专项训练：二次根式的化简求值-2024-2025学年浙教版八年级数学下册（解析版）

二次根式的化简求值

1.(2023春•东阳市月考)当久=病一1时，代数式/+2x+2的值是()

A.19B.20C.21D.22

【分析】利用完全平方公式配方，再代入计算即可解答.

【解答】解：当x=1时，

/+2x+2

=(x+1)2+1

=(V19-1+I)2+1

=(V19)2+1

=20.

故选：B.

2.(2024春•慈溪市期中)己知x+y=-2,xy=l,则代数式J|+的值是()

A.2B.0C.4D.1

【分析】由x+y=-2,xy=l,可得x<0,y<0,把J|+变形为再代入计算即可.

【解答】解：-2,中=1,

.*.x<0,><0,

・・・R+区

_V%y+V^y

-r十一y

机歹Q+y)

-xy

Vlx(-2)

一1

=2；

故选：A.

3.(2024秋•西湖区校级期中)已知口=板+1,Z?=V3-1,则/12+炉+就的值为()

A.4B.V10C.3D.2V2

【分析】根据二次根式的加法法则求出a+b,根据乘法法则求出仍，根据完全平方公式把原式变形，代入计算

即可.

【解答】解：*•'a=V3+1,b-V3—1,

：.a+b=（V3+1）+（V3-1）=2V3,ab=（V3+1）X（V3-1）=3-1=2,

则迎2+>2+

=不（a+b）2—ab

=J（2V3）2-2

=Vio,

故选：B.

4.（2024春•下城区校级月考）已知％=鱼—遍，y=鱼+百，则代数式J%2+2%y+y2+%—y—4的值为（）

A.哼B.IC.V3-1D.牛

【分析】根据已知，得到X+y=鱼一遮+鱼+遮=2近，x-y=V2-V3-V2-V3=-2V3,整体思想代

入求值即可.

【解答】解：<％=我■—遮\y—V2+V3,

.*.%+y=y/2—y/3+V2+y/3=x—y=y/2—^3—V2—=—2V^,

Jx2+2xy+y2+x—y—4=^/（x+y）2+（x—y）—4

=J（2V2）2-2V3-4

=78-2V3-4

=74-2V3

=J(V^)—2A/3^+1

=J(V3-1)2

=V3—1.

故选：C.

5.(2024秋•东阳市期末)设久=丫；上,则代数式(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)的值是()

A.6V29B.5V29+9C.33D.35

【分析】利用完全平方公式把含x的等式变形，再根据多项式乘多项式的运算法则把原式变形，代入计算得到答

案.

【解答】解：••"=退产，

2x=V29—5,

2x+5=V29，

：.(2x+5)2=29,即4/+20x+25=29,

.'.X2+5X=1,

则原式=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]=(X2+5X+4)(X2+5X+6)=(1+4)(1+6)=35,

故选：D.

6.(2024春•义乌市校级月考)计算J14+6函一J14一6函的值是()

A.1B.V5C.2V5D.5

【分析】将原式的被开方数配成完全平方式，再开平方，合并.

【解答】解：原式=J(眄+遮J(我一遍)2

=(3+V5)-(3-V5)

=2V5.

故选：C.

11

7.(2024春•余杭区校级月考)我们知道形如石，不后的数可以化简，其化简的目的主要是把原数分母中的无理

数化为有理数•如：石=际=苧==Q一总2+4)=2+技这样的化简过程叫做分母有理

化.我们把鱼叫做血的有理化因式，2+遮叫做2—g的有理化因式.利用有理化因式，可以得到如下结论：①

==皆与②设有理数。，6满足京+目=-6鱼+4,则"6=6；③局示工嬴〉

1____________,____________

/2021-<2020；④已知，43—%—V11—%=4,则“43——+V11——=6；以上结论正确的有()

A.①③B.①②C.①④D.③④

【分析】利用有理化因式进行变形计算后即可判断.

13+V53+V5八

【解答】解：^Vf=(3-V5)(3+V5)=^故①正确,符合题意；

aba(V2-l)+b(V2+l)「一

V^T+V^1=(V2+1)(V2-1)=V2(a+fo)+(fo-a)=-6V2+4

:.a+b=6,故②错误，不符合题意；

______1_________A/2023+02022________________

V2023-V2022-(V2023+V2022)(V2023-V2022)-^2023+^2022,

1_________V^T+V^U________________

V2021-V2020-(V2021+V2020)(V2021-V2020)-"021+'2020'

11

•',V2023-V202f>V2021-V20iU，故③正确'符合题意；

VV43—%—V11—x=4,(>43—x—V11—%)(V43—%+V11—%)=43—%—11+%=32,

.'.V43—%+V11—%=8,故④错误，不符合题意;

故选：A.

8.（2024春•柯桥区期末）已知久=鱼+2,则代数式/一叫+4的值为2.

【分析】根据完全平方公式把原式变形，把x的值代入计算即可.

【解答】解：x2-4x+4

=（x-2）2,

当x=&+2时，

原式=（V2+2-2）2

=2.

9.（2024•钱塘区一模）已知x=l—VLy=l+V2,则/+3盯+/的值为

【分析】根据二次根式的加法法则、乘法法则分别求出x+八？，根据完全平方公式把所求的式子变形，代入计

算即可.

【解答】解：1—y=1+V2,

.\x+y=（1—V2）+（1+V2）=2,xy=（1—V2）（1+V2）=1-2=-1,

则x2+3xy+y2

=x2+2xy+y2+xy

=（x-Fj）2+xy

=22-1

=3,

故答案为：3.

10.（2024春•义乌市期中）若规定符号的意义是Q*b=ab-b2,贝!）2*（金+1）的值是-1.

【分析】利用新定义得到原式=2（金+1）-（V2+1）2,然后根据二次根式的乘法法则和完全平方公式计算.

【解答】解：根据题意得原式=2（鱼+1）-（V2+1）2

=2近+2-（2+2V2+1）

+2-3-2ypi

=-1.

故答案为：-1.

11.（2024春•海曙区期中）已知％=遍+1,y=V3—L则/”-村2=4.

【分析】由x与〉的值，求出盯与x-y的值，原式提取公因式变形后，将各自的值代入计算即可求出值.

【解答】解：,・h=遮+1,=V3—L

・••孙=（V^+i）（V^—1）

=3-1

=2,

x-y—(V^+1)+(V3—1)

=V3+1-V3+1

=2,

则原式=盯(x-y)=4.

故答案为：4.

______11

12.(2023秋•乐清市校级期中)已知实数m使得-2y3—僧+，12—;m=y9成立,则-23/-》一，12-zn=—与一

【分析】利用平方差公式得到(—23—m+V12—m)(—23—m—712—m)=11,然后利用＜23—m4-V12—m

=9可得到A/23—m—712—m的值.

【解答】解：・.・(V23-m+V12-m)(V23-m-V12-m)=23-m-(12-m)=11,

而=23—m+V12—m=9,

___11

Vy23—m/—V12—m=­.

11

故答案为：—.

11

13.(2024春•平湖市期末)已知。=水后，=2^Vf，则3修-10仍+3内的值为32.

【分析】先将。，b分母有理化，再对代数式进行变形后代入求解即可.

11

【解答】解：・・・。=/7'=2—g，b==2+V3,

・・q+b=4,cib--1,

・・・3〃2—10ab+3b2=3(〃+b)2-16^=3X42-16=32,

故答案为：32.

14.(2024春•长兴县期中)已知。=鱼+1,h=V2—求下列式子的值：

(1)a2-b2；

11

(2)一+工.

ab

【分析】(1)先计算a+6=2«,a-b=2,再把修-乂变形为(。+方)(0_帅最后整体代入计算即可得到

答案；

11a+b

(2)求出仍=1,把一+7变形为一丁，再整体代入计算即可得到答案

abab

【解答】解：(1)*.*a=V2+1,b=V2—1,

・'.a+/?—yp2+1+y/2,—1—,a—b—y/2,+1—(V2^—1)—2,

a2—b2—(a+6)(a—Z?)=2V2x2=4V2；

(2)Va=V2+1»b=V2—1,

a+h=V2+1+V2—1=2V2,ab=(V2+1)x(V2—1)=2—1=1,

r-

：-1+1-=-a+-b=^2V-2=2^2

abab1

15.(2024春•西湖区校级期中)按要求解下列问题：

(1)计算：VT2—V3

2_______________

(2)若a=右_],求代数式：——4a+4的值.

【分析】(1)根据二次根式的性质、二次根式的减法法则计算；

(2)利用分母有理化把。化简，根据二次根式的性质计算，得到答案.

【解答】解：(1)V12-V3

=2y/3-V3

=V3；

22(b+1)「

(2)Va=V3-1=(V3-1)(V3+1)=+b

则原式=Va2—J(a—2)2

=a-（a-2）

=2.

16.（2024•浙江模拟）问题：先化简，再求值：2〃+迎2一10口+25,其中Q=3.

小宇和小颖在解答该问题时产生了不同意见，具体如下.

小宇的解答过程如下：

解：2tz+Va2-10a+25

=2〃+J（a-5）2……（第一步）

=2a+a-5.........（第二步）

=3a-5..........（第三步）

当a=3时,

原式=3X37=4.……（第四步）

小颖为验证小宇的做法是否正确，她将。=3直接代入原式中：

2a+Va2—10a+25

=6+V32-10x3+25

=6+2

=8.

由此，小颖认为小宇的解答有错误，你认为小宇的解答错在哪一步？并给出完整正确的解答过程.

【分析】根据二次根式的性质将二次根式进行化简后，再代入求值即可.

【解答】解：错在第二步，

原式=2。+飞（a—5尸=1a+\a-5|,

Va=3<5,

：.a-5<0,

.,.原式=2a+（5-a）

=a+5,

当a=3时，

原式=3+5

=8.

17.（2024•苍南县校级自主招生）（1）已知方程①V*+2023+W-2023='2024,

②〃—2022+Vx-2023+V%-2024=3请判断这两个方程是否有解？并说明理由；

（2）已知V3久+2023+73x-2023=2023,求-3X+2023—73x—2023的值.

【分析】（1）根据二次根式的性质得到x的取值范围，结合根式最值求解即可得到答案；

（2）本题考查平方差公式，设-3久+2023一>3支—2023=y,乘以V3x+2023+73x—2023=2023求解即可

得到答案；

【解答】解：（1）由题意可得：

[%+2023>0

lx-2023>O'

解得:尤>2023,

/.Vx+2023+-2023的最小值为“4046,

V4046>2024,

方程①无解；

由题意得：

（%-2022>0

]x-2023>0,

U-2024>0

解得xN2024,

.3—2022+Vx-2023+7x-2024的最小值为鱼+1,

VV2+K3,

，方程②有解；

(2)73x+2023—73x—2023的值是2；理由如下，

设V3x+2023-V3x-2023=y,

VV3x+2023+V3x-2023=2023,

/.(V3x+2023+V3x-2023)(73%+2023-V3x-2023)=2023y,

即：(3x+2023)-(3x-2023)=2023”

解得：y=2,

.•.V3x+2023-2023的值是2.

18.(2024春•浙江期中)己知久=通，y=V20>求(x+3)?+y的值.

【分析】把x,y的值代入所求代数式，然后利用完全平方公式进行计算即可.

【解答】解：=逐，y=V20，

(x+3)2+y

=(V5+3)2+V20

=(V5)2+32+6V5+2V5

=5+9+6V5+2V5

=14+8V5.

19.(2023春•上城区期中)已知x=2—巡，y=2+V3.

(1)求/+y2一砂的值；

(2)若x的小数部分是a,y的整数部分是6,求ax-力的值.

【分析】(1)利用完全平方公式，进行计算即可解答；

(2)先估算出2—g与2+遮的值的范围，从而求出a,b的值，然后代入式子中进行计算即可解答.

【解答】解：(1)'."x=2-y=2+y/3>

•'•xy—(2—V3)(2+V3)=4-3=1,

(x-y)2=(2-V3-2-V3)2=(-2V3)2=12,

.".jr+y1-xy

=(x-y)2+孙

=12+1

=13；

(2)Vl<3<4,

.,.1<V3<2,

.\3<2+V3<4,

；.2+g的整数部分是3,

:.b=3,

V1<V3<2,

-2<——1,

.\0<2-V3<l,

A2-b的整数部分是0,小数部分=2-V3-0=2-V3,

。=2—y/3t

ax-by

=(2-V3)(2-V3)-3(2+V3)

=7-4V3-6-3V3

=1-7V3,

-by的值为1-7遮.

20.（2024春•宁波期中）先化简，再求值：a+Yl—2a+a2,其中a=1007.

如图是小亮和小芳的解答过程.

（1）的解答过程是错误的;

（2）先化简，再求值：m+2Vm2-6m+9,其中加=-2024。

【分析】（1）当。=1007时，,（1—砌2=1,再得出答案即可；

（2）根据机=-2024求出他-3<0,根据二次根式的性质得出m+23n2一6m+9=加+2|加-3|,求出爪+2

Vm2—6m+9=6-m,最后代入求出答案即可.

【解答】解：（1）小亮的解答过程是错误的，

理由是：：a=1007,

1-。（0,

a+V1—2a+a2

=a+J(1—a)2

—6Z+|1-6Z|

=Q+Q-1

=2a-1

=2X1007-1

=2014-1

=2013.

故答案为：小亮；

(2)u：m=-2024,

・••加-3V0,

m+2Vm2—6m+9

=m+2yl(m—3)2

=m+2\m-3|

=m+2(3-m)

=m+6-2m

=6-m

=6-(-2024)

=6+2024

=2030.

21.(2024春•路桥区期中)对于任意实数Q,b,定义一种运算“㊉”如下：Q㊉仁修一接.如：遮㊉&=(遮＞_(

V2)2=3-2=1.

(1)2㊉V3=1y2V2㊉V5=3；

(2)已知(?n+J2)㊉(2金一7H)=3逐，求(血+鱼)一(2遮一7H)的值.

【分析】(1)根据已知条件中的新定义，列出算式，根据二次根式的性质进行计算即可；

(2)根据新定义，列出含有加的等式，再根据平方差公式分解因式，然后进行解答可.

22

【解答】解：⑴•：a®b=a-bf

.•.2㊉g=2?—(V3)2=4—3=1,2V2㊉遍=(2V2)2—(V5)2=8—5=3,

故答案为：1,3；

(2)V(m+V2)®(2V2-m)=3V6,

(m+V2)2—(2V2—m)2=3V6,

[(772+V2)+(2V2—?n)][(TH4~—(2，^—?7l)]—3V6»

(ZM+V2+2V^—TTl)[(771+V^)—(2V2—Tfl]=3^6>

3V2[(m+V2)—(2V2—m)=3V6,

(m+V2)-(2V2-m)=V3.

22.(2024春•义乌市期中)阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化.

1V3+V2-L

如：将存正分母有理化’解：原式=(6-烟(7+二)=8+叵

运用以上方法解决问题：

11

已知：爪=彳万'n="

(1)化简m,n；

(2)求加2+加〃十九2的值.

【分析】(1)仿照已知把加，〃化简即可；

1

(2)求出加十几=3,mn=~,再把所求式子变形后代入计算即可.

【解答】解：⑴*(3+73—7V7)5)T3—V7

3+夕3+V7

(3-77)(3+77)2'

G••3—V73+V7

1

m+n=3,mn=

rr^+mn+n2

=(.m+n)2-mn

=32--

2

17

=T'

23.(2024秋•余姚市期中)阅读下列材料：

通过探究知道：V2«1,414-,它是个无限不循环小数，也叫无理数，因此鱼的小数部分我们不可能全部写出来,

于是小明用四一1来表示鱼的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为

鱼的整数部分是1,将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，又例如：：22<7<32,即2<V7<3,.•.V7的

整数部分是2,小数部分是V7-2.

(1)旧的整数部分是1.

(2)已知8+g=x+y,其中x是一个整数，0<y<l,求2x+(y—旧产。〃的值.

【分析】(1)仿照材料估算即可得到答案；

(2)结合(1)求出x,y的值，再代入计算即可.

【解答】解：(1)Vl2<3<22,即1<b<2,

...板的整数部分为1；

故答案为：1；

(2)V1<V3<2,

.•.9<8+V3<10,

.,.x=9,y=8+V^—9—V3—1,

.\2%+(y-V3)2017

=2X9+(V3-1-V3)2017

=18+(-1)2017

=18-1

=17.

24.(2024•金华模拟)已知a=VL6=乎，显然仍=1,观察下列等式:

11

Pi=G+市=1,

11

02=1+。2+1+反=L

11

「3=1+。3+1+13=L

^11

(1)猜想：①-4=1+a4+1+.4=-1—•

C11

②尸”=一1+逆+1+9一=---'

(2)请证明猜想②成立.

【分析】(1)①根据分式的加法法则计算即可；

②利用(1)得出的规律猜想即可得出结果；

(2)根据分式的加法法则计算即可.

【解答】解：(1)猜想：①：a6=l,

.11

,1+a4+1+64

l+M+1+a4

=(l+a4)(l+M)

2+a4+b4

l+a4+b4+a4b4

2+a4+Z?4

2+a4+b4

=1;

②尸"=哀标+=而=1;

11

故答案为：①1;②云获+不而，1;

11〃+1+那+12+a"+bn2+/+歹

Pn—l+an+l+bn-(an+l)(bn+l)-anbn+an+bn+l—2+an+bn

1

25.（2024春•西湖区期中）小辰在解决问题：己知a=*后，求2a2-80+1的值.他是这样分析与解的:

12s.「

=2+近=(2+4)(2-旧)=2—幅.-.a-2=-V3.

(a-2)2=3,a2-4a+4=3,'.a1-4a--1,

：.2a2-8a+l=2(a2-4a)+1=2X(-1)+1=-1.

请你根据小辰的分析过程，解决如下问题：

1

(1)①化简a=丁_1=_V2+1_.

1

②当a=m"时，求3a2-6a-1的值.

e111]

(2)化向b+i+归/+夕+e+…+砺+同药

【分析】(1)①先将。分母有理化得出。=鱼+1;

②再代入3a2-6a+l=3(a-1)2-4计算可得；

(2)将各式分母有理化，再计算加法即可得.

1V2+1「

【解答】解：⑴①一瓦7(41)即)=鱼+1；

(2)3a^~6a~1—3(层一2。+1-1)-1

=3(a-1)2-4

=3(V2+1-1)2-4

=3X2-4

=2,

故答案为：2；

四-I迎-遮夕一①

++++

(2)原式=(V3+1)(V3-1)(V5+V3)(V5-V3)(V7+V5)(V7-V5)-"

________A/2025—V^U^________

(V2025+V2023)(V2025-V2023)

V3-1V5-V3V7-V5V2025-V2023

=------1---------1--------1—4----------------

2222

「2025-1

2

=22.

26.（2023春•玉环市期中）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：

1

己知。=尔后’求2层-8。+1的值.他是这样解答的：

12「

*=2+愿=（2+圾（2—何=2-技'a-2=一技

（。-2）2=3,-4]+4=3・\。2-4。=-1,

：.2a2-8。+1=2（层-4。）