2024-2025学年下学期初中数学华东师大版七年级期中必刷常考题之三元一次方程组及其解法

第19页（共19页）2024-2025学年下学期初中数学华东师大版（2024）七年级期中必刷常考题之三元一次方程组及其解法一．选择题（共5小题）1．（2024秋•碧江区期末）已知x=1y=2z=3是方程组ax+byA．3 B．2 C．1 D．无法确定2．（2024秋•东阳市期末）某校七年级有3个班，已知一班、二班的平均人数与三班人数之和为45，二班、三班的平均人数与一班人数之和为48，一班、三班的平均人数与二班人数之和为47，则三个班的总人数为（）A．68 B．70 C．72 D．743．（2024秋•怀化期末）已知方程组x+y=3y+z=-6A．3 B．4 C．5 D．64．（2024秋•沙市区期末）春节来临之际，某花店老板购进大量的康乃馨、百合、玫瑰，打算采用三种不同方式搭配成花束，分别取名为“眷恋”、“永恒”、“守候”．三种花束的每一束成本分别为a元、b元和c元．已知销售每束“眷恋”的利润率为10%，每束“永恒”的利润率为20%，每束“守候”的利润率为30%，当售出的三种花束数量之比为2：3：4时，老板得到的总利润率为25%；当售出的三种花束数量之比为3：2：1时，老板得到的总利润率为20%，则a：b：c为（）A．1：2：3 B．1：3：4 C．2：3：5 D．3：4：55．（2024春•牟平区期中）三元一次方程组2a+bA．5a-2b=19C．a+b=13二．填空题（共5小题）6．（2024秋•天府新区期末）信息安全保障越来越受到人们重视，很多信息需要加密处理，有一种加密、解密的工作原理为：发送方由明文通过加密规则加密成密文，接收方由密文通过解密成明文．已知某加密规则为：明文x，y互为相反数，其对应密文为x+2y﹣k，2x+y﹣k．若接收方收到密文为2和﹣1，则k的值为．7．（2024秋•怀化期末）已知x+y+7z＝0，x﹣y﹣3z＝0（xyz≠0），则2x+y+8．（2024秋•娄底校级期末）某校举行一次数学竞赛，赛后5名同学A，B，C，D，E知道了自己的成绩，但这5名学生想尽快得知比赛的名次，得到如下信息：信息序号文字信息1D的得分是E得分的四分之一2E的得分是B得分的3倍3A和D的得分之和等于B和C的总分4A与E的得分之差是B得分的四分之三则这5位同学中获得第三名的是．9．（2024•渝中区校级模拟）某车间有A，B，C型的生产线共12条，A，B，C型生产线每条生产线每小时的产量分别为4m，2m，m件，m为正整数．该车间准备增加3种类型的生产线共7条，其中B型生产线增加1条，受到限电限产的影响，每条生产线（包括之前的和新增的生产线）每小时的产量将减少4件．统计发现，增加生产线后，该车间每小时的总产量恰比增加生产线前减少10件，且A型生产线每小时的产量与三种类型生产线每小时的总产量之比为30：67．请问增加生产线后，该车间所有生产线每小时的总产量为件．10．（2024秋•武进区期中）如图，在3×3的正方形网格中，每行、每列、每条对角线上的三个数的和均相同，则a﹣bc的值为．三．解答题（共5小题）11．（2024春•应城市期末）解方程组．（1）5x（2）x-12．（2024秋•江阳区校级期中）已知三角形的周长为30，三边长分别是a、b、c，且a+2b﹣c＝13，2a＝c+3，求三角形的三边长．13．（2024春•龙华区校级期中）已知y＝ax2+bx+c，当x＝﹣1时，y＝0，当x＝1时，y＝﹣4；当x＝2时，y＝3．（1）求a、b、c的值；（2）求当x＝﹣3时，y的值．14．（2024春•凤凰县期末）某学校计划用104000元购置一批电脑（这批款项须恰好用完，不得剩余或追加）．经过招标，其中平板电脑每台1600元，台式电脑每台4000元，笔记本电脑每台4600元．（1）若学校同时购进其中两种不同类型的电脑共50台，请你帮学校设计该如何购买；（2）若学校同时购进三种不同类型的电脑共26台（三种类型的电脑都有），并且要求笔记本电脑的购买量不少于15台，请你帮学校设计购买方案．15．（2024春•夹江县期末）【教材呈现】华东师大版7.2二元一次方程组的解法例1：解方程组x解：由①得y＝7﹣x③将③代入②得3x+7﹣x＝17解得x＝5将x＝5代入③，得y＝2所以x小明同学受到上述解法的启示，认为可以采用同样的思想解决三元一次方程组，因此他做了如下尝试：（1）如图是一个正方体的平面展开图，如果正方体相对的两个面上的式子的值相等，则可以列出方程组．（2）求解出上述x、y、z的值．

2024-2025学年下学期初中数学华东师大版（2024）七年级期中必刷常考题之三元一次方程组及其解法参考答案与试题解析题号12345答案ABAAA一．选择题（共5小题）1．（2024秋•碧江区期末）已知x=1y=2z=3是方程组ax+byA．3 B．2 C．1 D．无法确定【考点】解三元一次方程组．【答案】A【分析】由题意，可将x，y及z的值代入方程组得到关于a，b，c的方程组，将方程组中三个方程左右两边相加，变形后即可求出a+b+c的值．【解答】解：由题意将x=1a+2①+②+③得：a+2b+2b+3c+c+3a＝2+3+7，即4a+4b+4c＝4（a+b+c）＝12，则a+b+c＝3．故选：A．【点评】此题考查了三元一次方程组的解，以及解三元一次方程组，方程组的解为能使方程组中每一个方程左右两边相等的未知数的值，本题的技巧性比较强，求a+b+c不要求出a，b及c的值，而是整体求出．2．（2024秋•东阳市期末）某校七年级有3个班，已知一班、二班的平均人数与三班人数之和为45，二班、三班的平均人数与一班人数之和为48，一班、三班的平均人数与二班人数之和为47，则三个班的总人数为（）A．68 B．70 C．72 D．74【考点】三元一次方程组的应用．【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．【答案】B【分析】根据“一班、二班的平均人数与三班人数之和为45，二班、三班的平均人数与一班人数之和为48，一班、三班的平均人数与二班人数之和为47”列出三元一次方程组，再根据整体思想求解．【解答】解：设一班为x人，二班有y人，三班由z人，则：12方程组可化为：x+①+②+③得：4（x+y+z）＝280，∴x+y+z＝70，故选：B．【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，掌握整体思想是解题的关键．3．（2024秋•怀化期末）已知方程组x+y=3y+z=-6A．3 B．4 C．5 D．6【考点】解三元一次方程组．【专题】整体思想；一次方程（组）及应用；运算能力．【答案】A【分析】把三个方程相加，进行计算即可解答．【解答】解：x+①+②+③得：2x+2y+2z＝3+（﹣6）+9，∴x+y+z＝3，故选：A．【点评】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握解方程中的整体思想是解题的关键．4．（2024秋•沙市区期末）春节来临之际，某花店老板购进大量的康乃馨、百合、玫瑰，打算采用三种不同方式搭配成花束，分别取名为“眷恋”、“永恒”、“守候”．三种花束的每一束成本分别为a元、b元和c元．已知销售每束“眷恋”的利润率为10%，每束“永恒”的利润率为20%，每束“守候”的利润率为30%，当售出的三种花束数量之比为2：3：4时，老板得到的总利润率为25%；当售出的三种花束数量之比为3：2：1时，老板得到的总利润率为20%，则a：b：c为（）A．1：2：3 B．1：3：4 C．2：3：5 D．3：4：5【考点】三元一次方程组的应用；列代数式．【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．【答案】A【分析】根据“当售出的三种花束数量之比为2：3：4时，老板得到的总利润率为25%；当售出的三种花束数量之比为3：2：1时，老板得到的总利润率为20%”，可列出关于a，b，c的三元一次方程组，解之可用含a的代数式表示出b，c的值，代入后可求出a：b：c的值．【解答】解：根据题意得：2×解得：b=2∴a：b：c＝a：2a：3a＝1：2：3．故选：A．【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．5．（2024春•牟平区期中）三元一次方程组2a+bA．5a-2b=19C．a+b=13【考点】解三元一次方程组．【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．【答案】A【分析】先消去未知数c可得5a【解答】解：2a②﹣③得：3a+3b＝3即a+b＝1，③×3+①得：5a﹣2b＝19，∴5a故选：A．【点评】本题考查的是三元一次方程组的解法，掌握加减消元法是解本题的关键．二．填空题（共5小题）6．（2024秋•天府新区期末）信息安全保障越来越受到人们重视，很多信息需要加密处理，有一种加密、解密的工作原理为：发送方由明文通过加密规则加密成密文，接收方由密文通过解密成明文．已知某加密规则为：明文x，y互为相反数，其对应密文为x+2y﹣k，2x+y﹣k．若接收方收到密文为2和﹣1，则k的值为-12【考点】三元一次方程组的应用．【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．【答案】-1【分析】根据题意列出方程，求解即可．【解答】解：由题意得：x+2∴x=故答案为：-1【点评】本题考查了三元一次方程的应用，掌握方程的解法是解题的关键．7．（2024秋•怀化期末）已知x+y+7z＝0，x﹣y﹣3z＝0（xyz≠0），则2x+y+【考点】解三元一次方程组．【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．【答案】﹣4．【分析】在x+y+7z＝0，x﹣y﹣3z＝0中，未知数系数相同，xy的系数互为相反数，通过两个式子相减或相加，即可用z的代数式表示出x、y，进而得出答案．【解答】解：x+y+7z＝0①，x﹣y﹣3z＝0②，①﹣②，得2y+10z＝0，即y＝﹣5z，①+②，得2x+4z＝0，即x＝﹣2z，∴2x+故答案为：﹣4．【点评】本题考查了解三元一次方程组，正确用z的代数式表示出x、y是解答本题的关键．8．（2024秋•娄底校级期末）某校举行一次数学竞赛，赛后5名同学A，B，C，D，E知道了自己的成绩，但这5名学生想尽快得知比赛的名次，得到如下信息：信息序号文字信息1D的得分是E得分的四分之一2E的得分是B得分的3倍3A和D的得分之和等于B和C的总分4A与E的得分之差是B得分的四分之三则这5位同学中获得第三名的是E．【考点】三元一次方程组的应用．【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．【答案】E．【分析】由文字信息得到数学表达式，组成方程组，化简比较大小即可．【解答】解：由题意得，D=解得，A=∴A＞C＞E＞B＞D，∴获得第三名的同学是E，故答案为：E．【点评】本题考查了方程组的应用，正确写出四条文字信息的数学表达式是解题的关键．9．（2024•渝中区校级模拟）某车间有A，B，C型的生产线共12条，A，B，C型生产线每条生产线每小时的产量分别为4m，2m，m件，m为正整数．该车间准备增加3种类型的生产线共7条，其中B型生产线增加1条，受到限电限产的影响，每条生产线（包括之前的和新增的生产线）每小时的产量将减少4件．统计发现，增加生产线后，该车间每小时的总产量恰比增加生产线前减少10件，且A型生产线每小时的产量与三种类型生产线每小时的总产量之比为30：67．请问增加生产线后，该车间所有生产线每小时的总产量为134件．【考点】三元一次方程组的应用；列代数式．【专题】一次方程（组）及应用；分式方程及应用；运算能力；推理能力．【答案】134．【分析】解此题的关键在于依题意列出方程组，再结合m与生产线的数均为正整数可得解．具体为设A，B，C型生产线各有x、y、z条，增加生产线后A型增加a条，则C型增加（7﹣1﹣a）条，依据增加生产线后总产量减少10件的已知条件可列方程，再结合m与生产线的数均为正整数进而可得a、m的值，再由A型生产线每小时的产量与三种类型生产线每小时的总产量之比为30：67可列方程，再结合生产线的数量均为非负整数的特征，进而可得x、y、z的值，即可得解．【解答】解：设增加生产线前A，B，C型生产线各有x、y、z条，增加生产线后A型增加a条，则C型增加（7﹣1﹣a）即（6﹣a）条，由题意可得：4mx+2my+mz＝（x+a）（4m﹣4）+（y+1）（2m﹣4）+（z+6﹣a）（m﹣4）+10，整理得：3ma+8m＝18+4（x+y+z），由题意得：x+y+z＝12，代入上式整理可得：m=66又因为m是正整数，所以3a+8的值可能为1、2、3、6、11、22、33，结合0≤a≤6且a为正数，可得3a+8＝11，即a＝1，所以m＝6，所以增加生产线后A型增加1条生产线，B型增加1条生产线，C型增加5条生产线，且增加生产线后A，B，C型生产线的每小时产量分别为（4m﹣4）（件）、（2m﹣4）（件）、（m﹣4）（件），即增加生产线后A，B，C型生产线的每小时产量分别为20（件）、8（件）、2（件），再由A型生产线每小时的产量与三种类型生产线每小时的总产量之比为30：67，可得20(x化简分式方程得：1340x+1340＝600x+600+240y+240+60z+300，移项、合并同类项得：74x+20＝24y+6z，而由x+y+z＝12得：x＝12﹣y﹣z，代入上式得：74（12﹣y﹣z）+20＝24y+6z，整理得：z=454-49因为x、y、z均为非负整数，所以454﹣49y一定能被整除，所以454﹣49y的个位数字一定是0，即49y的个位数字一定是4，所以y＝6（条），那么z＝4（条），随即可得x＝2（条），再次检验当x、y、z分别为2、6、4时，以上分式均成立．最后计算增加生产线后该车间生产线每小时总产量为：20（2+1）+8（6+1）+2（4+5）＝134（件）．故答案为：134．【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，解题的关键在于能够理解题意列出方程求解．10．（2024秋•武进区期中）如图，在3×3的正方形网格中，每行、每列、每条对角线上的三个数的和均相同，则a﹣bc的值为﹣13．【考点】三元一次方程组的应用；正数和负数；有理数的加法．【专题】实数；一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．【答案】﹣13．【分析】根据每行、每列、每条对角线上的三个数的和均相同，列出三元一次方程组，解方程组，即可解决问题．【解答】解：由题意可知，2+a解得：a=∴a﹣bc＝﹣5﹣（﹣2）×（﹣4）＝﹣5﹣8＝﹣13，故答案为：﹣13．【点评】本题考查了三元一次方程组的应用以及有理数的混合运算等知识，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．三．解答题（共5小题）11．（2024春•应城市期末）解方程组．（1）5x（2）x-【考点】解三元一次方程组；解二元一次方程组．【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．【答案】（1）x=7（2）x=3【分析】（1）利用加减消元法进行计算，即可解答；（2）利用加减消元法进行计算，即可解答．【解答】解：（1）5x①×2得：10x﹣4y＝72③，②+③得：13x＝91，解得：x＝7，把x＝7代入①中得：35﹣2y＝36，解得：y=-∴原方程组的解为：x=7（2）x-②﹣①得：3x+3y＝3，即x+y＝1④，③﹣①得：24x+6y＝60，即4x+y＝10⑤，⑤﹣④得：3x＝9，解得：x＝3，把x＝3代入④得：3+y＝1，解得：y＝﹣2，把x＝3，y＝﹣2代入①得：3﹣（﹣2）+z＝0，解得：z＝﹣5，∴原方程组的解为：x=3【点评】本题考查了解二元一次方程组，解三元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．12．（2024秋•江阳区校级期中）已知三角形的周长为30，三边长分别是a、b、c，且a+2b﹣c＝13，2a＝c+3，求三角形的三边长．【考点】解三元一次方程组．【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．【答案】8，9，13．【分析】根据已知条件列出关于a，b，c的方程组，然后利用加减和代入消元法解方程组即可．【解答】解：∵三角形的周长为30，三边长分别是a、b、c，∴a+b+c＝30，∴a+①+②得：2a+3b＝43④，把③代入④得：c+3b＝40⑤，①﹣②得：﹣b+2c＝17⑥，⑥×3得：﹣3b+6c＝51⑦，⑤+⑦得：c＝13，把c＝13代入③得：a＝8，把a＝8，c＝13代入①得：b＝9，∴方程组的解为：a=8∴三角形的三边长分别为8，9，13．【点评】本题主要考查了解三元一次方程组，解题关键是熟练掌握利用加减和代入消元法解三元一次方程组．13．（2024春•龙华区校级期中）已知y＝ax2+bx+c，当x＝﹣1时，y＝0，当x＝1时，y＝﹣4；当x＝2时，y＝3．（1）求a、b、c的值；（2）求当x＝﹣3时，y的值．【考点】解三元一次方程组．【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．【答案】（1）a＝3，b＝﹣2，c＝﹣5；（2）28．【分析】（1）把x、y的三对对应值分别代入y＝ax2+bx+c，列出方程组，再求解；（2）把x＝﹣3代入y＝3x2﹣2x﹣5，求解．【解答】解：（1）由题意得：a-解得：a=3∴a＝3，b＝﹣2，c＝﹣5；（2）当x＝﹣3时，y＝9×3+3×2﹣5＝28．【点评】本题考查了解三元一次方程组，掌握消元思想是解题的关键．14．（2024春•凤凰县期末）某学校计划用104000元购置一批电脑（这批款项须恰好用完，不得剩余或追加）．经过招标，其中平板电脑每台1600元，台式电脑每台4000元，笔记本电脑每台4600元．（1）若学校同时购进其中两种不同类型的电脑共50台，请你帮学校设计该如何购买；（2）若学校同时购进三种不同类型的电脑共26台（三种类型的电脑都有），并且要求笔记本电脑的购买量不少于15台，请你帮学校设计购买方案．【考点】三元一次方程组的应用．【答案】见试题解答内容【分析】（1）设购买平板电脑x台，台式电脑y台，笔记本电脑z台，分情况讨论：当购买平板电脑、笔记本电脑时；购买台式电脑、笔记本电脑时；当购买台式电脑、笔记本电脑时分别建立方程组求出其解即可．（2）可根据三种不同类型的电脑的总量＝26台，购进三种电脑的总费用＝104000元，以及题中给出的条件“笔记本电脑的购买量不少于15台”来列方程组，求出符合条件的方案．【解答】解：（1）设购买平板电脑x台，台式电脑y台，笔记本电脑z台，①若购买平板电脑、台式电脑时，由题意，得x+解得：x=40②若购买平板电脑、笔记本电脑时，由题意，得x+解得：x=42③当购买台式电脑、笔记本电脑时，由题意，得y+解得：y=210故共有两种购买方案：①购买平板电脑40台，台式电脑10台；②购买平板电脑42台，笔记本电脑8台．（2）根据题意得：x+解得：x=4y=6答：购买平板电脑4台，台式电脑6台，笔记本电脑16台，或购买平板电脑5台，台式电脑1台，笔记本电脑20台．【点评】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系：购进的两种电脑的数量和＝50台，购进两种电脑的费用和＝104000元．列出方程组．要注意自变量的取值范围要符合实际意义，有两解．15．（2024春•夹江县期末）【教材呈现】华东师大版7.2二元一次方程组的解法例1：解方程组x解：由①得y＝7﹣x③将③代入②得3x+7﹣x＝17解得x＝5将x＝5代入③，得y＝2所以x小明同学受到上述解法的启示，认为可以采用同样的思想解决三元一次方程组，因此他做了如下尝试：（1）如图是一个正方体的平面展开图，如果正方体相对的两个面上的式子的值相等，则可以列出方程组x-z（2）求解出上述x、y、z的值．【考点】解三元一次方程组；专题：正方体相对两个面上的文字；解二元一次方程组．【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．【答案】（1）x-（2）x=4【分析】（1）根据相对的两个面上的式子的值相等列方程组即可；（2）利用代入消元法求解即可．【解答】解：（1）由题意得：x-故答案为：x-（2）x-由①得z＝x﹣3④，将②和④代入③得5﹣（x﹣3）＝2x﹣5+1，解得x＝4，将x＝4代入①、②得：4﹣z＝3，y＝8﹣5＝3，∴z＝1，y＝3，∴x=4【点评】本题考查了正方体的展开图，解三元一次方程组，①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值．⑤最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可．

考点卡片1．正数和负数1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．2．有理数的加法（1）有理数加法法则：①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．③一个数同0相加，仍得这个数．（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）（2）相关运算律交换律：a+b＝b+a；结合律（a+b）+c＝a+（b+c）．3．列代数式（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义．列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分．②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系．③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用．⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．【规律方法】列代数式应该注意的四个问题1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它