2024年平面向量知识点

1．向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長度(或称模)平面向量是自由向量零向量長度為0的向量；其方向是任意的记作0單位向量長度等于1個單位的向量非零向量a的單位向量為±eq\f(a,|a|)平行向量方向相似或相反的非零向量0与任历来量平行或共线共线向量方向相似或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量長度相等且方向相似的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量長度相等且方向相反的向量0的相反向量為02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两個向量和的运算(1)互换律：a＋b＝b＋a.(2)結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).減法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)當λ>0時，λa的方向与a的方向相似；當λ<0時，λa的方向与a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，當且仅當有唯一一种实数λ，使b＝λa.4．平面向量基本定理假如e1、e2是同一平面内的两個不共线向量，那么對于這一平面内的任意向量a，有且只有一對实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1、e2叫做表达這一平面内所有向量的一组基底．5．平面向量的坐標运算(1)向量加法、減法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐標的求法①若向量的起點是坐標原點，则终點坐標即為向量的坐標．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r((x2－x1)2＋(y2－y1)2).6．平面向量共线的坐標表达设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.7．平面向量的数量积已知两個非零向量a与b，它們的夹角為θ，则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b＝|a||b|cosθ.规定：零向量与任历来量的数量积為__0__.两個非零向量a与b垂直的充要条件是a·b＝0，两個非零向量a与b平行的充要条件是a·b＝±|a||b|.8．平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的長度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．9．平面向量数量积的重要性质(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ；(2)非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0；(3)當a与b同向時，a·b＝|a||b|；當a与b反向時，a·b＝－|a||b|，a·a＝|a|2，|a|＝eq\r(a·a)；(4)cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)；(5)|a·b|__≤__|a||b|.10．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b＝b·a(互换律)；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ為实数)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.11．平面向量数量积有关性质的坐標表达设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝eq\r(x2＋y2).(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两點间的距离|AB|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r((x2－x1)2＋(y2－y1)2).(3)设两個非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.12．向量在平面几何中的应用(1)用向量处理常見平面几何問題的技巧：問題类型所用知识公式表达线平行、點共线等問題共线向量定理a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)垂直問題数量积的运算性质a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a，b為非零向量夹角問題数量积的定义cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)(θ為向量a，b的夹角)長度問題数量积的定义|a|＝eq\r(a2)＝eq\r(x2＋y2)，其中a＝(x，y)《平面向量》單元测试卷一、选择題：（本題共10小題，每題4分，共40分）1．下列命題中的假命題是（）A、的長度相等；B、零向量与任何向量都共线；C、只有零向量的模等于零；D、共线的單位向量都相等。2．A、①④⑤B、③C、①②③⑤D、②③⑤3．围成一种三角形。则命題甲是命題乙的（）A、充足不必要条件B、必要不充足条件C、充要条件D、非充足也非必要条件4．A、B、C、D、5．A、B、C、D、6．如图1，△ABC中，D、E、F分别是边BC、CA和AB的中點，G是△ABC中的重心，则下列各等式中不成立的是（）A、B、C、D、7．A、B、C、D、8．A、B、3 C、D、-29．A、B、C、D、10．的模之比值為（）A、B、C、D、二、填空題（本題共4小題，每題5分，共20分）11．12．13．x=。14．三、解答題：本題共4小題，每題10分，共40分15．已知记.（1）求的周期和最小值；（2）若按平移得到，求向量.17．设（1）计算18．已知向量EQ\o(a,\s\up5(→))＝(cosEQ\f(3,2)x，sinEQ\f(3,2)x)，EQ\o(b,\s\up5(→))＝(cosEQ\f(x,2)，－sinEQ\f(x,2))，其中x∈[0，EQ\f(π,2)](1)求EQ\o(a,\s\up5(→))·EQ\o(b,\s\up5(→))及|EQ\o(a,\s\up5(→))＋EQ\o(b,\s\up5(→))|；(2)若f(x)＝EQ\o(a,\s\up5(→))·EQ\o(b,\s\up5(→))－2λ|EQ\o(a,\s\up5(→))＋EQ\o(b,\s\up5(→))|的最小值為－EQ\f(3,2)，求λ的值参照答案一、1．D 2．B 3．B 4．C 5．A 6．B 7．A 8．A 9．D 10．A二、11．［0，2］12．13．-1 14．±15三、15．16．解：（1）∵=（4cos，3sin），=（3cos，4sin）∴||=||=1又∵（+）·（－）=2－2=||2－||2=0∴（+）⊥（－）（2）|+|2=（+）2=||2+||2+2·=2+2··=又·=（cos）=∴∵∴＜＜0∴sin（）=∴sin=sin（）·cos=17．解：18．解：(1)EQ\o(a,\s\up5(→))·EQ\o(b,\s\up5(→))＝cosEQ\f(3,2)xcosEQ\f(x,2)－sinEQ\f(3,2)xsinEQ\f(x,2)＝cos2x，|EQ\o(a,\s\up5(→))＋EQ\o(b,\s\up5(→))|＝EQ\r(2＋2cos2x)＝2cosx(2)f(x)＝EQ\o(a,\s\up5(→))·EQ\o(b,\s\up5(→))－2λ|EQ\o(a,\s\up5(→))＋EQ\o(b,\s\up5(→))|＝cos2x－4λcosx＝2cos2x－1－4λcosx＝2(cosx－λ)2－2λ2－1注意到x∈[0，EQ\f(π,2)]，故cosx∈[0，1]，若λ＜0，當co