知识点，理解并熟

练运用正切函数的定义是解题关键.

10.如图，四边形A8C。为正方形，将绕点C逆时针旋转90。至“小C,点O,B,

，在同一直线上，HE与AB交于息G,延长”£与C。的延长线交于点r，HB=2,

HG=3.以下结论：

①NEDC=135。；②E。2=8.。/；@HG=EF；@sinZCED=—.其中正确结论的个

3

数为)

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】利用旋转的性质，正方形的性质，可判断①正确；利用三角形相似的判定及性质可

知②正确；证明△GB〃SAEQC,得到器二《|，即言,利用是

等腰直角三角形，求出HE=3邑，再证明AHG8s即可求出所=3可知③正确；

2

过点E作EM交FD于点M,求出sinN石尸（7=竺=立，再证明NOEC=NKPC,即

EF3

可知④正确.

［解析］解：丁/\EDC旋转得到,

/./EDC=NHBC,

:ABC。为正方形，D,B,〃在同一直线上，

，ZHBC=180°-45o=135°,

・・・NEDC=135。，故①正确；

,/△瓦）。旋转得到“BC，

:.EC=HC,NEC”二90。，

JZ/7EC=45°,

工ZFEC=180°-45°=135°,

'：ZECD=ZECF,

/.人EFCs^DEC,

.EC_FC

*，~DC~~EC，

：•EC?=CDCF,故②正确；

设正方形边长为小

NGHB+NBHC=45°,4GHB+NHGB=45。,

：./BHC=/HGB=/DEC,

•・•NGBH=/EDC=135°,

/.&GBHSAEDC,

.DC_EC日n”CDHG3a

，•----=,即CC=-----=—,

HBHGHB2

•/是等腰直角三隹形,

：・HE普

/GHB=NFHD,/GBH=ZHDF=\35°,

:・HBGs.HDF,

~»即2+&43y/2a，解得:EF=3,

HDHF-——+EF

2

'：HG=3,

:・HG=EF,故③正确；

过点E作石MJ_FD交FD于点M,

ZEDM=45°,

;ED=HB=2,

••MD=ME=>/2，

*/EF=3,

，sinZFFC=—=—

EF3

*/ZDEC+ZDCE=45°,ZEFC+ZDCE=45°,

/.4DEC=4EFC，

AsinZDEC=sinZ.EFC故④正确

EF3

综上所述：正确结论有4个，

故选：D

【点睛】本题考查正方形性质，旋转的性质，三角形相似的判定及性质，解直角三角形，解

题的关键是熟练掌握以上知识点，结合图形求解.

二、填空题

H.如图，人加是△WBC的角平分线，过点C作4。的垂线交边于点区垂足为点0,

当CE为△ABC边4B上的中线，且CE=AD时，则sin/C48二

【答案】晟12

1J

【分析】过E点作£7"AD,对应边成比例，AD=CE=Sk,则。£>=2k,0A=6k,作C”_LAE

于点〃，由勾股定理求出AC,在△AC£中用等面积法求出C〃，从而得出答案.

【解析】如图，作E/〃4。交于点凡

•・・AO_LAE,A。平分NO8,

OPCO\

，。是C。中点,

EF-CE-2

•••CE是△ABC的中线,

为中点，――=—，

AD2

*：AD=CE,

令AO=CE=8k,plijOE=OC=4k=EF,0D=2k,0A=6匕

在RmACO中，AC=y/AO2+CO2=小解了+(4kj=2y/13k,

•・・A。垂直平分CE,

•\AC=AE=2\fl3k；

过C点作AHA.AE交AE于点H,

在△ACE中，通过等面积法可得：^AOCE=^-AECH,

22

._A0CE24V13.

••Crun=-----------=---------k,

AE13

在ACH中，sinZCAB=—=

AC13

17

故答案为：—.

1J

【点睛】本题考查等腰三角形的性质，中位线的性质，勾股定理，熟练掌握性质之间的线段

和角度转化是解题的关键.

12.我们把两个三角形的重心之间的距离叫做重心距.如图，在△A8C中，NA=45。，ZB

=30。,。。是443。中边44上的高,如果8。=6,那么44。（?和48CQ的重心距是.

【分析】设△ADC和ABC。的重心分别为例、N,连接CM、CN并延长交AB于E、F点,

首先解直角三角形，可得48的长，再根据重心的性质说明△MCNS/^ECR得尸

=1+6

【解析】解：如图，设△4。。和△8C。的重心分别为M、N,连接CM、CN并延长交人8

于E、尸点，

在CBD中,VZB=30°,

・・・O=/C=3,RD=OCD=3拒,

在RQACO中，・.・A=45°,

・・・AO=CD=3,

•••△4。。和4BCD的重心分别为M、N,

.CMCN2

・•布一孑一3'

•・•/MCN=ZECF,

:.△MCNsAECF,

2

，MN=?E产=1+5

故答案为：l+石.

【点睛】木题主要考杳了重心的性质，三角形相似的判定与性质，解直角三角形等知识，熟

练掌握重心的性质是解题的关键.

3

13.如图，△ABC中，Z4BC>90°,tan/8AC=—,8c=4,将三角形绕着点A旋转，

4

点。落在直线43上的点C处，点3落在点8'处，若C、B、8'恰好在一直线上，则43的

长为.

【分析】作于点M,作CN上AB于点N.PJlJ,设氏W=3x,CN=3y,

则AM=4x,AN=4y,即可利用），表示出8N的长，在直角中利用勾股定理求得）'的

值，进而求得X,得到A5的长.

【解析】解：作9例_LA8于点/，作CN_L/W于点N.则ABM3rsMNC.

^AC=ZBAC,

二设9A/=3x,CN=3y,jlljAM=4x,AN=4yf

「•在直角△中，AB'=ylAM-+B'M-=5x»

则A8=A£=5x,

/.BM-x,

NB'MB=NCNB=90°,NB'BM=NCBN,

:.帖MB5mNC,

-.-CN=-B-'M=—3x=3,,

BNBMx

CN3y

BDNKI=——=-=y.

33

则5x+y=4y,

_3

解得：X=>.

又RtMiCN中，BN2+CN2=BC2

即y2+(3y)2=16,

解得："当

则一也，吟一晅

255

故答案是：缙

【点睛】本题考查了旋转的性质以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是正确理解旋转

的性质，作出辅助线，得到％和y的关系.

14.如图，在等边二ABC内有一点O,AD=5,80=6,8=4,将△A8O绕A点逆时针

旋转，使A8与AC重合，点。旋转至点E,则NDCE的余弦值为.

9

【答案】一##0.9

16

【分析】由旋转的性质证明AAD七是等边三角形和得：AD=DE=AE=5,

CE=BD=6,过点E作E”_CD,垂足为H.设。”=%,则C”=4x由勾股定理得出62-(4-x)

2=52-/,求出C4的长，由锐角三角函数的定义可得出答案.

【解析】解：・・・二•。是等边三角形

：,AB=AC,ZBAC=(^P

绕A点逆时针旋转，且48与4。重合,

AZZME=Z^C=60°,AD=AE

・•・AM坦是等边三角形，

：.AD=DE=AE=5,

*/ABAC-ADAC=ZDAE-ZDAC

：,ZBAD=ZCAE

又AB=AC,AD=AE

：.MBDsMCE

：.CE=BD=6

过点E作EHLCD,垂足为

设DH=x,贝iJC”=4-x.

由勾股定理得：Ell2=CE1-CH1=DE2-DU2,

g|J62-(4-x)2=52-x2,

解得：x=|，

o

27

DH=~,CH=4--=

88T

27

cosZDCE=—=-^-9

EC616

Q

故答案为：弓

16

【点睛】本题考杳了旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握旋转的性质是解题的

关键.

15.如图，在RtAABC中，/4C8=90,tan/84C=m、C。是斜边AB上的中线，点E

S

是直线AC左侧一点，联结AE.CE、F.D,若ECLCD./EAC=NB,贝lj的值

3ABC

为.

【答案】213

【分析】先证明用.AE£精用.CEO,则S.“=SCQ,进而证明，DAEs二8C4,据

3

tan/班。=；求得相似比，根据面积比等于相似比的平方即可求解

【解析】解：CD是RiA6C斜边AB上的中线,

:.CD=-AB=AD

2

:.ZDCA=ZDAC

.Z4c8=90。

.­.ZC4B+Z^=90°

NEAC=NB

ZEACiZDAC=900即NEW=90。

又ECLCD

.\ZECD=90°

：./EAD=/ECD

:.Rt.AED^RtCED

…•”cAED-~“cCED

,DA=DC,EA=EC

..ED±AC

又ZAC8=90。

/.BCLAC

：.EDUBC

:.ZADE=NB

又ZE4D=ZACB=90°

：4.DAE^BCA

3

tanZBAC=-

2

CB_3

"CA=2

设C8=3A,则AC=M

/.AB=>JAC2+BC2=限

AD=-AB=—k

22

••・0qAED_-qJCED

，(电Y

•sCDE_s人次.='AD]_2_J2.

SABCSABC\BC)3k36

故答案为：弓13

【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形全等的性质与判定，相似三角形的性质与判定，

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，垂直平分线的性质与判定，正切的定义，证明

5他0=58°是解题的关键.

16.阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的定理，是勾股定

理在一般三角形情形下的推广.对于任意三角形，任何一边的平方等于其它两边平方的和减

去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.定理解读：如图，在任意，A8c中，以边8c为例,

其它两边是A8和AC,43和AC的夹角为NA,根据余弦定理有

BC2=AB2+AC2-2ABACcosA,类似的可以得到关于A/如和AC?的关系式.已知在

中，BC=2,AB=\,AC是3c和A8的比例中项，那么D"的余弦值为.

3

【答案】-##0.75

4

【分析】根据余弦定理得，AC2=AB2+BC2-2AB^C^COSB,I耳根据4C是和AB的比例中项，

即可推出结果.

【解析】解：根据余弦定埋得，AC2=AB2+Bd-2AB♦BC・a)sB,

丁AC是和AB的比例中项，

:.AC2=AB>BC,

：.AB>BC=AB2+BC2-2AB^BC•COSB,

即1X2=12+22-2X|X2XCOS8,

・

•・cosRB=一3,

4

3

故答案为：4，

【点睛】本题是阅读理解题，考查了线段比例中项的定义，读懂题意，采用类比的方法是解

题的关键.

17.已知在RSABC中，NC=90。，BC=\,AC=2,以点C为直角顶点的RsDCE的顶

点。在84的延长线上，OE交C4的延长线于点G,若【an/CEO=g,CE=GEt那么8。

的长等于.

D

【答案】2+百##石+2

【分析】如图，过点A作于”.先证明4K=AC,推出HK=C〃，进而得到AK=

AD=2即可解答.

【解析】解：如图，过点4作A”_LCE于H.

〈tanZCED=|=tanZBAC,

，/E=NBAC,

•；CE=EG,

:・/CGE=/ECG,

•••/B4C+NGAK=180。，

•••NE+NG4K=180。，

N4G£+NAKE=180。，

•J4KE+/AKC=180。，

・•・/AKC=/CGE,

・••ZAKC=NACK,

：.AC=AK=2,

'：AH±CK,

:,KH=CH,

*：NAHE=NDCK=90。,

：.AH//CD,

：.KA=AD,

：.DK=2AK=4,AD=AK=2,

•・•/AC8=90°,BC=\,4C=2,

•••A8=dAC?+BC?=V22+l2=行，

/.BD=AB+AD=2+\f5.

故答案为：2+亚.

D

【点睛】本题主要考查了解直角二角形、勾股定理、二角形的中位线定理等知识，正确添加

辅助线、构造三角形的中位线是解得本题的关键.

18.如图，在平面直角坐标系中，点A,C分别在x轴，），轴上，四边形A8co为矩形，AB=\6,

4

点。与点A关于y轴对称，tanNAC8=§,点石、产分别是线段人。、AC上的动点，（点

£不与点A,。重合），且NCEr=NAC8.当为等腰三角形时，AAEC的面积为

【答案】160或丁

［分析］根据题意求出8C、AC、OC、OC的长度，再求HZCAO=ZCDO,ZFEA=ZDCE,

从而可得一AE尸S_DCE,再根据EEC为等腰三角形分情况讨论，即可求出Z\AEC的面积.

4

【解析】解：•1AB=16,lan乙4cB=§

，BC=\2

•.•四边形ABCO为矩形

••.04=12,AC=20,<90=16

丁点。与点A关于），轴对称

：,OA=OD=\2,AC=DC=20

ZCAO=ZCDO

VZCEF=ZACB,ZACB=ZCAO

：.Z.CEF=ZACB=NC40=ZCDO

...Z.CEF+Z.FEA=ZCD0+Z.DCE

4FEA=4DCE

当人石”1为等腰三角形时

①当斤=CE时

VZCAO=ZCDO,4FEA=4DCE

:.一AEF冬-DCE

，AE=CD=2Q

APC=-AEXOC=-X20X\()=160

②当所二b时，如图所示，过点/作PG_LEC交EC于点G

■:EF=CF,FGA.EC

QA

，EC=2EG=2EF^cosZCEF=2EF^cosZACB=2EFx-=-EF

55

VZCAO=ZCDO,/FEA=/DCE

:..AEFs」DCE

.EFAE

''^E~~DC

EFAE

A-EF20

5

3

.1八「150*400

..Sc...=—AExOC=—x—x16=----

•八℃r2233

③当b=CE时，则NCEF=NCFE

,?ZCEF=ZACB=ZCAO=ZCDO

/CFE=/CAO

・••此时点厂与点A重合，则点E与点。重合，与题中条件矛盾，故该假设不成立

故答案为：160或竽

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，锐角三角

函数的知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质是解答本题的

关键.

三、解答题

19.如图，AABC中，NAC8=90。，CO_L48于点。，E是AC的中点，0E的延长线交8c

的延长线于点凡EF=5,N8的正切值为g

(1)求证：2BDFsADCF；

⑵求BC的长.

【答案】(1)证明见解析

⑵12

【分析】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的•半得出。族EC，推出NEOONECQ,

求出NH?C=NB,根据NF=N尸证△〜A/7)C,即可；

⑵设。石=心则AC=2r,DF=x+5,由(1)可知△BOF-ZkDCR根据相似三角形对应边的比

相等及正切函数的定义得到与=瘪=段=ianNB=；,则BF=2(x+5),CF=；(x+5),

BFDFBD22

BC=BF-CF=W(x+5),然后在直角△ABC中，根据tanN8=±^二?,得到方程;(A+5)=2X2X,

2BC22

解方程即可求解.

(1)

证明：^CDIAB