高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法课时作业含解析新人教A版选修1-2

PAGEPAGE4其次章推理与证明课时作业37一、选择题1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是()A．有一个解 B．有两个解C．至少有三个解 D．至少有两个解解析：在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n＋1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故应选C.答案：C2．设a，b，c为正实数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P，Q，R同时大于零”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：首先若P，Q，R同时大于零，则必有PQR>0成立．其次，若PQR>0，则P，Q，R同时大于零或其中两个负数一个正数，不妨假设P<0，Q<0，∴a＋b－c<0，b＋c－a<0，∴b<0与b为正实数冲突，故P，Q，R都大于0.故选C.答案：C3．已知f(x)是R上的增函数，a，b∈R，下列四个命题：①若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；②若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0；③若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)；④若f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，则a＋b<0.其中真命题的个数为()A.1 B.2C.3 D.4解析：易知①③正确．②用反证法：假设a＋b<0，则a<－b，b<－a，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)与条件冲突，故a＋b≥0，从而②为真命题，④类似于②用反证法．故选D.答案：D4．假如△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则()A.△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B.△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C.△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形D.△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形解析：因为正弦值在(0°，180°)内是正值，所以△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0.因此△A1B1C1是锐角三角形．假设△A2B2C2也是锐角三角形，并设cosA1＝sinA2，则cosA1＝cos(90°－∠A2)，所以∠A1＝90°－∠A2.同理设cosB1＝sinB2，cosC1＝sinC2，则有∠B1＝90°－∠B2，∠C1＝90°－∠C2.又∠A1＋∠B1＋∠C1＝180°，∴(90°－∠A2)＋(90°－∠B2)＋(90°－∠C2)＝180°，即∠A2＋∠B2＋∠C2＝90°.这与三角形内角和等于180°冲突，所以原假设不成立．故选D.答案：D二、填空题5．用反证法证明“f(x)＝x2＋px＋q，求证：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于eq\f(1,2)”时的假设为________．解析：“至少有一个”的反设词为“一个也没有”．答案：假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于eq\f(1,2)6．用反证法证明“一个三角形不能有两个钝角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°冲突，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个钝角．③假设△ABC中有两个钝角，不妨设∠A>90°，∠B>90°.上述步骤的正确依次为__________．解析：依据反证法知，上述步骤的正确依次应为③①②.答案：③①②7．若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是______．解析：假设两个一元二次方程均无实根，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ1＝a－12－4a2<0，,Δ2＝2a2－4－2a<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a2＋2a－1>0，,a2＋2a<0，))解得{a|－2<a<－1}，所以其补集{a|a≤－2或a≥－1}即为所求的a的取值范围．答案：{a|a≤－2或a≥－1}三、解答题8．设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明数列{cn}不是等比数列．证明：假设数列{cn}是等比数列，利用{an}，{bn}是公比不相等的等比数列的条件推出冲突，即知假设不成立．假设数列{cn}是等比数列，则(an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)(an＋1＋bn＋1)．①∵{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为p，q，∴aeq\o\al(2,n)＝an－1an＋1，beq\o\al(2,n)＝bn－1bn＋1.代入①并整理，得2anbn＝an＋1bn－1＋an－1bn＋1＝anbn(eq\f(p,q)＋eq\f(q,p))，即2＝eq\f(p,q)＋eq\f(q,p).②当p，q异号时，eq\f(p,q)＋eq\f(q,p)<0，与②相冲突；当p，q同号时，由于p≠q，∴eq\f(p,q)＋eq\f(q,p)>2，与②相冲突．故数列{cn}不是等比数列．9．已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a和y＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．证明：假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点．由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a，y＝cx2＋2ax＋b，得Δ1＝(2b)2－4ac≤0，且Δ2＝(2c)2－4ab≤0，且Δ3＝(2a)2－4bc≤0.同向