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第三章第四节方差、协方差1/19

上一讲我们介绍了随机变量数学期望，它表达了随机变量取值平均水平，是随机变量一个主要数字特征.

不过在一些场所，仅仅知道平均值是不够.2/19

比如，某零件真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上点表示如图：

若让你就上述结果评价一下两台仪器优劣，你认为哪台仪器好一些呢？乙仪器测量结果

甲仪器测量结果很好测量结果均值都是

a

因为乙仪器测量结果集中在均值附近3/19又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标位置如图：

你认为哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果

乙炮射击结果

乙很好因为乙炮弹着点较集中在中心附近.

中心

中心

4/19

为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近离散程度.这个数字特征就是我们这一讲要介绍

方差5/19一、方差定义

采取平方是为了确保一切差值都起正面作用，防止正负相消。注：有书上也把方差记作或设是一个随机变量，若存在，则称为方差，称为标准差（或均方差、方差根）。6/19若取值比较分散，则方差较大.

可见，方差大小刻划了随机变量取值与其数学期望离散程度。若取值比较集中在附近，则方差较小；

7/19

为离散型，

由定义知，方差是随机变量函数数学期望.为连续型，

8/19二、计算方差一个简化公式

二项式展开

证：利用期望性质

这个公式很主要，它不但证实了普通情况下，而且经惯用它来简化方差计算。9/19例1、设r.v.服从参数为p0-1分布，求。解：由题知分布列为而前面我们已经计算过从而10/19例2、设r.v.服从[a,b]上均匀分布，求。解：已知概率密度为而前面我们已经计算过从而11/19解：已知概率密度为而前面我们已经计算过从而例3、设r.v.服从参数为指数分布，求。12/19解:

例4、设随机变量概率密度为以下，求a，b，c。13/19解联立方程组得14/19三、方差性质

与不一定独立时，请思索。1、D(C)=0；设，为任意随机变量，C为任意常数。

2、；3、；4、若，相互独立，则；可推广至有限个r.v.情形：设相互独立，则

15/19例5、设随机变量期望和方差为和,且,求:

解:

期望和方差。称为是r.v.标准化随机变量。16/19例6、设随机变量期望存在，且，c为一常数，则

（）例7、设为一随机变量，已知，则（）17/19小结：这一讲,我们介绍了随机变量方差.它是刻划随机变量取值在其

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