2025版高考数学一轮复习课后限时集训64参数方程理含解析新人教A版

PAGE3-课后限时集训(六十四)参数方程(建议用时：60分钟)A组基础达标1．已知P为半圆C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝sinθ))(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为(1,0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧eq\x\to(AP)的长度均为eq\f(π,3).(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求点M的极坐标；(2)求直线AM的参数方程．[解](1)由已知，点M的极角为eq\f(π,3)，且点M的极径等于eq\f(π,3)，故点M的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,3))).(2)由(1)知点M的直角坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(\r(3)π,6)))，A(1,0)．故直线AM的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－1))t，,y＝\f(\r(3)π,6)t))(t为参数)．2．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t,y＝2t＋6))(t是参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2eq\r(2)cosθ.(1)求直线l的一般方程与曲线C的直角坐标方程；(2)设M(x，y)为曲线C上随意一点，求x＋y的取值范围．[解](1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t，,y＝2t＋6))得y＝2x＋6，故直线l的一般方程为2x－y＋6＝0.由ρ＝2eq\r(2)cosθ，得ρ2＝2eq\r(2)ρcosθ，所以x2＋y2＝2eq\r(2)x，即(x－eq\r(2))2＋y2＝2，故曲线C的直角坐标方程为(x－eq\r(2))2＋y2＝2.(2)依据题意设点M(eq\r(2)＋eq\r(2)cosφ，eq\r(2)sinφ)，则x＋y＝eq\r(2)＋eq\r(2)cosφ＋eq\r(2)sinφ＝eq\r(2)＋2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(φ＋\f(π,4)))，所以x＋y的取值范围是[－2＋eq\r(2)，2＋eq\r(2)]．3．(2024·新乡模拟)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，曲线M的直角坐标方程为x－2y＋2＝0(x＞0)．(1)以曲线M上的点与点O连线的斜率k为参数，写出曲线M的参数方程；(2)设曲线C与曲线M的两个交点为A，B，求直线OA与直线OB的斜率之和．[解](1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋2＝0x＞0，,y＝kx))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,2k－1)，,y＝\f(2k,2k－1).))故曲线M的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,2k－1)，,y＝\f(2k,2k－1)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k为参数，且k＞\f(1,2))).(2)由ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ，∴x2＋y2＝4x.将eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,2k－1)，,y＝\f(2k,2k－1)))代入x2＋y2＝4x整理得k2－4k＋3＝0，∴k1＋k2＝4.故直线OA与直线OB的斜率之和为4.4．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为2ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))－3＝0，曲线C的参数方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosφ,y＝2sinφ))(φ为参数)．(1)求直线l和曲线C的一般方程；(2)直线l与x轴交于点P，与曲线C交于A，B两点，求|PA|＋|PB|.[解](1)直线l的极坐标方程为2ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))－3＝0，化为eq\r(3)ρsinθ＋ρcosθ－3＝0，即l的一般方程为x＋eq\r(3)y－3＝0，由曲线C的参数方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosφ,y＝2sinφ))消去φ，得C的一般方程为x2＋y2＝4.(2)在x＋eq\r(3)y－3＝0中令y＝0得P(3,0)，∵k＝－eq\f(\r(3),3)，∴倾斜角α＝eq\f(5π,6)，∴l的参数方程可设为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3＋tcos\f(5π,6)，,y＝0＋tsin\f(5π,6)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3－\f(\r(3),2)t，,y＝\f(1,2)t，))代入x2＋y2＝4得t2－3eq\r(3)t＋5＝0，Δ＝7＞0，∴方程有两解，又t1＋t2＝3eq\r(3)，t1t2＝5＞0，∴t1，t2同号，故|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝|t1＋t2|＝3eq\r(3).5．已知曲线C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1，直线l：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝2－2t))(t为参数)．(1)写出曲线C的参数方程，直线l的一般方程；(2)过曲线C上随意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．[解](1)曲线C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝3sinθ))(θ为参数)．直线l的一般方程为2x＋y－6＝0.(2)曲线C上随意一点P(2cosθ，3sinθ)到l的距离为d＝eq\f(\r(5),5)|4cosθ＋3sinθ－6|＝eq\f(\r(5)|5sinθ＋a－6|,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tanα＝\f(4,3)))，则|PA|＝eq\f(d,sin30°)＝eq\f(2\r(5),5)|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tanα＝eq\f(4,3).当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为eq\f(22\r(5),5).当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为eq\f(2\r(5),5).6．已知直线的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝m－\f(1,2)t，,y＝\f(\r(3),2)t))(其中t为参数，m为常数)．以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，直线与曲线C交于A，B两点．(1)若|AB|＝eq\f(\r(15),2)，求实数m的值；(2)若m＝1，点P的坐标为(1,0)，求eq\f(1,|PA|)＋eq\f(1,|PB|)的值．[解](1)曲线C的极坐标方程可化为ρ2＝2ρsinθ，转化为一般方程可得x2＋y2＝2y，即x2＋(y－1)2＝1.把eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝m－\f(1,2)t，,y＝\f(\r(3),2)t))代入x2＋(y－1)2＝1并整理可得t2－(m＋eq\r(3))t＋m2＝0，(*)由条件可得Δ＝(m＋eq\r(3))2－4m2＞0，解得－eq\f(\r(3),3)＜m＜eq\r(3).设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝m＋eq\r(3)，t1t2＝m2≥0，|AB|＝|t1－t2|＝eq\r(t1＋t22－4t1t2)＝eq\r(m＋\r(3)2－4m2)＝eq\f(\r(15),2)，解得m＝eq\f(\r(3),2)或eq\f(\r(3),6).(2)当m＝1时，(*)式变为t2－(1＋eq\r(3))t＋1＝0，t1＋t2＝1＋eq\r(3)，t1t2＝1，由点P的坐标为(1,0)知P在直线上，可得eq\f(1,|PA|)＋eq\f(1,|PB|)＝eq\f(1,|t1|)＋eq\f(1,|t2|)＝eq\f(|t1|＋|t2|,|t1t2|)＝eq\f(|t1＋t2|,|t1t2|)＝1＋eq\r(3).B组实力提升1．已知曲线C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4＋cost，,y＝3＋sint))(t为参数)，C2：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝8cosθ，,y＝3sinθ))(θ为参数)．(1)化C1，C2的方程为一般方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C1上的点P对应的参数为t＝eq\f(π,2)，Q为C2上的动点，求PQ的中点M到直线C3：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3＋2t，,y＝－2＋t))(t为参数)距离的最小值．[解](1)由C1消去参数t，得曲线C1的一般方程为(x＋4)2＋(y－3)2＝1.同理曲线C2的一般方程为eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,9)＝1.C1表示圆心是(－4,3)，半径是1的圆，C2表示中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当t＝eq\f(π,2)时，P(－4,4)，又Q(8cosθ，3sinθ)．故Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2＋4cosθ，2＋\f(3,2)sinθ))，又C3的一般方程为x－2y－7＝0，则M到直线C3的距离d＝eq\f(\r(5),5)|4cosθ－3sinθ－13|＝eq\f(\r(5),5)|3sinθ－4cosθ＋13|＝eq\f(\r(5),5)|5sin(θ－φ)＋13|eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中φ满意tanφ＝\f(4,3))).所以d的最小值为eq\f(8\r(5),5).2．平面直角坐标系中，直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t＋1，,y＝\r(3)t＋1))(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝eq\f(2cosθ,1－cos2θ).(1)写出直线l的极坐标方程与曲线C的直角坐标方程；(2)已知与直线l平行的直线l′过点M(2,0)，且与曲线C交于A，B两点，试求|AB|.[解](1)由l的参数方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t＋1，,y＝\r(3)t＋1))得其一般方程为eq\r(3)x－y－eq\r(3)＋1＝0.将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入直线方程得eq\r(3)ρcosθ－ρsinθ－eq\r(3)＋1＝0.由ρ＝eq\f(2cosθ,1－cos2θ)可得ρ2(1－cos2θ)＝2ρcosθ，即ρ2sin2θ＝2ρcosθ，故曲线C的直角坐标方程为y2＝2x.(2)∵直线l的倾斜角为eq\f(π,3)，∴直线l′的倾斜角也为eq\f(π,3).又直线l′过点M(2,0)，∴直线l′的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4