【2024年7月中考试题观察研讨课件】4. 重庆中考A卷第26题 解析

基于结构化的数学试题研究重庆市南岸区教师进修学院蒋XX2024年7月目录

试题评析

多解呈现

教学启示结构化的数学试题《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课标》）在学业质量标准中提出，初中学业水平考试（以下简称“中考”）数学试题命制要选择学生熟悉、符合学生认知发展规律的数学情境，以结构化的数学知识主题为载体，评估学生在形成和发展“四基”的过程中核心素养的达成和发展状况，在学生经历“发现和提出问题”“分析和解决问题”的过程中，综合考察“四基”“思能”与核心素养。将以重庆市2024年初中学业水平暨高中招生考试数学试题A卷第26题，从结构化视角的试题分析、解题分析、教学启示进行交流。结构化的理解知识点三角形的相关知识平行四边形的相关知识图形的性质图形的变化知识结构试题分析——结构化视角知识结构化30°原题再现在△ABC

中，AB=AC，点

D

是

BC

边上一点（点

D

不与端点重合）．点

D

关于直线AB

的对称点为点

E，连接

AD，DE．在直线

AD

上取一点

F，使∠EFD=∠BAC，直线

EF

与直线

AC

交于点

G．（1）如图

1，若∠BAC=60°，BD＜CD，∠BAD=

，求∠AGE

的度数（用含

的代数式表示）；（2）如图

1，若∠BAC=60°，BD＜CD，用等式表示线段

CG

与

DE

之间的数量关系，并证明；

（3）如图

2，若∠BAC=90°，点

D

从点

B

移动到点

C

的过程中，连接

AE，当△AGE

为CG等腰三角形时，请直接写出此时的值．AGAAAGFEEFGCC

BCBDBD图

图

备用图试题分析——素养立意

知识载体图形的性质——三角形、平行四边形，图形的变化——轴对称、旋转

素养立意数学抽象——图形、文字、符号的互换；推理能力——猜想、证明几何直观——结合图形思考，画出需要的图形

能力架构——发现问题，分析问题，解决问题

数学情境——数学情境中解决问题素养是金线，能力是银线，情境串联线试题分析——分层设问在△ABC

中，AB=AC，点

D

是

BC

边上一点（点

D

不与端点重合）．点

D

关于直线AB

的对称点为点

E，连接

AD，DE．在直线

AD

上取一点

F，使∠EFD=∠BAC，直

线

EF

与直线

AC

交于点

G．（1）如图

1，若∠BAC=60°，BD＜CD，∠BAD=

，求∠AGE

的度数（用含

的代数

式表示）；A60°-αα？

GF60°

低起点，缓坡度E

第（1）问，容易题60°60°涉及到的知识点：对顶角、三角形内角和CBD试题分析——分层设问在△ABC

中，AB=AC，点

D

是

BC

边上一点（点

D

不与端点重合）．点

D

关于直线AB

的对称点为点

E，连

接

AD，DE．在直线

AD

上取一点

F，使∠EFD=∠BAC，直线

EF

与直线

AC

交于点

G．（1）如图

1，若∠BAC=60°，BD＜CD，∠BAD=

，求∠AGE

的度数（用含

的代数式表示）；（2）如图

1，若∠BAC=60°，BD＜CD，用等式表示线段

CG

与

DE

之间的数量关系，并证明；

A60°-ααG

低起点，缓坡度F60°

第（2）问，中档题+较难题涉及到的知识点：E60°60°三角形的性质、图形的变化、平行四边形的性质等BDC试题分析——分层设问在△ABC

中，AB=AC，点

D

是

BC

边上一点（点

D

不与端点重合）．点

D

关于直线AB

的对称点为点

E，连接

AD，DE．在直线

AD

上取一点

F，使∠EFD=∠BAC，直线

EF

与直线

AC

交于点

G．（3）如

图

2，若∠BAC=90°，点

D

从点

B

移动到点

C

的过程中，连接

AE，当△AGE

为等腰CG三角形时，请直接写出此时的值AG第（3）问，较难题

知识点：A等腰三角形的判定三角函数的应用

思想方法：分类EFGGE=GA或EA=EG或AE=AG（不成立）BDC试题分析——结构化视角本题整体上，从易到难，第（1）小题比在△ABC

中，AB=AC，点

D

是

BC

边上一点（点

D

不与端点重合）．点

D

关于直线AB

的对称点为点

E，连

接

AD，DE．在直线

AD

上取一点

F，使∠EFD=∠BAC，直

线

EF

与较简单，是为了让学生愿意来做这个试题——吸引学生“进入门内”，再通过增加条件，解决复杂的问题，考察学生的几何直观，推理能力。其中（3）问应不重不漏地分类，难在按照要求画出图形。包含了对基础知识与技能的考察，也体现了对解决问题的综合分析能力。中考，是学生初中阶段数学学科的最后一节课，命题者需要设计好试题，帮助孩子们完成初中阶段的最后一节数学课。因此，试题既要体现学生个性化的需求，也需实现毕业与选拔的双重功能。直线

AC

交于点

G．（1）如图

1，若∠BAC=60°，BD＜CD，∠BAD=

，求∠AGE

的度数（用含

的代数式表示）；（2）如图

1，若∠BAC=60°，BD＜CD，用等式表示线段

CG

与

DE

之间的数量关系，并证明；（3）如

图

2，若∠BAC=90°，点

D

从点

B

移动到点

C

的过程中，连接

AE，当△AGE

为CG等腰三角形时，请直接写出此时的值．AGAAAGFEEFGCBC

BCDBD图

图

备用图多解分析1根据已知条件，点D，E关于直线AB对称，连接BE。根据已知条件，可得到EB∥GC，想到构造平行四边形，利用平行四边形的性质“移动”CG或DE，把CG，DE集中在一个三角形中。AGFEBDC多解分析1思路1

以GC所在直线为边构造平行四边形AAAKGGGFFFEEKEKCBDCCBBDDAAGKFGFEELDCBCBDK多解分析2以DE为构造平行四边形，利用平行四边形移动DE，使得平移后的DE与CG在一个三角形中，再用三角形的边角关系，得到结论。思路2

以DE为边构造平行四边形AFAαGGF60°E30°+αLLETCCBBDD多解分析3利用DE∥CG，以BC为边构造三角形，使得DE为是该三角形的中位线。以BE为“纽带”，找到CG与DE的关系。思路3

构造以DE为中位线的三角形。AGFECLDB多解分析4因为△ABC是等边三角形，点D与点E关于AB成轴对称，连接AE，可证到AE=GE，AD=AE，即EA=EG=DA。思路4

构造以AG为边的正三角形AAMGMGF30°FEEACBADCBDaQaMGGFM30°2bFRE2bE60°CHBDCBD多解分析5因为△ABC是等边三角形，点D与点E关于AB成轴对称，连接AE，可证到AE=GE，AD=AE，即EA=EG=DA。思路5构造以AD为边的特殊三角形的全等三角形AAQmGaGFFb2nEECPBnD

mCBbbDNa22多解分析6AαEBαF2αGEβFβGACβDABDCE30°2tkFGFE2k30°3k3ktGt2

3kCA60°BD3k30°3k3kBDC教学启示关注数学知识体系的建构体现结构化的多层次评价重视解题后的回顾与反思教学启示——案例1K23.(山东菏泽)（1）如图

1，在矩形

ABCD

中，点

E，F

分别在边

DC，BC

上，AE⊥DF，垂足为点

G．求证：△ADE∽△DCF．ADM【问题解决】（2）如图

2，在正方形

ABCD

中，点

E，F

分别在边

DC，BC

上，AE＝DF，延长

BCE到点

H，使

CH＝DE，连接

DH．求证：∠ADF＝∠H．【类比迁移】FCNBP（3）如图

3，在菱形

ABCD

中，点

E，F

分别在边

DC，BC

上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求

CF

的长．ADADMADADEEGEEQBFCBFCNBFCBCFH教学启示——案例2案例

在北师版教材中九年级上册特殊平行四边形第21题例1如图（a），在正方形

ABCD

中，E

为

CD

边上一点，F

为

BC

延长线上一点，且

CE=CF。BE

与

DF

之间有怎样的关系？请说明理由。DAEBCF图E'E'HNDAMAADMAADHDDENHGEEEEF'BCFF'BCFBCFFHBCBFCH教学启示——案例3这个题来源于

2017

年北京中考试题

28

题。在等腰直角△ABC

中，∠ACB=90°，P

是线段

BC

上一动点（与点

B、C

不重合），连接

AP，延长

BC

至点

Q，使得ACQ=CP，过点

Q

作

QH

AP

于点

H，交

AB

于点

M。⊥MH（1）若∠PAC=α，求∠AMQ

的大小（用含

α

的式子表示）；（2）用等式表示线段

MB

与

PQ

之间的数量关系，并证明。BQCP试题分析——与原题对比AAGAFFEEMHGCBCQCPBDBD变式124.

如图，在平行四边形

ABCD

中

，点

O

是对角线

AC

的中点，点

E

是

BC

上一点，且

AB=AE，连接

EO

并延长交

AD

于点

F．过点

B

作

AE

的垂线，垂足为

H，交

AC

于点

G．（1）若

AH=3，HE=1，求△ABE

的面积；2（2）若∠ACB=45°，求证：DF=

CG．AFDOGBME

NC变式2变式3变式4ADADOFO