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导数的概念1/302.1导数概念

1.曲线切线βy=f(x)PQMΔxΔyOxyβPy=f(x)QMΔxΔyOxy如图,曲线C是函数y=f(x)图象,P(x0,y0)是曲线C上任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)为P邻近一点,PQ为C割线,PM//x轴,QM//y轴,β为PQ倾斜角.2/30PQoxyy=f(x)割线切线T请看当点Q沿着曲线逐步向点P靠近时,割线PQ绕着点P逐步转动情况.3/30我们发觉,当点Q沿着曲线无限靠近点P即Δx→0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处切线.设切线倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ斜率,称为曲线在点P处切线斜率.即:这个概念:①提供了求曲线上某点切线斜率一个方法;②切线斜率本质——函数平均改变率极限.注意,曲线在某点处切线:(1)与该点位置相关;(2)要依据割线是否有极限位置来判断与求解切线。4/30例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx所以,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.求曲线在某点处切线方程基本步骤:先利用切线斜率定义求出切线斜率,然后利用点斜式求切线方程.5/30练习:求曲线上一点P(1,-1)处切线方程.答案:y=3x-4.6/302.瞬时速度

已知物体作变速直线运动,其运动方程为s=s(t)(s表示位移,t表示时间),求物体在t0时刻速度.如图设该物体在时刻t0位置是s(t0)=OA0,在时刻t0+Δt位置是s(t0+Δt)=OA1,则从t0到t0+Δt这段时间内,物体位移是:在时间段(t0+Dt)-t0=Dt内,物体平均速度为:7/30

平均速度反应了物体运动时快慢程度,但要准确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动快慢程度,也既需要经过瞬时速度来反应.

假如物体运动规律是s=s(t),那么物体在时刻t瞬时速度v,就是物体在t到t+Δt这段时间内,当Δt

0时平均速度:例2:物体作自由落体运动,运动方程为:其中位移单位是m,时间单位是s,g=10m/s2.求:(1)物体在时间区间[2,2.1]上平均速度;(2)物体在时间区间[2,2.01]上平均速度;(3)物体在t=2(s)时瞬时速度.8/30解:(1)将Δt=0.1代入上式,得:(2)将Δt=0.01代入上式,得:即物体在时刻t0=2(s)瞬时速度等于20(m/s).当初间间隔Δt逐步变小时,平均速度就越靠近t0=2(s)时瞬时速度v=20(m/s).9/30练习:某质点沿直线运动,运动规律是s=5t2+6,求:(1)2≤t≤2+Δt这段时间内平均速度,这里Δt取值范围为1;(2)t=2时刻瞬时速度.10/303.导数概念从上面两个实例,一个是曲线切线斜率,一个是瞬时速度,详细意义不一样,但经过比较能够看出它们数学表示式结构是一样,即计算极限,这就是我们要学习导数定义.定义:设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义,当自变量x在点x0处有改变量Δx时函数有对应改变量Δy=f(x0+Δx)-f(x0).假如当Δx0时,Δy/Δx极限存在,这个极限就叫做函数f(x)在点x0处导数(或改变率)记作即:11/30如瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t导数.是函数f(x)在以x0与x0+Δx为端点区间[x0,x0+Δx](或[x0-Δx,x0])上平均改变率,而导数则是函数f(x)在点x0处改变率,它反应了函数随自变量改变而改变快慢程度.假如函数y=f(x)在点x=x0存在导数,就说函数y=f(x)在点x0处可导,假如极限不存在,就说函数f(x)在点x0处不可导.12/30由导数意义可知,求函数y=f(x)在点x0处导数基本方法是:13/30例1:(1)求函数y=x2在x=1处导数;(2)求函数y=x+1/x在x=2处导数.14/3015/30假如函数y=f(x)在区间(a,b)内每一点都可导,就说函数y=f(x)在区间(a,b)内可导.这时,对每一个x

(a,b)都有唯一确定导数值与它对应,这么在区间(a,b)内就组成一个新函数.这个新函数叫做函数f(x)在区间(a,b)内导函数,记作,即:在不致发生混同时,导函数也简称导数.

假如函数y=f(x)在点x0处可导,那么函数在点x0处连续.16/30求函数y=f(x)导数可分以下三步:17/3018/304.导数几何意义函数y=f(x)在点x0处导数几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线斜率,即曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线斜率是.故曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线方程是:例1:设f(x)为可导函数,且满足条件,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线斜率.故所求斜率为-2.19/30例2:如图,已知曲线,求:

(1)点P处切线斜率;(2)点P处切线方程.

yx-2-112-2-11234OP即点P处切线斜率等于4.

(2)在点P处切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.20/30例1:判断以下各命题真假:(1)已知函数y=f(x)图象上点列P1,P2,P3,…Pn…,则过P0与Pn两点直线斜率就是函数在点P0处导数.答:由函数在点P0处导数几何意义知:函数在点P0处导数是过P0点曲线(即函数y=f(x)图象)切线斜率,而不是割线P0Pn斜率,故它是一个假命题.(2)若物体运动规律是S=f(t),则物体在时刻t0瞬时速度V等于答:因为它完全符合瞬时速度定义,故它是一个真命题.(3)若函数y=f(x)定义域为A,则对任一只要函数在x0处连续,则就必存在.5.例题选讲21/30答:它是一个假命题.比如,函数在x=0处连续,但它在x=0处导数不存在.(4)设是函数y=f(x)图象上三点,且函数在P1,P2,P3

三点处导数均存在.若,则必有答:,因为f(x)导函数未必是单调增函数.所以,不一定成立,比如f(x)=x3,则显然有故是假命题.说明:要正确判断命题真假,需真正了解:曲线在点P处切线斜率、瞬时速度、连续与可导等概念,还要把握好要确定一个命题为真命题,则需给出论证,而要给出否定结论,举一个反例就足够了.22/30例2:设函数f(x)在点x0处可导,求以下各极限值:分析:利用函数f(x)在点x0处可导条件,将题目中给定极限恒等变形为导数定义形式.注意在导数定义中,自变量增量Δx形式是多样,但不论Δx选择哪种形式,Δy也必须选择与之相对应形式.23/30例3:证实:(1)可导偶函数导函数为奇函数;(2)可导奇函数导函数为偶函数.证:(1)设偶函数f(x),则有f(-x)=f(x).(2)仿(1)可证命题成立,在此略去,供同学们在课后练习用.24/30练习1:设函数f(x)在点x0处可导,求以下各极限值:练习2:设函数f(x)在点x=a处可导,试用a、f(a)和25/30例4:判断函数y=|3x-1|在x=1/3处是否可导.从而函数y=|3x-1|在x=1/3处不可导.注:这是一个函数在某点连续但不可导例子.26/30练习3:函数f(x)=|x|(1+x)在点x0=0处是否有导数?若有,求出来,若没有,说明理由.故函数f(x)=|x|(1+x)在点x0=0处没有导数,即不可导.27/306.小结a.导数是从众多实际问题中抽象出来含有相同数学表示式一个主要概念,要从它几何意义和物理意义了认识这一概念实质,学会用事物在全过程中发展改变规律来确定它在某一时刻状态。b.要切实掌握求导数三个步骤:(1)求函数增量;(2)求平均改变率;(3)取极限,得导数。c.搞清“函数f(x)在点x0处导数”、“导函数”、“导数”之间区分与联络。(1)函数在一点处导数,就是在该点函数改变量与自变量改变量之比极限,它是一个常数,不是变数。(2)函数导数,是指某一区间内任意点x而言,就是函数f(x)导函数。28/30(3)假如函数y=f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导,就说函数y=f(x)在开区间(a,b)内可导,这时,对于开区间内每一个确定值x0,都对应着一个确定导数,这么就在开区间(a,b)内可组成一个新函数,称作f(x)导函数。(4)函数f(x)在点x0处导数就是导函数在x=x0处函数值,即。这也是求函数在点x0处导数方法之一。d.函数f(x)在点x0处有导数,则在该

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