2024-2025学年下学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之确定二次函数的表达式

第18页（共18页）2024-2025学年下学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之确定二次函数的表达式一．选择题（共5小题）1．（2024秋•金平区期末）已知抛物线C1的顶点坐标为（2，3），且与抛物线C2：y=A．y＝（x+2）2﹣3 B．y＝﹣（x﹣2）2﹣3 C．y＝﹣（x﹣2）2+3 D．y＝（x﹣2）2+32．（2024秋•房山区期末）将二次函数y＝x2﹣6x+2化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x﹣3）2+2 B．y＝（x﹣3）2﹣7 C．y＝（x+3）2﹣7 D．y＝（x﹣6）2+23．（2025•河北模拟）如图，正方形ABCD的顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，﹣1），C（3，﹣1）．抛物线经过点D，顶点坐标为（1，0），将此抛物线在正方形ABCD内（含边界）的部分记为图象G．若直线y＝kx﹣2k+2（k≠0）与图象G有唯一交点，则k的取值范围是（）A．k＞2或k＜-23 B．-23＜kC．k＞1或k＜﹣3 D．k＞1或k＜﹣3或k＝﹣24．（2024秋•凉州区期末）一抛物线的形状、开口方向与抛物线y=12x2A．y=12(xC．y=12(5．（2024秋•魏县期末）已知某二次函数，当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是（）A．y＝2（x+1）2 B．y＝2（x﹣1）2 C．y＝﹣2（x+1）2 D．y＝﹣2（x﹣1）2二．填空题（共5小题）6．（2024秋•南平期末）将二次函数解析式y＝x2﹣2x化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为．7．（2024秋•兴庆区校级期末）已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5），则该二次函数的表达式为．8．（2024秋•建湖县期末）请写出一个以（0，﹣5）为顶点，且开口向上的抛物线表达式为．9．（2024秋•蜀山区期末）如图，已知四个点A（0，1），B（2，1），C（4，1），D（3，0），数学活动课中同学们分别画出了经过这四个点中三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）对应的函数表达式有个；（2）所有函数表达式中a+b+c的最大值是．10．（2024秋•顺义区期末）写出一个开口向下且过点（0，2）的抛物线的表达式．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•阜阳期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象上部分点的坐标（x，y）满足下表：x…﹣1012…y…﹣4﹣228…（1）求这个二次函数的解析式；（2）用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴．12．（2024秋•延边州期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x…﹣3﹣2﹣10…y…﹣1﹣2﹣12…（1）求该二次函数的解析式．（2）当n＜x＜n+2时，y的最小值为﹣2．直接写出n的取值范围．13．（2024秋•淮阳区期末）已知关于x的二次函数y＝x2﹣mx﹣3，该函数图象经过点（2，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式及顶点坐标；（2）若P1（﹣3，y1），P2（4，y2）两点都在抛物线上，则y1y2（用＞、＜、＝号填空）．14．（2024秋•秦皇岛期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的y与x的部分对应值如表：x…﹣3﹣113…y…﹣3010…（1）求这个二次函数表达式；（2）在平面直角坐标系中画出这个函数图象；（3）当x的取值范围为时，y＞﹣3．15．（2024秋•高安市期末）（1）解方程：x（x﹣3）＝x﹣3；（2）抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），且图象经过点（0，3）．求函数解析式．

2024-2025学年下学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之确定二次函数的表达式参考答案与试题解析题号12345答案DBACB一．选择题（共5小题）1．（2024秋•金平区期末）已知抛物线C1的顶点坐标为（2，3），且与抛物线C2：y=A．y＝（x+2）2﹣3 B．y＝﹣（x﹣2）2﹣3 C．y＝﹣（x﹣2）2+3 D．y＝（x﹣2）2+3【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【答案】D【分析】设顶点式为y＝a（x﹣2）2+3，然后根据二次函数的性质确定a的值，从而得到抛物线C1的解析式．【解答】解：∵抛物线C1的顶点坐标为（2，3），∴抛物线C1的解析式可设为y＝a（x﹣2）2+3，∴抛物线C1与抛物线C2∴a＝1，∴抛物线C1的解析式为y＝（x﹣2）2+3．故选：D．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．2．（2024秋•房山区期末）将二次函数y＝x2﹣6x+2化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x﹣3）2+2 B．y＝（x﹣3）2﹣7 C．y＝（x+3）2﹣7 D．y＝（x﹣6）2+2【考点】二次函数的三种形式．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】B【分析】利用配方法把一般式化为顶点式，判断即可．【解答】解：y＝x2﹣6x+2＝x2﹣6x+9﹣9+2＝（x﹣3）2﹣7，故选：B．【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，正确利用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．3．（2025•河北模拟）如图，正方形ABCD的顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，﹣1），C（3，﹣1）．抛物线经过点D，顶点坐标为（1，0），将此抛物线在正方形ABCD内（含边界）的部分记为图象G．若直线y＝kx﹣2k+2（k≠0）与图象G有唯一交点，则k的取值范围是（）A．k＞2或k＜-23 B．-23＜kC．k＞1或k＜﹣3 D．k＞1或k＜﹣3或k＝﹣2【考点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数与一元一次不等式；二次函数的图象；二次函数的性质．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】A【分析】先求出抛物线解析式为y＝（x﹣1）2，再求出抛物线与正方形边长另一个交点为E（﹣1，4），再根据直线y＝kx﹣2k+2＝（x﹣2）k+2过定点F（2，2），结合函数图象解题即可．【解答】解：设抛物线与正方形边长另一个交点为E，由条件可知D（3，4），∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2，把D（3，4）代入得到4＝a（3﹣1）2，解得a＝1，∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）2，当y＝（x﹣1）2＝4时，解得x1＝3，x2＝﹣1，∴E（﹣1，4），∵直线y＝kx﹣2k+2＝（x﹣2）k+2，∴直线y＝kx﹣2k+2＝（x﹣2）k+2过定点F（2，2），当x＝2时y＝（x﹣1）2＝（2﹣1）2＝1＜2，∴直线y＝kx﹣2k+2（k≠0）与y＝（x﹣1）2必有两个交点，∵直线y＝kx﹣2k+2（k≠0）与图象G有唯一交点，∴当x＝3时，抛物线过D（3，4），y＝kx﹣2k+2＞4，即3k﹣2k+2＞4，解得k＞2，当x＝﹣1时，抛物线过E（﹣1，4），y＝kx﹣2k+2＞4，即﹣k﹣2k+2＞4，解得k＜-综上所述，k＞2或k＜-故选：A．【点评】本题考查二次函数的图象与性质，数形结合是关键．4．（2024秋•凉州区期末）一抛物线的形状、开口方向与抛物线y=12x2A．y=12(xC．y=12(【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．【答案】C【分析】首先确定a的值，再利用顶点式即可解决问题．【解答】解：∵抛物线的形状、开口方向与抛物线y=∴a=1∵顶点为（﹣2，1），∴抛物线解析式为y=12（x+2）2故选：C．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，在解答时运用抛物线的性质求出a值是关键．5．（2024秋•魏县期末）已知某二次函数，当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是（）A．y＝2（x+1）2 B．y＝2（x﹣1）2 C．y＝﹣2（x+1）2 D．y＝﹣2（x﹣1）2【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．【专题】计算题．【答案】B【分析】先利用二次函数的性质得到抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，然后对各选项进行判断．【解答】解：∵当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，∴抛物线y＝2（x﹣1）2满足条件．故选：B．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式．也考查了二次函数的性质．二．填空题（共5小题）6．（2024秋•南平期末）将二次函数解析式y＝x2﹣2x化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为y＝（x﹣1）2﹣1．【考点】二次函数的三种形式．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【答案】y＝（x﹣1）2﹣1．【分析】由于二次项系数为1，利用配方法直接加上一次项系数的一半的平方配成完全平方式，即可得到答案．【解答】解：∵y＝x2﹣2x＝x2﹣2x+1﹣1＝（x﹣1）2﹣1，∴将二次函数y＝x2﹣2x化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为y＝（x﹣1）2﹣1，故答案为：y＝（x﹣1）2﹣1．【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，能准确进行配方是解题的关键．7．（2024秋•兴庆区校级期末）已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5），则该二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】待定系数法；二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】y＝﹣x2﹣2x+3．【分析】设二次函数的表达式为y＝a（x+1）2+4，将B（2，﹣5）代入可得a，从而可得答案．【解答】解：由二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，设二次函数的表达式为y＝a（x+1）2+4，将B（2，﹣5）代入得：﹣5＝9a+4，解得a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3，故答案为：y＝﹣x2﹣2x+3．【点评】本题考查求二次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法．8．（2024秋•建湖县期末）请写出一个以（0，﹣5）为顶点，且开口向上的抛物线表达式为y＝x2﹣5（答案不唯一）．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【答案】y＝x2﹣5．（答案不唯一）【分析】先设顶点式为y＝ax2﹣5，再根据二次函数的性质得到a＞0，然后a任意取一个正数即可．【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（0，﹣5），∴抛物线解析式可设为y＝ax2﹣5，∵抛物线开口向上，∴a＞0，∴当a取1时，抛物线解析式为y＝x2﹣5．故答案为：y＝x2﹣5．（答案不唯一）【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．9．（2024秋•蜀山区期末）如图，已知四个点A（0，1），B（2，1），C（4，1），D（3，0），数学活动课中同学们分别画出了经过这四个点中三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）对应的函数表达式有3个；（2）所有函数表达式中a+b+c的最大值是4．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【答案】（1）3；（2）4．【分析】（1）分别讨论①A（0，1），B（2，1），D（3，0），②A（0，1），C（4，1），D（3，0），③B（2，1），C（4，1），D（3，0）时的函数表达式，要注意，经过A、B、C三点不存在二次函数；（2）分别求出（1）中解析式a+b+c的值，得出最大值．【解答】解：（1）①A（0，1），B（2，1），D（3，0），设y＝ax（x﹣2）+1，将D（3，0）代入，得：0＝3a+1，∴a=-∴y=-1②A（0，1），C（4，1），D（3，0），设y＝ax（x﹣4）+1，将D（3，0）代入，得：0＝3a（﹣1）+1，∴a=1∴y=13③B（2，1），C（4，1），D（3，0），设y＝a（x﹣2）（x﹣4）+1，将D（3，0）代入，得：0＝﹣a+1，∴a＝1，∴y＝（x﹣2）（x﹣4）+1＝x2﹣6x+9；综上所述：对应的函数表达式有3个，故答案为：3；（2）①y=-1∴a+b+c=4②y=13∴a+b+c＝0；③y＝x2﹣6x+9，∴a+b+c＝4；综上所述：a+b+c的最大值为4，故答案为：4．【点评】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象等，掌握待定系数法求解析式是解题的关键．10．（2024秋•顺义区期末）写出一个开口向下且过点（0，2）的抛物线的表达式y＝﹣x2﹣2x+2（答案不唯一）．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．【专题】开放型；二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】y＝﹣x2﹣2x+2（答案不唯一）．【分析】写出一个二次函数，使其二次项系数为负数，常数项为2即可．【解答】解：根据题意得：y＝﹣x2﹣2x+2（答案不唯一），故答案为：y＝﹣x2﹣2x+2（答案不唯一）．【点评】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•阜阳期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象上部分点的坐标（x，y）满足下表：x…﹣1012…y…﹣4﹣228…（1）求这个二次函数的解析式；（2）用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的三种形式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】应用题；二次函数图象及其性质．【答案】见试题解答内容【分析】（1）把已知三点坐标代入求出a，b，c的值，即可确定出解析式；（2）利用顶点坐标公式及对称轴公式求出即可．【解答】解：（1）由题意，得a-解这个方程组，得a＝1，b＝3，c＝﹣2，所以，这个二次函数的解析式是y＝x2+3x﹣2；（2）y＝x2+3x﹣2＝（x+32）2顶点坐标为（-32，对称轴是直线x=-【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．12．（2024秋•延边州期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x…﹣3﹣2﹣10…y…﹣1﹣2﹣12…（1）求该二次函数的解析式．（2）当n＜x＜n+2时，y的最小值为﹣2．直接写出n的取值范围．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】（1）取三组对应值代入y＝ax2+bx+c得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组，从而得到抛物线解析式；（2）利用配方法得到y＝（x+2）2﹣2，根据二次函数的性质得到当x＝﹣2时，y有最小值﹣2，所以x＝﹣2在n＜x＜n+2范围内，则n＜﹣2＜n+2，从而得到n的取值范围．【解答】解：（1）把（﹣3，﹣1），（﹣2，﹣2），（0，2）分别代入y＝ax2+bx+c得9a解得a=1∴抛物线解析式为y＝x2+4x+2；（2）∵y＝x2+4x+2＝（x+2）2﹣2，∴当x＝﹣2时，y有最小值﹣2，∵当n＜x＜n+2时，y的最小值为﹣2，∴n＜﹣2＜n+2，解得﹣4＜n＜﹣2．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．13．（2024秋•淮阳区期末）已知关于x的二次函数y＝x2﹣mx﹣3，该函数图象经过点（2，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式及顶点坐标；（2）若P1（﹣3，y1），P2（4，y2）两点都在抛物线上，则y1＞y2（用＞、＜、＝号填空）．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．【答案】（1）二次函数为y＝x2﹣2x﹣3；顶点坐标为（1，﹣4）；（2）＞．【分析】（1）依据题意，由二次函数y＝x2﹣mx﹣3的图象经过点（2，﹣3），可得4﹣2m﹣3＝﹣3，求出m的值可得二次函数的解析式，再化成顶点式可得顶点坐标；（2）根据二次函数的增减性和对称性解答．【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2﹣mx﹣3的图象经过点（2，﹣3），∴4﹣2m﹣3＝﹣3．∴m＝2．∴二次函数为y＝x2﹣2x﹣3．又∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点坐标为（1，﹣4）；（2）∵抛物线为y＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，∴当x＞时，y随x的增大而增大，∵P1（﹣3，y1），P2（4，y2）两点都在抛物线上，∴点（5，y1）也在抛物线上，∵1＜4＜5，∴y1＞y2．故答案为：＞．【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．14．（2024秋•秦皇岛期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的y与x的部分对应值如表：x…﹣3﹣113…y…﹣3010…（1）求这个二次函数表达式；（2）在平面直角坐标系中画出这个函数图象；（3）当x的取值范围为﹣3＜x＜5时，y＞﹣3．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数的性质．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】（1）设交点式为y＝a（x+1）（x﹣3），然后把（1，1）代入求出a即可；（2）利用描点法画二次函数图象；（3）先利用对称性确定函数值为﹣3所对应的自变量的值，然后结合函数图象求解．【解答】解：（1）设二次函数的表达式为y＝a（x+1）（x﹣3），把（1，1）代入得1＝a×2×（﹣2），解得a=-∴二次函数的表达式为y=-14（x+1）（x即y=-14x2+（2）如图，抛物线的顶点坐标为（1，1），（3）∵y＝﹣3时，x＝﹣3或x＝5，∴当﹣3＜x＜5时，y＞﹣3．故答案为：﹣3＜x＜5．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质和二次函数图象．15．（2024秋•高安市期末）（1）解方程：x（x﹣3）＝x﹣3；（2）抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），且图象经过点（0，3）．求函数解析式．【考点】待定系数法求二次函数解析式；解一元二次方程﹣因式分解法；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．【答案】（1）x1＝1，x2＝3；（2）二次函数的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1．【分析】（1）先把原方程变形为x（x﹣3）﹣（x﹣3）＝0，再提公因式（x﹣3），利用因式分解法解方程即可；（2）根据题意设出抛物线顶点式解析式，再把（0，3）代入解析式即可．【解答】解：（1）x（x﹣3）＝x﹣3，∴x（x﹣3）﹣（x﹣3）＝0，∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，∴x1＝1，x2＝3；（2）根据题意设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1，把（0，3）代入解析式得，3＝4a﹣1，解得a＝1，所以二次函数的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1．【点评】本题主要考查了解一元二次方程和用待定系数法确定二次函数的解析式和二次函数的性质，熟练掌握该知识点是关键．

考点卡片1．解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．2．一次函数与一元一次不等式（1）一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（-bk，当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞-bk，不等式kx+b＜0的解为：x当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜-bk，不等式kx+b＜0的解为：x3．二次函数的图象（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移|b2a|个单位，再向上或向下平移|4ac4．二次函数的性质二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-b2a，4ac-b24a），对称轴直线x=-b2a，二次函数y＝①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-b2a时，y随x的增大而减小；x＞-b2a时，y随x的增大而增大；x②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-