几何新定义型-2025年中考数学总复习考前板块训练

几何新定义型—2025年中考数学总复习考前板块训练一、解答题1．垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”.（1）如图所示，四边形ABCD为“垂中平行四边形”，AF=5,CE=2，则AE=；AB=（2）如图2，若四边形ABCD为“垂中平行四边形”，且AB=BD，猜想AF与CD的关系，并说明理由；（3）①如图3所示，在△ABC中，BE=5,CE=2AE=12,BE⊥AC交AC于点E，请画出以BC为边的垂中平行四边形，要求：点A在垂中平行四边形的一条边上(温馨提示：不限作图工具)；②若△ABC关于直线AC对称得到△AB'C，连接CB'，作射线CB'交①中所画平行四边形的边于点P2．【概念学习】若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条公共底边互为顶针点，这条公共底边叫做这两个互为顶针点的顶针线段．如图1，四边形ABCD中，BC是一条对角线，AB=AC，DB=DC，则点A与点D关于顶针线段BC互为顶针点．（1）【概念理解】判断下列结论是否正确（在题后括号内正确的打“√”，错误的打“×”)①互为顶针点的两个点一定位于它的顶针线段的同侧；（）②一条顶针线段的顶针点有无数多对；（）③互为顶针点的两个点所在直线一定是其顶针线段的垂直平分线；（）④互为顶针点的两个点所在直线平分对应等腰三角形的顶角．（）（2）【实践操作】如图2，在长方形ABCD中，AB<AD．若在边AD上存在点F，边AB上存在点E，使得点E与点C关于顶针线段BF互为顶针点．请用直尺和圆规在图2中作出满足条件的点F、E．（要求不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色墨水签字笔描黑．)（3）【思维探究】在（2）的条件下，若AB=8，AD=10．请利用备用图求AE的长度．3．我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形．若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“内似线”．（1）等边三角形“内似线”的条数为；（2）如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且AD＝BD＝BC，求证：BD是△ABC的“内似线”；（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，E、F分别在边AC、BC上，且EF是△ABC的“内似线”，求EF的长．（松泉巫小斌供）4．定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，AD=BD，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠5．定义：有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．例如：凸四边形ABCD中，若∠A＝∠C，∠B≠∠D，则称四边形ABCD为等对角四边形．（1）如图1，点A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠BPC＝60°，延长BP到Q，使PQ＝AP，连接AQ．求证：四边形AQBC是等对角四边形；（2）如图2，等对角四边形ABCD内接于⊙O，AB≠AD，BC＝DC，①请判断四边形ABCD中哪一组对角相等，并说明理由；②若圆O的半径为5，AB＝6，求AD，BC的长；③请直接写出AC的长．6．我们定义：如果圆的两条弦互相垂直且相交，那么这两条弦互为“十字弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”．如图（1），已知⊙O的两条弦AB⊥CD，则AB、CD互为“十字弦”，AB是CD的“十字弦”，CD也是AB的“十字弦”．【概念理解】（1）若⊙O的半径为5，一条弦AB＝8，则弦AB的“十字弦”CD的最大值为，最小值为．（2）如图2，若⊙O的弦CD恰好是⊙O的直径，弦AB与CD相交于H，连接AC，若AC＝12，DH＝7，CH＝9，求证：AB、CD互为“十字弦”；（3）【问题解决】如图3，在⊙O中，半径为13，弦AB与CD相交于H，AB，~CD互为＂十字弦＂且AB=CD,CHDH7．定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．初步尝试：（1）如图①，在△ABC中，若∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，P为AC上一点，当AP的长为时，△ABP与△CBP为偏等积三角形；理解运用：（2）如图②，△ABD与△ACD为偏等积三角形，若AB＝2，AC＝5，且线段AD的长度为正整数，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，求AE的长；综合应用：（3）如图③，已知△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，分别以AC，AB为边向外作正方形ACGF和正方形ABDE，连结EF，求证：△ABC与△AEF为偏等积三角形．8．在平面直角坐标系中，有如下定义：若某图形W上的所有点都在一个矩形的内部或边界上（该矩形的一条边平行于x轴），这些矩形中面积最小的矩形叫图形W的“美好矩形”．例如：如图1，已知△ABC，矩形ADEF，AD∥x轴，点B在DE上，点C在EF上，则矩形ADEF为△ABC的美好矩形．（1）如图2，矩形ABCD是函数y=2x−1≤x≤1图象的美好矩形，求出矩形ABCD（2）如图3，点A的坐标为1,4，点B是函数y=4xx>0图象上一点，且横坐标为m，若函数图象在A、B（3）对于实数a，当a≤x≤a+3时，函数y=33x29．随着科学技术的发展，机器人早已能按照设计的指令完成各种动作．在坐标平面上，根据指令[S，α]（S≥0，0°＜α＜180°）机器人能完成下列动作：先原地顺时针旋转角度α，再朝其对面方向沿直线行走距离s．（1）如图，若机器人在直角坐标系的原点，且面对y轴的正方向，现要使其移动到点A（2，2），则给机器人发出的指令应是什么；（2）机器人在完成上述指令后，发现在P（6，0）处有一小球正向坐标原点做匀速直线运动，已知小球滚动的速度与机器人行走的速度相同，若忽略机器人原地旋转的时间，请你给机器人发一个指令，使它能最快截住小球．（如图，点C为机器人最快截住小球的位置，角度精确到度；参考数据：sin49°≈0.75，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）10．新定义：如果一个矩形，它的周长和面积分别是另外一个矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是另一个矩形的“减半”矩形．（1）验证：矩形EFGH是矩形ABCD的“减半”矩形，其中矩形ABCD的长为12、宽为2，矩形EFGH长为4、宽为3．（2）探索：一矩形的长为2、宽为1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由．11．我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”．（1）在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四边形”的是（填序号）；（2）如图1，在正方形ABCD中，E为BC上一点，连接AE，过点B作BG⊥AE于点H，交CD于点G，连AG、EG．①求证：四边形ABEG是“神奇四边形”；②如图2，点M、N、P、Q分别是AB、AG、GE、EB的中点．试判断四边形MNPQ是不是“神奇四边形”；（3）如图3，点F、R分别在正方形ABCD的边AB、CD上，把正方形沿直线FR翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A，过点A作AO⊥FR于点O，若AB'＝2，正方形的边长为6，求线段OF的长．12．如图①，点C，D在线段AB上，点C在点D的左侧，若线段AC，CD，DB满足AC2+BD2=CD（1）如图②，C，D是线段AB的勾股点，分别以线段AC，CD，DB为边向AB的同侧作正△ACE，正△CDF，正△DBG，已知正△ACE、正△CDF的面积分别是3，5，则正△DBG的面积是；（2）如图①，AB=12，C，D是线段AB的勾股点，当AC=14AB（3）如图③，C，D是线段AB的勾股点，以CD为直径画⊙O，P在⊙O上，AC=CP，连接PA，PB，若∠A=2∠B，求∠B的度数．13．如果三角形的两个内角a与β满足2a+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．（1）基础巩固：若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝°；（2）尝试应用：如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝50°．①若AD是∠BAC的平分线，判断△ABD是否是“准互余三角形”▲（是、否）；②在边BC上存在点E（异于点D），使得△ABE也是“准互余三角形”，求此时∠EAC的度数；（3）拓展提高：如图②，在四边形ABCD中，AB=7，CD=12，BD⊥CD，∠ABD=2∠BCD，且△ABC是“准互余三角形”，求对角线AC的长．14．定义：在四边形中，若一条对角线能平分一个内角，则称这样的四边形为“可折四边形”．例：如图1，在四边形ABCD中，∠ABD=∠DBC，则四边形ABCD是“可折四边形”．利用上述知识解答下列问题．（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是“可折四边形”的有：__________．（2）在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC．①如图1，若∠ABC=60°，BD=4，求AD+CD的最小值．②如图2，连接对角线AC，若DC刚好平分∠ACE，且∠BDC=25°，求∠DAC的度数．③如图3，若∠ABC=60°，AD=CD，对角线AC与BD相交于点E，当BC=6，且△AEB为等腰三角形时，求四边形ABCD的面积．15．对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离d后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”．（1）如图1，B、C、D是线段AE的四等分点．若AE＝4，则在图中，线段AC的“平移关联图形”是，d＝（写出符合条件的一种情况即可）；（2）如图2，等边三角形ABC的边长是2．用直尺和圆规作出△ABC的一个“平移关联图形”，且满足d＝2（保留作图痕迹，不要求写作法）；（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，点D、E、G的坐标分别是（﹣1，0）、（1，0）、（0，4），以点G为圆心，r为半径画圆．若对⊙G上的任意点F，连接DE、EF、FD所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足d≥3，直接写出r的取值范围．

答案解析部分1．【答案】（1）1；17（2）解：AF=2∵AD//BC,AD=BC,BF=CF∴设BE=a,DE=2a∵AB=BD∴AB=3a∴AE=∴AF=3∴AF=（3）解：①如图所示

②3414或32．【答案】（1）解：①错误②正确③正确④正确（2）解：如图2所示，点E、F即为所求；（3）解：连接EF，如图3所示：四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=10，CD=AB=8，∠A=∠D=90°，由作图可知，CF=CB=10，∴DF=∴AF=AD−DF=4设AE=x，则BE=8−x，∵CE是BF的垂直平分线，∴EF=BE=8−x,在Rt△AEF中，由勾股定理得：x2+4即AE的长为3．3．【答案】（1）3（2）证明：∵AB＝AC，BD＝BC＝AD，∴∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD，∴△BCD∽△ABC，又∵∠BDC＝∠A+∠ABD，∴∠ABD＝∠CBD，∴BD平分∠ABC，即BD过△ABC的内心，∴BD是△ABC的“内似线”；（3）解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，由勾股定理可得AB＝13．设D是△ABC的内心，连接CD，则CD平分∠ACB，∵EF是△ABC的“内似线”，∴△CEF与△ABC相似；分两种情况：①当CECF过点D作DN⊥BC于点N，如图2所示∴DN∥AC，且DN是Rt△ABC的内切圆半径，∴DN=12∵CD平分∠ACB，∴DE∵DN∥AC，∴DNCE=DFEF∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，∴EFAB=CEAC，即EF13=34512综上，EF=4．【答案】（1）解：∵∠E是△ABC中∠A的遥望角，∴∠EBC=1∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝12（∠ACD﹣∠ABC）＝1∵∠A＝α，∴∠E＝12（2）解：如图2，延长BC到点T，∵四边形FBCD内接于⊙O，∴∠FDC+∠FBC＝180°，∵∠FDE+∠FDC＝180°，∴∠FDE＝∠FBC，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDE，∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC，∴BE是∠ABC的平分线∵AD∴∠ACD＝∠BFD，∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，∴∠DCT＝∠BFD，∴∠ACD＝∠DCT，∴CE是△ABC的外角平分线，∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角5．【答案】（1）证明：∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠APQ＝60°，∵PQ＝AP，∴△APQ是等边三角形，∴∠Q＝60°＝∠QAP，∵四边形APBC是圆内接四边形，∴∠QPA＝∠ACB＝60°，∵∠Q+∠ACB+∠QAC+∠QBC＝360°，∴∠QAC+∠QBC＝240°，∵∠QAC＝∠QAP+∠BAC+∠PAB＝120°+∠PAB＞120°，∴∠QBC＜120°，∴∠QAC≠∠QBC，∴∠QPA＝∠ACB＝60°＝∠Q，∴四边形AQBC是等对角四边形；（2）解：①如图②，∠BAD＝∠BCD，理由：连接BD，∵AB≠AD，BC＝DC，∴∠ABD≠∠ADB，∠CBD＝∠CDB，∴∠ABC≠∠ADC，∵四边形ABCD是准平行四边形，∴∠BAD＝∠BCD；②∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，∴BD是直径，∴BD＝10，∴BC＝CD＝=2③726．【答案】（1）10；6（2）证明：如图2，连接AD，∵CD为⊙O的直径，∴∠CAD＝90°，∵AC＝12，DH＝7，CH＝9，∴AC∴AC∵∠C＝∠C，∴△HCA∽△ACD，∴∠CHA＝∠CAD＝90°，∴AB⊥CD，∴AB、CD互为“十字弦”；（3）67．【答案】（1）2.5；解：（2）∵△ABD与△ACD为偏等积三角形，△ABD与△ACD为等高三角形∴BD=DC，∵AB//CE，∴∠BAD=∠CED，∠ABD=∠ECD，∴△ABD≌△ECD（AAS），∴AD=DE，CE=AB=2∴AE=2AD，∵AC-CE<AE<AC+CE，∴3<AE<7，∴1.5<AD<3.5，∵AD的长为正整数，∴AD=2或3，∴AE=4或6；（3）过点E作EH⊥AF，交AF延长线于H，∴∠H=∠ACB=90°，∴∠HEA+∠EAH=90°∵四边形ABDE为正方形，∴AB=AE，∠EAB=90°，∴∠EAH+∠HAB=90°，∴∠HAB=∠HEA，∵四边形ACGF是正方形，∴AF=AC，AF//CG，∴∠HAB=∠ABC，∴∠HEA=∠ABC，∴△EAH≌△BAC（ASA），∴EH=BC，∵S△ABC=1∴S△ABC又∵∠H=90°，∠EAF=∠H+∠HEA，∠ADC=90°∴△ABC与△AEF不是全等三角形，∴△ABC与△AEF为偏等积三角形．8．【答案】（1）解：∵−1≤x≤1,∴A∴B∴AB=2,BC=4,∴（2）解：设矩形ACBD是其美好矩形，∴B∴AC=∴S∴m=4或14​​​​​​​（3）解：∵美好矩形恰好是面积为3，且一边在x轴上的正方形，∴正方形的边长为3,二次函数y=−3当a≤3b①顶点在x轴上，端点纵坐标是−3−或−解得：a=−3b=0或②端点在x轴上，顶点纵坐标是3,−或−3解得：a=0b=2或a=23b=2(舍去，不符合a，b大小关系)或a=−23b=−2当对称轴不在x的取值范围内时，有：−或−3解得：a=0b=0或综上所述，b=0或2或−2．​​​​​​​9．【答案】解（1）作AB⊥x轴，

∵A（2，2），

∴OA=22，

∴∠AOB=45°，

∴给机器人发的指令为：[22，45°]；（2）作AC=PC，设PC=x，则BC=4-x，在Rt△ABC中：22解得x=2.5，又∵tan∠BAC=BCAB∴∠BAC=37°，∵∠OAB=45°，∴∠OAC=37°+45°=82°，∴∠DAC=180°-82°=98°，∴输入的指令为[2.5，98°]．10．【答案】（1）解：∵矩形EFGH的周长为：2×(4+3)=14，矩形ABCD的周长为：2×(12+2)=28，∴矩形EFGH的周长=12矩形∵矩形EFGH的面积为：4×3=12，矩形ABCD的面积为：2×12=24，∴矩形EFGH的面积=12矩形∴矩形EFGH是矩形ABCD的“减半”矩形．（2）解：该矩形不存在“减半”矩形，若矩形存在“减半”矩形，设该“减半”矩形长和宽分别为m，n，(m>n)∵原矩形的长和宽分别为2，1，∴由题可知：2由①得：m=将m=32−n32−n∵∴方程n2∴该矩形不存在“减半”矩形．11．【答案】（1）④（2）证明：①∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠ABG+∠CBG＝90°，∵BG⊥AE，∴∠BAE+∠ABG＝90°，∴∠BAE＝∠CBG，在△ABE和△BCG中，∠BAE=∠CBGAB=BC∴△ABE≌△BCG（ASA），∴AE＝BG，又∵BG⊥AE，∴四边形ABEG是“神奇四边形”；②解：四边形MNPQ是“神奇四边形”，理由如下：∵M，N为AB，AG的中点，∴MN为△ABG的中位线，∴MN∥BG，MN＝12同理：PQ∥BG，PQ＝12BG，MQ∥AE，MQ＝12AE，NP∥AE，NP＝∴MN＝PQ，MQ＝NP，∴四边形MNPQ为平行四边形，∵AE＝BG，∴MN＝MQ，∴平行四边形MNPQ为菱形，∵BG⊥AE，MQ∥AE，∴MQ⊥BG，∵MN∥BG，∴MQ⊥MN，∴∠QMN＝90°，∴四边形MNPQ为正方形，∴四边形MNPQ是“神奇四边形”；（3）解：如图3，延长AO交BC于S，由翻折的性质可知，BF＝B'F，AB'＝BS＝2，AO＝SO，∠B'＝∠B，∵四边形ABCD是正方形，边长为6，∴AB＝6，∠B＝90°，∴AS=∴AO=设AF＝x，则BF＝B'F＝6﹣x，在Rt△AB'F中，由勾股定理得：22+（6﹣x）2＝x2，∴x＝103∴AF＝103∵AO⊥FR，∴∠AOF＝90°，∴OF=即线段OF的长为10312．【答案】（1）2（2）解：∵AB=12，AC=1∴AC=1∴BC=AB−AC=9，∵C，D是线段AB的勾股点，∴AC2+B解得CD=5；（3）解：连接PD，∵AC=PC，∴∠A=∠APC，∴∠PCD=2∠A，∵C，D是线段AB的勾股点，∴AC∴PC∵CD是⊙O的直径，∴∠CPD=90°，∴PC∴PD=BD，∴∠PDC=2∠B，∵∠A=2∠B，∴∠PDC=∠A，在Rt△PCD中，∵∠PCD+∠PDC=90°，∴2∠A+∠A=90°，∴∠A=30°，∴∠B=113．【答案】（1）15（2）解：①是②如图①中，在Rt△ABC中，∠BAC＝50°，∠ACB＝90°，

∴∠B=90°-∠BAC=40°，∵△ABE是“准互余三角形”，且∠AEB＞90°，∴只有2∠B+∠BAE=90°，即2×40°+∠BAE=90°，

∴∠BAE=10°，∴∠CAE=∠BAC-∠BAE=40°；（3）解：如图②中，将△BCD沿BC翻折得到△BCF，∴CF=CD=12，∠BCF=∠BCD，∠CBF=∠CBD，∠F=∠BDC=90°，

∵∠ABD=2∠BCD，∠BCD+∠CBD=90°，

∴∠ABD+∠DBC+∠CBF=180°，

∴A、B、F共线，∴∠FAC+∠ACF=90°，

∴2∠ACB+∠CAB≠90°，只有2∠BAC+∠ACB=90°，∴∠FCB=∠FAC，

又∵∠F=∠F，

∴△FCB∽△FAC，

∴CFAF=BFCF

∴则有：x(x+7)=122，在Rt△ACF中，AC=AF14．【答案】（1）菱形、正方形（2）解：①当DC⊥BC，DA⊥AB时，DC与DA最小，∴此时AD+CD最小；

∵∠ABC=60°，对角线BD平分∠ABC．

∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=30°

∴DC=DA=BD2=2，

∴AD+CD=2+2=4

答：AD+CD的最小值为4；

②如图1，过点D作DF⊥BC交BC延长线于F，DP⊥AC于P，DG⊥BA交BA延长线于G，

∵∠3=∠1+∠2①

∠ACF=∠4+∠ABC

又∵DC平分∠ACF，DB平