高中数学2轮13 专题二 第1讲 平面向量

第1讲平面向量

［考情分析I1.平面向量是高考的热点和重点，命题突出向量的基本运算与工具性，在解答题

中常与三角函数、直线和圆锥曲线的位置关系问题相结合，主要以条件的形式出现，涉及向

量共线、数量积等.2.常以选择题、填空题形式考查平面向量的基本运算，中低等难度；平面

向量在解答题中一般为中等难度.

考点一平面向量的线性运算

【核心提炼】

1.平面向量加减法求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”.对平面

向量减法应抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价

转化，即可快速得到结果.

2.在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待即可，其运算方法类似于

代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比.

例1⑴如图所示，A。是aABC的中线，0是AO的中点，若历=2油+"京,其中2,〃WR,

则的值为()

A

T

“DC

A.-gB.g

c.T

D4

答案A

解析由题意知，cb=j（cb+cA）==|XQCB+CA）

AQ+|CA=IAB—^AC,

131

则入=不"=一『故2+〃=一,

(2)已知e”02是不共线向量，a=me\-\-2e2,h=ne\-ei，且若〃〃4则］=

答案一2

解析"：a//b,mX(-1)=2X”，：.~=-2.

(3)A,B,C是圆。上不同的三点，线段C。与线段AB交于点。，若灰?=%后+必必(2e1<,

〃GR),则2+〃的取值范围是

答案(1,+8)

解析由题意可得，OD=kdc^kkOA+knOB(()<k<1),又4,D,B三点共线，所以奴+M

=1,则2+〃=(>1,即%+〃的取值范围是(1,+°°).

易错提醒在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理恰当地选取基底，变形要

有方向，不能盲目转化.

跟踪演练1(1)如图，在平行四边形ABCQ中，E,F分别为边A8,BC的中点，连接CE,

DF,交于点G.若公=2而+(2,〃CR),则"=.

答案2

解析由题意可设无=工工(04<1),

~►——►—►f—►]—►、Y"—►—►

则CG=x(CB+BE)^x[CB+^CD)^CD+xCB.

因为公=2诙+〃之，①与无不共线,

所以2=],fi=x,所以工=去

JT

(2)如图，在扇形048中，ZA0B=yC为弧AB上的一个动点,^OC=xOA+yOB,则x

+3y的取值范围是

答案[1,3]

解析设扇形的半径为1,以0B所在直线为x轴，0为坐标原点建立平面直角坐标系(图略),

则8(1,0),A/,里|

C(cos。，sin。)

(其中N80C=。，owewg.

则3b=(cos。，sine)=x],孝j+y(l,O),

2v§sin。_小sin-

解得/e-,y=cos。一七一,

故x+3y=^^^+3cosJ-小sing

=3cos。一坐sin。，OWg].

令g(6)=3cos。一为"而仇

易知g(0)=3cos。一乎sin。在0,上单调递减,

故当。=0时，g(0)取得最大值为3,

TT

当6=]时，g(。)取得最小值为1,

故x+3y的取值范围为[1,3].

考点二平面向量的数量积

【核心提炼】

1.若a=(x,y),则⑷二也^二^^+优

2.若A（X|,>>!）,8（X2,丫2）,则|A8|=6（X2—X1）2+。，2—yI）2.

3.若a=（xi,a），b=（xi,垃），。为a与6的夹角，

■riA-z+n.y；

则3"=丽

例2（1）（2020•全国IH）已知向量a,b满足|。|=5,|。|=6,ab=-6,则cos（a,a+b）等于（）

3119,17n19

A--35B--为注口京

答案D

解析V\a+b\1=（a+b）2=d1+2a-b+b2

=25—12+36=49,

A\a+b\=7,

a（a+b）er+ab

cos〈a,a+）〉=|a||a+臼=|a||a+b|

25-619

5X7-35,

(2)已知扇形OAB的半径为2,圆心角为拳点C是弧AB的中点，OD=~^OB,则历•油的

值为()

A.3B.4C.—3D.—4

答案C

解析如图，连接co,

:点C是弧A8的中点，

COLAB,

又；OA=OB=2,OD=~\oB,NAOB=专，

CDAB=(db-dc)AB

=-\oBAB=~^OB\OB-OA)

=^OAOB-^OB2

=1x2X2xf-1')-1x4=-3.

(3)已知在直角梯形ABC。中，AB=4O=2CD=2,NAOC=90。，若点M在线段AC上，则|麻

+而|的取值范围为.

答案［乎，2啦］

解析以A为坐标原点，AB,A。所在直线分别为x轴，y轴，

建立如图所示的平面直角坐标系，

则A(0,0),B(2,0),C(l,2),0(0,2),

设Qf=42(0W/lWl),则M(，，2A),

故丽=(一，，2-2A),MB=(2-X,-22),

则施+而=(2—22,2-4A),

A\MB+MD\=^/(2-2A)2+(2-4A)2

=q20G0W2W1,

当2=0时，|而+而|取得最大值为2啦，

当a=，时，1两十而1取得最小值为2g,

易错提醒两个向量的夹角的范围是[0,7T],在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向

量的夹角可能是0或兀的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于零，

还要求不能反向共线.

跟踪演练2(1)(2019・全国I)已知非零向量a,b满足⑷=2|旬,且3—b)_Lb,则“与力的夹

角为()

答案B

解析方法一设。与》的夹角为仇

因为(a—b)A.b,所以(a—b)b=ab—|Z>|2=0,

又因为⑷=2|臼，所以2|那cosJ一向2=0,

即cos8=；,

TT

又。6[0,71],所以6=1，故选B.

方法二如图，令晶=a,OB=b,则扇=而1一励

B

7T

因为(a—b)_L仇所以NO8A=2，

7T

又⑷=2步所以NA0B=§,

即。与6的夹角为全故选B.

⑵(2020・新高考全国I)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范

围是()

A.(—2,6)B.(-6,2)

C.(-2,4)D.(—4,6)

答案A

解析如图，取4为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,

则A(0,0),B(2,0),C(3,小)，F(-l,®

设P(x,y),则布=(x,y),AB=(2,0),且一l<x<3.

所以还•矗=(x,y)-(2,0)=2xe(~2,6).

(3)设4,B,C是半径为1的圆。上的三点，且苏_1为，则(无一谟1)•(女一励)的最大值是

()

A.1+^2B.1-^2

C.A/2-1D.1

答案A

解析如图，作出应)，使得万1+无=而.则(又一次>(灰:一无)=又2一a.拉;及沆+

OAOB=\-(OA+OB)OC^\-ODOC,由图可知，当点C在。。的反向延长线与圆。的交

点处时，丽・诙取得最小值，最小值为一也，此时(沆一殖)•(又一为)取得最大值，最大值

为1+啦.故选A.

专题强化练

一、单项选择题

1.已知四边形ABCD是平行四边形，点E为边CO的中点，则就等于()

A.~^AB+ADB.^AB-AD

~A1―►—►1-A

CAB+^ADD.AB-^AD

答案A

解析由题意可知，BE=BC+CE=-^AB+AD.

2.（2020•广州模拟）加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分，某学生做引体向上

运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为?每只胳膊的拉力大小均为400N,

则该学生的体重（单位：kg）约为（参考数据：取重力加速度大小为g=10m/s2,小-1732）（）

A.63B.69C.75D.81

答案B

解析设该学生的体重为〃，，重力为G,两臂的合力为r,则IGI=I尸'|,由余弦定理得旧,『

=4002+4002-2X400X400Xcosy=3X4002,A|F,|=400^3,：.\G\=mg=400yf3,m=

40小N69kg.

3.已知向量。=（1,2）,b=（2,-2）,c=（A,-1）,若。〃（2。+/>）,则7等于（）

A.-2B.-1C.-2^-2

答案A

解析*.,a=（l,2）,b=Q,—2）,2a+Z>=（4,2）,又c=（2,-1）,c〃（2a+b）,「・22+4=0,

解得2=-2,故选A.

4.（2020・潍坊模拟）在平面直角坐标系xOy中，点尸（小，1）,将向量成绕点O按逆时针方向

旋转方后得到向量OQ，则点。的坐标是（）

A.（一也，1）B.（-1,也）C.（-^3,1）D.（-1,小）

答案D

解析由「（正，1）,得2cos看，2sin*）,

•••将向量舁绕点。按逆时针方向旋转方后得到向量诙，

兀,兀

兀,兀

.•.0（-1,小）.

5.（2020•泰安模拟）如图，在△ABC中，点。是BC的中点，过点。的直线分别交直线AB,

AC于不同的两点M,N,若赢=小赢，AC=nAN,则加+〃等于（）

A.OB.IC.2D.3

答案C

解析如图，连接AO,由。为8C的中点可得，AO=^（AB+Ab）

,：M,O,N三点共线,

6.在同一平面中，AD=DC,BE^2ED.^AE=mAB+nAC{m,〃GR),则等于()

A.|B.^C.^D.1

答案A

、——►I—►—►I—►—►—►—►1—►1—►I—►I—►—►

解析由题意得，AD=^AC,DE=qDB,故AE=A。+。£=洲。+1。8=刃。+,48—4£))

；所以巾=；,〃=；,故〃?+”=•

7.若尸为△ABC所在平面内一点，且|两一两=|应+两一2的，则△ABC的形状为（）

A.等边三角形B.等腰三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

答案C

解析试一无|=|丽+丽一2的，：.\BA\=\（^-PC）+（PB-PC）\=\CA+CB\,即|而一在|=

|CA+CB|,两边平方整理得，CACB=0,.,.△ABC为直角三角形.故选C.

8.已知P是边长为3的等边三角形ABC外接圆上的动点，则|现+两+2元|的最大值为（）

A.2小B.3小C.4小D.5小

答案D

解析设△ABC的外接圆的圆心为O,

O1

则圆的半径为主X]=qj,OA+OB+OC=d,

2

故或+而+2丽'=4历+db.

又卜防+db|2=51+8用灰W51+24=75,

故忸+丽+2对W5小,

当历，无同向共线时取最大值.

9.如图，圆。是边长为2小的等边三角形ABC的内切圆，其与BC边相切于点Q,点用为

圆上任意一点，BM=xBA+yBD（x,yWR）,则2x+y的最大值为（）

A.巾B.小C.2D.2小

答案C

解析方法一如图，连接D4,以。点为原点，BC所在直线为无轴，D4所在直线为），轴,

建立如图所示的平面直角坐标系.设内切圆的半径为r,则圆心为坐标（0,厂），

根据三角形面积公式，得;X/AABcXr=gxA8XACXsin60。（/△ABC为△A8C的周长），解得r=

1.

易得8（一小，0）,C（小，0）,4（0,3）,0（0,0）,

设M（cos。，1+sinO）,。6[0,2兀），

则^f=（cos6+小，l+sin（9）,筋=（小，3）,砺=（小，0）,

故BM=（cos0+小,1+sin^）=（y[3x+y[3y,3x）,

故^cosf）=y[3x+y[3y—y{3,

sin9=3x—1,

1+sine

“=-3

则

Seos。sin。,2

产3一亍+手

上7c।/cos。.sin。.42，八।花、।47c

所以2x+y=JL_2—+_y_+§=gsin(e+?J+]W2.

当J弋时等号成立.故2x+y的最大值为2.

方法二因为诙=工函+)，访,

所以\BM\2-3(4x2+2xy+y2)=3[(Zr+y)：—•2xy].

由题意知，x20,y^O,

I痂I的最大值为叱2小产一(小)2=3,

r(2x+y)2口「一(2》+y)2

又不一£2冲，即----4W—2盯，

3

所以3义木〃+y/W9,得2x+><2,

当且仅当2x=y=\时取等号.

二、多项选择题

10.(2020・长沙模拟)已知0,力是单位向量，且a+b=(l,-1),贝ij()

A.\a+b\=2

B.a与8垂直

C.。与〃一力的夹角为:

D.\a-b\=l

答案BC

解析|°+例川12+(-1)2=啦,故A错误；因为a,b是单位向量，所以⑷2+|肝+2a0=1

+1+2〃6=2,得。功=0,〃与》垂直，故B正确；I“一加=02+从一2q6=2,|〃一句=也，

故D错误；cos〈a,a-b)=誓^~々乎,所以。与。一》的夹角为今，故C正确.

M\a-b\1X^224

11.设向量。=伏,2),〜=(1,—1),则下列叙述错误的是()

A.若攵<一2,则。与b的夹角为钝角

B.⑷的最小值为2

C.与b共线的单位向量只有一个为惇，一号)

D.若⑷=2步|,则2=26或一20

答案CD

解析对于A选项，若“与分的夹角为钝角，则〃仍<0且a与分不共线，则/一2<0且ZW—

2,解得"2且上#一2,A选项正确；对于B选项，|a|=^+4>V4=2,当且仅当k=0时

等号成立，B选项正确；对于C选项，俗|=也，与b共线的单位向量为土看，即与/>共线的

单位向量为修，一坐)或(一坐,选项错误；对于D选项，•..|a|=2|b|=2啦，；小+4

=2y/2,解得k=±2,D选项错误.

12.已知△A8C是边长为2的等边三角形，D,E分别是AC,AB上的两点，且病=无，AD

=2DC,BD与CE交于点O,则下列说法正确的是()

\.ABCE=-\

B.OE+OC=0

C.\OA+OB+OC\=^

7

-

D.ED在BC方向6

答案BCD

解析因为AE=EB,ZXABC是等边三角形,

所以CELA8,所以Q•无=0,选项A错误;

以E为坐标原点，EA,诙的方向分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示,

所以及0,0),4(1,0),仇一1,0),C(0,®砥¥),

设0(0,),),ye(o,回

则BO=(1,y),£>0=(-;,厂斗^)，

又防〃选，所以>一芈=一3,解得y=坐,

即。是CE的中点，OE+OC=0,所以选项B正确;

\OA+OB+OC\=\1OE+丽=|无尸竽，

所以选项C正确;

Eb=f1,芈），万2=（1,小），应）在反'方向上的投影为亚匹=、_=',所以选项D正确.

'7\BC\

三、填空题

13.（2020・全国H）已知单位向量a,分的夹角为45。，版一6与a垂直，则k=.

答案坐

解析由题意知（①一））“=0,即hP—"a=0.

因为a,力为单位向量，且夹角为45。，

所以％X12-1XIX坐=0,解得&=9.

14.在△ABC中，AB=\,ZABC=60°,ACAB=~\,若。是△A8C的重心，则寿.启=

答案5

解析如图所示，以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系.

'：AB=\,NABC=60。,

坐)设C(a.0).

"：ACAB^=-\,

=~^a_£)+(=-1.解得a=4.

：。是△ABC的重心，延长8。交AC于点O,

.*.BC）=|Bb=|x|（a4+BC）

MG