2025年北师大版数学九年级中考三轮复习：相似压轴综合 解答题训练

2025年北师大版数学九年级中考三轮复习：相似压轴综合解答题训练1．在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC【尝试初探】（1）如图1，若平行四边形ABCD是正方形，E为BC的中点，求的值；【深入探究】（2）如图2，∠B＝45°，∠AEF＝90°，求的值；【拓展延伸】如图3，BF与DE交于点O，，求的值．2．【问题背景】已知D、E分别是△ABC的AB边和AC边上的点，且DE∥BC，则△ABC∽△ADE，连接BD和CE．如图2，找出图中的另外一组相似三角形；并加以证明．【迁移应用】如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝，D、E、M分别是AB、AC、BC中点①如图4，把Rt△ADE绕着点A逆时针方向旋转，在旋转过程中直接写出线段CE和BD始终存在的位置关系和数量关系：、；②把Rt△ADE绕着点A逆时针方向旋转到如图5所在的位置，连接CD和CE，取CD中点N，若CE＝，求MN的长．【创新应用】如图6：AB＝AC＝AE＝2，BC＝4，△ADE是直角三角形，将△ADE绕着点A旋转，连接BE，＝，连接CF，请直接写出CF的取值范围．3．“相似”是初中几何学习过程中研究的一种重要图形关系．如图是我们研究三角形相似时常见的一类图形．如图1，在△ABC中，D为AB上一点，又因为∠A是△ABC和△ACD的公共角，可得△ABC∽△ACD．【初步应用】：如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，垂足为D．若AC＝1，BC＝2则AD的长为．【变式练习】：如图3，在△ABC中，AB＝6，点D在AB上，点E在CD上，DE＝2EC，求AD的长．【操作思考】：如图4，已知直线l，点D在线段AB上．请利用无刻度直尺和圆规，使得∠BCD＝∠CAB（要求：不写作法，保留作图痕迹）．【综合拓展】：如图5，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠CAD＝60°，且AC•AD＝AB2，过点D作DE⊥BP于点E．当AB＝2时，请直接写出的最大值．4．（1）如图1，Rt△ABC与Rt△ADE，点D在AB上，∠ADE＝∠ABC＝90°，，则＝，＝；（2）如图2，在（1）的条件下，Rt△ADE绕点A逆时针旋转一定角度α（0°＜α＜∠BAC），CE．的值是否发生改变？若不变请给出证明（3）拓展：如图3，矩形ABCD，E为线段AD上一点，在其右侧作矩形CEFG，且，AB＝4，BF，求2BE+BF的最小值．5．如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，GF⊥CD，垂足为点F．（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF是正方形：②推断：的值为；（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0＜α＜45°），如图（2）所示，并说明理由；（3）拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时（3）所示，延长CG交AD于点H．①求证：△AHG∽△CHA．②若AG＝8，GH＝2，则BC＝．6．【初识图形】（1）如图1，E、F分别为正方形CD边和BC边上的点，连接AE、DF＝．（2）如图2，矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，且BD⊥EF，AB＝3，求的值．【类比探究】（3）如图3，Rt△ABC中，D、F分别为AC、BC边上的点，AC＝8，D为AC中点，作AF⊥BD交BD于点E，交BC于F．直接写出AF的长为．【拓展迁移】（4）在矩形ABCD中，AD＝21，AB＝18，以EF为折痕，将四边形ABFE翻折，直线EH和直线FG分别交直线DC于点N和点Q，且DE＝8①请直接写出线段CQ的长．②若点E、F分别为线段AD和线段BC边上的动点，满足AE：BF＝1：3．且直线EF始终经过一个定点P，求EF的最大值．7．综合与实践【问题发现】（1）如图1，在正方形ABCD中，过点B作BE的垂线，过点C作AC的垂线，连接EF．①求证：BE＝BF．②当正方形ABCD的边长为，AE＝1时，则BF＝．【类比探究】（2）如图2，在矩形ABCD中，过点B作BE的垂线，过点C作AC的垂线，且∠ACB＝60°，连接EF，求【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，其余条件不变，取线段EF的中点M，CM．若，则当△CBM是直角三角形时，请直接写出线段CF的长．8．[阅读理解]如图1，在学习三角形的中位线时，我们发现三角形的三条中位线在三角形内部构成一个新的三角形．[探究思考]如图2，已知D、E、F分别是△ABC三边的三等分点，且，依次连接DE、EF、FD，请求出该数值；如果不是，请说明理由．[发现结论]如图3，已知D、E、F分别是△ABC三边的n等分点，且，依次连接DE、EF、FD则△DEF与△ABC的面积比是．9．综合与实践综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究．（1）操作判断①如图（1），在正方形ABCD中，点E，F，G，CD，AD，且EF⊥GH，若EF＝5．②如图（2），在矩形ABCD中，BC＝2AB，F，G，H分别在边AB，CD，BC上，且EF⊥GH，则GH的长为．（2）迁移探究如图（3），在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D，E分别在边AC，且AE⊥BD，试证明．（3）拓展应用如图（4），在矩形ABCD中，AB＝6，BE平分∠ABC交AD于点E，点F为AE上一点，交矩形ABCD的边于点G，当F为AE的三等分点时，请直接写出AG的长．10．问题背景：如图（1），在矩形ABCD中，过C作CE⊥BD于F，图中与△ABD相似的三角形有多个，试写出其中一个三角形并证明．尝试运用：如图（2），在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，过点E作EF⊥CD交CD的延长线于点F，交AD于点G拓展创新：如图（3），在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，DA＝DC＝3，点E，AD上，连接DE，求的值．11．综合与实践【问题情境】数学活动课上，老师让同学们运用两个直角三角形构造图形，探究问题．【问题初探】（1）勤思小组的同学构造出的图形，如图1，其中△ABC与△DEF均为等腰直角三角形，AB＝AC，AE＝AF，CF．请判断BE与CF的数量和位置关系，并说明理由；【问题再探】（2）慎思小组的同学构造出的图形，如图2，其中△ABC与△DEF仍然为等腰直角三角形，AB＝，求AD的长；【拓展应用】（3）笃思小组的同学构造出的图形，如图3，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，连接AD，BD，D，E在一条直线上，若AD＝12，请直接写出CE的长度．12．在等边△ABC中，过点A作AE∥BC．（1）如图1，点E在点A的左侧，点D是AB边上的中点，过点D作DE⊥AE交于点E，求证：BC＝4AE．（2）如图2，点E在点A的右侧，连接BE，连接AG并延长交BC于点F，过点G作GH⊥AB交AB于点H，求证：．（3）若点E在点A的右侧，连接BE，点G是BE的中点，点P是直线BC上一动点，连接GP，连接AQ，在点P的运动过程中，请直接写出的值．13．在矩形ABCD中，BC＝2CD，点E，BC上的动点，且BE＝2CF，DF．（1）如图1，若点E，F分别在边AB，则CE与DF的位置关系为，数量关系为；（2）如图2，若点E，F分别在边AB，EC的延长线与DF交于点H．求证：∠CHD＝90°；（3）在（2）的条件下，点G为EH上的点，请用等式表示线段BG与HC的数量关系，并说明理由．14．在数学活动课上，某兴趣小组准备了两张矩形纸片ABCD和CEFG来探究图形旋转的性质，先将顶点C固定，BC＝8，CE＝4，AC，CF分别是矩形ABCD和CEFG的对角线，DG．【尝试初探】（1）如图1，在矩形纸片CEFG的旋转过程中，试探究；【深入探究】（2）如图2，当AC的中点O恰好在FE的延长线上时，OF交CD于点M，求MN的长；【拓展延伸】（3）当AF⊥CE时，请直接写出△CDG的面积．15．某数学小组用三角形纸片对折叠进行了探究．如图，在三角形纸ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，CD是△ABC的中线（不与点B，C重合），将△BDP沿PD折叠，点B落在点E处【初步感知】（1）求证：EF•PF＝CF•DF；【深入探究】（2）在折叠过程中，试探究△PCF是否能成为直角三角形．若能，求出PC的长，请说明理由．【拓展延伸】（3）在折叠过程中，当△PDE的边恰好过AC的中点时，直接写出PC的长．16．在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0）为x轴上两点，且a2﹣6b+9+|a+b|＝0，点°，D为线段AB上一动点．（1）如图1，当DC⊥AC时，a＝，b＝；点D坐标为；（2）如图2，当∠ADC＝45°时，x轴上有一点E，若∠DCE＝60°，求点E坐标．（3）如图3，将AD绕点A逆时针旋转60°得到AN，连接BN，连接CM、CD，在点D的运动过程中，，求出该值；若变化17．【问题初探】数学课上，老师提出如下问题：如图①，AD是△ABC的中线，M是AD的中点，求证：CN＝2AN．经过思考，甲、乙两名同学分别给出如下解题思路：甲同学的思路：如图②，过点D作DK∥AC，交BM于点K；乙同学的思路：如图③，过点A作BC的平行线交BM的延长线于点K，利用相似将AN与CN的数量关系转化为AK与BC之间的关系．（1）请你选择一名同学的思路，写出证明过程；（2）【类比分析】老师发现两名同学都利用了转化思想．为了帮助同学更好地利用转化思想解决问题提出：如图④，在△ABC中，AD是BC边上的中线，N，BN交AD于M，BK交AD于P请你写出解答过程；（3）【学以致用】在△DEC中，ED＝EC．在直线CD上取点B，使BC＝2CD，在线段BE上取点A，连接AC，当AB＝AC时，求AF：FC的值．请你写出解答过程．18．【探究发现】（1）如图1，等腰直角Rt△ABC，∠ACB＝90°，点D是BC边上一点（不与B重合），将射线OD绕点O逆时针旋转90°交AC于点E．学习小组发现，BD＝CE始终成立．请你证明这个结论；【类比迁移】（2）如图2，Rt△ABC，∠ACB＝90°，点O为斜边AB中点，点D是AC延长线上一点，点E恰好落BC的延长线上，求的值；【拓展提升】（3）如图3，等腰△ABC中，，∠BAC＝120°，且CD＜3，以CD为边在BC的上方作等边△CDE，连接AE，BE，连接AM，当时，求△AEC的面积．19．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，点D是射线AB上的动点，点E是边AC上的动点，将△ADE沿DE翻折到△ABC所在平面得△FDE，点F恰好落在直线DC上．（1）如图1，当点F与点C重合时，若BC＝4，求AE长；（2）如图2，当∠FEA＝90°时，求tan∠CDB的值；（3）如图3，设直线DE与直线BC交于点M，当最小时，求20．如图，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，与射线CA相交于点Q．（1）求证：△BPE∽△CEQ；（2）求证：QE平分∠CQP；（3）当BP＝2，CQ＝9，求PQ的长．参考答案1．解：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠FEC＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，∵E为BC中点，∴，∴tan∠FEC＝tan∠BAE＝，∴，∴，∴；（2）过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥BC交BC延长线于点H，AF，∵∠AEF＝90°，∴∠AGE+∠GAE＝∠AEG+∠CEF＝90°，∴∠GAE＝∠CEF，∵AE＝EF，∴△AGE≌△EHF（AAS），∴GE＝FH，AG＝EH，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥CB，∴∠B＝∠DCH＝45°，∴△ABG，△CFH是等腰直角三角形，∴EH＝AG＝BG，GE＝FH＝CH，∴GC＝GE+EC＝GE+EH﹣CH＝EH＝AG，∴△AGC为等腰直角三角形，∴∠ACG＝45°，∴∠ACD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∵AD∥CB，∴∠D＝∠FCH＝45°，∴△ACD为等腰直角三角形，∴∠ACE＝∠D＝45°，∵∠DAF+∠CAF＝∠EAC+∠CAF＝45°，∴∠DAF＝∠CAF，∵△ACD，△AEF都是等腰直角三角形，∴，∴△AEC∽△AFD，∴；（3）延长AD，BF交于点G点，过点B作BN⊥DE交DE延长线于N，不妨设BE＝3，EC＝6，由，得DC＝AB＝8，由tan∠BOE＝tan∠A＝，∴，DM＝3，∴EM＝1，，∵∠BNE＝∠DME＝90°，∠BEN＝∠DEM，∴△BNE∽△DME，∴•，，∴，∴，，∵AG∥BC，∴△BEO∽△GDO，相似比为6：11，∴，∵AG∥BC，∴△BCF∽△GDF，∴．2．【问题背景】证明：△ABD∽△ACE，理由如下：∵△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，，∴，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，∵，∴△ABD∽△ACE，故答案为：△ABD∽△ACE；【迁移应用】①证明：BD＝CE，理由如下：延长BD，分别交AC、F，∵D、E分别为AB和AC的中点，∴AD＝ABAC，∴，∴，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE，∴∠ABD＝∠ACE，，∴，∵∠ABD＝∠ACE，∠AHB＝∠FHC，∴∠HFC＝∠BAH＝90°，∴BD⊥CE，故答案为：BD＝CE；②由①得，△ABD∽△ACE，∴＝，∴BD＝CE＝7，∵点M、N分别为BC，∴MN＝BD＝；【创新应用】过点A作AK⊥BC，过点C作CJ⊥AB，∵AB＝AC＝，AK⊥BC，∴BK＝CK＝2，∴AK＝＝4，∵，∴CJ＝，∴AJ＝＝，∴BJ＝AJ＝＝，∴BJ：AB＝2：5，∴BF：BE＝6：5，∴，∴FJ∥AE，∴△BJF∽△BAE，∴，∴JF＝AE＝，∴CJ﹣JF≤CF≤FJ+CJ，∴．3．解：【初步应用】∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ADC＝∠ACB，又∵∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB，∴，即，∴CD＝5AD，设AD＝a，则CD＝2a，在Rt△ADC中，AD2+CD5＝AC2，∴a2+（6a）2＝1，解得，（负值舍去），∴AD的长为，故答案为：．【变式练习】如图，过点E作EF∥AC交AD于点F，∵DE＝2EC，∴DC＝DE+EC＝3EC，∵EF∥AC，∴△DEF∽△DCA，∠DEF＝∠ACD，∴，∴，，设AD＝6x，则DF＝2x，∴BF＝AB﹣AF＝6﹣x，∵∠ACD＝∠ABE，∴∠DEF＝∠ABE，又∵∠DFE＝∠EFB，∴△DEF∽△EBF，∴，即，解得，，当时，，不符合题意；当时，，符合题意；∴AD的长为．【操作思考】如图，点C即为所求．【综合拓展】如图，作DG∥AC和AG∥BC交于点G，连接BG，∵DF⊥AC，∴∠DFA＝90°，∴DF＝AD•sin∠DAC＝ADsin60°，∴，∵DG∥AC，AG∥BC，∴，∠GAB＝∠ABC＝90°，∴AG＝＝，作△ADG的外接圆，记圆心为O、OD，则∠AOG＝×（360°﹣∠ADG）＝120°，∴∠OAG＝×（180°﹣∠ADG）＝30°，∴∠OAB＝∠GAB﹣∠OAG＝60°，设圆O与AB交于A′，则OA＝OA'，∴△OAA′是等边三角形，∴∠AOA'＝∠AA'O＝60°，∴∠AOA'+∠AOG＝180°，△OAA′是等边三角形，∴A′，O，G三点共线，∴，∴圆O的半径为7，∵△OAA'是等边三角形，∴AA'＝OA＝OA'＝1，∴A'B＝AB﹣AA'＝1，∴A'B＝OA'，∴，∴∠OBC＝∠ABC﹣∠ABO＝60°，∠AOB＝180°﹣∠ABO﹣∠OAB＝90°，∴，作ON⊥BC于点N，OM⊥DE于点M，则，，∵∠ONE＝∠DEB＝∠OME＝90°，∴四边形ONEM是矩形，∴OM＝EN，，设DE＝x，，则，∴，DM＝DE﹣ME＝x﹣，在Rt△ODM中，OM4+DM2＝OD2，∴（）2+（x﹣）7＝1，令x+y＝t，则y＝t﹣x，则[]2+（x﹣）2＝8，整理得：4x2﹣8tx+3t2﹣2t+2＝0，∴Δ＝（﹣3t）2﹣4×2×（3t2﹣5t+2）≥0，整理得3t2﹣12t+8≤5，令3t2﹣12t+4＝0，则t1＝2﹣，，∴4t2﹣12t+8≤2的解集为，∴t的最大值为，即的最大值为，故答案为：．4．解：（1）∵∠ADE＝∠ABC＝90°，，∴DE∥BC，DE＝6AD，∴AE＝＝＝AD，∴＝＝，∵DE∥BC，∴＝＝＝，故答案为：，；（2）的值不发生改变∵∠ADE＝∠ABC＝90°，，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD∽△CAE，∴＝＝；（3）如图2，以BC为斜边构造Rt△BCK，∠BCK＝60°，过K作KH⊥BC于点H，KG⊥AB于点G、EK，则CK＝BC，∵＝，∴∠CFE＝30°，∴∠FCE＝60°＝∠BCK，∵∠BKC＝∠FEC＝90°，∴△BCK∽△FCE，∴＝，∵∠ECK＝∠BCE+∠BCK，∠BCF＝∠BCE+∠FCE，∴∠ECK＝∠BCF，∴△ECK∽△FCB，∴＝＝，∴EK＝BF，作点B关于AD的对称点B'，连接B'K，则BE+EK的最小值为B'K，AB′＝AB＝4，过点K作HK⊥BC于点H，KG⊥AB于点G，∴BG＝HK，BH＝GK，∵＝，∴BC＝＝＝4，∴CK＝BC＝2，∴CH＝CK＝×＝3，∴BH＝GK＝BC﹣CH＝4﹣＝3，∴B′G＝AB′+AB+BG＝4+4+4＝11，∴B'K＝＝＝5，此时，2BE+BF＝2（BE+，即2BE+BF的最小值为2．5．（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°，∵GE⊥BC、GF⊥CD，∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°，∴四边形CEGF是矩形，∵∠BCA＝45°，∴△CEG是等腰直角三角形，∴EG＝EC，∴四边形CEGF是正方形；②解：由①知四边形CEGF是正方形，∴∠CEG＝∠B＝90°，∠ECG＝45°，∴＝，GE∥AB，∴＝＝，故答案为：；（2）解：线段AG与BE之间的数量关系为：AG＝BE连接CG，如图（2）所示：由旋转性质得：∠BCE＝∠ACG＝α，在Rt△CEG和Rt△CBA中，＝cos45°＝，，∴＝＝，∴△ACG∽△BCE，∴＝＝，∴线段AG与BE之间的数量关系为：AG＝BE；（3）①证明：由（2）知，△BCE∽△ACG，∵B、E、F三点在一条直线上，∴∠AGC＝∠BEC＝180°﹣45°＝135°，∵∠CGF＝45°，∴∠AGC+∠CGF＝180°，∴A、G、F三点共线，∴∠AGH＝∠CGF＝∠CAH＝45°，∵∠CHA＝∠AHG，∴△AHG∽△CHA；②解：由①得：△AHG∽△CHA，∴＝＝，∵四边形ABCD是正方形，∴设BC＝CD＝AD＝a，则AC＝a，∵＝，∴＝，解得：AH＝a，∴DH＝AD﹣AH＝a﹣a＝a，CH＝＝＝a，∵＝，∴＝，解得：a＝4，即BC＝4，故答案为：5．6．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠EDA＝∠FCD＝90°，∵AE⊥DF，∴∠ADF+∠DAE＝90°，∠ADF+∠CDF＝90°，∴∠CDF＝∠DAE，在Rt△ADE和Rt△DCF中，，∴△DAE≌△CDF（ASA），∴AE＝DF，∴，故答案为：1；（2）如图，过点E作EH⊥BC于点H，∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，∴，∠BAE＝∠ABH＝∠BHE＝∠EHF＝90°，∴四边形ABHE是矩形，∠ADB＝∠DBC，∴AB＝HE＝3，∵BD⊥EF于点G，∴∠GEH+∠GED＝∠GED+∠GDE＝90°，∴∠ADB＝∠HEF，∴ABD∽HFE，∴，即，∴，∴；（3）如图所示，过点F作FM⊥AC于点M，∵△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，AC＝8，∴，∵点D是AC的中点，∴，在Rt△ABD中，AB＝6，∴，设CF＝5x，∵∠CMF＝∠CAB＝90°，∠C＝∠C，∴△CMF∽△CAB，∴，即，∴CM＝4x，MF＝8x，∴AM＝AC﹣CM＝8﹣4x，∵AF⊥BD，∴∠ABD+∠BAE＝∠BAE+∠FAM＝90°，∴∠ABD＝∠FAD，又∵∠BAD＝∠AMF＝90°，∴△ABD∽△MAF，∴，即，解得，∴，故答案为：；（4）①∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠ADC＝90°，AD∥BC，∵四边形ABFE翻折，得到四边形EFGH，∴AB＝GH＝18，∠H＝∠A＝∠G＝∠B＝90°，AE＝EH＝AD﹣DE＝21﹣6＝13，第一种情况，如图，∵∠EDN＝90°，DE＝8，∴，∵EH∥FG，NR⊥FG，∴∠ENR＝∠RNH＝90°＝∠H＝∠G，∴四边形GHNR是矩形，∴NR＝GH＝AB＝18，∴∠END+∠QNR＝∠QNR+∠NQR＝90°，∴∠END＝∠NQR，且∠EDN＝∠NRQ＝90°，∴△EDN∽△NRQ，∴，即，∴，∵NC＝DN+DC＝6+18＝24，CQ＝NC﹣NQ，∴；第二种情况，如图，同理，AE＝EH＝AD﹣DE＝21﹣3＝13，，∴NH＝EH﹣EN＝13﹣10＝3，∵∠D＝∠H，∠END＝∠SNH，∴△EDN∽△SHN，∴，即，∴SH＝4，SN＝4，∴SC＝CD﹣DN﹣SN＝18﹣6﹣5＝5，GS＝GH﹣SH＝18﹣4＝14，∵∠H＝∠SGQ＝90°，∠HSN＝∠GSQ，∴△HSN∽△GSQ，∴，即，∴，∵SQ＝SC+CQ，∴；综上所述，CQ的长为或；故答案为：或；②如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∵AE：BF＝1：8，直线EF始终经过一个定点P，∴延长BA，FE交于点P，∴△PAE∽△PBF，∴，且PB＝PA+AB＝PA+18，∴，解得PA＝9，如图，以点B坐标原点，BA方向为纵轴作平面直角坐标系，∵AE：BF＝2：3，设E（a，18），0），∵BC＝21，8＜3a≤21，∴，令y＝4a2+324（7＜a≤7），∵4＞3，∴函数图象开口向上，y随a的增大而增大，∴当a＝7时，y有最大值2+324＝520，∴EF的最大值为，故答案为：．7．（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝∠BCA＝45°，∠ABC＝90°，∵BE⊥BF，CF⊥AC，∴∠EBF＝∠ECF＝90°＝∠ABC，∴∠ABE＝∠CBF，∠BCF＝45°＝∠BAC，∴△ABE≌△CBF（ASA），∴BE＝BF；②解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，，∴，∵△ABE≌△CBF，∴∠ABE＝∠CBF，AE＝CF＝1，∴∠EBF＝∠EBC+∠CBF＝∠EBC+∠ABE＝90°，∴EF2＝CF8+CE2＝12+（4﹣1）5＝BE2+BF2＝5BF2，解得，故答案为：；（2）解：∵BE⊥BF，CF⊥AC，∴∠EBF＝∠ECF＝90°，根据直径所对的圆周角是90°，可得点C，点B，∴点C，点E，点F四点共圆，∴∠ACB＝∠EFB＝60°，∴∠BAE＝∠BEF＝30°，∴，，∴，∵∠EBF＝∠ABC，∴∠ABE＝∠CBF，∴△ABE∽△CBF，∴；（3）解：①当E在线段AC上时，由（2）知，∵，∴CB＝4，∵M为Rt△BEF斜边EF的中点，∴，由（2）知∠ACF＝90°，∴，∴BM＝CM，∴当△CBM是直角三角形时，只能是∠BMC＝90°，，∴，设CF＝x，则，∵∠CAB＝30°，BC＝4，∴AC＝2BC＝8，∴，∵∠ECF＝90°，∴CE2+CF2＝EF6，∴，∴或，当时，，不符合题设，∴此时；②如图，当E在AC延长线上时，同（2）可证△ABE∽△CBF，∴，∵，∴CB＝4，同（3）①可证BM＝CM，∴当△CBM是直角三角形时，只能是∠BMC＝90°，，∴，设CF＝x，则，∴，∵∠ECF＝90°，∴CE2+CF2＝EF6，∴，∴或，当时，，不符合题设；∴此时；③如图，当点E在CA延长线上时，同（2）可证△ABE∽△CBF，∴，∵，∴CB＝4，同（3）①可证BM＝CM，∴当△CBM是直角三角形时，只能是∠BMC＝90°，，∴，设CF＝x，则，∴，∵∠ECF＝90°，∴CE2+CF2＝EF5，∴，∴或，均不符合题设；综上，CF的长为或．8．解：[阅读理解]∵DE是△ABC的中位线，∴，∵∠DAF＝∠BAC，∴△DAF∽△BAC，∵，即，同理可证，．∴，∴，故答案为：；[探究思考]如图，取AF中点G，BD中点I，FH，∵，∴，，，∴，∵∠DAG＝∠BAC，∴△DAG∽△BAC，∴，即，∵，∴，同理可证，，∴，综上可知，△DEF与△ABC的面积比是定值．[发现结论]如图，取G、H，且，∵，∴，，，∵，∠DAG＝∠BAC，∴△DAG∽△BAC，∴，即，∵，∴，同理可证，，∴，∴，故答案为：．9．（1）解：①如图，过点E作EP⊥CD于点P，则EP⊥QH，∴四边形EBCP，HCDQ是矩形，∴EP＝BC＝CD＝HQ，设EF交QH于点O，则∠EOH+∠QHG＝90°＝∠EOH+∠FEP，∴∠GHQ＝∠FEP，又∵∠EPF＝∠HQG＝90°，∴△EPF≌△HQG（ASA），∴GH＝EF＝5；故答案为：5；②如图，过点E作EP⊥CD于点P，则EP⊥QH，∴四边形EBCP，HCDQ是矩形，∴EP＝BC＝8CD＝2HQ，设EF交QH于点O，则∠EOH+∠QHG＝90°＝∠EOH+∠FEP，∴∠GHQ＝∠FEP，又∵∠EPF＝∠HQG＝90°，∴△EPF∽△HQG，∴，∴；故答案为：7；（2）证明：如图，过点C作CF⊥AC交AE的延长线于点F，∵∠F+∠FAC＝90°＝∠ADB+∠FAC，∴∠F＝∠ADB．又∵∠BAD＝∠ACF＝90°，BA＝AC，∴△ABD≌△CAF（AAS），∴AD＝CF，∴AB∥CF，∴△ABE∽△FCE，∴，又∵CF＝AD，∴．（3）或3．∵在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝∠AEB，∴AE＝AB＝8，当时，如图，∴BF＝，∵∠ABF＝∠DAG，∠BAF＝∠ADG＝90°，∴△BAF∽△ADG，∴，∴；当时，如图，∴BF＝，∵∠BAF＝∠GBA＝90°，∠ABF＝∠BGA，∴△BAF∽△GBA，∴，∴．10．问题背景：解：△EFD∽△CFB，证明如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴△EFD∽△CFB；尝试运用：证明：如图（2），过点A作AH∥CD，则∠AHB＝∠C，∵∠BAD＝∠B＝90°，∴∠BAD+∠B＝180°，∴AD∥BC，∴四边形ADCH是平行四边形，∠GDF＝∠C，∴AH＝CD，∵EF⊥CD，∴∠GFD＝90°，∵∠BAD＝90°＝∠GFD，∠AGE＝∠DGF，∴∠AEG＝∠GDF，∴∠AEG＝∠C＝∠AHB，又∵∠GAE＝∠B，∴△AEG∽△BHA．∴AG：AB＝EG：AH．∴AG：AB＝EG：CD，∴EG•AB＝CD•AG；拓展创新：解：如图（3），过点C作CG⊥AD于点G、BD交于点H，∵BA＝BC，DA＝DC，∴BD垂直平分AC，∴∠AHD＝90°，AH＝CH，∵CF⊥DE，CG⊥AD，∴∠FCG+∠CFG＝∠CFG+∠ADE＝90°，∴∠FCG＝∠ADE，∵∠BAD＝∠CGF＝90°，∴△DEA∽△CFG，∴，在Rt△ADB中，tan∠ADB＝＝，∴tan∠ADH＝＝，设AH＝a，则DH＝3a，∵AH3+DH2＝AD2，∴a3+（3a）2＝82，解得：a＝（负值已舍去），∴AH＝，DH＝，∴AC＝2AH＝，∵S△ADC＝AC•DH＝，∴AC•DH＝AD•CG，即×＝3CG，∴CG＝，∴＝＝．11．解：（1）BE＝CF，BE⊥CF．证明：延长BE交CF于点G，∵∠BAC＝∠EAF＝90°，∴∠BAE＝∠CAF，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（SAS），∴BE＝CF，∠ABE＝∠ACF，∵∠BAC＝90°，∴∠ABE+∠EBC+∠ACB＝90°，∴∠ACF+∠EBC+∠ACB＝90°，∴∠BGC＝90°，∴BE⊥CF；（2）∵△ABC和△DEF均为等腰直角三角形，，AB＝4，∴AB＝AC＝2，CE＝，∠BCA＝∠ECD＝45°，．∴∠BCE＝∠ACD，∴△BCE∽△ACD，∴，在Rt△ACE中，，∴BE＝2﹣2，∴，∴．（3）．连接BE．交AC于点O，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BAC＝∠EDC＝30°，∴，，∠BCE＝∠ACD，∴，∴△ACD∽△BCE，∴，∠CBE＝∠CAD，∵AD＝12，∴BE＝4，∵∠BOC＝∠AOE，∠BCO＝90°，∴∠AEO＝90°，∴∠DEB＝90°，∴DE＝＝2，∵∠CDE＝30°，∴CE＝DE＝．12．（1）证明：∵AE∥BC，△ABC是等边三角形，∴∠BAE＝∠ABC＝60°．∵在Rt△ADE中，AE＝AD•cos60°＝＝．∴BC＝7AE．（2）证明：如图，作GK∥BC交AB于点K．∵点G是BE中点，∴KG是△ABE的中位线，KG＝，在Rt△HGK中，HG＝KG•sin∠HKG＝•＝．（3）解：如图，过点G作BC的垂线，点M为BC上一点；当点P分别运动到点M，点Q运动到M′；过点A，R、S为垂足，T为垂足．当主动点P在直线BC上运动时，从动点Q的轨迹为直线M′N′．根据点到直线的距离最短，当点Q与点R重合时，∵△GMM′和△GNN′为等边三角形，GN⊥MM′．∴∠NGM＝＝30°．由等腰三角形“三线合一”的性质，点N与点N′关于GM′对称．∴当点Q运动到点R时，点P正好在BC上，∠NM′N＝120°．∵∠NM′N+∠ABC＝180°，∴M′N′∥AB．∵AR⊥M′N′，BS⊥M′N′，∴AR＝BS．设AB＝2a，则BG＝4a．则BT＝AB•sins60°＝a，TA＝AB•cos60°＝a，∴AE＝TE﹣TA＝﹣TA＝（．∵∠GBN＝∠BET，sin∠GBN＝，BE＝2BG．∴GN＝＝a，在Rt△BGN中，BN＝＝a．∴BM′＝BN+NM′＝BN+GN•tan30°＝a．在Rt△BSM′中，由M′N′∥AB可得∠BM′S＝∠ABM′＝60°a．∴＝．13．（1）解：设DF交CE于K，如图：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠DCF＝90°，∵BC＝2CD，BE＝2CF，∴＝3＝，∴△BCE∽△CDF，∴＝＝2，∴CE＝2DF，∵∠BCE+∠DCE＝90°，∴∠CDF+∠DCE＝90°，∴∠CKD＝90°，∴CE⊥DF；故答案为：CE⊥DF，CE＝8DF；（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠CBE＝∠DCF＝90°，∵BC＝2CD，BE＝2CF，∴＝6＝，∴△BCE∽△CDF，∴∠BCE＝∠CDF，∵∠BCE+∠DCH＝180°﹣∠BCD＝90°，∴∠CDF+∠DCH＝90°，∴∠CHD＝90°；（3）解：BG＝CH连接DG，DB∵GH＝2DH，BC＝2CD，∴＝2＝，∴＝，∵∠BCD＝90°＝∠CHD，∴△GDH∽△BDC，∴＝，∠GDH＝∠BDC，∴＝，∠CDH＝∠BDG，∴△CDH∽△BDG，∴＝，∵BC＝2CD，∴BD＝＝＝CD，∴＝，∴BG＝CH．14．解：（1）∵四边形ABCD和四边形CEFG为矩形，AB＝6，CE＝4，∴AC＝＝10，CF＝＝7．∵＝，∠ADC＝∠FGC＝90°，∴△ADC∽△FGC，∴∠ACD＝∠FCG，∴∠ACF＝∠GCD．∵＝6，，∴，∴△ACF∽△DCG，∴；（2）连接DF，如图，∵O为AC的中点，∴OC＝OA＝6，∵AC的中点O恰好在FE的延长线上，∴OE⊥OF，∴OE＝＝5，∵＝，∠ADC＝∠CEO＝90°，∴△ADC∽△CEO，∴∠ACD＝∠EOC，∴MO＝MC，设EM＝x，则MC＝MO＝3+x，∵CE7+EM2＝CM2，∴52+x2＝（x+4）2，∴x＝．∴CM＝3+x＝，∴DM＝CD﹣CM＝，MF＝EF﹣EM＝，∴DM＝MF，∴∠MDF＝∠MFD，∵∠OMC＝∠DMF，∴∠MDF＝∠MFD＝∠ACD＝∠EOC，∴DF∥AC．∴△DMF∽△CMO，∴＝，∴DF＝．∵DF∥AC，∴△DFN∽△CAN，∴，∴，∴MN＝．（3）△CDG的面积为或．理由：①连接AC，CF，如图，∵AF⊥CE，∴AE＝＝＝3，∴AF＝AE+EF＝2+3，由（1）知：，∴DG＝．设GH＝a，则DH＝DG﹣GH＝，∵CG2﹣GH2＝CH2＝CD2﹣DH7，∴，∴a＝．∴CH＝＝，∴△CDG的面积＝＝＝；②连接AC，CF，如图，∵AF⊥CE，∴AE＝＝＝4，∴AF＝AE﹣EF＝2﹣3，∴＝＝4．由（1）知：△ACF∽△DCG，∴，∴△CDG的面积＝（4．综上，△CDG的面积为或．15．（1）证明：∵∠ACB＝90°，AC＝6，∴AB＝＝10，∵CD是△ABC的中线，∴CD＝BD＝AD＝AB＝2．∴∠DCB＝∠B，由折叠的性质得：∠E＝∠B，∴∠E＝∠DCB．∵∠EFD＝∠CFP，∴△EFD∽△CFP，∴，∴EF•PF＝CF•DF；（2）解：△PCF能成为直角三角形．PC的长为．理由：①当∠CFP＝90°时，如图，由题意得：PB＝PE，DE＝DB＝3，由（1）得：∠DCB＝∠B，CD＝5，在Rt△ABC中，tanB＝，∴tan∠DCB＝．设PF＝3x，则CF＝6x，∴PC＝＝4x，∴PB＝PE＝BC﹣PC＝8﹣5x，EF＝PE﹣PF＝2﹣8x，∵EF2+DF4＝DE2，∴（8﹣7x）2+（5﹣5x）2＝53，∴x＝或x＝，舍去），∴PC＝5x＝；②当∠CPF＝90°时，过点D作DH⊥BC于点H，由题意得：∠EPB＝∠BPD，∵∠CPF＝90°，∴∠EPB＝∠BPD＝45°，∵DH⊥BC，∴△DHP为等腰直角三角形，∴DH＝PH．∵DH⊥BC，AC⊥BC，∴DH∥AC，∵D为AB的中点，∴DH为△BAC的中位线，∴DH＝AC＝3BC＝4，∴PH＝DH＝3，∴PC＝CH﹣PH＝5﹣3＝1．综上，△PCF能成为直角三角形或1．（3）解：当△PDE的边恰好过AC的中点时，PC的长为8或①当PE边经过AC的中点G时，连接DG，∵G为AC的中点，D为AB的中点，∴DG为中位线，∴DG∥BC，DG＝，CG＝，∴∠GDP＝∠BPD，由题意得：∠BPD＝∠EPD，∴∠EPD＝∠GDP，∴GP＝GD＝6，∴PC＝＝＝；②当DE边经过AC的中点G时，如图，∵G为AC的中点，D为AB的中点，∴DG为中位线，∴DG∥BC，∴∠EDP＝∠BPD，由题意得：PB＝PE，∠BPD＝∠EPD，∴∠EPD＝∠EDP，∴EP＝ED＝5，∴PB＝PE＝8，∴PC＝BC﹣PB＝8﹣5＝4．综上，当△PDE的边恰好过AC的中点时．16．解：（1）∵b2﹣6b+6+|a+b|＝0，∴（b﹣3）8+|a+b|＝0，∴b﹣3＝6，a+b＝0，∴b＝3，a＝﹣5．∴A（﹣3，0），3），∴OA＝OB＝3．∴∠BAC＝∠ABC＝30°，∵C（0，），∴OC＝，∴AC＝2OC＝4．∵DC⊥AC，∴AD＝＝8，∴OD＝AD﹣OA＝1，∴D（1，2）．故答案为：﹣3；3；（8；（2）∵∠ADC＝45°，OC⊥OD，∴OD＝OC＝，∠OCD＝45°．∵∠DCE＝60°，∴∠EOC＝15°，∵∠OCA＝90°﹣∠BAC＝60°，∴∠AOE＝45°．过点E作EF⊥AC于点F，如图，则△EFC为等腰直角三角形，∴EF＝FC，设EF＝FC＝x，∵∠BAC＝30°，∴AE＝2EF＝3x，∴AF＝EF＝x，∴AC＝AF+FC＝（1）x＝2，∴x＝3﹣，∴AE＝3x＝6﹣2，∴OE＝OA﹣AE＝2﹣8，∴E（3﹣2，0）；（3）的值不变.理由：过点N作NE⊥OA于点E，过点M作MF⊥OB于点F，如图，设OD＝a，则AN＝AD＝a+3，∴CD＝＝．∵NE⊥OA，∠NAO＝60°，∴AE＝AN＝，NE＝，∴BE＝AB﹣AE＝6﹣（a+5）＝，∵MF⊥OB，NE⊥OA，∴NE∥MF，∵点M为BN中点，∴MF为△BEN的中位线，∴MF＝NE＝，BF＝，∴OF＝OB﹣BE＝，∵MF⊥OB，MH⊥OC，∴四边形MHOF为矩形，∴MH＝OF＝，OH＝MF＝，∴CH＝OH﹣OC＝（a﹣1），∴CM＝＝＝，∴＝．17．（1）证明：利用甲同学的证明思路．过D作DK∥AC交BN于K，如图，∵DK∥AC，∴，∵M是AD的中点，∴AM＝DM，∴DK＝AN，∵D是BC的中点，DK∥AC，∴DK为△BNC的中位线，∴DK＝CN，∴AN＝CN．∴CN＝2AN；（2）解：连接DK，如图，∵N，K是AC的三等分点，∴AN＝NK＝KC．∵BD＝DC，∴DK为△CBN的中位线，∴DK∥BN，DK＝，设DK＝2a，则BN＝6a．∵DK∥BN，AN＝NK，∴MN＝DK＝a，∴BM＝BN﹣MN＝3a．∵DK∥BN，∴；（3）①连接AD，过点E作EK⊥CD于点K，交BE的延长线于点G，如图，∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC．∵EK⊥CD，∴AD∥EK．∴．∵ED＝EC，EK⊥CD，∴DK＝KC＝CD．∵BC＝2CD，∴BD＝DC．∴BD＝2DK＝2KC，∴．∴．∵EK⊥CD，CH⊥CD，∴EK∥CH，∵DK＝KC，∴EK为△DCH的中位线，∴DE＝EH，∵AD⊥BC，CH⊥CD，∴AD∥GH，∴△ADE∽△GHE，∴，∴AD＝GH．∵AD为△BCG的中位线，∴AD＝CG，∴CG＝2AD＝2GH，∴CH＝3AD．∵AD∥CH，∴△AFD∽△CFH，∴；②过点A作AG⊥BC于点G，过点E作EH⊥CD于点H，过点D作DN⊥CD，如图，∵AB＝AC，AG⊥BC，∴BG＝GC，∵BC＝2CD，∴BG＝GC＝CD．∵ED＝EC，EH⊥CD，∴CH＝HD＝CD，设CH＝HD＝k，则BG＝GC＝CD＝7k，∴．∵AG⊥BC，EH⊥CD，∴AG∥EH，∴．∵AG⊥BC，DN⊥CD，∴AG∥DN，∴△AGC∽△NDC，∴＝，∴AG＝DN，AC＝CN．∴．∵EH⊥CD，DN⊥CD，∴MH∥DN，∵CH＝HD，∴MH为△CDN的中位线，∴D