2025年陕西省西安市碑林区西北工大附中中考数学四模试卷【含答案】

2025年陕西省西安市碑林区西北工大附中中考数学四模试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）1．（3分）在0，−1A．0 B．13 C．﹣3 D．2．（3分）“数学”的英文缩写为“math”，下列四个字母中，属于中心对称图形的是（）A．B． C． D．3．（3分）如图，AB∥CD，过点D作DE⊥AC于点E．若∠D＝50°，则∠A的度数为（） A．130° B．140° C．150° D．160°4．（3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（）A．ab＞0 B．a+b＜0 C．a+2＞b+2 D．|a﹣1|＞|b﹣1|5．（3分）一次函数y＝kx+b（k＜0）与y＝x+3交于点P（m，5），则关于x的方程kx+b＝x+3的解为（）A．x＝2 B．x＝3 C．x＝4 D．x＝56．（3分）如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，AE⊥BC于点E，连接OE．若AB=5，OE＝1，则cos∠BAEA．25 B．35 C．457．（3分）如图，点A，B，C，D都在半径为4的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA＝30°，则弦BC的长为（）A．43 B．23 C．38．（3分）抛物线y＝x2﹣bx+c与直线y＝1交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（）A．b2﹣4c＞0 B．b＝2 C．c﹣b＜0 D．c＞0二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）9．（3分）若am＝2，an＝5，则a2m+n＝．10．（3分）图中表示被撕掉一块的正n边形纸片，若a⊥b，则n的值是． 11．将一组数2，2，6，212．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ADB的边DB在y轴上，边AB与x轴交于点C，且BC＝2AC，AD∥x轴，反比例函数y=kx的图象经过点A，若S△OBC＝4，则k＝ 13．（3分）在△ABC中，BC＝10，∠C＝45°，∠B＝30°，延长CA至点D，过点D分别作DE⊥BC，交直线BC于点E，作DF⊥BA，交直线BA点F，连接FE，线段FE的最小值为．三、解答题（共13小题，计81分.解答要写出过程）14．（5分）计算：3×(−15．（5分）分式化简：（1−3x+2）16．（5分）解不等式组：x417．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，请用尺规作图的方法在AB边上找一点D，使得△BCD∽△BAC．（保留作图痕迹，不写作法）18．（5分）已知：如图，点E，A，C在同一直线上，AB∥CD，AB＝CE，AC＝CD．求证：BC＝ED．19．（5分）陕西铜川耀州瓷是北方青瓷的代表，有“巧如范金，精比琢玉”的美誉．陶瓷器一烧制耀州瓷茶具，每套茶具由1个茶壶和6只茶杯组成，用1千克瓷泥可做3个茶壶或9只茶杯．现要用6千克瓷泥全部制作这类茶具，则用多少千克瓷泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套？20．（5分）某校阅读社团将《西游记》中的四位人物的肖像制成编号为A、B、C、D的四张（除编号和人物肖像外其余完全相同）卡片，活动时学生根据所抽取的卡片来讲述他们在书中的故事．游戏规则如下：先将四张卡片背面朝上，洗匀放好．小林先从中随机抽取一张，把剩下的3张卡片洗匀后，背面向上放好，小梅再从3张卡片中随机抽取一张．（1）小林抽到孙悟空的概率为，（2）若他们取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系，则由小林讲述，否则由小梅讲，用列表法或画树状图法说明这个游戏规则对双方是否公平？21．（6分）近年来随着人们生活水平的提高，海鲜受到众多家庭的喜爱．某扇贝养殖场今年采用新技术投资养殖了500万笼扇贝，并且全部被订购．已知每笼扇贝的成本是60元，售价是120元．打捞出售过程中发现，一部分扇贝生长情况不符合要求，最后只能按照20元一笼出售，如果利润为y万元，不符合要求的扇贝有x万笼．（1）求利润y关于x的关系式；（2）当符合要求的扇贝有多少万笼时，养殖场不赔不赚？22．（7分）眼睛是心灵的窗户，每年的6月6日定为全国爱眼日，小林想要探究自己按照标准护眼姿势读书时书籍应离身体多远，画出如图的侧面示意图，点A为眼睛的位置，A到书籍EC的距离AD为40cm，AD与水平方向夹角∠FAD＝20°，小林在书桌上方的身长AB为54cm，且AB垂直于水平方向，请你求出小林与书籍底端的水平距离BC．（参考数据：sin20°≈723．（7分）为了调查学生对“航空航天”知识的了解程度，某校从2400名学生中随机抽取了一些学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表：成绩统计表组别成绩x（分）百分比A组x＜605%B组60≤x＜7015%C组70≤x＜80aD组80≤x＜90bE组90≤x≤10025%根据所给信息，解答下列问题：（1）本次调查的成绩统计表中a＝，b＝，所抽取的学生成绩的中位数会落在组（填A、B、C、D或E）；（2）补全条形统计图；（3）试估计该校2400名学生中成绩在80分以上（包括80分）的人数．24．（8分）如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径作⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为E，延长DE交AB的延长线于点F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若BE＝2，BF＝6，求sinC的值．25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2+bx+c与直线AC（1）求该抛物线的函数表达式；（2）将该抛物线沿水平方向向右平移3个单位，平移后抛物线与y轴交于点F，原抛物线上有一点P（2，﹣4），点M为平移后点P的对应点，N为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点Q，使得以点M，F，N，Q为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点Q的坐标．26．（10分）（1）在△ABC中，∠A＝30°，AC＝4，AB＝3，则△ABC的面积是．（2）在等边△ABC中，点D为BC边的中点，∠EDF＝30°，点E、F分别为AB、AC边上一点，若BC＝8，CF＝5，求EF的长．（3）如图所示，道路BC的一侧是一片足够大的空地，现计划在这片空地上规划一个四边形公园BEFC．按设计要求，∠B＝∠C＝30°，在小路BC上有一点D，满足BD＝80米，CD＝100米，从点D计划修两条小路DE、DF，两条小路互相垂直，即DE⊥DF，小路将公园分成三个小园区，其中△EDF为花园绿化区，△EBD为儿童乐园区，△DFC为全民活动区，为满足各功能场所用地需要，想要花园绿化区面积尽可能小，请问是否存在符合要求的面积最小的花园绿化区△EDF？若存在，求出△EDF面积最小值，若不存在，请说明理由．

参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案CDBDACAC一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）1．（3分）在0，−1A．0 B．13 C．﹣3 D．【分析】利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．【解答】解：∵﹣3＜−13＜∴最小的数是：﹣3．故选：C．【点评】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．2．（3分）“数学”的英文缩写为“math”，下列四个字母中，属于中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．【解答】解：A．该图不是中心对称图形，故不符合题意；B．该图不是中心对称图形，故不符合题意；C．该图不是中心对称图形，故不符合题意；D．该图是中心对称图形，故符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．（3分）如图，AB∥CD，过点D作DE⊥AC于点E．若∠D＝50°，则∠A的度数为（）A．130° B．140° C．150° D．160°【分析】利用三角形内角和定理先得出∠C的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补即可求出∠A．【解答】解：∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°，在△CDE中，∠D＝50°，∠DEC＝90°，∴∠C＝40°，又∵AB∥CD，∴∠A+∠C＝180°，∴∠A＝180°﹣∠C＝140°．故选：B．【点评】本题主要考查三角形内角和定理、平行线的性质，熟记三角形的内角和等于180°以及平行线的性质是解题关键．4．（3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（）A．ab＞0 B．a+b＜0 C．a+2＞b+2 D．|a﹣1|＞|b﹣1|【分析】先观察数轴判断a，b的大小和绝对值的大小关系，然后根据有理数的乘法法则、加法法则、不等式的基本性质和绝对值的性质对各个选项进行判断即可．【解答】解：观察数轴可知：﹣1＜a＜0，1＜b＜2，|b|＞|a|，a＜b，∴a﹣1＜b﹣1，∴ab＜0，a+b＞0，a+2＜b+2，|a﹣1|＞|b﹣1|，∴A，B，C选项均错误，D选项正确，故选：D．【点评】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握有理数的加减乘除法则和绝对值的性质．5．（3分）一次函数y＝kx+b（k＜0）与y＝x+3交于点P（m，5），则关于x的方程kx+b＝x+3的解为（）A．x＝2 B．x＝3 C．x＝4 D．x＝5【分析】先利用y＝x+3确定P点坐标，然后根据方程的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标的横坐标进行判断．【解答】解：把P（m，5）代y＝x+3，得m+3＝5，∴m＝2，∴P（2，5），∴关于x的方程kx+b＝x+3的解为x＝2，故选：A．【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）的关系，熟练掌握“方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标”是解题的关键．6．（3分）如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，AE⊥BC于点E，连接OE．若AB=5，OE＝1，则cos∠BAEA．25 B．35 C．45【分析】由菱形的性质得BC＝AB=5，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，再由直角三角形的性质得AC＝2OE＝2，则OA＝1，进而由勾股定理求出OB＝2，则BD＝4，然后由菱形的面积求出AE【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝AB=5，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD∵AE⊥BC，∴∠AEC＝∠AEB＝90°，∴AC＝2OE＝2，∴OA=12在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB=A∴BD＝2OB＝4，∵AE⊥BC，四边形ABCD是菱形，∴S菱形ABCD＝BC•AE=12AC•BD∴AE=4∴cos∠BAE=AE故选：C．【点评】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．7．（3分）如图，点A，B，C，D都在半径为4的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA＝30°，则弦BC的长为（）A．43 B．23 C．3【分析】由垂径定理推出AB=AC，BC＝2BH，由圆周角定理得到∠AOB＝2∠CDA＝60°，由sinO=BHOB，求出BH＝2【解答】解：∵OA⊥BC，∴AB=AC，BC＝2∴∠AOB＝2∠CDA＝2×30°＝60°，∵sinO＝sin60°=BHOB=∴BH＝23，∴BC＝43．故选：A．【点评】本题考查垂径定理，解直角三角形，圆周角定理，关键是由圆周角定理得到∠AOB＝2∠CDA，由锐角的正弦定义求出BH的长．8．（3分）抛物线y＝x2﹣bx+c与直线y＝1交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（）A．b2﹣4c＞0 B．b＝2 C．c﹣b＜0 D．c＞0【分析】依据题意，抛物线y＝x2﹣bx+c与直线y＝1交于两点，分别为（x1，1）和（x2，1），且x1＜1，再根据（x1﹣1）（x2﹣1）＜0解得即可．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣bx+c与直线y＝1交于两点，分别为（x1，1）和（x2，1），且x1＜1，∴x1﹣1＜0，x2﹣1＞0，∴（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，∴x1x2﹣（x1+x2）+1＜0．由题意，方程x2﹣bx+c﹣1＝0的两根满足上述关系，∴c﹣1﹣b+1＜0，∴c﹣b＜0．故选：C．【点评】本题主要考查二次函数图象和性质．掌握根与系数的关系是解题的关键．二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）9．（3分）若am＝2，an＝5，则a2m+n＝20．【分析】原式利用幂的乘方运算法则变形，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵am＝2，an＝5，∴原式＝（am）2×an＝20，故答案为：20【点评】此题考查了幂的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．（3分）图中表示被撕掉一块的正n边形纸片，若a⊥b，则n的值是8．【分析】延长a、b交于点C，根据a⊥b得到∠ACB＝90°，于是可以得到正多边形的一个外角为45°，进而可得正多边形的边数．【解答】解：如图，延长a，b交于点C，∵a⊥b，∴∠ACB＝90°，∴正多边形的一个外角为12∴n=360故答案为：8．【点评】本题主要考查多边形的内角和外角和，掌握相关定义是解题的关键．11．（3分）将一组数2，2，6，22，【分析】根据题意可知，前五行共有15个数，因此第六行左起第1个数是这组数的第16个数，据此求解即可．【解答】解：∵第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数，⋯，∴第五行有5个数，∴第六行左起第1个数在这组数的个数为：1+2+3+4+5+1＝16，∴第六行左起第1个数是2×16=42故答案为：42．【点评】本题考查的是数字的变化规律，从题目中归纳出一般规律是解题的关键．12．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ADB的边DB在y轴上，边AB与x轴交于点C，且BC＝2AC，AD∥x轴，反比例函数y=kx的图象经过点A，若S△OBC＝4，则k＝【分析】AD⊥y轴，垂足为E，然后证明△AEC≌△OBC，△BOC≌△ADB，从而得出三角形AEC和四边形ACOD的面积，从而得出矩形AEOD的面积，根据反比例函数系数k的几何意义即可得出k的值．【解答】解：过点A作x轴的垂线，垂足为E，∵AE⊥x轴，OB⊥x轴，∴AE∥OB，∴△AEC≌△OBC，∴S△AECS△BOC=（∵BC＝2AC，S△OBC＝4，∴S△AEC=14S△∵AD∥x轴，∴△BOC≌△ADB，∴S△BOCS△ABD=（∵BC＝2AC，S△OBC＝4，∴AB=32∴S△ABD＝9，∴S四边形ACOD＝9﹣4＝5，∴S矩形AEOD＝S△AEC+S△BOC＝1+5＝6，∴|k|＝6，∵∵反比例函数图象在第二象限，∴k＝﹣6，故答案为：﹣6．【点评】本题考查反比例函数k值的几何意义，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数k值的几何意义：反比例函数图象上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得的矩形的面积为|k|．13．（3分）在△ABC中，BC＝10，∠C＝45°，∠B＝30°，延长CA至点D，过点D分别作DE⊥BC，交直线BC于点E，作DF⊥BA，交直线BA点F，连接FE，线段FE的最小值为522【分析】如图，连接BD，设AB，DE交于点O．证明EF=12BD，求出【解答】解：如图，连接BD，设AB，DE交于点O．∵DE⊥BC，DF⊥AB，∴∠BEO＝∠DFO＝90°，∵∠BOE＝∠DOF，∴△BOE∽△DOF，∴OBOD∴OBOE∵∠DOB＝∠FOE，∴△DOB∽△FOE，∴EFDB∵∠OEB＝90°，∠OBE＝30°，∴OB＝2OE，∴EFBD∴EF=12∴当BD⊥CD时，BD的值最小，最小值＝BC•sin45°＝52，∴EF的最小值为52故答案为：52【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，垂线，三角形内角和定理，解直角三角形，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．三、解答题（共13小题，计81分.解答要写出过程）14．（5分）计算：3×(−【分析】利用二次根式的运算法则，负整数指数幂，有理数的乘方法则，绝对值的性质计算即可．【解答】解：原式＝﹣32−＝7﹣32．【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．15．（5分）分式化简：（1−3x+2）【分析】先算括号内的式子，再算括号外的除法即可．【解答】解：（1−3x+2=x+2−3x+2•=x−1x+2•=2【点评】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．16．（5分）解不等式组：x4【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：x4解不等式①，得x＞0，解不等式②，得x≤4，∴不等式组的解集为0＜x≤4．【点评】本题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．17．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，请用尺规作图的方法在AB边上找一点D，使得△BCD∽△BAC．（保留作图痕迹，不写作法）【分析】结合相似三角形的判定，过点C作AB作CD⊥AB于点D，则点D即为所求．【解答】解：如图，过点C作AB作CD⊥AB于点D，此时∠BDC＝∠BCA，∠CBD＝∠ABC，则△BCD∽△BAC，则点D即为所求．【点评】本题考查作图﹣相似变换，熟练掌握相似三角形的判定是解答本题的关键．18．（5分）已知：如图，点E，A，C在同一直线上，AB∥CD，AB＝CE，AC＝CD．求证：BC＝ED．【分析】首先由AB∥CD，根据平行线的性质可得∠BAC＝∠ECD，再有条件AB＝CE，AC＝CD可证出△BAC和△ECD全等，再根据全等三角形对应边相等证出CB＝ED．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ECD，在△BAC和△ECD中AB=EC∠BAC=∠ECD∴△BAC≌△ECD（SAS），∴CB＝ED．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．19．（5分）陕西铜川耀州瓷是北方青瓷的代表，有“巧如范金，精比琢玉”的美誉．陶瓷器一烧制耀州瓷茶具，每套茶具由1个茶壶和6只茶杯组成，用1千克瓷泥可做3个茶壶或9只茶杯．现要用6千克瓷泥全部制作这类茶具，则用多少千克瓷泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套？【分析】设用x千克瓷泥做茶壶，则用（6﹣x）千克瓷泥做茶杯，利用制作的茶杯的总数量是制作茶壶的总数量的6倍，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设用x千克瓷泥做茶壶，则用（6﹣x）千克瓷泥做茶杯，根据题意得：6×3x＝9（6﹣x），解得：x＝2．答：用2千克瓷泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．20．（5分）某校阅读社团将《西游记》中的四位人物的肖像制成编号为A、B、C、D的四张（除编号和人物肖像外其余完全相同）卡片，活动时学生根据所抽取的卡片来讲述他们在书中的故事．游戏规则如下：先将四张卡片背面朝上，洗匀放好．小林先从中随机抽取一张，把剩下的3张卡片洗匀后，背面向上放好，小梅再从3张卡片中随机抽取一张．（1）小林抽到孙悟空的概率为14（2）若他们取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系，则由小林讲述，否则由小梅讲，用列表法或画树状图法说明这个游戏规则对双方是否公平？【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）列表可得所有等可能结果，从表格中得出取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系的结果数，继而求出小东、小华讲的概率，从而得出答案．【解答】解：（1）小林抽到孙悟空的概率为14故答案为：14（2）游戏规则公平，理由如下：列表如下ABCDA（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）共有12种等可能的结果，由表知，他们取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系的结果有6种，∴由小东讲的概率为612则由小华讲的概率为1−1∴此游戏规则公平．【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．21．（6分）近年来随着人们生活水平的提高，海鲜受到众多家庭的喜爱．某扇贝养殖场今年采用新技术投资养殖了500万笼扇贝，并且全部被订购．已知每笼扇贝的成本是60元，售价是120元．打捞出售过程中发现，一部分扇贝生长情况不符合要求，最后只能按照20元一笼出售，如果利润为y万元，不符合要求的扇贝有x万笼．（1）求利润y关于x的关系式；（2）当符合要求的扇贝有多少万笼时，养殖场不赔不赚？【分析】（1）利用总利润＝（120﹣60）×符合要求的扇贝的笼数+（20﹣60）×不符合要求的扇贝的笼数，即可得出y关于x的关系式；（2）代入y＝0，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意得：y＝（120﹣60）（500﹣x）+（20﹣60）x，∴y＝﹣100x+30000；（2）根据题意得：﹣100x+30000＝0，解得：x＝300，∴500﹣x＝500﹣300＝200（万笼）．答：当符合要求的扇贝有200万笼时，养殖场不赔不赚．【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及根据实际问题列一次函数关系式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．22．（7分）眼睛是心灵的窗户，每年的6月6日定为全国爱眼日，小林想要探究自己按照标准护眼姿势读书时书籍应离身体多远，画出如图的侧面示意图，点A为眼睛的位置，A到书籍EC的距离AD为40cm，AD与水平方向夹角∠FAD＝20°，小林在书桌上方的身长AB为54cm，且AB垂直于水平方向，请你求出小林与书籍底端的水平距离BC．（参考数据：sin20°≈7【分析】过点D作DH⊥AB，垂足为H，过点D作DP⊥BG，垂足为P，根据题意可得：DP＝BH，DH＝BP，∠PDH＝90°，AF∥DH，从而可得∠FAE＝∠ADH＝20°，再根据垂直定义可得：∠ADC＝∠PDH＝90°，从而利用等式的性质可得∠CDP＝∠ADH＝20°，然后在Rt△ADH中，利用锐角三角函数的定义求出AH和DH的长，从而求出DP的长，再在Rt△DPC中，利用锐角三角函数的定义求出CP的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．【解答】解：过点D作DH⊥AB，垂足为H，过点D作DP⊥BG，垂足为P，由题意得：DP＝BH，DH＝BP，∠PDH＝90°，AF∥DH，∴∠FAE＝∠ADH＝20°，∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°，∴∠ADC＝∠PDH＝90°，∴∠ADC﹣∠CDH＝∠PDH﹣∠CDH，∴∠CDP＝∠ADH＝20°，在Rt△ADH中，AD＝40cm，∴AH＝AD•sin20°≈40×720=DH＝AD•cos20°≈40×910=∴DH＝BP＝36cm，∵AB＝54cm，∴DP＝AB﹣AH＝54﹣14＝40（cm），在Rt△DPC中，CP＝DP•tan20°≈40×38=∴BC＝BP﹣CP＝36﹣15＝21（cm），∴小林与书籍底端的水平距离BC约为21cm．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．23．（7分）为了调查学生对“航空航天”知识的了解程度，某校从2400名学生中随机抽取了一些学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表：成绩统计表组别成绩x（分）百分比A组x＜605%B组60≤x＜7015%C组70≤x＜80aD组80≤x＜90bE组90≤x≤10025%根据所给信息，解答下列问题：（1）本次调查的成绩统计表中a＝20%，b＝35%，所抽取的学生成绩的中位数会落在D组（填A、B、C、D或E）；（2）补全条形统计图；（3）试估计该校2400名学生中成绩在80分以上（包括80分）的人数．【分析】（1）用A组的人数除以A组的人数所占的百分比即可得到总人数；用200减去A，B，D，E组的人数，可得C组的人数，用C、D组的人数分别除以200再乘以100%可得a、b的值，根据中位数的定义可得答案．（2）根据C组的人数补全条形统计图即可．（3）根据用样本估计总体，用1200乘以统计表中D、E组的百分比和，即可得出答案．【解答】解：（1）由题意得，本次调查中抽取的学生人数是：10÷5%＝200（名），C组的人数为200﹣10﹣30﹣70﹣50＝40（名），∴a＝40÷200×100%＝20%．b＝70÷200×100%＝35%．将这200名学生成绩按照从小到大的顺序排列，排在第100和101名的学生成绩均在D组，∴这200名学生成绩的中位数会落在D组．故答案为：20%，35%，D；（2）补全条形统计图如图所示．（3）2400×（25%+35%）＝1440（名）．∴估计该校2400名学生中成绩在80分以上（包括80分）的人数为1440名．【点评】本题考查条形统计图、统计表、用样本估计总体、中位数，能够读懂统计图表，掌握用样本估计总体、中位数的定义是解答本题的关键．24．（8分）如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径作⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为E，延长DE交AB的延长线于点F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若BE＝2，BF＝6，求sinC的值．【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质推出∠A＝∠ODA，∠A＝∠C，得到∠C＝∠ODA，判定OD∥BC，推出半径OD⊥DE，即可证明DF为⊙O的切线；（2）判定△FBE∽△FOD，推出OD：OF＝BE：FB＝1：3，得到OB：BF＝1：2，因此AB＝BF＝6，由圆周角定理得到BD⊥AC，由等腰三角形的性质推出∠ABD＝∠CBD，而∠BED＝∠ADB＝90°，判定△BED∽△BDA，推出BE：BD＝BD：AB，求出BD＝23，于是得到sinC=BD【解答】（1）证明：连接OD，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ODA，∵AB＝BC，∴∠A＝∠C，∴∠C＝∠ODA，∴OD∥BC，∵DE⊥BC，∴半径OD⊥DE，∴DF为⊙O的切线；（2）解：由（1）知：OD∥BC，∴△FBE∽△FOD，∴OD：OF＝BE：FB＝2：6＝1：3，∵OB＝OD，∴OB：OF＝1：3，∴OB：BF＝1：2，∵OB：AB＝1：2，∴AB＝BF＝6，∴BC＝AB＝6，∵AB是圆的直径，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AC，∵AB＝BC，∴∠ABD＝∠CBD，∵∠BED＝∠ADB＝90°，∴△BED∽△BDA，∴BE：BD＝BD：AB，∴2：BD＝BD：6，∴BD＝23，∴sinC=BD【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，关键是掌握切线的判定方法，判定△FBE∽△FOD，推出OD：OF＝BE：FB，判定△BED∽△BDA，推出BE：BD＝BD：AB．25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2+bx+c与直线AC（1）求该抛物线的函数表达式；（2）将该抛物线沿水平方向向右平移3个单位，平移后抛物线与y轴交于点F，原抛物线上有一点P（2，﹣4），点M为平移后点P的对应点，N为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点Q，使得以点M，F，N，Q为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点Q的坐标．【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的函数表达式；（2）将抛物线向右平移3个单位得新抛物线y=12x2﹣4x+72，对称轴是直线x＝4，即可得M（5，﹣4），F（0，72），设N（4，n），Q（r，12r2﹣4r+72），分三种情况：①当QN、MF为对角线时；②当QM、NF为对角线时；③当【解答】解：（1）∵抛物线y=12x2+bx+c经过A（4，0），A（﹣4，0），C（0，﹣4）两点，∴12解得b=−1c=−4∴抛物线的解析式为y=12x2﹣（2）∵将抛物线y=12x2﹣x﹣4向右平移3个单位得抛物线y=12（x﹣3）2﹣（x﹣3）﹣4=12∴新抛物线对称轴是直线x=−−4在y=12x2﹣4x−72中，令x∴F（0，72将P（2，﹣4）向右平移3个单位得M（5，﹣4），设N（4，n），Q（r，12r2﹣4r+则①当QN、MF为对角线时，∴r+4=5n+解得r＝1，∴Q（1，0）；②当QM、NF为对角线时，∴5+r=4−4+解得r＝﹣1，∴Q（﹣1，8）；③当QF、NM为对角线时，∴r=4+51解得r＝9，∴Q（9，8）；综上所述，Q的坐标为：（1，0）或（﹣1，8）或（9，8）．【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数、一次函数图象上点坐标的特征，平行四边形的性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标及相关线段的长度．26．（10分）（1）在△ABC中，∠A＝30°，AC＝4，AB＝3，则△ABC的面积是3．（2）在等边△ABC中，点D为BC边的中点，∠EDF＝30°，点E、F分别为AB、AC边上一点，若BC＝8，CF＝5，求EF的长．（3）如图所示，道路BC的一侧是一片足够大的空地，现计划在这片空地上规划一个四边形公园BEFC．按设计要求，∠B＝∠C＝30°，在小路BC上有一点D，满足BD＝80米，CD＝100米，从点D计划修两条小路DE、DF，两条小路互相垂直，即DE⊥D