浙江省台州市2025届高三下学期4月二模试题 数学 含解析

台州市2025届高三第二次教学质量评估试题数学2025.4命题：叶挺（三门县教师发展中心）闫大贵（温岭中学）审题：范伟峰（天台中学）本试题卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.选择题部分（共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知圆M：，则圆心坐标和半径分别为（）A.，4 B.，4 C.，2 D.，2【答案】D【解析】【分析】利用给定圆的方程直接求出圆心坐标及半径即得.【详解】圆的圆心坐标为，半径为.故选：D2.已知等差数列的公差，，则的最小值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，用公差表示，再利用基本不等式求出最小值.【详解】等差数列的公差，由，得，解得，则，当且仅当时取等号，所以的最小值为2.故选：B3.若随机变量，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得结果.【详解】由可得，即，因为随机变量，且，故.故选：B.4.已知复数，（，i为虚数单位），则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用复数模的意义，结合充分条件、必要条件的定义判断得解.【详解】复数，，则，解得，所以“”是“”的充要条件.故选：C5.已知一个盒子里有4个大小形状完全相同的小球，其中2个红球，2个黑球，现从中任取两球，若已知一个是红球，则另一个也是红球的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设事件A表示：在所取的球中有一个是红球，事件B表示：另一个也是红球，分别求出和，利用条件概率能求出在所取的球中有一个是红球的情况下，另一个也是红球的概率.【详解】设事件A表示：在所取的球中有一个是红球，事件B表示：另一个也是红球，则，，已知一个是红球的情况下，另一个也是红球的概率为：.故选：A.6.已知，若函数既有极大值又有极小值，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求得，分析可知，关于的方程有两个不等的正根，根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，由此可得出实数的取值范围.【详解】因为函数的定义域为，所以，因为函数既有极大值，又有极小值，则关于的方程有两个不等的正根、，所以，，解得，因此，实数的取值范围是.故选：C.7.已知某个正三棱台的上、下底面面积分别为和，高为6，则该正三棱台的外接球半径为（）A.4 B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】分别求得上下底面所在平面截球所得圆的半径，找到球心，求得半径，再由球的表面积公式可得结果.【详解】如图所示，分别为上下底面的外心，则外接球球心在线段上，连接并延长交于，连接并延长交AB于D，设等边三角形的边长为，根据正三角形面积公式，∴，，设等边三角形的边长为，根据正三角形面积公式，∴，C=CD=，则，设正三棱台的外接球的半径,得，解得，即.故选：B.8.已知，为双曲线C：的左、右焦点，过作直线l与双曲线的右支交于A，B两点，且，，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，根据双曲线定义表示，在中利用余弦定理可得，在中利用余弦定理可得的关系，即可得到双曲线离心率.【详解】由双曲线定义得，，，设，则由图，，在中，由余弦定理得，解得，∴.在中，由余弦定理得，∴，故离心率故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知是定义域为R且周期为2的函数，其部分图象如图所示，则下列选项对恒成立的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】结合周期为2，可知函数在R上的图象，可判断A选项；由图象结合对称轴知识，可以判断B选项；C结合单调性可判断；D选项，结合函数构造，最值关系及周期、对称关系可判别.【详解】A选项：由已知，函数是定义域为R且周期为2，则将的图象往左和往右复制延伸可得的图象，可知函数关于y轴对称，为偶函数，A选项正确；B选项：由图象可知为函数图象的对称轴，故，B选项正确；C选项：令，则，又，则恒成立，即单调递增，当时，，即，由图象可知，在时，单调递增，，时，单调递减，，C选项错误；D选项：由图象可知，在时，，，令，则，在该区间单调递增，且，则，满足，则当时，，单调递减，，当时，，单调递增，，则，，即，即，令，该函数周期，且关于轴对称，则在R上恒成立，D选项正确.故选：10.已知，，，则下列选项正确的是（）A.的取值范围是 B.的最大值为30C.的最小值为 D.的最小值为【答案】ABC【解析】【分析】利用向量模的三角不等式（当且仅当同向时时取等号）用该不等式求解的最大值，把首尾顺次连接构成封闭三角形时，是最小值，利用向量数量积化简分析最值，利用向量同向时数量积取得最大值，反向或特殊位置时即可求得最小值.【详解】对于选项A：由向量模长的三角不等式，当且仅当同向时，取得最大值9；当这三个向量当首尾顺次连接构成封闭三角形时，，模长为0，由于长度为2，3，4满足任意两边之和大于第三边，所以这样的三角形是存在的，故的取值范围是[0，9]，故选项A正确.对于选项B，，当同向时，，的最大值为，B选项正确.对于选项C，D，，设，则上式为①，当与反向时，，所以代入①式得，所以当时，取得最小值为，此时，所以，这种可能性是存在的，故选项C是正确的，选项D是错误的.故选：ABC11.如图，是由两个平行平面截半径为2cm且足够高的圆柱体所得的几何体，截面与圆柱体的轴成45°，上、下截面间的距离为.某高中数学兴趣小组对该几何体进行了探究，得出下列四个结论，其中正确的是（）A.截口曲线的离心率为 B.该几何体的体积为C.该几何体的侧面积为 D.该几何体的上截面面积为【答案】BCD【解析】【分析】对于A：求出长轴短轴长即可求得结果；对于选项B，C利用割补法将图形等价于底面半径为，高为的圆柱即可求得结果，对于选项D：利用椭圆的面积公式即可求得结果.【详解】对于A：因为截面与圆柱体的轴成45°，且圆柱体底面半径为，故截面椭圆长轴长为，短轴长为，故，故，故A错误；对于选项B：因为上、下截面间的距离为，所以，将该几何体沿A点平行于圆柱底面切割补到以沿点B平行于圆柱底面的位置，则正好是以底面半径为，高为的圆柱，则，故B正确；对于选项C：同样以选项B的方法割补，侧面积即为以底面半径为2，高为2圆柱的侧面，,故选项C正确；对于选项D：利用椭圆的面积公式：，故选项D正确，故选：BCD非选择题部分（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，，则=______．【答案】【解析】【分析】利用平方关系，结合余弦的两角差公式即可求解.【详解】由，平方可得，，两式相加得：，故答案为：.13.如图，已知在中，，，，是线段上的动点，、是线段上的动点（在的右侧），且四边形是正方形，则线段长度的最小值是______．【答案】##【解析】【分析】利用余弦定理可求得，设，则，，，然后在中，利用余弦定理结合二次函数的基本性质可求得的最小值.【详解】在中，，，，由余弦定理可得，因为，则，设，则，，，由题意可得，即，可得，因为，则，在中，由余弦定理可得，即，当且仅当时，等号成立，即的最小值为.故答案为：.14.已知集合，含两个元素的集合．（1）若，则满足条件的集合A的个数为______；（2）若，则满足条件的不同的有序数对的个数为______．（结果均要化简）【答案】①.②.【解析】【分析】（1）根据已知条件可得出.根据集合元素的性质设，则.依次列举可得出取不同值时取值的情况，观察可得出构成一个等差数列，根据等差数列前项和公式计算即可得出答案；（2）根据已知可得可知为4的整数倍.然后分为奇数、为2的奇数倍、为2的偶数倍，三种情况，分别求出满足条件的个数，求和即可得出答案.【详解】（1）由可得，.因为，所以.又，所以有.根据集合元素的无序性以及互异性，不妨设，则.当时，可取2，3，4，……，，共种可能；当时，可取3，4，……，，共种可能；当时，可取4，……，，共种可能；……当时，可取，，，，，共5种可能；当时，可取，，，共种可能；当时，可取，共种可能.易知1，3，5，……，，，构成了一个以1为首项，2为公差的等差数列，项数为项，和为.（2）由（1）知，.因为，可知为4的整数倍.①当为奇数时，应取2的奇数倍，显然在，满足条件有2，6，……，，有个.在，满足条件有1，3，5，……，，有个.此时满足条件的不同的有序数对的个数为；②当为2的奇数倍时，应取4的整数倍，显然在，满足条件的有4，8，……，，有个.在，满足条件的有2，6，……，，有个.此时满足条件的不同的有序数对的个数为；③当为2的偶数倍，即4的整数倍时，应取4的整数倍，且，显然在，满足条件的有4，8，……，，有个.在，满足条件的有4，8，……，，且，有个.此时满足条件的不同的有序数对的个数为.综上所述，满足条件的不同的有序数对的个数为.故答案为：；.【点睛】方法点睛：对于参数较多的时候，常采用分类讨论固定一个参数的取值，结合已知分析另外参数的取值情况.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.某市为了推广垃圾分类，在全市范围内开展了一系列宣传活动.为了评估宣传效果，市环保部门随机抽取了1000名市民进行调查.假设该市成年人口为100万，且调查结果可以代表全市成年人口的情况.调查结果如右：了解情况非常了解一般了解不了解人数（名）580320100（1）从该市成年人口中随机抽取1人，求其对垃圾分类知识“不了解”的概率；（2）该市环保部门计划对“不了解”垃圾分类知识的市民进行重点宣传.假设经过重点宣传后，“不了解”的市民中有50%转变为“一般了解”，有20%转变为“非常了解”，其余保持不变.经过重点宣传后，从该市成年人口中随机抽取3人，记X为其中对垃圾分类知识“非常了解”的人数，求X的分布列及数学期望.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算即可得出结果；（2）先求出重点宣传后“非常了解”的概率，再根据二项分布的性质确定X的分布列和数学期望，即可求得结果.【小问1详解】已知随机抽取了1000名市民进行调查，其中“不了解”的人数为100名，根据古典概型概率公式可得，所以从该市成年人口中随机抽取1人，对垃圾分类知识“不了解”的概率.【小问2详解】原来“不了解”的市民占比为0.1，“非常了解”的市民占比为，“一般了解”的市民占比为，经过重点宣传后，“不了解”的市民中有转变为“一般了解”，有转变为“非常了解”，其余保持不变，所以重点宣传后“非常了解”的概率为.从该市成年人口中随机抽取3人，记X为其中对垃圾分类知识“非常了解”的人数，因为每次抽取是相互独立的，且抽取到“非常了解”的概率都为0.6，所以，根据二项分布的概率公式.，，，.所以X的分布列为：01230.0640.2880.4320.216因为，根据二项分布的数学期望公式可得.16.已知四棱锥，底面ABCD是直角梯形，侧面PAD是等边三角形，，，AD=2，BC=1，，M是PD的中点.（1）求证：直线平面；（2）当二面角的大小为时，求直线CM与平面ABCD所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明；（2）取的中点E，连接得到为二面角的平面角，再建立空间直角坐标系利用向量法即可求得结果.【小问1详解】如图，取的中点N，连接，又M是PD的中点，则且，又因为，AD=2，BC=1，所以且，所以四边形为平行四边形，故,因为平面,平面,所以直线平面【小问2详解】取的中点E，连接,因为三角形为等边三角形，所以,且且，所以四边形为平行四边形，,因为，所以，所以为二面角的平面角，所以,，所以三角形为等边三角形，因为平面,平面，所以平面,作于点O，因为平面，所以,又因为平面,平面，所以平面，如上图所示，以O为坐标原点，以OC为x轴，以平行于AD为y轴，以OP为z轴建立空间直角坐标系，则,,显然平面的法向量为，设直线CM与平面ABCD所成角为，则，故直线CM与平面ABCD所成角的正弦值为.17.已知数列和满足，，且，．（1）求数列和的通项公式；（2）求的值.（其中表示不大于的最大整数，如）【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由已知条件得出，可知数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，可求出数列的通项公式，进而得出，利用前项和与通项的关系可求出数列的通项公式；（2）由放缩法得出，当时，，结合放缩法得出的范围，进而可得出的值.【小问1详解】由可得，且，所以，数列是首项和公比都为的等比数列，所以，，故，由已知，可得①，当时，则有②，①②得，解得，也满足，故对任意的，.【小问2详解】因为，所以，，另一方面，当时，，所以，，所以，，又因为，因此，.18.已知抛物线：的焦点为，直线l与抛物线交于A，B两点，且为线段AB的中点．（1）求抛物线的标准方程；（2）求直线l的方程；（3）过点作抛物线的两条切线，分别交l于C，D两点，求面积的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据抛物线的焦点坐标求得，即可求解；（2）根据点差法，结合斜率公式即可求解直线的斜率，进而可判断直线过焦点，由焦点弦公式即可求解；（3）设设抛物线的切线方程为，联立直线与抛物线得交点坐标关系，设的方程为，联立，求出、，进而求得，利用点到直线的距离公式求出点到直线线的距离，根据三角形面积公式列关系利用导数求出最值即可.【小问1详解】因为抛物线：的焦点为，所以，所以抛物线.【小问2详解】由题易知直线的斜率存在．设，则可得．因为线段的中点为，所以，所以，则的方程为，即．【小问3详解】设抛物线切线方程为，，即，由，可得，，设的方程为，联立，，同理，，点到直线线的距离，所以，令，因为，则，，，当