2024-2025学年下学期初中数学华东师大新版九年级期中必刷常考题之直线与圆的位置关系

第21页（共21页）2024-2025学年下学期初中数学华东师大新版九年级期中必刷常考题之直线与圆的位置关系一．选择题（共5小题）1．（2024秋•青龙县期末）已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝2，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相切 B．相交 C．相离 D．平行2．（2024秋•武汉期末）已知⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．无法确定 B．相切 C．相交 D．相离3．（2024秋•招远市期末）圆的直径是5cm，如果圆心与直线上某一点的距离是2.5cm，那么该直线和圆的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相离或相切 D．相交或相切4．（2024秋•遵化市期末）如图是“海上日出”图片，图中海平面与太阳可看成直线和圆的位置关系是（）A．相切 B．相交 C．平行 D．相离5．（2024秋•依安县期末）已知⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为22，则直线l与⊙OA．无法确定 B．相切 C．相交 D．相离二．填空题（共5小题）6．（2025•泸县一模）已知⊙O的半径为6，圆心到直线AB距离为5，则直线AB与⊙O的位置关系是．7．（2024秋•涪城区期末）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是．8．（2024秋•义乌市校级期末）如图，∠AOB＝45°，点M是射线OB上一点，OM＝2，以点M为圆心，r为半径作⊙M，若⊙M与射线OA有两个公共点，则半径r的取值范围是．9．（2023秋•朝阳区期末）⊙O的直径为15cm，若圆心O与直线l的距离为7.5cm，则l与⊙O的位置关系是（填“相交”、“相切”或“相离”）．10．（2024秋•沂水县期中）如图，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝3，⊙O是以BC为直径的圆，则直线AD与⊙O的位置关系是．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•沂源县期末）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在直线AB上，且位于点O左侧的距离6cm处．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么多少秒钟后⊙P与直线CD相切？12．（2024秋•沂源县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作AC的垂线，垂足为E，延长ED交AB的延长线于点F．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）如果AB＝5，BC＝6，求DE的长．13．（2024秋•高安市期末）如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分线与AC，BC及AB的延长线分别相交于点D，E，F，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，若BC＝BF．（1）求证：△ABC≌△EBF．（2）试判断DB与⊙O的位置关系，并说明理由．14．（2024秋•舞阳县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，若以C为圆心，r为半径画⊙C，请根据下列条件，求半径r的值或取值范围．（1）⊙C与斜边AB有1个公共交点；（2）⊙C与斜边AB有2个公共交点；（3）⊙C与斜边AB没有公共交点．15．（2024秋•凤凰县期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝90°，P为DA延长线上一点，且∠APB＝∠ACD．（1）求∠PAB的度数；（2）探究BP与⊙O的位置关系，并证明．

2024-2025学年下学期初中数学华东师大新版九年级期中必刷常考题之直线与圆的位置关系参考答案与试题解析题号12345答案BCDDC一．选择题（共5小题）1．（2024秋•青龙县期末）已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝2，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相切 B．相交 C．相离 D．平行【考点】直线与圆的位置关系；一元二次方程的解．【专题】一元二次方程及应用；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．【答案】B【分析】解方程x2﹣2x﹣3＝0，得x1＝3，x2＝﹣1，则⊙O的半径等于3，由圆心O到直线l的距离d＝2，⊙O的半径等于3，且2＜3，可知直线l与⊙O相交，于是得到问题的答案．【解答】解：∵x2﹣2x﹣3＝0，∴（x﹣3）（x+1）＝0，∴x﹣3＝0或x+1＝0，∴x1＝3，x2＝﹣1（不符合题意，舍去），∴⊙O的半径等于3，∵圆心O到直线l的距离d＝2，⊙O的半径等于3，且2＜3，∴直线l与⊙O相交，故选：B．【点评】此题重点考查一元二次方程的解法、直线与圆的位置关系等知识，正确地求出⊙O的半径长是解题的关键．2．（2024秋•武汉期末）已知⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．无法确定 B．相切 C．相交 D．相离【考点】直线与圆的位置关系．【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．【答案】C【分析】圆心到直线的距离大于圆心距，直线与圆相离；小于圆心距，直线与圆相交；等于圆心距，直线与圆相切．【解答】解：∵圆心到直线的距离2＜圆的半径3，∴直线与圆的位置关系为相交．故选：C．【点评】此题考查的是圆与直线的位置关系．判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r，②直线l和⊙O相切⇔d＝r，③直线l和⊙O相离⇔d＞r．3．（2024秋•招远市期末）圆的直径是5cm，如果圆心与直线上某一点的距离是2.5cm，那么该直线和圆的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相离或相切 D．相交或相切【考点】直线与圆的位置关系．【专题】与圆有关的位置关系．【答案】D【分析】先求出半径，得到圆心到直线的距离≤2.5，再根据已知数据进行判断即可．【解答】解：∵圆的直径是5cm，∴圆的半径是2.5cm，∵圆心与直线上某一点的距离是2.5cm，∴圆心到直线的距离≤2.5，∴该直线和圆的位置关系是相交或相切，故答案为：D．【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，准确判断直线与圆的位置关系是解题的关键．4．（2024秋•遵化市期末）如图是“海上日出”图片，图中海平面与太阳可看成直线和圆的位置关系是（）A．相切 B．相交 C．平行 D．相离【考点】直线与圆的位置关系．【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．【答案】D【分析】根据直线与圆的位置关系即可得到结论．【解答】解：图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是相离，故选：D．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键．5．（2024秋•依安县期末）已知⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为22，则直线l与⊙OA．无法确定 B．相切 C．相交 D．相离【考点】直线与圆的位置关系．【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．【答案】C【分析】根据直线与圆的位置关系的判定求解即可．【解答】解：∵圆心O到直线l的距离为22，⊙O的半径为3∴d＜r，∴直线l与⊙O的位置关系是相交，故选：C．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，熟记直线与圆的位置关系的判定是解题的关键．二．填空题（共5小题）6．（2025•泸县一模）已知⊙O的半径为6，圆心到直线AB距离为5，则直线AB与⊙O的位置关系是相交．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】根据若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离解答即可．【解答】解：根据圆心到直线的距离5小于圆的半径6，则直线和圆相交．故答案为：相交．【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，能够熟练运用数量关系判断直线和圆的位置关系．7．（2024秋•涪城区期末）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是8≤AB≤10．【考点】直线与圆的位置关系；勾股定理；垂径定理．【专题】与圆有关的位置关系；运算能力．【答案】8≤AB≤10．【分析】根据已知条件和图形分析可得当AB是大圆直径时AB的值最大，从而可得AB的最大值；进一步分析可得当AB与小圆相切的时，AB最小，利用勾股定理可得AB的最小值；若大圆的弦AB与小圆有公共点，即AB与小圆相切或相交，再结合上面分析即可解答．【解答】解：当AB是大圆直径时AB的值最大，最大值为10．当AB与小圆相切时AB最小．∵小圆的半径为3，大圆半径为5，∴AB＝2×52∵大圆的弦AB与小圆有公共点，即相切或相交，∴8≤AB≤10．故答案为：8≤AB≤10．【点评】本题考查了判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．8．（2024秋•义乌市校级期末）如图，∠AOB＝45°，点M是射线OB上一点，OM＝2，以点M为圆心，r为半径作⊙M，若⊙M与射线OA有两个公共点，则半径r的取值范围是2＜r≤2【考点】直线与圆的位置关系．【专题】与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】作MD⊥OA于点D，由∠DMO＝∠DOM＝45°，得OD＝MD，则OM=2MD＝2，所以MD=2，若⊙M与射线OA有两个公共点，则MD＜r≤OM，所以半径r的取值范围是2＜r【解答】解：作MD⊥OA于点D，则∠ODM＝90°，∵∠AOB＝45°，∴∠DMO＝∠DOM＝45°，∴OD＝MD，∴OM=OD2+∴MD=2∵当r＝MD时，⊙M与射线OA相切，此时与射线OA只有一个公共点；当r＝OM时，⊙M与射线OA有两个公共点，∴若⊙M与射线OA有两个公共点，则MD＜r≤OM，∴半径r的取值范围是2＜r≤2故答案为：2＜r≤2【点评】此题重点考查直线与圆的位置关系，正确地作出辅助线是解题的关键．9．（2023秋•朝阳区期末）⊙O的直径为15cm，若圆心O与直线l的距离为7.5cm，则l与⊙O的位置关系是相切（填“相交”、“相切”或“相离”）．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】由⊙O的直径为15cm，求得⊙O的半径为7.5cm，而圆心O与直线l的距离为7.5cm，则圆心O与直线l的距离等于⊙O的半径，所以l与⊙O相切，于是得到问题的答案．【解答】解：∵⊙O的直径为15cm，12×15＝7.5（∴⊙O的半径为7.5cm，∵圆心O与直线l的距离为7.5cm，∴圆心O与直线l的距离等于⊙O的半径，∴l与⊙O相切，故答案为：相切．【点评】此题重点考查直线与圆的位置关系，正确地求出⊙O的半径长并且证明圆心O与直线l的距离等于⊙O的半径是解题的关键．10．（2024秋•沂水县期中）如图，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝3，⊙O是以BC为直径的圆，则直线AD与⊙O的位置关系是相切．【考点】直线与圆的位置关系；矩形的性质．【专题】与圆有关的位置关系；推理能力；应用意识．【答案】相切．【分析】作OE⊥AD于E，则OE＝AB＝3，由题意得出半径＝3，由d＝r，即可得出结论．【解答】解：如图所示：作OE⊥AD于E.则OE＝AB＝3，∵BC＝6，∴OB=12BC＝∴OE＝OB，即圆心到直线的距离＝半径，∴直线AD与⊙O相切．故答案为：相切．【点评】此题考查的是直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答．若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•沂源县期末）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在直线AB上，且位于点O左侧的距离6cm处．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么多少秒钟后⊙P与直线CD相切？【考点】直线与圆的位置关系．【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．【答案】4秒或8秒钟后⊙P与直线CD相切．【分析】由题意判定CD是圆的切线，从其性质在△P1EO中求得OP1，从而求得．【解答】解：由题意CD与圆P1相切于点E，点P在射线OA上，点P只能在直线CD的左侧．∴P1E⊥CD，又∵∠AOD＝30°，r＝1cm，在△OEP1中OP1＝2cm，又∵OP＝6cm，∴P1P＝4cm，∴圆P到达圆P1需要时间为：4÷1＝4（秒），∴⊙P与直线CD相切时，时间为4秒，当点P在点O的右侧时，同法可得t＝8秒，综上所述，4秒或8秒钟后⊙P与直线CD相切．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系和含30°角的直角三角形的性质，由含30°角的直角三角形的性质求出P1O是解决问题的关键．12．（2024秋•沂源县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作AC的垂线，垂足为E，延长ED交AB的延长线于点F．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）如果AB＝5，BC＝6，求DE的长．【考点】直线与圆的位置关系；等腰三角形的性质；圆周角定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；推理能力．【答案】（1）见DE与⊙O，理由解析；（2）125【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠C，∠ABC＝∠ODB，证明OD∥AC，根据平行线的性质得到OD⊥DE，根据切线的判定定理证明；（2）连接AD，根据圆周角定理得到AD⊥BC，根据等腰三角形的性质得到CD＝BD=12BC＝3，根据勾股定理AD=【解答】解：（1）DE与⊙O相切，理由：连接OD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，又DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴AD⊥BC，∵AC＝AB，∴CD＝BD=12BC＝∵AB＝5，∴AD=AB∵AC＝AB＝5，∴S△ACD=12AC•DE=12∴DE=AD【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系、圆周角定理，三角形的面积公式，掌握切线的判定定理、直径所对的圆周角是直角是解题的关键．13．（2024秋•高安市期末）如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分线与AC，BC及AB的延长线分别相交于点D，E，F，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，若BC＝BF．（1）求证：△ABC≌△EBF．（2）试判断DB与⊙O的位置关系，并说明理由．【考点】直线与圆的位置关系；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．【专题】图形的全等；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．【答案】（1）见解析，（2）BD与⊙O相切，理由见解析．【分析】（1）由已知条件得到∠EBF＝90°，根据垂直的定义得到∠ADF＝90°，求得∠C＝∠BFE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）连接OB，根据等腰三角形的性质得到∠OBF＝∠OFB，求得BD＝CD，推出∠C＝∠DBC，求得∠DBO＝90°，由切线的判定定理即可得到结论．【解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°，∴∠EBF＝90°，∵DF⊥AC，∴∠ADF＝90°，∴∠C+∠A＝∠A+∠AFD＝90°，∴∠C＝∠BFE，在△ABC与△EBF中，∠C∴△ABC≌△EBF（ASA）．（2）解：BD与⊙O相切，理由：连接OB，∵OB＝OF，∴∠OBF＝∠OFB，∵∠ABC＝90°，AD＝CD，∴BD＝CD，∴∠C＝∠DBC，∵∠C＝∠BFE，∴∠DBC＝∠OBF，∵∠CBO+∠OBF＝90°，∴∠DBC+∠CBO＝90°∴∠DBO＝90°，∵OB是⊙O的半径，∴BD与⊙O相切．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定和性质，全等三角形的判定，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．14．（2024秋•舞阳县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，若以C为圆心，r为半径画⊙C，请根据下列条件，求半径r的值或取值范围．（1）⊙C与斜边AB有1个公共交点；（2）⊙C与斜边AB有2个公共交点；（3）⊙C与斜边AB没有公共交点．【考点】直线与圆的位置关系；勾股定理．【答案】见试题解答内容【分析】（1）过点C作CD⊥AB于点D，再分圆与AB相切时；点A在圆内部，点B在圆上或圆外时，根据勾股定理以及直角三角形的面积计算出其斜边上的高，再根据位置关系与数量之间的联系进行求解；（2）要使圆与斜边AB有两个交点，则应满足直线和圆相交，且半径不大于AC．要保证相交，只需求得相切时，圆心到斜边的距离，即斜边上的高即可；（3）根据⊙C与斜边AB没有公共交点可知r＜CD或点B在⊙C的内部，据此可得出结论．【解答】解：（1）如图，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB=32∴CD=3×45当圆与AB相切时，即r＝CD＝2.4；当点A在圆内部，点B在圆上或圆外时，此时AC＜r≤BC，即3＜r≤4．∴3＜r≤4或r＝2.4；（2）∵BC＞AC，∴以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB有两个交点，则圆的半径应大于CD，小于或等于AC，∴r的取值范围是2.4＜R≤3；（3）∵⊙C与斜边AB没有公共交点，∴r＜CD或点B在⊙C的内部，∴0＜r＜2.4或r＞4．【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．15．（2024秋•凤凰县期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝90°，P为DA延长线上一点，且∠APB＝∠ACD．（1）求∠PAB的度数；（2）探究BP与⊙O的位置关系，并证明．【考点】直线与圆的位置关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质．【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．【答案】（1）90°；（2）BP与⊙O相切，证明见解析．【分析】（1）连接BD，根据圆周角定理得到BD是⊙O的直径，求得∠DAB＝90°，于是得到∠PAB＝180°﹣∠DAB＝90°；（2）根据等式的性质得到∠APB＝∠ABD，求得∠PBD＝90°，根据切线的判定定理得到结论．【解答】解：（1）连接BD，∵∠BCD＝90°，∴BD是⊙O的直径，∴∠DAB＝90°，∴∠PAB＝180°﹣∠DAB＝90°；（2）BP与⊙O相切，证明：∵∠PAB＝90°，∴∠APB+∠PBA＝90°，∵∠ACD＝∠APB，∠ACD＝∠ABD，∴∠APB＝∠ABD，∴∠ABD+∠ABP＝90°，∴∠PBD＝90°，∵BD是⊙O的直径，∴BP与⊙O相切．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．

考点卡片1．一元二次方程的解（1）一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．2．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．3．角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE4．线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．5．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．6．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．7．矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．8．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平