2024-2025学年下学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之二次函数与一元二次方程

第22页（共22页）2024-2025学年下学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之二次函数与一元二次方程一．选择题（共5小题）1．（2024秋•阜阳期末）抛物线y＝2x2+x﹣c与x轴只有一个公共点，则c的值为（）A．18 B．-18 C．8 2．（2024秋•沂源县期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点（﹣2，0）．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＜0）有整数根，则p的值有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个3．（2025•浙江一模）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于点A（﹣4，p），B（2，q），则关于x的不等式ax2+c＜﹣kx+b的解集是（）A．﹣4＜x＜2 B．x＜﹣4或x＞2 C．﹣2＜x＜4 D．x＜﹣2或x＞44．（2024秋•莱州市期末）如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，9），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为（）A．x1＝﹣1，x2＝3 B．x1＝9，x2＝﹣3 C．x1＝1，x2＝9 D．x1＝1，x2＝﹣35．（2024秋•芝罘区期末）如图，抛物线y1＝a（x+1）2+n与y2＝x2﹣4x+5交于点A（1，2），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C，则以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数；②x＞1时，y1＜y2；③AB＝3AC；④当a＝﹣2时，y2过y1的顶点．其中正确结论是（）A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③二．填空题（共5小题）6．（2024秋•烟台期末）若抛物线y＝（x﹣h）2+k与x轴只有一个公共点，且过点A（m，n），B（m﹣8，n），则n＝．7．（2024秋•桓台县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为．8．（2024秋•南关区校级期末）若抛物线y＝x2﹣2x+c（c是常数）与x轴没有交点，则c的取值范围是．9．（2024秋•招远市期末）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝5的一个根为x＝2，且抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝2，则抛物线的顶点坐标为．10．（2024秋•张店区期末）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝mx+n相交于A（﹣3，2），B（1，﹣2）两点，则关于x的方程ax2+bx+c＝mx+n的解为．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•烟台期末）已知，抛物线y＝x2+mx与直线y＝﹣x+b相交于点A（2，0）和点B．（1）求m和b的值；（2）求点B的坐标；（3）画出函数图象，并直接写出不等式x2+mx＞﹣x+b的解集．12．（2024秋•瑞金市期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A，B（点B在点A右侧），A点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，顶点为C，连接AC，BC．（1）求点B，C的坐标；（2）求△ABC的面积．13．（2024秋•集贤县期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，点C、D是二次函数图象上一对对称点，一次函数y＝mx+n的图象过点B、D．（1）直接写出点C、D的坐标；（2）求二次函数的解析式；（3）根据图象求ax2+bx+3＜mx+n的解集．14．（2024秋•鄄城县期末）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值．若没有，请说明理由．15．（2024秋•遵化市期末）已知抛物线y＝x2﹣mx+m﹣2．（1）求证：不论m为何值，此抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）若该抛物线与x轴两交点为（x1，0）和（x2，0），且x1+x2＝2x1x2，求m的值．

2024-2025学年下学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之二次函数与一元二次方程参考答案与试题解析题号12345答案BCDDC一．选择题（共5小题）1．（2024秋•阜阳期末）抛物线y＝2x2+x﹣c与x轴只有一个公共点，则c的值为（）A．18 B．-18 C．8 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【答案】B【分析】抛物线与x轴有一个交点，y＝0的方程就有两个相等的实数根，根的判别式就等于0．【解答】解：∵抛物线y＝2x2+x﹣c与x轴只有一个公共点，∴方程2x2+x﹣c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝12+4×2•c＝0，∴c=-故选：B．【点评】本题考查方程与二次函数的关系，数形结合思想是解这类题的关键．2．（2024秋•沂源县期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点（﹣2，0）．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＜0）有整数根，则p的值有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【考点】抛物线与x轴的交点；根的判别式；二次函数的性质．【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．【答案】C【分析】根据题意可知一元二次方程的根应为整数ax2+bx+c＝p（p＜0），通过抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（﹣2，0）．可以画出大致图象判断出直线y＝p（﹣16a≤p＜0，），观察图象当﹣16a≤y＜0，时，抛物线始终与x轴相交于（﹣2，0）于（6，0）．故自变量x的取值范围为﹣2＜x＜6．所以x可以取得整数﹣1，0，1，2，3，4，5，共7个．由于x＝﹣1与x＝5，x＝0与x＝4，x＝1与x＝3关于直线x＝2轴对称，所以于x＝﹣1与x＝5对应一条平行于x轴的直线，x＝0与x＝4对应一条平行于x轴的直线，x＝1与x＝3对应一条平行于x轴的直线，x＝2时对应一条平行于x轴且过抛物线顶点的直线，从而确定y＝p时，p的值应有4个．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝2，∴-b2解得b＝﹣4a，又∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴的一个交点为（﹣2，0），把（﹣2，0）和b＝﹣4a代入y＝ax2+bx+c得，0＝4a+8a+c，解得：c＝﹣12a，∴y＝ax2﹣4ax﹣12a（a＞0），对称轴h＝2，最小值k=4a×(-12如图：顶点坐标为（2，﹣16a），令ax2﹣4ax﹣12a＝0，即x2﹣4x﹣12＝0，解得x＝﹣2或x＝6，∴当a＞0时，抛物线始终与x轴交于（﹣2，0）与（6，0），若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＜0）有整数根，即常函数直线y＝p（p＜0）与二次函数y＝ax2+bx+c有交点，∴﹣16a≤y＜0，由图象得当﹣16a≤y＜0时，﹣2＜x＜6，其中x为整数时，x＝﹣1，0，1，2，3，4，5，∴一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＜0）的整数解有7个．又∵x＝﹣1与x＝5，x＝0与x＝4，x＝1与x＝3关于直线x＝2轴对称，当x＝2时，直线y＝p恰好过抛物线顶点，所以p值可以有4个．故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象抛物线与x轴及常函数y＝p（p＜0）直线的交点横坐标与一元二次方程根的关系．3．（2025•浙江一模）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于点A（﹣4，p），B（2，q），则关于x的不等式ax2+c＜﹣kx+b的解集是（）A．﹣4＜x＜2 B．x＜﹣4或x＞2 C．﹣2＜x＜4 D．x＜﹣2或x＞4【考点】二次函数与不等式（组）．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【答案】D【分析】根据二次函数和一次函数的图象和性质即可求解．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于点A（﹣4，p），B（2，q），∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣kx+b交于点横坐标为﹣2和4，如图所示，∴不等式ax2+c＜﹣kx+b的解集是x＜﹣2或x＞4，故选：D．【点评】本题考查了二次函数和不等式、二次函数与一次函数的交点，解决本题的关键是数形结合，利用图象解决问题．4．（2024秋•莱州市期末）如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，9），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为（）A．x1＝﹣1，x2＝3 B．x1＝9，x2＝﹣3 C．x1＝1，x2＝9 D．x1＝1，x2＝﹣3【考点】抛物线与x轴的交点；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．【答案】D【分析】利用图象法即可解决问题，方程的解就是两个函数图象的交点的横坐标．【解答】解：由图象可知，关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解，就是抛物线y＝ax2（a≠0）与直线y＝bx+c（b≠0）的两个交点坐标分别为A（﹣3，9），B（1，1）的横坐标，即x1＝1，x2＝﹣3．故选：D．【点评】本题考查抛物线与x轴交点、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题，属于中考常考题型．5．（2024秋•芝罘区期末）如图，抛物线y1＝a（x+1）2+n与y2＝x2﹣4x+5交于点A（1，2），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C，则以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数；②x＞1时，y1＜y2；③AB＝3AC；④当a＝﹣2时，y2过y1的顶点．其中正确结论是（）A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③【考点】二次函数与不等式（组）；二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．【专题】二次函数图象及其性质．【答案】C【分析】熟悉二次函数图象上点的坐标特征，结合图象，逐项分析解答即可得解．【解答】解：由图可知：抛物线y2=x2-4x+5开口向上，顶点（2，1）在x当x＞1时，抛物线y1=a(x+1)2+n图象在抛物线y将A（1，2）代入y1=a(x+1)2+n得n＝2﹣4a，故y1=a(x+1)2+2-4a，令y1＝2，得到x1＝﹣3，x2＝1，AB＝|x1﹣x2|＝4；由y2=x2-4x+5，令y2＝2，得x2﹣4x+5＝2，解得：x当a＝﹣2时，y1=-2(x+1)2+2+8=-2(x+1)2+10，顶点为（﹣1，故选：C．【点评】本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数的性质，根据题意利用数形结合进行解答是解答此题的关键．二．填空题（共5小题）6．（2024秋•烟台期末）若抛物线y＝（x﹣h）2+k与x轴只有一个公共点，且过点A（m，n），B（m﹣8，n），则n＝16．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】16．【分析】根据题意得出抛物线的顶点坐标，即可得出k＝0，再利用图象上对称两点的坐标A（m，n），B（m﹣8，n）即可求出h的值，从而得出抛物线的解析式，然后把A（m，n）代入，即可得出答案．【解答】解：由题意可得：抛物线的顶点坐标为（h，k），且k＝0，∴y＝（x﹣h）2，∵抛物线y＝（x﹣h）2过点A（m，n），B（m﹣8，n），∴该抛物线的对称轴为直线x=即：h＝m﹣4，∴y＝[x﹣（m﹣4）]2，把A（m，n）代入，得：n＝[m﹣（m﹣4）]2＝（m﹣m+4）2＝42＝16，故答案为：16．【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，待定系数法求二次函数解析式，y＝（x﹣h）2+k的图象与性质，中点坐标公式等知识点，根据题意求得h的值是解题的关键．7．（2024秋•桓台县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为x＝1或x＝3．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．【答案】x＝1或x＝3．【分析】根据抛物线的轴对称性质得到抛物线与x轴的另一个交点坐标，由此求得关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（1，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为x＝1或x＝3，故答案为：x＝1或x＝3．【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，解题的关键是求得抛物线与x轴的两个交点坐标．8．（2024秋•南关区校级期末）若抛物线y＝x2﹣2x+c（c是常数）与x轴没有交点，则c的取值范围是c＞1．【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．【答案】见试题解答内容【分析】由题意得，方程x2﹣2x+c＝0没有实数根，即Δ＝（﹣2）2﹣4c＜0，进而可得答案．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+c与x轴没有交点，∴方程x2﹣2x+c＝0没有实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4c＜0，解得c＞1．故答案为：c＞1．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．9．（2024秋•招远市期末）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝5的一个根为x＝2，且抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝2，则抛物线的顶点坐标为（2，5）．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．【答案】（2，5）．【分析】由题意得当x＝2时，y＝ax2+bx+c＝5，即抛物线y＝ax2+bx+c过点（2，5），进而可得抛物线的顶点坐标为（2，5）．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝5的一个根为x＝2，∴当x＝2时，y＝ax2+bx+c＝5，即抛物线y＝ax2+bx+c过点（2，5）．∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝2，∴抛物线的顶点坐标为（2，5）．故答案为：（2，5）．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．10．（2024秋•张店区期末）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝mx+n相交于A（﹣3，2），B（1，﹣2）两点，则关于x的方程ax2+bx+c＝mx+n的解为x1＝﹣3，x2＝1．【考点】抛物线与x轴的交点；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】x1＝﹣3，x2＝1．【分析】根据图示，由交点横坐标即可求解．【解答】解：已知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝mx+n相交于A（﹣3，2），B（1，﹣2）两点∴ax2+bx+c＝mx+n的解为x1＝﹣3，x2＝1，故答案为：x1＝﹣3，x2＝1．【点评】本题考查了根据二次函数图象与一次函数图象交点求方程的解，理解交点的意义是解题的关键．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•烟台期末）已知，抛物线y＝x2+mx与直线y＝﹣x+b相交于点A（2，0）和点B．（1）求m和b的值；（2）求点B的坐标；（3）画出函数图象，并直接写出不等式x2+mx＞﹣x+b的解集．【考点】二次函数与不等式（组）．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】（1）m＝﹣2，b＝2；（2）（﹣1，3）；（3）x＜﹣1或x＞2．【分析】（1）将点A（2，0）代入y＝x2+mx和y＝﹣x+b求解，即得答案；（2）联立方程组y=（3）先画出图形，根据图形可得两函数的交点坐标，再根据函数与不等式的关系，即可得到答案．【解答】解：（1）由题知，点A（2，0）为两函数的交点，∴0＝22+2m，解得m＝﹣2，0＝﹣2+b，解得b＝2；故m＝﹣2，b＝2；（2）联立方程组y=解得x1=2y所以两个交点为（2，0）或者（﹣1，3），所以点B的坐标为（﹣1，3）；（3）如图，经过（1，﹣1）（0，0）（2，0）（﹣1，3）（3，3）画出y＝x2﹣2x，经过（2，0）和（﹣1，3）画直线；由图可知，x2+mx＞﹣x+b的解集为：x＜﹣1或x＞2．【点评】本题考查了画一次函数与二次函数的图象，函数图象上的点的坐标特征，二次函数与不等式，正确理解函数与方程、不等式之间的关系是解题的关键．12．（2024秋•瑞金市期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A，B（点B在点A右侧），A点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，顶点为C，连接AC，BC．（1）求点B，C的坐标；（2）求△ABC的面积．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】（1）B（1，0），C（﹣1，4）；（2）8．【分析】（1）根据点A坐标和对称轴，可求出抛物线的函数解析式，进而可解决问题．（2）由A（﹣3，0），B（1，0），得出AB＝1﹣（﹣3）＝4，即可解决问题．【解答】解：（1）将A点坐标代入函数解析式得，9a﹣3b+3＝0①，又因为抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，所以-b2由①②解得，a＝﹣1，b＝﹣2．所以抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．令y＝0得，﹣x2﹣2x+3＝0，解得x1＝1，x2＝﹣3．所以B点坐标为（1，0）．将x＝﹣1代入函数解析式得，y＝﹣1+2+3＝4，所以C点坐标为（﹣1，4）．（2）因为A（﹣3，0），B（1，0），所以AB＝1﹣（﹣3）＝4，又因为点C坐标为（﹣1，4），所以S△【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征及抛物线与x轴交点，能根据点A坐标及抛物线的对称轴求出抛物线的函数解析式是解题的关键．13．（2024秋•集贤县期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，点C、D是二次函数图象上一对对称点，一次函数y＝mx+n的图象过点B、D．（1）直接写出点C、D的坐标；（2）求二次函数的解析式；（3）根据图象求ax2+bx+3＜mx+n的解集．【考点】二次函数与不等式（组）；待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】（1）点C坐标为（0，3），点D坐标为（﹣2，3）；（2）二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；（3）x＜﹣2或x＞1．【分析】（1）先根据二次函数的对称性求出抛物线的对称轴为x＝﹣1，求出点C的坐标，根据二次函数的对称性即可求出点D的坐标；（2）将A（﹣3，0）、B（1，0）代入y＝ax2+bx+3，解方程组即可求出抛物线的解析式；（3）根据抛物线与一次函数的交点横坐标，结合图象，即可求解．【解答】解：（1）由题意可得：y＝ax2+bx+3的对称轴为直线x=令x＝0，得y＝0+0+3＝3，故点C的坐标为（0，3），∵点C、D是二次函数图象上一对对称点，故点D的坐标为（﹣2，3）．（2）将A（﹣3，0）、B（1，0）代入y＝ax2+bx+3，得：0=a解得：a=∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．（3）∵二次函数y＝ax2+bx+3的图象与一次函数y＝mx+n的图象过点B、D．且B（1，0），D（﹣2，3），∴ax2+bx+3＜mx+n的解集为：x＜﹣2或x＞1．【点评】本题考查了二次函数的对称性，待定系数法求抛物线的解析式，根据交点确定不等式的解集．14．（2024秋•鄄城县期末）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值．若没有，请说明理由．【考点】抛物线与x轴的交点；轴对称﹣最短路线问题；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）存在，Q（﹣1，2）；（3）存在，278【分析】（1）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；（2）根据题意可知，边AC的长是定值，要想△QAC的周长最小，即是AQ+CQ最小，所以此题的关键是确定点Q的位置，找到点A关于对称轴的对称点B，利用待定系数法求出直线BC的解析式，直线BC与对称轴的交点即是所求的点Q；（3）首先求得BC的坐标，然后设P的横坐标是x，利用x表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质求解．【解答】解：（1）根据题意得：-1+解得b=则抛物线的解析式是y＝﹣x2﹣2x+3；（2）理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x＝﹣1对称，∴直线BC与x＝﹣1的交点即为Q点，此时△AQC周长最小，对于y＝﹣x2﹣2x+3，令x＝0，则y＝3，故点C（0，3），设BC的解析式是y＝mx+n，则-3m+则BC的解析式是y＝x+3．x＝﹣1时，y＝﹣1+3＝2，∴点Q的坐标是Q（﹣1，2）；（3）过点P作y轴的平行线交BC于点D，设P的横坐标是x，则P的坐标是（x，﹣x2﹣2x+3），对称轴与BC的交点D是（x，x+3）．则PD＝（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x．则S△PBC=12（﹣x2﹣3x）×3=-32x2-92x==∵-32＜0，故△PBC【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式以及二次函数的性质，求最值问题一般是转化为函数最值问题求解．15．（2024秋•遵化市期末）已知抛物线y＝x2﹣mx+m﹣2．（1）求证：不论m为何值，此抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）若该抛物线与x轴两交点为（x1，0）和（x2，0），且x1+x2＝2x1x2，求m的值．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】（1）见解析；（2）4．【分析】（1）证明一元二次方程x2﹣mx+m﹣2＝0中Δ＞0即可；（2）利用一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2和x1x2，根据x1+x2＝2x1x2列等式即可求解．【解答】（1）证明：令y＝x2﹣mx+m﹣2＝0，Δ＝（﹣m）2﹣4（m﹣2）＝m2﹣4m+8＝（m﹣2）2+4，∵（m﹣2）2≥0，∴Δ＝（m﹣2）2+4＞0，∴x2﹣mx+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，∴不论m为何值，此抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）解：∵该抛物线与x轴两交点为（x1，0）和（x2，0），∴x1，x2是一元二次方程x2﹣mx+m﹣2＝0的两个根，∴x1+x2=--m1=m∵x1+x2＝2x1x2，∴m＝2（m﹣2），解得m＝4．【点评】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，正确进行运算是解题关键．

考点卡片1．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．2．一次函数的性质一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．3．一次函数图象上点的坐标特征一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（-bk，0）；与y轴的交点坐标是（0，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．4．二次函数的性质二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-b2a，4ac-b24a），对称轴直线x=-b2a，二次函数y＝①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-b2a时，y随x的增大而减小；x＞-b2a时，y随x的增大而增大；x②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-b2a时，y随x的增大而增大；x＞-b2a时，y随x的增大而减小；x③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|-b2a|个单位，再向上或向下平移|45．二次函数图象与系数的关系二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）③．常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．④抛物线与x轴交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．6．二次函数图象上点的坐标特征二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（-b2a①抛物线是关于对称轴x=-b2②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=x7．二次函数的最值（1