2025年高考复习二轮专题突破（四） 力学中的追及相遇模型（解析版）

专题解析：（四）力学中的追及相遇模型1．如图所示的位移—时间(x-t)图像和速度—时间(v-t)图像中给出四条图线，甲、乙、丙、丁分别代表四辆汽车由同一地点向同一方向运动的情况，则下列说法正确的是()A．甲车做直线运动，乙车做曲线运动B．0～t1，甲车通过的路程大于乙车通过的路程C．0～t2，丙、丁两车在t2时刻相距最远D．0～t2，丙、丁两车的平均速度相等解析：选Cx-t图像表示的是做直线运动的汽车的位移随时间的变化情况，而不是汽车运动的轨迹，由于甲、乙两车在0～t1做单向的直线运动，故在这段时间内两车通过的位移和路程均相等，A、B选项均错；在v-t图像中，t2时刻丙、丁速度相等，t2时刻之前v丁一直大于v丙，且丙、丁由同一地点沿同一方向运动，故t2时刻两者相距最远，C选项正确；由v-t图线与坐标轴围成的面积表示位移可知，0～t2丙的位移小于丁的位移，故丙的平均速度小于丁的平均速度，D选项错误。2．火车以速率v1向前行驶，司机突然发现在前方同一轨道上距车头s处有另一列火车，它正沿相同的方向以较小的速度v2做匀速运动，于是司机立即使火车做匀减速运动，该加速度大小为a，则要使两车不相撞，加速度a应满足的关系为()A．a>eq\f(v12－v22,2s) B．a>eq\f(v12,2s)C．a>eq\f(v22,2s) D．a>eq\f(v1－v22,2s)解析：选D设经过时间t两车相遇，则有v2t＋s＝v1t－eq\f(1,2)at2，整理得at2＋2(v2－v1)t＋2s＝0，要使两车不相撞，则上述方程无解，即Δ＝4(v2－v1)2－8as<0，解得a>eq\f(v1－v22,2s)，即选项D正确。3．无线蓝牙耳机摆脱了线材束缚，可以在一定距离内与手机等设备实现无线连接。为了研究在运动过程中无线连接的最远距离，甲和乙两位同学做了一个有趣的实验。乙佩戴无线蓝牙耳机，甲携带手机检测，乙在甲正前方14m处，二人同时沿同一直线向正前方运动，各自运动的v-t图像如图所示，结果手机检测到蓝牙耳机能被连接的时间为4s。则最远连接距离为()A．10.5mB．11.5mC．12.5m D．13.5m解析：选B由图像可知，t＝3s时，甲、乙速度相同，距离最近，由于耳机与手机正常连接时间为4s，所以耳机与手机正常连接的时间是从1s至5s。当t＝1s时，由图像可知，甲的速度为5m/s，在0～1s，位移之差为Δx＝eq\f(2＋3,2)×1＝2.5m，因t＝0时乙在甲正前方14m处，则t＝1s时甲、乙之间的距离为s＝14m－2.5m＝11.5m，因此最远连接距离为11.5m，故B正确，A、C、D错误。4．(多选)如图所示，在体育课上进行篮球训练时，甲、乙两同学将两个篮球分别水平抛出后两篮球在空中的P点相遇，已知甲同学抛出点的高度h1比乙同学抛出点的高度h2大，不计空气阻力，篮球可看成质点，则下列说法正确的是()A．甲同学比乙同学先将篮球抛出B．两篮球相遇前，乙同学抛出的篮球在空中运动的时间短C．若甲、乙同学抛球速度变为原来的2倍，则相遇点一定在P点正上方D．若甲同学抛球时与乙同学高度相同，且同时抛出，则落地前不一定能相遇解析：选ABD根据h＝eq\f(1,2)gt2可知，平抛运动的高度决定时间，甲同学抛出点的高度比乙同学抛出点的高度大，两篮球在空中的P点相遇，可知甲同学比乙同学先将篮球抛出，即甲同学抛出的篮球运动时间长，乙同学抛出的篮球运动时间短，故A、B正确；设两抛出点的水平距离为x，且保持不变，则eq\f(x甲,x乙)＝eq\f(v1t1,v2t2)，若抛球的速度变为原来的2倍，则eq\f(x甲′,x乙′)＝eq\f(2v1t1′,2v2t2′)＝eq\f(v1t1′,v2t2′)，且x甲＋x乙＝x甲′＋x乙′＝x，说明两球运动时间变短，且时间差减小，即eq\f(t1,t2)>eq\f(t1′,t2′)，则eq\f(x甲,x乙)>eq\f(x甲′,x乙′)，说明相遇点在P点左上方，故C错误；两球抛出的高度和初速度未知，所以两球可能不会相遇，故D正确。5．如图所示，三颗卫星a、b、c绕地球做匀速圆周运动，其中b、c在地球的同步(静止)轨道上，a距离地球表面的高度为R，此时a、b恰好相距最近。已知地球质量为M、半径为R，地球自转的角速度为ω，引力常量为G，则()A．卫星a和b下一次相距最近还需经过的时间为eq\f(2π,\r(\f(GM,8R3))－ω)B．卫星c的机械能等于b的机械能C．若要卫星c与b实现对接，可让c加速D．发射某卫星至b所在轨道所需的能量小于至a所在轨道解析：选Ab为地球同步(静止轨道)卫星，其角速度等于地球自转角速度，对a有Geq\f(Mma,2R2)＝maωa2·2R，设卫星a和b下一次相距最近还需经过的时间为Δt，则有ωaΔt－ωΔt＝2π，解得Δt＝eq\f(2π,\r(\f(GM,8R3))－ω)，A正确；b、c在地球的同步(静止)轨道上，由于卫星b、c质量关系不确定，则卫星c的机械能与b的机械能关系也不确定，B错误；根据Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，解得v＝eq\r(\f(GM,r))，可知轨道半径越大，圆周运动的线速度越小，当卫星c在地球同步轨道上加速后，其将变轨到高轨道，在高轨道稳定运行的线速度将小于卫星b的线速度，两者间距随后将逐渐增大，不能实现对接，C错误；同一卫星在高轨道的机械能大于其在低轨道上的机械能，可知发射某卫星至b所在轨道所需的能量大于至a所在轨道，D错误。6．如图所示，某同学用玩具枪练习射击，用电磁铁吸住一小球作为“靶子”，在玩具枪沿水平方向对着“靶子”射出一球形“子弹”的同时，电磁铁释放“靶子”小球。已知两小球完全相同，空气阻力与速度成正比，则下列说法中正确的是()A．只要h足够大，“子弹”一定能击中“靶子”B．由于空气阻力，“子弹”不可能击中“靶子”C．“子弹”和“靶子”运动过程中在同一水平线上D．“子弹”落地速度可能小于“靶子”落地速度解析：选C若“子弹”的初速度较小，水平速度减为零时的水平位移小于d，则不能击中“靶子”，故A错误；竖直方向上的运动状态和受力情况是完全一样的，因此竖直方向位移相同，“子弹”和“靶子”运动过程中在同一水平线上，只要在条件允许情况下，“子弹”有可能击中“靶子”，故B错误，C正确；“子弹”落地前水平方向分速度减为0时落地速度最小，而“子弹”和“靶子”在竖直方向上的运动状态相同，即“子弹”落地速度肯定不小于“靶子”落地速度，故D错误。7．某人乘坐上海到北京的动车a，某时刻动车a后面追上一列动车b，两动车互相追赶，如图(a)所示。两动车运动的v-t图像如图(b)所示，t＝0时刻两动车车头刚好并排行驶，下列说法正确的是()A．前30s两动车平均速度相等B．图(b)中动车a的最大速度为80.8m/sC．0～36s，两车头相距最远为65.6mD．两车头在36s末再次并排行驶解析：选Bv-t图像与时间轴围成的面积表示位移，由题图(b)可知，在前30s内动车b的位移大于动车a的位移，故动车b的平均速度大于动车a的平均速度，故A错误；动车a做匀加速直线运动的加速度大小a＝eq\f(Δv,Δt)＝eq\f(76－60,30－10)m/s2＝0.8m/s2，由题图(b)可知，在36s时刻动车a的速度最大，则有vm＝v0＋at＝60m/s＋0.8×(36－10)m/s＝80.8m/s，故B正确；0～36s，当两动车的速度相等时，即在t＝30s时刻，两车头相距最远，由题图(b)可知两车头最远的距离Δxm＝eq\f(1,2)×16×10m＝80m，故C错误；由题图(b)可知，0～30s动车b比动车a多走的位移Δx1＝Δxm＝80m，30s～36s动车a比动车b多走的位移Δx2＝eq\f(1,2)×(80.8－76)×6m＝14.4m，说明在0～36s动车b比动车a多走的位移Δx＝Δx1－Δx2＝65.6m，即两车头在36s末没有并排行驶，故D错误。8．(多选)如图所示，在水平地面上M点的正上方h高度处，将小球S1以速度大小为v水平向右抛出，同时在地面上N点处将小球S2以速度大小为v竖直向上抛出。在S2球上升到最高点时恰与S1球相遇，不计空气阻力。则在这段过程中，以下说法正确的是()A．两球的速度变化相同B．相遇时小球S1的速度方向与水平方向夹角为30°C．两球的相遇点在N点上方eq\f(h,2)处D．M、N间的距离为h解析：选ACD由于两个球都只受到重力的作用，加速度都是重力加速度，加速度恒定，两球的运动时间相同，则速度的变化相同，故A正确；两球运动时间为t＝eq\f(v,g)，相遇时小球S1竖直分速度为vy＝gt＝v，因此速度方向与水平方向夹角为45°，故B错误；两球相遇时，小球S1竖直位移h1＝eq\f(1,2)gt2，小球S2竖直位移h2＝vt－eq\f(1,2)gt2，h1＋h2＝h，联立解得h1＝h2＝eq\f(h,2)，两球的相遇点在N点上方eq\f(h,2)处，故C正确；M、N间的距离为x＝vt＝gt2＝h，故D正确。9．(多选)如图，火星与地球近似在同一平面内绕太阳沿同一方向做匀速圆周运动，火星的轨道半径大约是地球的1.5倍。地球上的观测者在大多数的时间内观测到火星相对于恒星背景由西向东运动，称为顺行；有时观测到火星由东向西运动，称为逆行。当火星、地球、太阳三者在同一直线上，且太阳和火星位于地球两侧时，称为火星冲日。忽略地球自转，只考虑太阳对行星的引力，下列说法正确的是()A．火星的公转周期大约是地球的eq\r(\f(8,27))倍B．在冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为顺行C．在冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为逆行D．在冲日处，火星相对于地球的速度最小解析：选CD由题意根据开普勒第三定律可知eq\f(r地3,T地2)＝eq\f(r火3,T火2)，火星轨道半径大约是地球轨道半径的1.5倍，则可得T火＝eq\r(\f(27,8))T地，故A错误；根据Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，可得v＝eq\r(\f(GM,r))，由于火星轨道半径大于地球轨道半径，故火星运行线速度小于地球运行线速度，所以在冲日处火星相对于地球由东向西运动，为逆行，故B错误，C正确；由于火星和地球运动的线速度大小不变，在冲日处火星和地球速度方向相同，故相对速度最小，故D正确。10．如图(a)，我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图(b)所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是()A．谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度B．谷粒2在最高点的速度小于v1C．两谷粒从O到P的运动时间相等D．两谷粒从O到P的平均速度相等解析：选B抛出的两谷粒在空中均仅受重力作用，加速度均为重力加速度，A错误；谷粒2做斜向上抛运动，谷粒1做平抛运动，均从O点运动到P点，故位移相同，在竖直方向上谷粒2做竖直上抛运动，谷粒1做自由落体运动，竖直方向上位移相同，故谷粒2运动时间较长，C错误；谷粒2做斜抛运动，水平方向上为匀速直线运动，故运动到最高点的速度即为水平方向上的分速度，相同水平位移谷粒2用时较长，故谷粒2在水平方向上的分速度较小，即最高点的速度小于v1，B正确；两谷粒从O点运动到P点的位移相同，谷粒1的运动时间小于谷粒2的运动时间，则谷粒1的平均速度大于谷粒2的平均速度，D错误。11.如图所示，质量分别为m1、m2的小球A和B，用两根长度均为L的细绳悬挂在同一点O上。现让A、B在水平面内绕同一方向做匀速圆周运动，小球做圆周运动的圆心分别为O1、O2。O1、O2到O点的距离分别为h1＝0.25L、h2＝0.64L，重力加速度为g。求：(1)小球A和B转动的角速度大小；(2)在运动过程中小球A和B间的距离会不断改变，则A和B的间距从最小值变化到最大值所需的最短时间。解析：(1)设细绳与竖直方向夹角为θ，如图所示，则有mgtanθ＝mω2Lsinθ解得ω＝eq\r(\f(g,Lcosθ))＝eq\r(\f(g,h))代入h1＝0.25L，h2＝0.64L可得ω1＝2eq\r(\f(g,L))，ω2＝eq\f(5,4)eq\r(\f(g,L))。(2)最短时间内间距从最小值到最大值满足(ω1－ω2)t＝π解得t＝eq\f(4π,3)eq\r(\f(L,g))。答案：(1)2eq\r(\f(g,L))eq\f(5,4)eq\r(\f(g,L))(2)eq\f(4π,3)eq\r(\f(L,g))12.如图所示，光滑斜面固定，倾角θ＝37°，斜面上P点与斜面底端B点间的距离为d，D点位于B点的正上方。现在将小物块从斜面的顶端A点由静止释放的同时，将小球从D点以某一初速度水平向左抛出，小球与物块在P点相遇，相遇时小球恰好垂直打到斜面上。重力加速度大小为g，取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，物块与小球均视为质点，不计空气阻力。求：(1)小球从D点运动到P点的时间t及其抛出时距B点的高度h；(2)斜面的长度L。解析：(1)小球从D点运动到P点的过程做平抛运动，如图所示有dcosθ＝v0t