物理学量子力学基本原理习题集

物理学量子力学基本原理习题集姓名_________________________地址_______________________________学号______________________-------------------------------密-------------------------封----------------------------线--------------------------1.请首先在试卷的标封处填写您的姓名，身份证号和地址名称。2.请仔细阅读各种题目，在规定的位置填写您的答案。一、选择题1.量子力学的基本假设是什么？

A.粒子波二象性

B.线性叠加原理

C.量子态的纠缠现象

D.宇宙的全息原理

2.波函数的物理意义是什么？

A.描述粒子在空间的位置

B.描述粒子运动的概率波

C.描述粒子的速度

D.描述粒子的动量

3.量子态的叠加态是什么？

A.粒子同时存在于多种状态

B.粒子只存在于一个状态

C.粒子具有确定的动量

D.粒子具有确定的能量

4.线性叠加原理是什么？

A.量子态的叠加

B.量子态的纠缠

C.量子态的量子态的纠缠

D.量子态的不可测性

5.量子态的纠缠现象是什么？

A.两个量子态之间的一种非局域关联

B.量子态之间的相互作用

C.量子态之间的能量传递

D.量子态之间的动量传递

6.海森堡不确定性原理是什么？

A.量子态的不可测性

B.粒子的动量与位置无法同时确定

C.量子态的线性叠加

D.量子态的纠缠

7.氢原子的能级结构是怎样的？

A.线性分布

B.按照量子数分类

C.矩阵分布

D.非线性分布

8.哪个量子态的期望值为零？

A.地球自转速度的期望值

B.基态氢原子的能量期望值

C.质子静止质量的期望值

D.电子电势能的期望值

答案及解题思路：

1.答案：B

解题思路：量子力学的基本假设之一是线性叠加原理，即量子态可以线性叠加。

2.答案：B

解题思路：波函数描述粒子运动的概率波，反映了粒子在不同位置的概率分布。

3.答案：A

解题思路：量子态的叠加态表示粒子可以同时存在于多种状态。

4.答案：A

解题思路：线性叠加原理指的是量子态可以线性叠加。

5.答案：A

解题思路：量子态的纠缠现象是指两个量子态之间的一种非局域关联。

6.答案：B

解题思路：海森堡不确定性原理表明，粒子的动量与位置无法同时确定。

7.答案：B

解题思路：氢原子的能级结构按照量子数分类，分为不同的能级。

8.答案：B

解题思路：基态氢原子的能量期望值为零，因为在基态下，电子处于最低能量状态。二、填空题1.量子力学中，波函数的平方表示的是粒子在某一位置上出现的概率密度。

2.在薛定谔方程中，哈密顿算符H表示粒子的总能量算符，包括动能和势能。

3.量子态的基态和激发态之间的关系是基态能量最低，激发态能量较高，两者之间通过吸收或释放能量可以相互转换。

4.量子态的完备集是指包含所有可能量子态的集合，它们之间满足正交归一条件。

5.量子态的宇称守恒是指在量子力学中，系统的宇称不变性，即粒子交换后系统的波函数不变。

6.量子力学中的测不准原理指出，粒子的位置和动量不能同时被精确测量，其不确定性满足ΔxΔp≥h/4π。

7.量子纠缠中的非定域性是指两个或多个粒子在量子纠缠状态下，即使它们相隔很远，它们的量子态仍能相互影响。

8.量子隧穿效应是指粒子在量子力学中，即使势垒的能量高于粒子的动能，粒子仍有通过势垒的概率。

答案及解题思路：

答案：

1.粒子在某一位置上出现的概率密度

2.粒子的总能量算符，包括动能和势能

3.基态能量最低，激发态能量较高，两者之间通过吸收或释放能量可以相互转换

4.包含所有可能量子态的集合，它们之间满足正交归一条件

5.系统的宇称不变性，即粒子交换后系统的波函数不变

6.粒子的位置和动量不能同时被精确测量，其不确定性满足ΔxΔp≥h/4π

7.两个或多个粒子在量子纠缠状态下，即使它们相隔很远，它们的量子态仍能相互影响

8.粒子在量子力学中，即使势垒的能量高于粒子的动能，粒子仍有通过势垒的概率

解题思路：

1.根据量子力学中的波函数定义，波函数的平方表示粒子在某一位置上出现的概率密度。

2.薛定谔方程描述了量子力学中的粒子运动，哈密顿算符H表示粒子的总能量算符，包括动能和势能。

3.基态和激发态是量子力学中的两种状态，基态能量最低，激发态能量较高，两者之间可以通过吸收或释放能量相互转换。

4.量子态的完备集是量子力学中描述量子态的基本概念，包含所有可能量子态的集合，它们之间满足正交归一条件。

5.量子态的宇称守恒是量子力学中的基本原理，指粒子交换后系统的波函数不变。

6.测不准原理是量子力学中的基本原理，描述了粒子的位置和动量不能同时被精确测量。

7.量子纠缠中的非定域性是量子力学中的基本现象，指两个或多个粒子在量子纠缠状态下，即使它们相隔很远，它们的量子态仍能相互影响。

8.量子隧穿效应是量子力学中的基本现象，指粒子在量子力学中，即使势垒的能量高于粒子的动能，粒子仍有通过势垒的概率。三、判断题1.量子力学中的波函数可以是负值。（×）

解题思路：波函数在量子力学中描述了一个量子系统的概率振幅，它必须是非负值的。这是因为波函数的模方给出的是概率密度，概率密度不能是负值。

2.量子态的叠加原理意味着一个量子系统可以同时处于多个状态。（√）

解题思路：根据量子力学的叠加原理，一个量子系统可以处于多个量子态的线性组合中，这表明它可以同时存在于不同的状态。

3.量子纠缠是量子力学中的基本现象，它表明两个粒子之间可以存在非定域的关联。（√）

解题思路：量子纠缠是量子力学中的一个核心现象，它描述了两个或多个粒子之间的量子态，这些粒子即使相隔很远，其状态之间仍然存在瞬时的关联。

4.在量子力学中，一个粒子的位置和动量不能同时被精确测量。（√）

解题思路：这是海森堡不确定性原理的直接表述，它指出在量子尺度上，粒子的位置和动量不能同时被精确测量。

5.量子力学中的哈密顿算符表示系统的总能量。（√）

解题思路：哈密顿算符在量子力学中定义为系统的总能量算符，它描述了系统随时间的演化。

6.在量子力学中，一个粒子的能量只能取特定的离散值。（√）

解题思路：根据量子力学的基本原理，粒子的能量只能取某些特定的离散值，这些值对应于系统的量子态。

7.量子态的宇称守恒定律在所有情况下都成立。（×）

解题思路：宇称守恒定律在量子力学中并非总是成立，特别是在强相互作用下，宇称可以不守恒。

8.量子纠缠现象在经典物理学中是无法解释的。（√）

解题思路：量子纠缠违反了经典物理学的局域实在论，因此经典物理学无法解释量子纠缠现象。

答案及解题思路：

1.×波函数必须是非负值的。

2.√量子态的叠加原理允许系统处于多个状态的线性组合。

3.√量子纠缠表明粒子之间存在非定域关联。

4.√海森堡不确定性原理禁止位置和动量的同时精确测量。

5.√哈密顿算符表示系统的总能量。

6.√粒子的能量只能取离散值。

7.×宇称守恒定律在所有情况下不一定成立。

8.√量子纠缠违反了经典物理学的局域实在论。四、简答题1.简述量子力学的波粒二象性。

量子力学的波粒二象性是指微观粒子既具有波动性，又具有粒子性。这一原理最早由德布罗意提出，并通过电子束衍射实验得到证实。具体来说，粒子在传播过程中表现出波动性，如干涉、衍射等现象；而在与测量相互作用时，粒子表现出粒子性，如位置、动量的明确值。

2.简述量子力学的叠加原理。

量子力学的叠加原理是指一个量子系统可以同时处于多个状态的叠加。具体来说，如果一个量子系统有多个可能的状态，那么这个系统可以同时处于这些状态的线性叠加态。

3.简述量子力学的测不准原理。

量子力学的测不准原理由海森堡提出，指出一个量子系统的某些物理量（如位置和动量）不能同时被精确测量。即一个物理量的不确定度与另一个物理量的不确定度之积有一个下限，该下限与普朗克常数有关。

4.简述量子纠缠现象。

量子纠缠现象是指两个或多个粒子之间的一种特殊关联，即一个粒子的状态无法独立于另一个粒子的状态而存在。当其中一个粒子的状态发生变化时，与之纠缠的另一个粒子的状态也会立即发生变化，无论它们相隔多远。

5.简述量子隧穿效应。

量子隧穿效应是指一个粒子在经典力学中不可能到达的势阱内部，但在量子力学中，由于波函数的延伸，粒子可以隧穿势阱，进入另一侧。这一效应在电子器件中有着重要的应用。

6.简述氢原子的能级结构。

氢原子的能级结构是由玻尔模型提出的。根据玻尔模型，氢原子中的电子只能处于特定的能级，当电子从一个能级跃迁到另一个能级时，会吸收或释放能量。能级与电子的能量成反比，即能级越高，能量越大。

7.简述量子力学中的宇称守恒定律。

量子力学中的宇称守恒定律是指一个物理过程在空间反演后，宇称不变。但是在某些弱相互作用过程中，宇称守恒定律会被破坏。

8.简述量子力学在原子物理学中的应用。

量子力学在原子物理学中的应用主要体现在以下几个方面：解释原子能级结构、解释光谱现象、研究原子核物理、量子场论等领域。

答案及解题思路：

1.答案：量子力学的波粒二象性是指微观粒子既具有波动性，又具有粒子性。解题思路：了解波粒二象性的定义和实验依据。

2.答案：量子力学的叠加原理是指一个量子系统可以同时处于多个状态的叠加。解题思路：理解叠加态的概念和线性叠加原理。

3.答案：量子力学的测不准原理指出一个量子系统的某些物理量（如位置和动量）不能同时被精确测量。解题思路：掌握测不准原理的表述和公式。

4.答案：量子纠缠现象是指两个或多个粒子之间的一种特殊关联。解题思路：理解量子纠缠的定义和实验现象。

5.答案：量子隧穿效应是指一个粒子在经典力学中不可能到达的势阱内部，但在量子力学中，由于波函数的延伸，粒子可以隧穿势阱。解题思路：了解量子隧穿效应的定义和实例。

6.答案：氢原子的能级结构由玻尔模型提出，电子只能处于特定的能级。解题思路：掌握玻尔模型和能级结构的概念。

7.答案：量子力学中的宇称守恒定律指出一个物理过程在空间反演后，宇称不变。解题思路：理解宇称守恒定律的定义和反例。

8.答案：量子力学在原子物理学中的应用主要体现在解释原子能级结构、解释光谱现象等方面。解题思路：了解量子力学在原子物理学中的应用领域和实例。五、计算题1.求解一维无限深势阱中的粒子波函数。

已知一维无限深势阱的势能函数为\(V(x)=0\)（对于\(0xa\)，其他区域\(V(x)=\infty\)），求解该势阱中粒子的波函数。

2.求解一维谐振子中的粒子波函数。

设一维谐振子的势能为\(V(x)=\frac{1}{2}kx^2\)，其中\(k\)为劲度系数，求解该谐振子中粒子的波函数。

3.求解量子力学中的薛定谔方程。

对于一维势箱模型，设势能函数\(V(x)\)在\(x=0\)到\(x=a\)之间为常数\(V_0\)，求解薛定谔方程得到能量本征值和本征波函数。

4.求解量子力学中的氢原子问题。

对于氢原子，求解薛定谔方程得到电子在氢原子中的能级和波函数。

5.求解量子力学中的多粒子系统问题。

考虑两个玻色子或费米子在三维谐振子势场中的波函数，求解系统的能级和波函数。

6.求解量子力学中的波函数的期望值。

已知一维无限深势阱中的波函数，求粒子在该势阱中的位置、动能和势能的期望值。

7.求解量子力学中的量子态的叠加态。

设有两个量子态\(\psi_1\rangle\)和\(\psi_2\rangle\)，求其叠加态\(\psi\rangle=c_1\psi_1\ranglec_2\psi_2\rangle\)的性质，其中\(c_1\)和\(c_2\)为复数系数。

8.求解量子力学中的量子纠缠问题。

设有两个纠缠态\(\psi\rangle\)和\(\phi\rangle\)，求它们的纠缠度，并分析其性质。

答案及解题思路：

1.答案：

一维无限深势阱中的波函数为\(\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\left(\frac{n\pix}{a}\right)\)，其中\(n=1,2,3,\dots\)。

解题思路：

使用定解条件：波函数在边界处为零，即\(\psi(0)=\psi(a)=0\)，求解薛定谔方程得到波函数。

2.答案：

一维谐振子中的波函数为\(\psi_n(x)=\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x\right)e^{\frac{m\omegax^2}{2\hbar}}\)，其中\(H_n\)为Hermite多项式。

解题思路：

使用定解条件：波函数满足薛定谔方程和边界条件，求解得到波函数和能量本征值。

3.答案：

一维势箱模型中，薛定谔方程的解为\(\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\left(\frac{n\pix}{a}\right)\)，其中\(n=1,2,3,\dots\)。

解题思路：

使用定解条件：波函数满足薛定谔方程和边界条件，求解得到波函数和能量本征值。

4.答案：

氢原子中，电子的能级为\(E_n=\frac{e^2}{2\hbar^2n^2}\)，其中\(n=1,2,3,\dots\)。

解题思路：

使用定解条件：电子在氢原子中满足薛定谔方程，求解得到能级和波函数。

5.答案：

多粒子系统中的波函数为\(\psi_{n_1n_2}(x_1,x_2)=\psi_{n_1}(x_1)\psi_{n_2}(x_2)\)。

解题思路：

使用定解条件：多粒子系统满足薛定谔方程和交换对称性，求解得到波函数和能级。

6.答案：

一维无限深势阱中的位置、动能和势能的期望值分别为\(\langlex\rangle=\frac{a}{2}\)，\(\langleT\rangle=\frac{\hbar^2n^2}{8ma^2}\)，\(\langleV\rangle=\frac{\hbar^2n^2}{8ma^2}\)。

解题思路：

使用定解条件：波函数满足薛定谔方程和边界条件，求解得到期望值。

7.答案：

量子态的叠加态\(\psi\rangle=c_1\psi_1\ranglec_2\psi_2\rangle\)的性质取决于系数\(c_1\)和\(c_2\)。

解题思路：

利用量子态的叠加原理，将不同量子态线性组合得到新的量子态。

8.答案：

纠缠态的纠缠度由纠缠矩阵\(R\)的特征值确定，特征值小于1表示系统处于纠缠态。

解题思路：

利用纠缠态的定义，计算纠缠矩阵\(R\)并分析其特征值。六、论述题1.论述量子力学的波粒二象性及其对物理学的影响。

量子力学的波粒二象性是指微观粒子如电子、光子等同时具有波动性和粒子性的现象。

波粒二象性的提出对物理学产生了深远的影响，例如它推动了量子力学的发展，改变了我们对物质世界的认识。

波粒二象性在解释光电效应、康普顿散射等实验现象中发挥了关键作用。

2.论述量子力学的叠加原理及其在量子计算中的应用。

量子力学的叠加原理指出，一个量子系统可以同时存在于多个状态中，直到被测量时才确定其状态。

叠加原理是量子计算的基础，允许量子计算机在并行处理大量信息时具有巨大优势。

在量子计算中，叠加原理使得量子比特（qubit）能够同时表示0和1的状态，从而实现量子并行计算。

3.论述量子力学的测不准原理及其在量子测量中的应用。

测不准原理指出，在量子系统中，某些成对的对立物理量（如位置和动量、能量和时间）不能同时被精确测量。

测不准原理对量子测量有重要影响，它限制了我们对量子系统的精确控制。

在量子测量中，测不准原理指导我们如何设计最佳测量方案，以获得尽可能多的信息。

4.论述量子纠缠现象及其在量子通信中的应用。

量子纠缠是指两个或多个粒子之间存在的一种特殊的关联，即使它们相隔很远，一个粒子的状态也会影响另一个粒子的状态。

量子纠缠在量子通信中有着广泛的应用，如量子密钥分发（QKD），可以实现绝对安全的通信。

量子纠缠现象为量子通信和量子计算等领域提供了新的技术途径。

5.论述量子力学中的宇称守恒定律及其在粒子物理学中的应用。

宇称守恒定律指出，在微观粒子的相互作用过程中，宇称（镜像对称性）是守恒的。

但是宇称守恒定律在粒子物理学中并非总是成立，如弱相互作用中的宇称非守恒现象。

宇称守恒定律在粒子物理学中具有重要的应用，如解释中微子的味道变化和CP对称破缺等现象。

6.论述量子力学在原子物理学中的应用及其贡献。

量子力学在原子物理学中的应用极为广泛，包括原子结构的解释、光谱线的产生和吸收等。

量子力学为原子物理学提供了理论基础，揭示了原子的结构和性质。

量子力学在原子物理学中的应用促进了原子核物理、分子物理等领域的发展。

7.论述量子力学在固体物理学中的应用及其贡献。

量子力学在固体物理学中的应用主要体现在对固体材料电子结构的描述和电子输运性质的研究。

量子力学为固体物理学提供了理论框架，解释了固体的导电性、磁性、光学性质等。

量子力学在固体物理学中的应用推动了半导体技术、超导材料等领域的进步。

8.论述量子力学在量子计算中的应用及其挑战。

量子力学在量子计算中的应用体现在量子比特的构造、量子逻辑门的设计和量子算法的实现。

量子力学为量子计算提供了理论基础，使量子计算机具有超越经典计算机的潜力。

但是量子计算面临着诸多挑战，如量子比特的稳定性、错误率、量子算法的复杂性等。

答案及解题思路：

1.答案：量子力学的波粒二象性揭示了微观粒子的波动性和粒子性，改变了我们对物质世界的认识，推动了量子力学的发展，并对光电效应、康普顿散射等实验现象进行了合理解释。

解题思路：结合波粒二象性的定义和影响，阐述其在物理学中的应用和意义。

2.答案：量子力学的叠加原理是量子计算的基础，允许量子比特同时表示0和1的状态，实现量子并行计算，为量子计算机提供了巨大优势。

解题思路：阐述叠加原理在量子计算中的应用，结合量子比特的概念，说明其重要性。

3.答案：量子力学的测不准原理指出，在量子系统中，某些对立物理量不能同时被精确测量，限制了我们对量子系统的精确控制。

解题思路：解释测不准原理的含义，说明其对量子测量的影响。

4.答案：量子纠缠现象是指两个或多个粒子之间存在的一种特殊的关联，可用于实现量子密钥分发和量子通信，为信息安全提供了新的技术途径。

解题思路：阐述量子纠缠现象的定义，说明其在量子通信中的应用。

5.答案：量子力学中的宇称守恒定律在粒子物理学中并非总是成立，如弱相互作用中的宇称非守恒现象，为粒子物理学的深入研究提供了重要线索。

解题思路：解释宇称守恒定律的含义，说明其在粒子物理学中的应用和挑战。

6.答案：量子力学在原子物理学中的应用极为广泛，包括原子结构的解释、光谱线的产生和吸收等，为原子物理学提供了理论基础。

解题思路：列举量子力学在原子物理学中的应用，阐述其贡献。

7.答案：量子力学在固体物理学中的应用主要体现在对固体材料电子结构的描述和电子输运性质的研究，为固体物理学提供了理论框架。

解题思路：阐述量子力学在固体物理学中的应用，说明其对材料科学和半导体技术等领域的影响。

8.答案：量子力学在量子计算中的应用推动了量子计算机的发展，但量子比特的稳定性、错误率、量子算法的复杂性等挑战仍需解决。

解题思路：总结量子计算在量子力学中的应用，说明其面临的挑战和未来发展方向。七、应用题1.量子力学在半导体物理学中的应用。

题目：

在半导体物理学中，利用量子力学解释电子在半导体中的能带结构。假设一种半导体材料，其价带和导带之间存在一个宽度为0.3eV的能隙。请根据量子力学原理，计算电子从价带跃迁到导带所需的平均能量，并给出计算步骤。

答案：

计算电子从价带跃迁到导带所需的平均能量可以通过以下公式进行：

\[E=\frac{h^2}{8m_e\DeltaE}\]

其中，\(h\)为普朗克常数，\(m_e\)为电子质量，\(\DeltaE\)为能隙宽度。

代入数值计算：

\[E=\frac{(6.626\times10^{34}\text{Js})^2}{8\times9.109\times10^{31}\text{kg}\times0.3\times1.602\times10^{19}\text{J/eV}}\]

\[E\approx0.25\text{eV}\]

解题思路：

利用能隙宽度来计算电子跃迁所需能量，使用量子力学的基本公式进行计算，考虑普朗克常数、电子质量和能隙宽度。

2.量子力学在核物理学中的应用。

题目：

在核物理学中，研究核力的量子化模型，如核壳层模型。假设一个原子核，其质子数为\(Z\)，中子数为\(N\)，且\(Z\leqN\)。根据核壳层模型，求该核的半衰期\(t_{1/2}\)与\(Z\)和\(N\)的关系式。

答案：

核壳层模型中，半衰期\(t_{1/2}\)可以表示为：

\[t_{1/2}=\frac{1}{\lambda}\]

其中，\(\lambda\)为衰变常数，它与\(Z\)和\(N\)的关系可以表示为：

\[\lambda=\lambda_0\left(\frac{Z}{A}\right)^2\left(\frac{A}{A_0}\right)^{2}\]

这里，\(A\)是核子数（\(A=ZN\)），\(A_0\)是参考原子核的核子数，\(\lambda_0\)是常数。

解题思路：

利用核壳层模型的基本原理，结合核子数和质子数之间的关系，推导出半衰期与\(Z\)和\(N\)的关系。

3.量子力学在量子信息学中的应用。

题目：

在量子信息学中，量子纠缠是基础。考虑两个量子态\(\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(00\rangle11\rangle)\)和\(\phi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(01\rangle10\rangle)\)。请验证这两个态是否为纠缠态，并给出验证过程。

答案：

两个态\(\psi\rangle\)和\(\phi\rangle\)是否纠缠，可以通过计算它们的贝尔不等式来验证。如果它们满足贝尔不等式，则不是纠缠态；如果不满足，则是纠缠态。

贝尔不等式的表达式为：

\[C^{ab}\leq\leftC^{aa}C^{bb}1\right\]

其中，\(C^{ab}\)是\(\frac{1}{4}\)(\(P(01)P(10)\))，\(C^{aa}\)和\(C^{bb}\)分别是\(P(00)\)和\(P(11)\)。

计算并验证后，发觉不满足贝尔不等式，因此\(\psi\rangle\)和\(\phi\rangle\)是纠缠态。

解题思路：

使用贝尔不等式检验量子态的纠缠性，通过计算贝尔不等式的各部分并比较它们的值。

4.量子力学在量子生物学中的应用。

题目：

在量子生物学中，研究量子隧穿效应在DNA复制中的作用。假设DNA中的一个碱基对的氢键断裂需要克服的能量势垒为2eV。根据量子隧穿理论，求氢键断裂的概率。

答案：

氢键断裂的概率可以用以下公式计算：

\[P=\exp\left(\frac{2\pi\hbar}{m_e\epsilon}\right)\]

其中，\(\hbar\)为约化普朗克常数，\(m_e\)为电子质量，\(\epsilon\)为能量势垒。

代入数值计算：

\[P=\exp\left(\frac{2\pi\times1.054\times10^{34}\text{Js}\times1.602\times10^{19}\text{C}}{9.109\times10^{31}\text{kg}\times2\times1.602\times10^{19}\text{J/eV}}\right)\]

\[P\approx\exp(1.5)\]

\[P\approx0.223\]

解题思路：

利用量子隧穿理论计算氢键断裂的概率，通过普朗克常数、电子质量和能量势垒等物理量进行计算。

5.量子力学在量子医学中的应用。

题目：

在量子医学中，研究核磁共振成像（MRI）的量子基础。假设在MRI扫描中，一个氢原子的磁共振频率为\(f\)。请计算该氢原子的角动量\(L\)的大小。

答案：

氢原子的磁共振频率\(f\)与其角动量\(L\)的大小有关，关系式为：

\[f=\frac{g\mu_B}{\hbar}L\]

其中，\(g\)为朗德因子，\(\mu_B\)为玻尔磁子，\(\hbar\)为约化普朗克常数。

代入数值计算：

\[L=\frac{f\hbar}{g\mu_B}\]

\[L=\frac{(42.58\text{MHz})\times(1.054\times10^{34}\text{Js})}{2\times(9.274\times